微分中值定理

1、3.1 微分中值定理微分中值定理 內容提要內容提要 1.1.羅爾定理；羅爾定理； 2.2.拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理。 3.3.柯西中值定理柯西中值定理 教學要求教學要求 1.1.深刻理解羅爾定理和拉格朗日中值定理的條件和結論；深刻理解羅爾定理和拉格朗日中值定理的條件和結論； 2.2.熟練掌熟練掌握用羅爾定理和拉格朗日中值定理證明等式或不握用羅爾定理和拉格朗日中值定理證明等式或不 等式解題方法。等式解題方法。 3.3.了解通過構造函數、利用已有的定理證明柯西中值定理了解通過構造函數、利用已有的定理證明柯西中值定理的數學思想的數學思想。 一、羅爾定理一、羅爾定理 如果函數如果函數 )(x

2、f滿足條件：滿足條件：（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間 ,ba上連續(xù)上連續(xù), （2）在開區(qū)間在開區(qū)間 內可導內可導, ),( ba),()()3(bfaf 0)( f使使得得 那么在那么在 內至少存在一點內至少存在一點 ，( , )a b例：例：32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上上連連續(xù)續(xù)在在 ,)3 , 1(內內可可導導在在 ( 1)(3)0ff1( 1,3) 取( )0f),1(2)( xxf函數函數（1）（2）（3）使得使得xyabo)(xfy ab羅爾定理的幾何解釋：羅爾定理的幾何解釋：1 2 c;,)()1(上上是是一一條條連連續(xù)續(xù)曲曲線線在在baxfy ;),()2(軸

3、軸的的切切線線內內處處處處有有不不垂垂直直于于曲曲線線在在xba;)3(度度相相同同曲曲線線在在兩兩個個端端點點處處的的高高.是是水水平平的的，上上至至少少有有一一點點在在曲曲線線弧弧cab在在該該點點處處的的切切線線如圖所示如圖所示:注意：注意： 若羅爾定理中的三個條件有任何一個不滿足，若羅爾定理中的三個條件有任何一個不滿足，就不能保證定理的結論成立就不能保證定理的結論成立.例如，下列三個函數例如，下列三個函數 1, 110, 121)(xxxxf)11(|)( xxxg)10()( xxxhoyx11 )(xfy oyx1 1)(xgy oyx11)(xhy 由圖可知，由圖可知，1 , 0

4、,1 , 1,1 , 0 上分別不滿足羅爾定理中的條件上分別不滿足羅爾定理中的條件).3(),2(),1(因此，它們的圖像都沒有水平切線因此，它們的圖像都沒有水平切線.這三個函數在指定的區(qū)間這三個函數在指定的區(qū)間用羅爾定理證明曲線用羅爾定理證明曲線例例1xxxf)1()( 在區(qū)間在區(qū)間)1 , 0(內有水平切線內有水平切線.證明證明:xxxf)1()( 在閉區(qū)間在閉區(qū)間1 , 0上連續(xù)上連續(xù) . )(xfxx213 )(xf在在)1 , 0(所以所以內處處可導內處處可導并且并且 )0(f由羅爾定理：由羅爾定理：在開區(qū)間在開區(qū)間)1 , 0(內至少存在一點內至少存在一點, , 0)( f使使.)

5、(,()(處的切線是水平的處的切線是水平的上點上點從而曲線從而曲線 fxfy 0213)( xxxf令令31 x,31 取取 )31(f332 .)332,31()(處有水平切線處有水平切線上點上點從而曲線從而曲線 xfy0)1( f)(1()1( xxxx二、拉格朗日（二、拉格朗日（lagrange）中值定理）中值定理 如果函數如果函數 )(xf滿足條件：滿足條件：（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間 ,ba上連續(xù)上連續(xù), （2）在開區(qū)間）在開區(qū)間 內可導內可導, ),( ba那么至少存在一點那么至少存在一點),(ba 使得使得拉格朗日中值定理幾何解釋拉格朗日中值定理幾何解釋:.,abcab平平行行于于

6、弦弦在在該該點點處處的的切切線線上上至至少少有有一一點點在在曲曲線線弧弧( )( )( ).f bf afbaabxoy)(xfy ba1 2 1c 2c 證明：證明：則弦則弦ab方程為：方程為：).()(axkafy ).()()(axkafxf )()()(bfafxf 滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件abafbfk )()(記記的的端端點點重重合合，的的端端點點與與曲曲線線弦弦)(xfyab )(xf根根據據羅羅爾爾定定理理至少存在一點至少存在一點),(ba 0)( f使使0)()()( abafbff 即即).)()()(abfafbf ab1 2 xoy)(xfy ab1c2cx

7、mn 0)( kf 即即 由拉格朗日定理的幾何意義可以看出，由拉格朗日定理的幾何意義可以看出，如果在拉格朗日中值定理中加上條件如果在拉格朗日中值定理中加上條件 )()(bfaf 那么就成為羅爾定理那么就成為羅爾定理. 所以羅爾定理可以看成是拉格朗日中所以羅爾定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形。值定理的特殊情形。說明：說明：例例2上上滿滿足足在在區(qū)區(qū)間間驗驗證證函函數數 2, 0cos)( xxf拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理.解解 ,2, 0cos)(上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間因因為為函函數數 xxf內內可可導導，在在)2,0( 滿滿足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理故故)(xf.的條

8、件的條件xxfsin)( 而而02)0()2( ff)0cos2(cos2 2 ，由由 2sin 2arcsin 解得解得)2, 0( . 并求并求拉格朗日定理有以下兩個推論拉格朗日定理有以下兩個推論:推論推論1內內導導數數恒恒等等于于零零，在在區(qū)區(qū)間間如如果果函函數數),()(baxf.),()(內內恒恒等等于于常常數數在在區(qū)區(qū)間間則則baxf證明證明:條條件件，上上滿滿足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在則則,)(21xxxf,),(21xxba，內任取兩點內任取兩點在區(qū)間在區(qū)間，不妨設不妨設21xx 由由拉拉格格朗朗日日定定理理，得得),)()()(1212xxfxfxf 21xx ,

9、0)( xf由于由于, 0)( f所以所以21()().f xf x于是有,),(21內任意兩點內任意兩點是區(qū)間是區(qū)間，由于由于baxx.),()(內內恒恒等等于于常常數數在在區(qū)區(qū)間間所所以以baxf推論推論2證明證明:內內的的導導數數在在區(qū)區(qū)間間和和如如果果函函數數),()()(baxgxf處處相等，處處相等，),()(xgxf 即即只只相相差差一一個個常常數數，在在區(qū)區(qū)間間),(ba)()(xgxf和和則則，常數常數c即存在一個即存在一個,)()(cxgxf 使使,)()(cxgxf 或或),()()(xgxfxf 令令內內處處處處有有則則在在),(ba)()()(xgxfxf 0 由推論

10、由推論1知知,)(cxf .)()(cxgxf 所以所以三、柯西（三、柯西（cauchy）中值定理）中值定理 如果函數如果函數 ( )( )f xg x與滿足條件：滿足條件：那么至少存在一點那么至少存在一點),(ba 使得使得( )( )( ).( )( )( )f bf afg bg ag（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間 ,ba上連續(xù)上連續(xù), （2）在開區(qū)間）在開區(qū)間 內可導內可導, 且且 ),( ba( )0g x ( )( )( )( ) ( )( ( )( )( )( )f bf af xf xf ag xg ag bg a( )( )( )( )( )0( )( )f bf affgg bg a( )( )()( )( )()f bfafg bg ag顯然，證明：證明：令令( )f x在閉區(qū)間 上連續(xù)，在開區(qū)間 上 , a b( , )a b可導，且 ，根據羅爾定理，( )( )0f af b至少存在一個 ，使得( , )a b因為 ，可得( )0g x 四、課堂小結四、課堂小結 1、拉格朗日中值定理（注意與羅爾定理的關系）； 2、拉格朗日中值定理的推論； 3、拉格朗日中值定理的應用； 4、利