理想流體動力學(xué)PPT課件

1、第四章第四章 理想流體動力學(xué)理想流體動力學(xué) 2 重點(diǎn)：伯努利積分式及其應(yīng)用、伯努利方程的幾何意義和能量意義、動量定理及動量矩定理 難點(diǎn)：動量定理及動量矩定理第1頁/共88頁第四章第四章 理想流體動力學(xué)理想流體動力學(xué) 3 雖然實(shí)際流體都具有粘性，但是在很多情況下粘性力影響很小，可以忽略，所以討論理想流體的運(yùn)動規(guī)律不但具有指導(dǎo)意義，而且具有實(shí)際意義。 本章先建立理想流體動力學(xué)的基本方程歐拉運(yùn)動微分方程，然后在特定的條件下積分可以得到拉格朗日積分式及伯努利積分式，介紹兩個積分的實(shí)際應(yīng)用，最后推導(dǎo)出動量及動量矩定理，并舉例第2頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-1 歐拉運(yùn)動微分方程式 44-1 歐

2、拉運(yùn)動微分方程式歐拉運(yùn)動微分方程式 歐拉運(yùn)動微分方程是理想流體的運(yùn)動微分方程，是牛頓第二定律在理想流體中的具體應(yīng)用。這里采用微元體積法導(dǎo)出歐拉運(yùn)動微分方程。 如圖，在流場中建立直角坐標(biāo)系oxyz，任取一微元六面體，其邊長分別為dx、dy、dz。第3頁/共88頁 平行六面體，頂點(diǎn)為 處的速度是 ，壓強(qiáng)為 。z , y, xAz , y, xvz , y, xp第四章 理想流體動力學(xué) 4-1 歐拉運(yùn)動微分方程式 5第4頁/共88頁左面：故沿方向表面力的合力是：z , y, xp右面：dyypz , y, xpz ,dyy, xpdxdydzypdxdz)dyypp(pdxdzYdxdydz第四章

3、理想流體動力學(xué) 4-1 歐拉運(yùn)動微分方程式 6第5頁/共88頁yymaF 故對y軸有：ydxdydzadxdydzypYdxdydzzvvyvvxvvtvayzyyyxyy又：ypYzvvyvvxvvtvyzyyyxy1所以：第四章 理想流體動力學(xué) 4-1 歐拉運(yùn)動微分方程式 7第6頁/共88頁即為理想流體運(yùn)動微分方程，也稱歐拉運(yùn)動微分方程。同理可得：xpXzvvyvvxvvtvxzxyxxx1zpZzvvyvvxvvtvzzzyzxz1三式綜合寫成矢量形式：pFdtvd1 此式對可壓縮及不可壓縮或定常流及非定常流的理想流體均適用。第四章 理想流體動力學(xué) 4-1 歐拉運(yùn)動微分方程式 8ypYz

4、vvyvvxvvtvyzyyyxy1第7頁/共88頁 運(yùn)動微分方程的三個分量式中有四個未知數(shù) 、 、 和 ，再加上連續(xù)方程式共四個方程組，方程封閉，理論上可求解。當(dāng)然還要滿足所提問題的邊界條件、初始條件，這一問題不是本課程的討論范圍。pxvyvzv 但是對于復(fù)雜的流動很難得到問題的解析解，只有在一些特殊條件下，才能求出解析解，如拉格朗日積分式和伯努利積分式。第四章 理想流體動力學(xué) 4-1 歐拉運(yùn)動微分方程式 9第8頁/共88頁存在質(zhì)量力勢函數(shù) ，且：第四章 理想流體動力學(xué) 4-2 拉格朗日積分式 104-2 拉格朗日積分式拉格朗日積分式 拉格朗日(Langrange)積分是歐拉方程在非定常無旋

5、運(yùn)動條件下的積分解。拉格朗日假設(shè)： 理想不可壓縮流體； 質(zhì)量力有勢； 無旋運(yùn)動。constUxUXyUYzUZ存在速度勢函數(shù) ，且：xvxyvyzvz第9頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-2 拉格朗日積分式 11 推導(dǎo)過程主要分別將x、y、z方向的運(yùn)動微分方程變形為某函數(shù)(或表達(dá)式)關(guān)于x、y、z的偏導(dǎo)數(shù)，三方程相加，在質(zhì)量力為重力的情況下，整理出要求的拉格朗日積分式。以x方向?yàn)槔簒pXzvvyvvxvvtvxzxyxxx1txxttvx第一項(xiàng)：等號右邊：第10頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-2 拉格朗日積分式 11第二、三、四項(xiàng)：22222121vxvvvxxvvxvvxvv

6、zxvyxvxvvxzvxyvxvvzvvyvvxvvzyxzzyyxxzyxxzyxxxzxyxxxUXxpXzvvyvvxvvtvxzxyxxx1第一項(xiàng)：等號左邊：第11頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-2 拉格朗日積分式 12xpXzvvyvvxvvtvxzxyxxx1所以x方向的運(yùn)動微分方程變形為：pUxvtx221pxxp1022tvpUx第二項(xiàng)：第12頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-2 拉格朗日積分式 13同樣可得：022tvpUx022tvpUy022tvpUz三式綜合說明，括弧內(nèi)函數(shù)不隨空間坐標(biāo)變化,那么只可能是時間的函數(shù)。 可寫為： tftvpU22第13頁/共

7、88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-2 拉格朗日積分式 14引入函數(shù) ，使： tftvpU22 tdttf0方程繼續(xù)可改寫為：tvpU22將 對 求偏導(dǎo)數(shù)：z , y, xxvxxyvyyzvzz可見， 和 實(shí)質(zhì)一樣，符合速度勢的定義。第14頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-2 拉格朗日積分式 15 如果流體的質(zhì)量力只有重力，取軸垂直向上，有 ，代入上式，得：上式為非定常無旋運(yùn)動的拉格朗日積分式。tvpgz22gzUtggvpz122或： 對于定常無旋運(yùn)動，括號中的函數(shù)還不隨時間變化，因此它在整個流場為常數(shù)：CvpU22( (通用常數(shù)通用常數(shù)) )第15頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué)

8、4-2 拉格朗日積分式 16 對于理想、不可壓縮流體，在重力作用下的定常、無旋運(yùn)動，上式寫為：此式即為理想不可壓縮流體，在重力場中定常無旋運(yùn)動得拉格朗日方程。是在整個流場都適用的通用常數(shù)，因此它在整個流場建立了速度和壓力之間的關(guān)系。Cgvpz22( (通用常數(shù)通用常數(shù)) )CvpU22( (通用常數(shù)通用常數(shù)) )第16頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-2 拉格朗日積分式 17 若能求出了流場的速度分布(理論或?qū)嶒?yàn)的方法)，就能用拉格朗日積分式求流場的壓力分布，再將壓力分布沿固體表面積分，就可求出流體與固體之間的相互作用力。 應(yīng)用拉格朗日積分式，可解釋許多重要的物理現(xiàn)象：如機(jī)翼產(chǎn)生升力的原

9、因；兩艘并排行駛而又靠得很近的船舶為什么會產(chǎn)生互相吸引的“船吸現(xiàn)象”；以及在淺水航道行駛的船舶為什么會產(chǎn)生“吸底現(xiàn)象”等等。第17頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-2 拉格朗日積分式 18第18頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 194-3 伯努利積分式及其應(yīng)用伯努利積分式及其應(yīng)用 介紹伯努利(D.Bernouli 17001782)方程的推導(dǎo)和應(yīng)用。 伯努利方程的推導(dǎo)：是歐拉方程在定常運(yùn)動沿流線的積分。第19頁/共88頁存在質(zhì)量力勢函數(shù) ，且：第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 20伯努利方程的限制條件： 理想不可壓縮流體； 質(zhì)量力有勢；

10、 定常流動；constUxUXyUYzUZ0物理量t 沿流線積分。一、沿流線的伯努利方程一、沿流線的伯努利方程第20頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 21 推導(dǎo)過程主要將運(yùn)動微分方程沿流線積分，再將積分號下的項(xiàng)變形為某個函數(shù)的全微分，得到積分方程。然后在質(zhì)量力為重力的情況下，整理出要求的伯努利積分式。歐拉運(yùn)動微分方程：沿流線積分：xpXzvvyvvxvvtvxzxyxxx1zpZzvvyvvxvvtvzzzyzxz1ypYzvvyvvxvvtvyzyyyxy1第21頁/共88頁首先，定常流動，有：第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 22其中dx

11、、dy、dz為流線上的線元的分量。以x方向?yàn)槔篸xxpXdxzvvyvvxvvtvxzxyxxx1dyypYdyzvvyvvxvvtvyzyyyxy1dzzpZdzzvvyvvxvvtvzzzyzxx1dxxpXdxzvvyvvxvvtvxzxyxxx10tvx第22頁/共88頁則：第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 23則上式簡化為：變形：dxxpXdxzvvyvvxvvtvxzxyxxx1dxxpXdxzvvdxyvvdxxvvxzxyxx122222222xxxxxxxxxxxzxyxxvddzvzdyvydxvxdzzvvdyyvvdxxvvdxzvvdxyvvdx

12、xvv22xxzxyxxxvddxzvvyvvxvvtv第23頁/共88頁以及：第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 24同理可得：即變?yōu)椋篸xxpXdxzvvyvvxvvtvxzxyxxx122xxzxyxxxvddxzvvyvvxvvtvdxpUxdxxpX1dxpUxvdx22dypUyvdy22dzpUzvdz22第24頁/共88頁三式相加：第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 25整理為：dzpUzdypUydxpUxvdvdvdzyx222222pUdvvvdzyx2222即：lCvpU22此式即為歐拉運(yùn)動微分方程的伯努利積分，它表明：對于不可壓縮理

13、想流體，在有勢質(zhì)量力作用下作定常流時，在同一條流線上 值保持不變，該常數(shù)值稱為伯努利積分常數(shù)。對于不同的流線伯努利積分常數(shù)一般不相同。22vpU022vpUd或：第25頁/共88頁在重力場中 ，則沿流線上式變?yōu)椋旱谒恼?理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 26或：或在流線上任意兩點(diǎn)上成立：lCvpU22上式即為理想流體定常、不可壓縮、重力場中沿流線的伯努利方程。gzUlCvpgz22lCgvpz22gvpzgvpz2222222111第26頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 27 伯努利積分與拉格朗日積分在形式上相似,但不同之處有二： 應(yīng)用條件不同。拉格

14、朗日積分只能用于無旋流運(yùn)動，不要求流動定常；伯努利積分無需無旋運(yùn)動，但一定是定常流動。 常數(shù)性質(zhì)不同。拉格朗日積分中的常數(shù)在整個流場中不變，故稱為普遍常數(shù)，伯努利積分常數(shù)只在同一根流線上不變，不同流線取值不同，稱為流線常數(shù)?；蛘哒f拉格朗日積分在整個空間成立，而伯努利積分只在同一條流線上成立。 當(dāng)流動定常且無旋時，兩個積分式等同。第27頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 28 流束的極限為流線。為工程上的應(yīng)用，現(xiàn)將伯努利方程推廣到有限大的流束(總流)。 漸變流動：流線近似平行，而且流線的曲率很小的流動。 否則稱為急變流動。二、沿有限流束二、沿有限流束( (總流總流)

15、 )的伯努利方程的伯努利方程 漸變流動的特點(diǎn)： 在整個有效截面上為常數(shù)，即服從靜壓分布規(guī)律：constpzpz第28頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 29 為簡單計(jì)，約定 取有效截面形心處的數(shù)值。pz12345671212緩變流：1、3、5、71段有效截面上：11pz22pz7段有效截面上：11pz22pz第29頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 30 由于圖中一維理想流體緩變流有效截面上的速度又處處相等，那么有下式成立：1234567121212gvpzgvpz2222222111此式即為理想流體總流的伯努利方程。說明在兩緩變流有

16、效截面上三項(xiàng)之和相等，與中間流動無關(guān)。1 1、2 2點(diǎn)不在同點(diǎn)不在同一根流線上一根流線上第30頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-4 伯努利的幾何意義和物理意義 31三、伯努利方程的幾何意義和物理意義三、伯努利方程的幾何意義和物理意義1. 1. 幾何意義幾何意義伯努利方程式每一項(xiàng)的量綱與長度相同，都表示某一高度。如圖： ：表示研究點(diǎn)相對某一基準(zhǔn)面的幾何高度，稱位置水頭。：表示研究點(diǎn)處壓強(qiáng)大小的高度，表示與該點(diǎn)相對壓強(qiáng)相當(dāng)?shù)囊褐叨?，稱壓強(qiáng)水頭。 ：稱測壓管水頭。 ：表示研究點(diǎn)處速度大小的高度,稱速度水頭。 ：稱總水頭。zp pzgv22gvpz22 Lz LmNmNp32 LTLTLgv2

17、2222第31頁/共88頁 ：表示單位重量流體對某一基準(zhǔn)具有的位置勢能。 ：表示單位重量流體具有的壓強(qiáng)勢能。 ：表示單位重量流體具有的動能。第四章 理想流體動力學(xué) 4-4 伯努利的幾何意義和物理意義 32伯努利方程表明重力作用下不可壓縮理想流體定常流動伯努利方程表明重力作用下不可壓縮理想流體定常流動過程中三種形式的水頭可互相轉(zhuǎn)化，但過程中三種形式的水頭可互相轉(zhuǎn)化，但位置水頭、壓力水頭和位置水頭、壓力水頭和速度水頭之和為一常數(shù)，即總水頭線為一條水平線速度水頭之和為一常數(shù)，即總水頭線為一條水平線 。 zpgv222. 2. 能量意義能量意義mgmgzz mgmvgv22212 伯努利方程也表明重力

18、作用下不可壓縮理想流體定常流動伯努利方程也表明重力作用下不可壓縮理想流體定常流動過程中單位重量流體所具有的位能、動能和壓強(qiáng)勢能可互相轉(zhuǎn)過程中單位重量流體所具有的位能、動能和壓強(qiáng)勢能可互相轉(zhuǎn)化，但總機(jī)械能保持不變?；?，但總機(jī)械能保持不變。Conservation of mechanical energy gSlpSlp第32頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 33四、應(yīng)用四、應(yīng)用實(shí)例1 小孔口出流小孔口出流(如船舶艙壁上破一洞)。如圖所示大容器內(nèi)裝有液體，容器底部開一小孔，液體在重力作用下從小孔流出，求流量。 伯努利方程解題思路：判斷成立的條件是否滿足，確定基準(zhǔn)面，

19、然后選取合適的流線上兩點(diǎn)或者兩個緩變流有效截面建立伯努利方程，解出待求物理量。選取點(diǎn)或面的方法是選取自由面、無窮遠(yuǎn)處或者物理量已知處，以及待求物理量處。第33頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 34 設(shè)小孔面積為a，容器液面面積為A, Aa，因此液面高度h近似認(rèn)為不變(近似為定常流動)，粘性忽略不計(jì)，且此時流體的質(zhì)量力只有重力，滿足伯努利方程的前提條件。第34頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 35 從圖中可見，出流流束有一收縮截面(離開流出離開流出孔有一小段距離孔有一小段距離)，此截面上流速相互平行，為緩變流截面。 取小孔軸線所在的

20、水平面為基準(zhǔn)面，把整個容器看成一個大流管。取容器的液面為流管第一個截面，出流流束截面收縮到最小處為第二截面，并列伯努利方程 ：gvpzgvpz2222222111第35頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 36截面：截面：01v(近似)01p(表壓)hz 102z02p(表壓)vv 2(待求)解出小孔理想出流的速度公式：ghv2 可以看出水位高為h時，小孔的出流速度與高度為h的流體的自由落體的末速度相同。 實(shí)際上，因?yàn)檎承宰枇Φ挠绊?，出流速度小于此值，一般用一個流速系數(shù)來修正，則：ghvv2實(shí)際由實(shí)驗(yàn)確定，其值常在0.96之間。第36頁/共88頁第四章 理想流體動力

21、學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 37則實(shí)際流量是：ghaghaavQe22實(shí)際實(shí)際其中， 為流量系數(shù)。 在小孔出口,發(fā)生縮頸效應(yīng)。設(shè)縮頸處的截面積為 ，收縮系數(shù) ：aaeea 由實(shí)驗(yàn)測定，例如圓形孔口，其值為0.610.63。第37頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 38 應(yīng)用伯努利方程的原理可以制成各種測量流速或流量的儀器。文德利管就是其中的一種。實(shí)例2 文德利管文德利管(Venturi tube，一種流量計(jì))。 為了測量管中的流速或流量，可以在管道中串聯(lián)一段由入口段、收縮段、喉部和擴(kuò)散段組成管段，稱為文德利管，如圖所示。 在文丘里管入口斷面1和喉部處斷面2兩

22、處測量壓差，設(shè)斷面1、2的平均速度、平均壓強(qiáng)和斷面面積分別為 、 、 和 、 、 ，流體密度為 ，比壓計(jì)中流體密度為 。1v2v1p2p1A2Am第38頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 39 列1、2兩緩變流有效截面的伯努利方程：gvpzgvpz2222222111移項(xiàng)可得：221121222pzpzgvv又： 、 截面上為緩變流，壓強(qiáng)分布規(guī)律與U形管內(nèi)靜止流體一樣，可得： 1A2A3311pzpz4422pzpz則：44332211pzpzpzpz第39頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 40所以：那么：等壓面上：53pp hhh

23、zzpppzpzmm134454433hpzpzm12211hgvvm122122一個方程解不出兩個未知數(shù)，添加連續(xù)性方程。第40頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 41將：連續(xù)性方程 ：2211vAvA1212vAAv 代入：hgvvm122122解得：hgAAhgvm2112221111221AAm其中稱為流速系數(shù)：第41頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 42文德利管的流量公式為：hgAQ21實(shí)例3 汽化器汽化器。 汽化器的原理如圖所示，為收縮、擴(kuò)張的管道?？諝庥苫钊某槲饔脧淖杂纱髿庵形耄?xì)管將汽油自油箱引出來。第42頁/

24、共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 43 細(xì)管的一端，即汽油油滴的噴出口恰在汽化器的最狹斷面處。該處流速最高，壓力最低有一定的真空度，因此汽油能在該處汽化，并被吸入汽缸。 已知流量，汽化器的最小直徑為，汽油管外徑為，求汽化器的真空度。 解：取管軸為基準(zhǔn)線，把整個汽化器當(dāng)作一個流管，取汽化器入口前方的大氣為截面，管道最小截面處為截面(兩個緩變流截面)。第43頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 44 列、截面的伯努利方程：gvpzgvpz2222222111截面：01v(近似)app 101z截面：2224dDQv?2p02z故求得汽化器的真

25、空度為：2222228dDQppa 正是此真空度的存在，將汽油從油箱中吸出，噴入汽缸。第44頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 45gvpzgvpzBBBAAA2222其中：HppaA0BAzz? vvA實(shí)例4：畢托管畢托管(Pitot tube)和聯(lián)合測管。 畢托管是一種測定空間點(diǎn)流速的儀器。畢托管是彎成直角而兩端開口的細(xì)管。 如圖所示，測河道流速時，將畢托管一端迎向來流，另一端豎直向上。流體在管中上升，到達(dá)一定高度靜止，設(shè)高出液面h，求流速v。0Bv 沿入口前流線列A、B兩點(diǎn)的伯努利方程：hHhHppaB代入方程，解得：ghppgvAB22(B點(diǎn)稱為滯止點(diǎn)稱為

26、滯止點(diǎn)或駐點(diǎn)。點(diǎn)或駐點(diǎn)。)第45頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 46 如圖，若要測定管流液體中A點(diǎn)的流速v，在A點(diǎn)布置測壓管，可測出該點(diǎn)的靜壓，并在A點(diǎn)下游相距很近的地方放一根畢托管，一端的出口置于與A點(diǎn)相距很近的B點(diǎn)處，并正對來流，另一端向上。在B點(diǎn)處由于畢托管的阻滯，流速為0，動能全部轉(zhuǎn)化為壓能，畢托管與測壓管中液面高度差為h。 應(yīng)用理想流體定常流沿流線的伯努利方程于A、B兩點(diǎn)，并取AB連線所在平面作為基準(zhǔn)面，則有： Hh第46頁/共88頁 對于實(shí)際液體在應(yīng)用上式計(jì)算A點(diǎn)流速時，需考慮液體粘性對液體運(yùn)動的阻滯作用，以及畢托管放入流場后對流動的干擾，應(yīng)使用修

27、正系數(shù) ，對該式的計(jì)算結(jié)果加以修正。一般 小于1，即 式中 為流速系數(shù)，其值一般由試驗(yàn)率定。ghv2實(shí)際第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 47gvpzgvpzBBBAAA2222其中：HppaA0BAzz? vvA0BvhHppaB代入方程，解得：ghppgvAB22第47頁/共88頁其中， 為畢托管系數(shù)。第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 48 為了方便，可將測壓管和皮托管結(jié)合在一起，形成“聯(lián)合測管”，或稱普朗特管，如圖所示。 其原理為：ghppgvAB22實(shí)際h第48頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 49實(shí)例5 虹吸管虹

28、吸管。 如圖所示，為連接兩個水箱的一段虹吸管。已知管徑d=150mm,H1=3.3m,H2=1.5m, z=6.8m，設(shè)不計(jì)能量損失，求虹吸管中通過的流量及管道最高點(diǎn)處的真空值。 第49頁/共88頁管道流量：第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 50解：取 為基準(zhǔn)面，列0截面和2截面的伯努利方程：oogvHppHaa200221解方程得：s/m.)HH(gv94581892221s/ l.s/m.vdQ510105094515044322第50頁/共88頁真空度為：第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 51 列截面0和1的伯努利方程，可求得虹吸管頂點(diǎn)S處的真空度

29、。故S點(diǎn)的真空度水柱高為：gvpzpHSa2021水柱m.gvHzppSa35813386221241025359800m/N.ppSa第51頁/共88頁 伯努利解題思路：1.判斷是否滿足伯努利方程成立的條件；2.取基準(zhǔn)面；3.選流線上的兩點(diǎn)，或選兩個緩變流的有效截面；一般選在物理量已知、液面、無窮遠(yuǎn)處以及待求物理量處；4.列伯努利方程，確定物理量的值；有時與連續(xù)性方程、測壓儀器聯(lián)立求解；5.解方程。 注意的問題：1.同一基準(zhǔn)面,統(tǒng)一壓強(qiáng)形式(一般絕對或相對)；2.總流伯努利方程一定建立在緩變流有效截面。第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 52第52頁/共88頁4-5 動量定

30、理及動量矩定理動量定理及動量矩定理一、動量定理一、動量定理 Theorem of Momentum 工程中常見流體和物體之間的相互作用問題求作用力的合力或合力矩(對這些力的具體作用過程、分布狀況不感興趣)。這時應(yīng)用動量定理較為合適與方便。動量定理是動量守恒定律在流體力學(xué)中的具體表達(dá)。本節(jié)討論流體作定常流動時的動量變化和作用在流體上的外力之間的關(guān)系。Law of conservation of momentum第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 53第53頁/共88頁 此動量定理是按拉格朗日觀點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)系導(dǎo)出的，在流體力學(xué)中，需將其轉(zhuǎn)換成適合于控制體的形式(歐

31、拉法)。第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 54一般力學(xué)中動量定理表述為：系統(tǒng)動量的時間變化率等于作用在該系統(tǒng)上的所有外力的矢量和。Fdtkdvmk第54頁/共88頁 控制體：相對于所選坐標(biāo)系，在流場中任意選取形狀、大小任意，固定不動的空間。 控制面：控制體的邊界(可以是流體，固體)流體經(jīng)過控制面流入、流出。 通過控制面一般有流體質(zhì)量、動量、能量交換，控制體內(nèi)與控制體外的流體(或固體)存在作用力與反作用力。第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 55第55頁/共88頁 下面推導(dǎo)適合于控制體形式動量方程。 t時刻，在流場中取

32、一控制體體積為 ,控制面面積為 。 經(jīng)過時間dt以后，設(shè) 內(nèi)的流體質(zhì)點(diǎn)系移動到了新的位置(虛線所示)。第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 56經(jīng)過dt流體所產(chǎn)生的總動量變化為： tdtttdtttdttkkkkkkkd第56頁/共88頁 對于定常運(yùn)動時，公共區(qū)域內(nèi)動量是不隨時間變化的，即第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 57 tdtttdtttdttkkkkkkkd dttdtttdttkkkkkd 從物理意義上講，t+dt時刻體積所具有的動量等于經(jīng)過dt時間從控制面的流出面 流出的流體所具有的動量，即：2vdtdn

33、vkdtt22第57頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 58 dttdttkkkd 同樣地，t+dt時刻體積所具有的動量等于經(jīng)過dt時間從控制面的流入面 流入的流體所具有的動量，即： vdtdnvkdtt11則： 1212dvdtnvdvdtnvkkkddttdtt 我們注意到，上式中流入面 的法線方向 為控制面 的內(nèi)法線方向，將其改為外法線方向，則積分號前面加一負(fù)號“-”。1n1第58頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 59 dttdttkkkd動量的變化率為：dvnvdvnvdvnvdtkd

34、1212 代入動量定理，得：Fdvnv 上式即為定常流動的動量方程，表明定常流動，控制面上流體動量的變化率等于作用與控制面內(nèi)流體上的合外力。為矢量方程，在直角坐標(biāo)系下分解：zzyyxxFdvnvFdvnvFdvnv第59頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 60 應(yīng)用動量方程應(yīng)注意： 1. 矢量方程，將方程分解為坐標(biāo)軸方向，便于求解。 2. 合外力包括：周圍固體和流體的表面壓力及表面粘性力、質(zhì)量力等，不要漏掉。 3. 用分解坐標(biāo)軸下的動量方程求解時，應(yīng)注意力矢量、速度矢量分解后的正負(fù)值。 4. 適當(dāng)選取控制面： 的面，與速度垂直的面，速度及壓力分

35、布已知的面，等等。0nv第60頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 61二、動量矩定理二、動量矩定理 Theorem of moment of Momentum 動量矩定理是動量矩守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。用同樣的方法，可以導(dǎo)出流體作定常流動時的動量矩定理： Prdvrnv直角坐標(biāo)系下分解：xyxynzxzxnyzyznyPxPdyvxvvxPzPdxvzvvzPyPdzvyvv即繞某一點(diǎn)或某一即繞某一點(diǎn)或某一軸的動量矩變化率軸的動量矩變化率等于外力對同一點(diǎn)等于外力對同一點(diǎn)或軸的力矩之和?；蜉S的力矩之和。第61頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué)

36、 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 62 以上推導(dǎo)的動量定理和動量矩定理，適用于粘性流體，當(dāng)是理想流體時，表面粘性力為0。 下面舉幾個實(shí)例來說明動量定理和動量矩定理的應(yīng)用。實(shí)例實(shí)例6 一維不可壓縮定常流動的動量定理。一維不可壓縮定常流動的動量定理。1A2A1v2v1n2nP控制面 選取控制面如圖中虛線所示?？刂泼? 流管側(cè)面 + A1 + A21112222121AvvAvvAdvnvAdvnvAdvnvdvnvAAAA側(cè)面第62頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 631A2A1v2v1n2nP控制面連續(xù)性方程：12111222

37、vvQAvvAvvQAvAv2211因此：所以動量定理為：PvvQ12分解為：zzzyyyxxxPvvQPvvQPvvQ121212第63頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 64實(shí)例實(shí)例7 射流對傾斜平板的沖擊力射流對傾斜平板的沖擊力 。厚為 的二元流束以向平板AB沖擊，流速與平板的夾角為 ，求流體對平板的作用力。vsinvcosv0b1b2b1v2vABoenRn控制面控制面 選取控制面如圖中虛線所示。 沿平板的切向和法向取坐標(biāo)軸。 因整個射流暴露大氣中，故流體中壓力處處等于大氣壓力 。忽略重力的影響，由伯努利方程可知：ap21vvv0b(1

38、)第64頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 65設(shè)平板對流體的作用力為 ，其法向分量 ，而切向分量 (忽略流體粘性)，并假設(shè)沿坐標(biāo)軸正向。vsinvcosv0b1b2b1v2vABoenRn控制面控制面列立 方向和 方向的動量定理，有：nF00222111Fb )cosv( vb )v(vbvv0F方向：nFsinvvb00方向：Fnn(2)(3)PvvQ12第65頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 66vsinvcosv0b1b2b1v2vABoenRn控制面控制面又連續(xù)性方程：由于：2211

39、0bvbvvb21vvv所以：210bbb(4)聯(lián)立(1)、 (2) 、(3)和 (4)解得：0FRsinbvFRnn02012cos1bb022cos1bb其中：其中： 為流體對平板作用的切向分力為流體對平板作用的切向分力( (為零為零) )，總沖擊力，總沖擊力 沿平板法向。沿平板法向。 分別是流束沖擊平板后分為兩股流束的分別是流束沖擊平板后分為兩股流束的厚度?？梢钥闯霎?dāng)厚度?？梢钥闯霎?dāng) 是銳角時，是銳角時， 。因?yàn)樵诠諒澢市〉哪沁?，流體能順地因?yàn)樵诠諒澢市〉哪沁叄黧w能順地流過去，故有更多流過去，故有更多的流體擁向這邊，使的流體擁向這邊，使得曲率小的這邊流束厚。得曲率小的這邊流束厚。R

40、nR21b ,b21bb 第66頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 67vsinvcosv0b1b2b1v2vABoenRn控制面控制面 現(xiàn)取0為參考點(diǎn),用動量矩定理來求 作用點(diǎn)離開0點(diǎn)的距離e(假設(shè)為正)。xyxynyPxPdyvxvvnF2222212122221111220200210bvbvbvbvbvbvdyvxvvdyvxvvbbbxynxynnnnxyeFFeyFxFyPxP動量矩的變化：合外力矩：也可：寫動量矩和力矩時，也可：寫動量矩和力矩時，逆時針為正，順時針為負(fù)逆時針為正，順時針為負(fù)第67頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué)

41、4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 68vsinvcosv0b1b2b1v2vABoenRn控制面控制面則：解得：neFbvbv222221212tan20cbe式中的負(fù)號表示 作用點(diǎn)位于軸的負(fù)向上。nF第68頁/共88頁 例例 1 ： 如 圖 ， 有 一 水 平 放 置 的 變 直 徑 彎 曲 管 道 ，如 圖 ， 有 一 水 平 放 置 的 變 直 徑 彎 曲 管 道 ，d1=500mm，d2=400mm，轉(zhuǎn)角，轉(zhuǎn)角=45，斷面，斷面1-1處流速處流速v1=1.2m/s，壓強(qiáng)，壓強(qiáng)p1=245kPa（表壓），求水流對彎管的（表壓），求水流對彎管的作用力（不計(jì)彎管能量損失）。作

42、用力（不計(jì)彎管能量損失）。 解：因彎管水平放置，故此彎管液體所受重力在平面解：因彎管水平放置，故此彎管液體所受重力在平面內(nèi)投影分量等于零，沿管軸線取基準(zhǔn)面，則：內(nèi)投影分量等于零，沿管軸線取基準(zhǔn)面，則： 第四章 理想流體動力學(xué) 結(jié)束篇 69xRyRxR第69頁/共88頁 列列1、2斷面伯努利方程，得斷面伯努利方程，得 p2=243.96kPa 任設(shè)彎管對水流作用力任設(shè)彎管對水流作用力R的方向，如圖，它在的方向，如圖，它在x、y軸上軸上的投影分量為的投影分量為Rx、Ry。分別列兩坐標(biāo)軸方向的動量方。分別列兩坐標(biāo)軸方向的動量方程，則程，則 sm.ddvv8751405021222112sm.vAQ3

43、112360gvpgvp2020222211第四章 理想流體動力學(xué) 結(jié)束篇 70 xRyRxR第70頁/共88頁 水對彎管的作用力水對彎管的作用力R與彎管對水的作用力與彎管對水的作用力R是一是一對作用力與反作用力：對作用力與反作用力：kN.RsinvQRsinApkN.RvcosvQcosApRApyyxx99210402622212221140arctan4 .3422xyxRRkNRyRRRR第四章 理想流體動力學(xué) 結(jié)束篇 71xRyRxR方向沿方向沿x軸負(fù)向軸負(fù)向方向沿方向沿y軸負(fù)向軸負(fù)向合力：合力：RxRyR第71頁/共88頁例例2 2 灑水器如圖所示，噴嘴灑水器如圖所示，噴嘴a、b的

44、流的流量均為量均為2.810-43s，噴嘴的截面積均，噴嘴的截面積均為為1cm2，略去損失，試確定灑水器的轉(zhuǎn)速，略去損失，試確定灑水器的轉(zhuǎn)速。 解：從噴嘴噴出的水流速為解：從噴嘴噴出的水流速為 轉(zhuǎn)動起來后，兩噴轉(zhuǎn)動起來后，兩噴嘴出口水的絕對速度為嘴出口水的絕對速度為sm.AQv82101108244第四章 理想流體動力學(xué) 結(jié)束篇 72第72頁/共88頁 沒有外力作用于該系統(tǒng)，故沒有外力作用于該系統(tǒng)，故進(jìn)水管通過轉(zhuǎn)軸中心，對軸不產(chǎn)生動量矩，進(jìn)水管通過轉(zhuǎn)軸中心，對軸不產(chǎn)生動量矩，因此流出噴嘴的流體的動量矩必須為零，即因此流出噴嘴的流體的動量矩必須為零，即 解得：解得：2 . 08 . 22 . 0

45、 vva3 . 08 . 23 . 0 vvb0 xM02 . 0)2 . 08 . 2(3 . 0)3 . 08 . 2(Q18.10s第四章 理想流體動力學(xué) 結(jié)束篇 73第73頁/共88頁 例例3 3 阻力測定的試驗(yàn)中阻力測定的試驗(yàn)中( (如圖如圖) )，直，直徑為徑為d d的圓柱體浸沒于二維不可壓縮定常流的圓柱體浸沒于二維不可壓縮定常流場中，在控制面場中，在控制面( (圖示圖示) )邊界上測量速度和邊界上測量速度和壓力。在整壓力。在整個控制面上，個控制面上，壓力均勻，壓力均勻，x x向流速度近似向流速度近似如圖所示。如圖所示。試求如下定義試求如下定義的阻力系數(shù)：的阻力系數(shù)：第四章 理想流

46、體動力學(xué) 結(jié)束篇 74第74頁/共88頁解：取虛線解：取虛線1 11 12 22 2為控制面，為控制面，流入控制面的動量為：流入控制面的動量為：為流場的寬度。為流場的寬度。流出控制面的動量為：流出控制面的動量為：dvCD2021單位長度圓柱上的阻力20)42(vbda202020022002220202342)2()2(2vbdbdvvabbdyvydvvbdyydvvabdddd第四章 理想流體動力學(xué) 結(jié)束篇 75第75頁/共88頁 上式第一、二兩項(xiàng)為通過控制面上式第一、二兩項(xiàng)為通過控制面2-2流出的動量流出的動量,而第三項(xiàng)為通過控制面而第三項(xiàng)為通過控制面1-2流出的流出的動量在動量在x方向

47、上的投影。事實(shí)上方向上的投影。事實(shí)上1-2并非流線，有流體從并非流線，有流體從1-2面上流出。所以阻力為面上流出。所以阻力為 故阻力系數(shù)：故阻力系數(shù)： 202020202032422342bdvbvdabddbdvabbF342120dbvFCD第四章 理想流體動力學(xué) 結(jié)束篇 76第76頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 結(jié)束篇 77動量(動量矩)方程解題步驟(zhou)1.確定控制體或控制面；2.建立坐標(biāo)系，確定正方向；3.外力分析，假設(shè)待求的力的符號和方向；4.列方程，注意速度和力分量的正負(fù)號；5.解方程；6.寫出結(jié)論。第77頁/共88頁第四章 理想流體動力學(xué) 結(jié)束篇 78小結(jié)：一、概念一、概念位置水頭，壓力水頭，速度水頭，測壓管水頭，總水頭，總水頭線，緩變流，控制體，控制面二、方程二、方程1.拉格朗日積分式2.伯努利積分式3.動量定理4.動量矩定理Cgvpz22( (通用常數(shù)) )gvpzgvpz22222221