華東師大初中數(shù)學九年級下冊正多邊形和圓知識講解提高精選

1、正多邊形和圓一知識講解（提高）【學習目標】1. 了解正多邊形和圓的有關概念及對稱性；2 .理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系，會應用正多邊形和圓的有關知識畫正多邊形；3 .會進行正多邊形的有關計算.【要點梳理】要點一、正多邊形的概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.要點詮釋：判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：（1）各邊相等；（2）各角相等；缺一不可如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形（正方形是正多邊形）.要點二、正多邊形的重要元素1 .正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以

2、作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓.2 .正多邊形的有關概念（1） 一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.（2）正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.（3）正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.（4）正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.130°3 .正多邊形的有關計算H正n邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；（1）II360。正n邊形每個中心角的度數(shù)是；（2）II.正n邊形每個外角的度數(shù)是（3）要點詮釋：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉化為直角三角形.要點三、正多邊形的性質(zhì)1 .正多邊形都只有一個外接圓，圓有

3、無數(shù)個內(nèi)接正多邊形2 .正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2 n個全等的直角三角形 .3 .正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正 n邊形的中心；.當邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.4 . 邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方.5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓要點詮釋：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.要點四、正多邊形的畫法1 .用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因

4、此作相等的圓心角（即等分頂點在圓心的周角 ）可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應的正n邊形.2 .用尺規(guī)等分圓對于一些特殊的正n邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖D正四、八邊形.口）D在。中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形 .再逐次平分各么6的平分線交于E）就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊所對的弧 （即作/ AOB.邊形.正六、三、十二邊形的作法通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在。 。中，任畫一條直徑 AB,分別 以A、B為圓心，以。的半徑為半徑畫弧與。O相交于C、D和E、F,則A、C、E、B、F、

5、D是 。的6等分點. .等分點3的。是OD）、B、C或F（、E、A顯然，同樣，在圖（3）中平分每條邊所對的弧，就可把。O 12等分.要點詮釋：畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結各等分點【典型例題】 類型一、正多邊形的概念1 .如圖所示，正五邊形的對角線AC和BE相交于點M.(1)求證：AC/ ER (2)求證：ME= AE.【思路點撥】 要證AC ED和ME= AE,都可用角的關系去證，而如果作出正五邊形的外接圓，則 用圓中角的關系去證比較容易.【解析與答案】作出正五邊形的外接則一5EDC/ EAC=_ 21 = 108° , x 同理，1AB ° 72

6、 360° 的度數(shù)為，0(1)正多邊形必有外接圓,EAC的度數(shù)等于的度數(shù)的一半， /1 72° 2 72° ,/AED= 72° X 3 2： / EAC吆 AED= 180° ,2 2)/EMA= 180 /AEB- / EAC= 72/ EAM= / EMA= 72EA = EM【總結升華】 輔助圓是特殊的輔助線，一般用得很少，當有共圓條件時可作出輔助圓后利用圓的特殊性去解決直線型的問題.】5-6經(jīng)典例題：關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）356969 號：ID高清【.,于點FDC的中點，直線 BE交。0正方形2. （2015?威海模擬）如圖，

7、ABCD內(nèi)接于。O, E產(chǎn)若O O的半徑為，則 BF的長為56.【答案】5 LBF于點F, C【解析】解：連接BD, DF ,過點作CnJ O, OO的半徑為,正方形ABCD內(nèi)接于。V2 , BD=2 , , AD=AB=BC=CD=2 的中點，為 DCE CE=1 , . .描 BE=,. ，X /. 2V5 延 立延CN X BE=ECBC 曰，. . CN X =2 5,CN= 5, BN=. 55 Vl BN=EN=BE匕、v b b,=.的直徑，BD 為OO , ./BFD=90°,仁DEF： CEN EF=EN ,55 近=BF=BE+EF=.，+ 5 故答案為.此題主要

8、考查了正多邊形和圓以及勾股定理以及三角形面 積等知識，根據(jù)圓周角定理得出正多【點評】邊形邊長是解題關鍵.舉一反三：】經(jīng)典區(qū)J題3-4號：【高清ID356969關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）【變式】同一個圓的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形的周長的比等于（2:1 . D4 B3A .2. 2 C : . IV3 IV3【答案】B; 1,如圖（1）,連接OA OB過。作設圓的半徑為 OGLAB;六邊形 ABCD助正六邊形, ./AOB=60 ;眈,. OA=OB OGL AB, T36DPI- ./AOG=30 , .AG=OA?sin30° =1 x=,（或由勾股定理求） .AB=2AG=2&

9、lt; =1, .C=6AB=6. ABCD六邊形 如圖（2）連接 OA OB過O作OGLAB;36DP 六邊形 ABCD助正六邊形，1T ./AOB=6O ,60P,. OA=OB OF, AB,26 ./AOF=30° , 一.,（或由勾股定理求）2/30AG=OG?tan3O° = ：,:.類型二、正多邊形和圓的有關計算AB=2AG=2<. C=6AB=6X =4cm/3=6. : 42=: /3 V3ABCD六郵.圓的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形的周長的比3.（2016秋？欽州月考）已知。O和OO上的一點A .（1）作。O的內(nèi)接正方形 ABCD和內(nèi)接正六邊形 A

10、EFCGH ;內(nèi)接正十二邊形的一邊.O是ODE上，求證：AD在弧E）題的作圖中，如果點 1）在（2 （.【思路點撥】（1）根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的作法畫出圖形即可；（2）先求出/ DOE的度數(shù)，進而可得出結論.【答案與解析】（1）解：作法：作直徑AC;作直徑 BDLAC;依次連結A、B、C、D四點，四邊形ABCD即為。O的內(nèi)接正方形；分別以A、C為圓心，以 OA長為半徑作弧，交。于E、H、F、G;順次連結 A、E、F、C、G、H各點.六邊形AEFCGH即為。O的內(nèi)接正六邊形.3636(2)證明：連結 OE、DE .4AOE=60 ° ,AOD=90 ° , /. /DOE= /

11、 AOD / AOE=90 °60° =30 ° . .DE為。O的內(nèi)接正十二邊形的一邊.【總結升華】 本題考查的是正多邊形和圓, 關鍵.熟知圓內(nèi)接正四邊形及正六邊形的作法是解答此題的4.如圖（1）所示，圓內(nèi)接 ABC中,AB= BC= CA, OD OE為。的半徑，ODL BC于點 F, OE±1.的面積的 ABCOFCGGAC點，求證：陰影部分四邊形的面積是_ 3.圖（1）【答案與解析】連OA OR OC如圖（2）所示,圖C2）則 OA= OB= OG 又 AB= BC= CAAOAE OB竽 OCA11AC,FC=BC= AC于G,由垂徑定理得AQ,又ODL BC于FOE22COF . AG =CF.RtAOGRtAlS S SSS SS,_ABC AOG OCF OCGAOC OCG OFC®邊形3 總結升華 首先連接 OG根據(jù)垂徑定理的知識，易證得RtAOCGWRtAOCF設OG=a根據(jù)直角三角形的性質(zhì)與等邊三角形的知識，即可求得陰影部分四邊形OFCG的面積與 ABC的面積，繼而求得答案. 舉一反三：【變式】如下圖，若/ DOE保持120°角度不變，求證：當/DO遴著O點旋轉時，由兩條半徑和AABCI.的面積的 ABC的兩條邊圍成的圖形，圖中陰影部分的面積始