第二十二講復(fù)數(shù)排列組合教師

1、第二十二講：復(fù)數(shù)、排列組合【知識網(wǎng)絡(luò)】【典型例題】【方法總結(jié)】（1）由實(shí)數(shù)集拓展到復(fù)數(shù)集后，要關(guān)注實(shí)數(shù)中的規(guī)律那些可以推廣到復(fù)數(shù)集，那些規(guī)律僅限 于實(shí)數(shù)集卻無法推廣到復(fù)數(shù)集。（2）在因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)復(fù)數(shù)無法比大小，所以已知條件中給出的一般都是兩復(fù)數(shù)相等或者給出復(fù)數(shù)的模 （實(shí)數(shù)），從而復(fù)數(shù)的題目的 通法就是 把每一個(gè)復(fù)數(shù)寫成實(shí)部加虛部乘以i的代數(shù)形式，再利用兩復(fù)數(shù)相等的充要條件一一實(shí)部和虛部分別相等，轉(zhuǎn)化為含有兩個(gè)的實(shí)數(shù)方程的方程組；就是因?yàn)閺?fù)數(shù)中有兩個(gè)實(shí)數(shù)量（實(shí)部和虛部），所以復(fù)數(shù)很容易與有序?qū)崝?shù)對（x, y）聯(lián)系起來，很自然地與平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)、以及平面直角坐標(biāo)系中的向量及向量的坐標(biāo)聯(lián)系

2、起來；如果該復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部兩個(gè)變量之間有等式關(guān)系，當(dāng)然也可以與平面解析幾何中的曲線方程聯(lián)系起來。（3）復(fù)數(shù)內(nèi)解方程都可以利用通法解決，但實(shí)系數(shù)一元二次方程利用求根公式最簡便。（1） 對任意兩個(gè)復(fù)數(shù) x、y，若x2 y2 =0，貝V x = y =0 ；（2） 對任意兩個(gè)復(fù)數(shù) x、y，若x + y= 0,貝U x = y= O ；（3）對任意復(fù)數(shù)x，若x =1，則x =1或x = -1 ；（4）對任意兩個(gè)復(fù)數(shù) x, y，都與xy =|x|y ；（5） 對任意兩個(gè)復(fù)數(shù) x, y，都滿足x-yEx + yx+|y。上述命題中是真命題的序號是（2）（4）（5）。例、復(fù)數(shù)z =m 2i(m R)在復(fù)平

3、面上對應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第1象限。1 +2i一例、已知乙=1 3i,| Z2 = 2 , z, z2為純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)z2。1 +2i解：設(shè) Z2=(a+bi)(a、b R),則 Z1 Z2=(1+3i)(a+bi)=(a-3b)+(b+3a)i./ z1 z2 為純虛數(shù)， a-3b=0 ;且 b+3a 0，由上J 二旋，得乞 也 =：運(yùn).即、a2b2込、W。1 2i1 2i a = 3a = -3 a2+b2=10.由、解得丿 或丿o Z2=± (3+i)。b = 1 b = 1J點(diǎn)撥利用復(fù)數(shù)的模等于模的復(fù)數(shù)，可簡化運(yùn)算。例、已知關(guān)于x方程(4 3i)x2 ax，4-3i =0無實(shí)數(shù)解

4、，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是解：先求方程有實(shí)數(shù)根X的充要條件二4x 2ax0,解得a = _8. _8,a R。I 3x2_3=0,例、 關(guān)于z的方程z2+3 z+1+2i=0有實(shí)根，求3 的最小值。點(diǎn)撥求復(fù)數(shù)模的最值，可利用幾何意義，也可利用基本不等式。解：設(shè)方程實(shí)根為 X，則有x?+3 x+1+2i=0.T曰 于是 I.-,'二X21 2i X212=i.X21)2X(-2)2Xx4 2x2 1' min 2G 51)。例、已知復(fù)平面內(nèi)點(diǎn) A、B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是 乙=sin2v，i,z2二-cos2 i cos2，其中v (0,2二),T設(shè)AB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z。1(1)求復(fù)數(shù)z

5、; (2)若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)P在直線y X上，求V的值。2(1) z = z2 -乙=(-cos2 J -sin2 巧 i(cos2)-1) - -1 -2isin2二1 1(2) 點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-1,-2sin2", P在y=?x上，- 2sin2二.a1 a n 5兀7兀11兀=sin,，一2 6 6 6 6例、已知復(fù)數(shù)z = x + yi(x、yR)滿足z=|z22i ,則3X+3y的最小值為(b )。(A) 18( B) 6(C) 2 3( D) 2 . 33的最值。例、若z 十1 i =1,求 z 3 + 4i分析本例宜數(shù)形結(jié)合去解。解：由|z+1-i|=1，即|z-(-1+

6、i)|=1。它表示復(fù)數(shù) z所對應(yīng)的點(diǎn)在以 A (-1, 1)為圓心，1為半徑的圓上，而 |z-3+4i|=|z-(3-4i)|，它表示復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的和點(diǎn)B( 3,-4)之間的距離。圉 20- 1畫出圖形(見圖 20-1)，由點(diǎn)(-1，1 )為 A，( 3，-4)為 B。連結(jié) AB，則|AB|= .3匚口)L(=1)24。I z -3 如 Imax = 41 1，I z - 3 4i Imin = 41 - 1。點(diǎn)撥利用復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合圖形解決問題，直觀而清楚。例、方程x2 x 0的解為x2 x 2在復(fù)數(shù)集內(nèi)可分解為(x-1 - .3i2(2)方程3x2 -6(m -1)x m2 0的兩個(gè)根都

7、是虛數(shù)，且兩根的模之和為2,則實(shí)數(shù)m的值為(B)(A) 2(B) . 2(C)- '、2(D) ,2例、m R，關(guān)于x的方程x2 - (m - 4)x m = 0的兩根為、一：，且| 一： |=、7,2m =。1解： a、B R,：二 m 4,m.由2 ：2 2|=7,2(鳥心)2-2如，2| ：上 |=7. m2-8m 16-m |m| = 7.m 0時(shí),m2 -8m 9 二 0= m = 4 十：7.檢驗(yàn)，舍去 m = 4、7,得m = 4 - . 7.m ： 0時(shí),m210m 9 = 0= m=1或9,都舍去.設(shè)：=a bi, ： = a -bi ,2、a2 b2 =、7.： ：

8、 = m = a2 b2 = Z. m =-，檢驗(yàn) ：0。242綜合，得 m = 4 - '、7或m二7。2排列、組合【知識結(jié)構(gòu)】1、乘法原理：分步的理解2、加法原理：分類的理解解題原則：首先，明確這個(gè)問題的任務(wù)是什么？然后，是根據(jù)乘法原理的分步還是根據(jù)加法原理的分類(當(dāng)然有時(shí)要先分類再分步、或先分步再分類)。3、排列、組合只是根據(jù)乘法原理推導(dǎo)出的兩個(gè)常見模型，下面來了解兩個(gè)模型的使用條件和推導(dǎo)步驟：(1)從n個(gè)不同元素中取出 m(0 一 m_n)排成一排，叫做從 n個(gè)元素中取出 m個(gè)的一個(gè)排列，有多少個(gè)這樣不同的排列呢？這個(gè)數(shù)就叫做從n個(gè)元素中取出 m個(gè)的排列數(shù)，記作Pnm ? Pn

9、m等于什么?（2）從n個(gè)不同元素中取出 m（0乞m < n）放在一起，叫做從 n個(gè)元素中取出 m個(gè)的一個(gè)組合，有多少個(gè)這樣不同的組合呢？這個(gè)數(shù)就叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)的組合數(shù)，記作cn ？ cn等于什么？注意：排列與組合的區(qū)別；都是從 n個(gè)不同元素取m個(gè)，當(dāng)然m個(gè)也都互不相同?！镜湫屠}】例、2400有個(gè)正約數(shù)，有個(gè)正偶數(shù)的約數(shù)。5122400 = 235 ;第一步,2的選擇有20,21,.,25中選，有6種選法；第二步,3的選擇有30,31,中選，有2種選法；第三步,5的選擇有50,51,52中選，有3種選法；.6 2 3=36;21,.,25中選擇，有5中選法；5 2 3=30個(gè).

10、注意:任務(wù)明確后，要運(yùn)用分步或分類把任務(wù)創(chuàng)造性地轉(zhuǎn)化分解的。例、（1）3份不同的信件投入到 5個(gè)郵箱，有多少不同的投法？答案：53=125（2） 用1，2，3，4，5可以得到不同的3位數(shù)？答案：5125（3） 3份不同的信件投入到 5個(gè)郵箱，每封信投入到不同的信箱，有多少不同的投法？答案：P53 =60（4） 用1，2，3，4，5可以得到無重復(fù)數(shù)字的 3位數(shù)？答案：P/ =60【思考】自己出題目 答案是P3。如從5個(gè)人中選3人排成一排，有多少不同的排法？從5個(gè)人中選3人分別參加三個(gè)不同的會議，有多少不同選法？從5個(gè)人中選3人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、衛(wèi)生委員，有多少不同的安排方法？3個(gè)人座5個(gè)位子，有多少不同的座法 ？5塊地選3塊種植三個(gè)品種的小麥作對比試驗(yàn)，有多少不同的安排方法？例、5個(gè)人中選3個(gè)人參加一個(gè)會議，有多少不同的選法？答案：Cf -10【思考】自己出題目，答案是C；。如六張連在一起的票，