高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義《等差數(shù)列及其前n項和》

1、等差數(shù)列及其前等差數(shù)列及其前n n 憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點(diǎn)點(diǎn)從第二項起，每一項減去它的前一項所得的從第二項起，每一項減去它的前一項所得的差都等于同一個常數(shù)差都等于同一個常數(shù)公差公差 d d憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點(diǎn)點(diǎn)憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點(diǎn)點(diǎn)大大 小小憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點(diǎn)點(diǎn)整體思想在等差數(shù)列解題中的應(yīng)用整體思想在等差數(shù)列解題中的應(yīng)用1定義：定義： 2 通項公式：通項公式： na成成等等差差數(shù)數(shù)列列1(1)naand 1nnaa 常常數(shù)數(shù)21()22nddSnan00dn 當(dāng)當(dāng)時時, ,是是關(guān)關(guān)于于 的的常常數(shù)數(shù)項項為為 的的二二次次函

2、函數(shù)數(shù)式式. .11()(1)22nnn aan ndSna 3.前前 n 項和公式：項和公式： 10.ndSna 當(dāng)當(dāng)時時, ,2nSanbn.等差數(shù)列性質(zhì)：等差數(shù)列性質(zhì)：(1)()nmaanm d(2)mnpq 若若mnpqaaaa nmaadnm (3)若數(shù)列若數(shù)列an是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，則23243,kkkkkkkS SS SSSS 也是等差數(shù)列也是等差數(shù)列 0nnnnakk akab ，12，dkddd(4) 若數(shù)列若數(shù)列an bn是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，則仍為等差數(shù)列仍為等差數(shù)列.公差分別為公差分別為 2,nan( (5 5) )若若共共有有項項 則則1221()2()2n

3、nnnn aaSn aa SSnd 偶偶奇奇1nnSaSa 偶偶奇奇21(21)nnSna nSSa 奇奇偶偶1SnSn 偶偶奇奇.等差數(shù)列性質(zhì)：等差數(shù)列性質(zhì)： 2,1nna 若若共共有有項項 則則5.5.等差數(shù)列判定方法：等差數(shù)列判定方法：（1 1）定義法：）定義法：（2 2）遞推公式法：）遞推公式法：（3 3）通項法：）通項法：（4 4）前）前n項和法：項和法：1nnaa 常常數(shù)數(shù),naknbk b （其其中中為為常常數(shù)數(shù)）112nnnaaa 2()nSanbn a b , , 為為常常數(shù)數(shù)(2)若若a10，d0, 則則Sn有最小值，有最小值，6. 等差數(shù)列前等差數(shù)列前 n 項和的最值項和

4、的最值100nnaa 100nnaa (1)若若a10，d0，則，則Sn有最大值，有最大值，n可由可由 確定；確定；n可由可由 確定；確定；解解1.例例1.在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中，a1=25，S9=S17問這個問這個數(shù)列前多少項和最大？并求出這個最大值數(shù)列前多少項和最大？并求出這個最大值.917,SS 2(1)25( 2)262nn nSnnn 當(dāng)當(dāng)n=13時時, Sn的最大值為的最大值為169.9 817 169 2517 25,22dd 2.d 2(13)169,n 25 (1) ( 2)227.nann 1313 , S169.S 最最大大917,SS 9 817 169 251

5、7 25,22dd 解解2.2.d 122702250nnanan 解解，12.513.5 . n得得例例1.在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中，a1=25，S9=S17問這個問這個數(shù)列前多少項和最大？并求出這個最大值數(shù)列前多少項和最大？并求出這個最大值.解解3.3.917 SS , 1011121314151617 +0,aaaaaaaa 13144(+)0.aa 1413.aa 13140,0.aa an是遞減數(shù)列是遞減數(shù)列,當(dāng)當(dāng)n=13時時, Sn的最大值為的最大值為169.例例1.在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中，a1=25，S9=S17問這個問這個數(shù)列前多少項和最大？并求出這個最大值數(shù)列前

6、多少項和最大？并求出這個最大值.解法解法4:225.nSnn 139 17.2nSS 的的圖圖像像是是開開口口向向下下的的拋拋物物線線上上一一群群離離散散的的點(diǎn)點(diǎn)，最最高高點(diǎn)點(diǎn)的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)為為，即即最最大大917,SS 9 817 169 2517 25,22dd 2.d 例例1.在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中，a1=25，S9=S17問這個數(shù)列問這個數(shù)列前多少項和最大？并求出這個最大值前多少項和最大？并求出這個最大值.例例 在在等等差差數(shù)數(shù)列列中中，求求數(shù)數(shù)列列的的前前的的和和362.21,24,|.nnnaSSanT 113321:,61524adad 解解由由得得19.2ad 112

7、 .nan 令令得得1120,nan5.5.n 當(dāng)當(dāng)時時, ,5n12|nnTaaa 12naaa (9112 )2nn 210 ;nn 當(dāng)當(dāng)時時, ,5n 123456|nnTaaaaaaa 123456()()naaaaaaa 12345122()()naaaaaaaa 52nSS22 ( 510 5) (9112 )2nn 21050.nn nT 210 ,5,nn n 21050,5.nnn例例 在在等等差差數(shù)數(shù)列列中中，求求數(shù)數(shù)列列的的前前的的和和362.21,24,|.nnnaSSanT 例例3. 一個等差數(shù)列的前一個等差數(shù)列的前12項之和為項之和為354,前前12項項中偶數(shù)項與奇

8、數(shù)項之比為中偶數(shù)項與奇數(shù)項之比為32:27,求公差求公差.解解1: 設(shè)首項為設(shè)首項為a1，公差為，公差為d , 則則11112 1112354,26 56()2322.6 527622adaddad 5.d 解這個方程組解這個方程組,得得354,32,27SSSS 奇奇偶偶偶偶奇奇解解2.192,162.SS 偶偶奇奇6 ,SSd 偶偶奇奇由由5.d 得得例例3. 一個等差數(shù)列的前一個等差數(shù)列的前12項之和為項之和為354,前前12項項中偶數(shù)項與奇數(shù)項之比為中偶數(shù)項與奇數(shù)項之比為32:27,求公差求公差. 【1】在項數(shù)為】在項數(shù)為2n的等差數(shù)列中的等差數(shù)列中,各奇數(shù)項的和為各奇數(shù)項的和為75,

9、各偶數(shù)項為各偶數(shù)項為90,末項與首項的差為末項與首項的差為27, 則項數(shù)則項數(shù)2n的值的值為多少？為多少？ 15,(21)27,SSndnd 偶偶奇奇3,5.dn 3【2】已知某等差數(shù)列共有】已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之項，其奇數(shù)項之和為和為15，偶數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為30，則其公差為，則其公差為 . 【3】等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前10項之和為項之和為100，前，前100項之和為項之和為10，則前，則前110項之和為項之和為 .-110-110 【4】已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的前的前 m項和為項和為30,前前 2m項和為項和為100,則則 它的前它的前 3m項的和為項的和為_.

10、210210例例4.已知已知 且且 求求 . 21a1120.nnnnnaaaaa ，na1120nnnnnaaaaa 解解： 由由，且且，得得1112nnaa 令令 ,則數(shù)列則數(shù)列bn是公差為是公差為- -2的等差數(shù)列的等差數(shù)列.nnab11(1)nbbnd 15412(1)2nna ，2.5 4nan 例例5.已知數(shù)列已知數(shù)列an中，中， (nN*,aR, 且且a0). （1）若）若a=- -7，求數(shù)列，求數(shù)列an中的最大項和最小項的值；中的最大項和最小項的值； （2）若對任意的）若對任意的nN*，都有，都有ana6成立，求成立，求a的取值范的取值范圍圍.112(1)naan 可知可知1a

11、1a2a3a4; a5a6a7an1 (nN*).數(shù)列數(shù)列an中的最大項為中的最大項為a5=2,最小項為最小項為a4=0.112(2)11.2(1)22naanan 12( )122f xax 256,2a 對任意的對任意的nN*,都有都有 ana6 成立，成立，并結(jié)合函數(shù)并結(jié)合函數(shù) 的單調(diào)性，的單調(diào)性，108.a 例例5.已知數(shù)列已知數(shù)列an中，中， (nN*,aR, 且且a0). （1）若）若a=- -7，求數(shù)列，求數(shù)列an中的最大項和最小項的值；中的最大項和最小項的值； （2）若對任意的）若對任意的nN*，都有，都有ana6成立，求成立，求a的取值范的取值范圍圍.112(1)naan 【

12、2】已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中，中， 則則Sp+q的值為的值為_.,(),pqSq Sp pq ()pq【1】若】若 , 則則,pqaq ap _.p qa 0 02222()()ApBpqA pqB p qqpAqBqp . .()1A pqB 2()()().p qSA pqB pqpq 設(shè)設(shè)2(N )nSAnBn n 【2】已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中，中， 則則Sp+q的值為的值為_.,(),pqSq Sp pq ()pq由已知由已知11(1),2(1).2pqp pSpadqq qSqadp 1()(1)().2pqpqpq adqp 兩式相減得兩式相減得,pq111.2pqa

13、d 1(1)2)p qpqaSpqd ().pq 【2】已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中，中， 則則Sp+q的值為的值為_.,(),pqSq Sp pq ()pq【3】（ ） B B. 0, 098 aa 【1】已知等差數(shù)列】已知等差數(shù)列an中中,|a3|=|a9|,公差公差d0, 則使前則使前n項和取得最大值時項和取得最大值時n的值是的值是 .5 和和 639aa 39| |0aad 390aa620a56SS 【1】 成成等等差數(shù)列差數(shù)列, 則則x =_. 333log 2, log (21), log (211)xx 3332log (21)log 2log (211)xx 2(21)2(

14、211)xx 2(2 )42210 xx 27x 2log 7x. .2log 712【2】2121143824nnnnaSnbTn- - -+ +=- -337,2n= =+ +- -3 35,13,35.n故故 可可取取.21221nnnnSSSS 1.21nSn 21132214nnann 1111122(2)nnnnnnSSS SnSS 【補(bǔ)償【補(bǔ)償1】已知數(shù)列已知數(shù)列an中，中，11,0,naa 1221(1)0,N ,nnnnnanaaan 則則an=_.11(1)()0nnnnnaaana 1(01)nnnana 11nnanan 13211221nnnnnaaaaaaaaaa

15、122 113 21nnnn 1.n 1n13211221,2.nnnnnaaaaaa naaaa 【補(bǔ)償【補(bǔ)償2】已知數(shù)列已知數(shù)列an中中, a1=1,113 ,2nnnaan 122133331nn31.2n 則則an=_.33113n 312n 112211() ()()nnnnnaaaaaaaa 112211() ()()nnnnnaaaaaaaa 121321()()()nnnaaaaaaaa 1324ln()1231nan 2ln .n 2lnn 【5】(08 四川四川 文文) 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 an 中，中，a1=2, an+1=an+n+1, 則通項則通項 an= _. (1)12n n 解解: 由由an+1= an+n+1 可得，可得，以上以上n- -1個式子左右兩邊分別相加得，個式子左右兩邊分別相加得，123,naan 1(123)nan 1,nnaan 121,nnaan 323,aa212,aa(1)1.2n n (1)(1)算出前幾項，再歸納、猜想；算出前幾項，再歸納、猜想；(2)“(2)“an+1n+1= =pan n+ +q”這種形式通常轉(zhuǎn)化為這種形式通常轉(zhuǎn)化為an+1+1+ + = =p( (an+ +),),由待定系數(shù)法求出由待定系數(shù)法求出, ,再化為等再化為等 比數(shù)列；比數(shù)列；(3)(3)逐差累加或累乘法逐差累加或累乘法. . 已知