第五章隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)

1、第五章第五章 隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)u 功率譜估計(jì)的經(jīng)典和現(xiàn)代方法功率譜估計(jì)的經(jīng)典和現(xiàn)代方法u AR模型法的功率譜估計(jì)u AR模型法的主要性質(zhì)u Yule-Walker方程的Levinson Durbin求解算法u 格型濾波器u AR模型參數(shù)提取算法u 噪聲對AR譜估計(jì)的影響u ARMA和MA模型法簡介u 白噪聲中正弦波頻率的估計(jì)1u隨機(jī)信號不能直接進(jìn)行傅立葉變換，但平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間存在傅立葉變換關(guān)系；u隨機(jī)信號的功率譜與確定信號的頻譜作用類似，是隨機(jī)信號的頻域特征分析；u隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)在通信系統(tǒng)分析、噪聲監(jiān)測、信號檢測、 模式識別、機(jī)械故障診斷

2、等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛； u依據(jù)有限的N個樣本觀測數(shù)據(jù)對平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度進(jìn)行估計(jì)。u隨機(jī)信號的譜估計(jì)分為：1.1. 經(jīng)典譜估計(jì)經(jīng)典譜估計(jì)2.2. 現(xiàn)代譜估計(jì)現(xiàn)代譜估計(jì)關(guān)于信號的頻域分析關(guān)于信號的頻域分析2經(jīng)典譜估計(jì)經(jīng)典譜估計(jì) u基本思想：基本思想：以傅立葉變換為基礎(chǔ)，附以平均、加窗、平滑等預(yù)處理或后處理；u主要方法主要方法：周期圖法（BT法）、間接周期圖法； u優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：簡單易行、計(jì)算效率高；u缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：存在分辨率低、旁瓣效應(yīng)、估計(jì)精度不高，短數(shù)據(jù)時更為突出；u適用范圍：適用范圍：長數(shù)據(jù)序列；u相互關(guān)系：相互關(guān)系： 二者均等效為進(jìn)行矩形加窗處理，均可通過加窗函數(shù)改善性能； 二者均適合采用F

3、FT算法； 二者存在頻率分辨率低的致命缺點(diǎn)，且窗函數(shù)改善無效。32|( )|( )limTTFSTFTIFT( ),( )( )()220, TTTTTfttftftF其 他確定信號 的功率譜密度：( )f t平穩(wěn)離散隨機(jī)信號x(n)的功率譜密度：1() () ( )()2 ()()jmxxjmxxmRmE x nm x nSedSRm e21( )(0)= ( )()2xxx nRE xnSd的功率：x(n)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度存在傅立葉變換關(guān)系( )xS表示功率在頻域分布的譜密度！4如果隨機(jī)信號x(n)是各態(tài)遍歷的，集平均自相關(guān)函數(shù)可以由一個取樣時間序列的時間平均自相關(guān)函數(shù)替代： 1(

4、)() ( )21limNxNnNRmx nm x nN101( )() ( ), 1NmxnRmx mn x nmNN (有偏、漸進(jìn)無偏)101( )() ( ), 1NmxnRmx mn x nmNNm (無偏估計(jì)) 實(shí)際中信號自相關(guān)函數(shù)需要有限樣值 估計(jì)：(0), (1), (1)xxx N 稱為取樣自相關(guān)函數(shù)取樣自相關(guān)函數(shù)。( )xRm5 自相關(guān)法自相關(guān)法(B-T(B-T法）法）直接周期圖法直接周期圖法 1958年，Blackman 和 Tukey提出。先估計(jì)信號的自相關(guān)函數(shù)，再求出信號的功率譜密度估計(jì) ： (0), (1), (1)( )( )xNxxxxx NR mS 間接周期圖間

5、接周期圖(Periodogram)(Periodogram)法法: :取樣自相關(guān)函數(shù)實(shí)際上是下x(n)與x(-n)的卷和,即1( )( )()xRmx nxnN*211( )( )( )|( )|xSXXXNN間接周期圖法有兩種理解：(1)對信號進(jìn)行加窗處理得xN(n)，再進(jìn)行離散傅立葉變換得X()，再求模的平方得功率譜密度；(2)對信號xN(n)進(jìn)行周期延托，再計(jì)算功率譜密度。6( )( )( ) (0), (1), (1)Nx nxnx nxxx N2101()( )NjnxnSx n eN直接相關(guān)法和間接周期圖法得到的譜估計(jì)相同。1(1)( )( )Nj mxxmNE SE R m e2

6、( )( )j mNxmgm R m e1(1)( )Nj mxmNR m e21,|-1()0, NmNgm其中其它21( )( )( )( )2xNE SGSS(有偏，漸進(jìn)無偏)對x(n)加窗處理：( )X21|( )|XNFFT( )Nxn7主要缺點(diǎn)：主要缺點(diǎn)： u相關(guān)圖法主觀認(rèn)為未觀測數(shù)據(jù)都等于0，造成頻譜能量的泄漏；u假設(shè)數(shù)據(jù)是以N為周期的周期性延拓，把不真實(shí)的信息加于時間序列之上，頻率分辨率低。常用改進(jìn)方法：常用改進(jìn)方法： 改進(jìn)數(shù)據(jù)加窗方法，降低譜的旁瓣泄露：將矩形窗改為其他窗函數(shù)，如：漢寧(Hanning)窗 、漢明(Harmming)窗、布拉克曼(Blackman)窗、三角窗(

7、Bartlett)、凱塞窗(Kaiser)等。 對B-T法的相關(guān)函數(shù)加窗：()()()jmxxmSw m Rm e窗函數(shù)8u 將長度為N的序列分K段，每段長為M，分別對每段進(jìn)行譜估計(jì)，再進(jìn)行總平均，得平均周期圖(如下圖)。u 如各段數(shù)據(jù)相互獨(dú)立，則所得估計(jì)的方差為原來不分段時的 。缺點(diǎn)是點(diǎn)數(shù)減少，分辨率進(jìn)一步惡化。 修正周期圖法(分段平均)(Welch，1967)( )11()()KkxxkSSK01N 2k M1k MkKM(1)( )xS(2)( )xS()( )KxS為改善點(diǎn)數(shù)減少惡化頻率分辨率的缺陷，常對數(shù)據(jù)進(jìn)行交疊分段，并進(jìn)行功率譜平均，如下圖： 01N 3k M1k MkKM2k

8、21 K9現(xiàn)代譜估計(jì)現(xiàn)代譜估計(jì)u數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：以隨機(jī)過程或信號的的參數(shù)模型為基礎(chǔ)，又稱為參數(shù)模型法或參數(shù)法。u主要發(fā)展：從非工程領(lǐng)域(如實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù)的處理、統(tǒng)計(jì)學(xué))的時間序列分析到工程領(lǐng)域的現(xiàn)代譜估計(jì)；現(xiàn)代譜估計(jì)始于上世紀(jì)60年代，主要經(jīng)歷了以下階段： 線性預(yù)測濾波 最大熵譜估計(jì)(Burg,1967) 自回歸(AR)譜估計(jì)方法(1968，Parzen) Pisarenko諧波分解 多重信號分類算法(MUSIC,1981，Schimit) HOS方法10功率譜估計(jì)的參數(shù)法（現(xiàn)代譜估計(jì)）功率譜估計(jì)的參數(shù)法（現(xiàn)代譜估計(jì)）參數(shù)法譜估計(jì)有理譜模型線譜模型（諧波）AR模型ARMA模型MA模型uAR模型

9、(全極點(diǎn)模型)uMA模型(全零點(diǎn)模型)uARMA模型00( )( )( )qkkkpkkkb zB zH zA za z011( )( )pkkkH zA za zqkkkzbzBzH0)()(11任何平穩(wěn)隨機(jī)信號x(n)都可以看成由白噪聲序列 激勵一個因果和穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)H(z)產(chǎn)生的輸出。 ( )u n( )H z( )u n( )x n平穩(wěn)隨機(jī)信號模型 任何有限方差的廣義平穩(wěn)過程可以分為完全隨機(jī)的部分和確定的部分，完全隨機(jī)部分對應(yīng)的功率譜為連續(xù)； 確定的隨機(jī)過程完全可以通過過去無限個取樣值加以預(yù)測； 任何ARMA過程或AR過程可以用無限階的MA過程來表示；任何ARMA過程或MA 過

10、程可以用無限階的AR過程來表示。譜分解定理及其推論是譜分解定理及其推論是參數(shù)法譜估計(jì)的理論基礎(chǔ)參數(shù)法譜估計(jì)的理論基礎(chǔ)12u 功率譜估計(jì)的經(jīng)典和現(xiàn)代方法u AR模型法的功率譜估計(jì)模型法的功率譜估計(jì)u AR模型法的主要性質(zhì)u Yule-Walker方程的Levinson Durbin求解算法u 格型濾波器u AR模型參數(shù)提取算法u 噪聲對AR譜估計(jì)的影響u ARMA和MA模型法簡介u 白噪聲中正弦波頻率的估計(jì)第五章第五章 隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)13AR模型參數(shù)估計(jì)法的功率譜估計(jì)：模型參數(shù)估計(jì)法的功率譜估計(jì)：21( )( -( )(0,)(pkku nx na x n kNu n

11、式中，222-2111( )( )( )( )1|1|uppkjkkkkkH zSH zSa za eu基本原理：根據(jù)隨機(jī)采樣樣本x(0), x(1) x(N1) 估計(jì)隨機(jī)時間序列的功率譜密度：u求解方法(分三步)： 模型階數(shù)p不確定時數(shù)學(xué)上很難處理，因此先假定p，求模型參數(shù)。 階數(shù)p已知時，對模型兩邊同求某種統(tǒng)計(jì)特征以將隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化為確定性的量。14對各種階數(shù)下的模型進(jìn)行比較，應(yīng)用某種準(zhǔn)則估計(jì)選擇最好的模型(得階數(shù)p、ak及 )。2u AR(p)模型的Yule - Walker方程組：2121(0)(1)(2)( )(1)(0)(1)(-1)0(2)(1)(0)(-2)0( )(-1)(-2

12、)(0)0pRRRR paRRRR paRRRR paR pR pR pR 15u功率譜估計(jì)步驟：N個樣值x(0),x(1)x(N-1)模型參數(shù)和誤差功率212 ( ,)pa aa估計(jì)自相關(guān)函數(shù) (0), (1), ( )RRR p功率譜密度2-21( )/ |1|kpjkkSa e16u AR模型階數(shù)的選擇：階數(shù)對估計(jì)性能的影響n階數(shù)選得太低，功率譜被平滑太厲害，無法分辨真實(shí)峰(P130圖4.3)；n階數(shù)選得太高，譜分辨率提高，但產(chǎn)生虛假峰(P130圖4.4)。n也可用以下matlab源程序驗(yàn)證：N=512;Nfft=1024;Fs=2*pi;n=0:N-1;xn=cos(0.3*pi*n)

13、+ cos(0.32*pi*n)+randn(size(n);order=10;figure(1)pburg(xn,order,Nfft,Fs)title(Burg Algorithm,p=10)order=100;figure(2)pburg(xn,order,Nfft,Fs)title(Burg Algorithm,p=100)選擇方法：1.實(shí)驗(yàn)方法：觀察擬合誤差法。2.分析方法： 最終預(yù)測誤差（FPE）準(zhǔn)則。 Akaike信息準(zhǔn)則（AIC）。 判別自回歸傳輸函數(shù)（CAT）準(zhǔn)則。17221( )(, )1kkNkFPR kfkNk定義：最終預(yù)測誤差N為觀測數(shù)據(jù)長度。使上式最小化的階數(shù)k即為

14、最優(yōu)階數(shù)最優(yōu)階數(shù)。FPE準(zhǔn)則得到模型階數(shù)一般偏低。(1) 最終預(yù)測誤差(Final Prediction Error, FPE)準(zhǔn)則(2) Akaike信息準(zhǔn)則(Akaike Information Criteria, AIC）2( )ln2kAIC kNk使上式最小化的階數(shù)k即為最優(yōu)階數(shù)。AIC準(zhǔn)則得到模型階數(shù)一般偏高。(3) 判別自回歸傳輸函數(shù)準(zhǔn)則(Criteria Autoregressive Transfer Function, CAT)18估計(jì)性能：估計(jì)性能：精確分析很困難，只能給出大樣本理論的近似關(guān)系。u估值的均值（N，p ）：u估值的方差（N，p ）： ( )( )E SS224

15、( ) , 0, ( )2( ) , pSNVar SpSothersN22221111CAT( ) (kjjjjkNkNNj其中）最小化上式得最優(yōu)階數(shù)。19第五章第五章 隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)u 功率譜估計(jì)的經(jīng)典和現(xiàn)代方法u AR模型法的功率譜估計(jì)u AR模型法的主要性質(zhì)模型法的主要性質(zhì)u Yule-Walker方程的Levinson Durbin求解算法u 格型濾波器u AR模型參數(shù)提取算法u 噪聲對AR譜估計(jì)的影響u ARMA和MA模型法簡介u 白噪聲中正弦波頻率的估計(jì)20性質(zhì)性質(zhì)1：隱含著自相關(guān)函數(shù)的外推：隱含著自相關(guān)函數(shù)的外推估計(jì)功率譜與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系：令：利用譜

16、分解定理，并考慮功率譜與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系：-0101 ( )( )( )1, 1ppkkkkkkH zA zA za za za 為因果系統(tǒng)21-( )( )( ) ()mxxmSzR m zA z A z 211- ( )( )(1/ )mxmA zR m zAz ( )(0) lim ( ) 1, 0(- )( ) zH zhH zmh mm因?yàn)闉V波器是因果的，且故當(dāng)時,212*2()( ) , 0(1/ )hmmfor mAz 左邊：211-0 ( )( )* ( )()pmmkmkA zR m zaR ma R m k 右邊： 20 ( ) (), 0pkkma R m kfor m

17、故有： 201( )( )(), 0 (1)pkkR mma R mkfor ma 設(shè)2111-(- ) , 0-(- ) , 1,2,-(- ) , ( ) ()kkkpkpkpka R m ka R m kma R m kmpR mRpmm自相關(guān)函數(shù)偶對稱22結(jié)論： AR譜估計(jì)是將有限個自相關(guān)函數(shù)值按照Yule - Walker方程進(jìn)行外推后進(jìn)行傅立葉變換得到的結(jié)果。 由于AR譜估計(jì)將自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行了外推，克服了經(jīng)典譜估計(jì)方法加窗導(dǎo)致分辨率低和旁瓣“泄漏”的問題，因此，AR譜估計(jì)有高的分辨率。ker( )( )1( )Yule WalR mR mmNR m此式與方程相同，只是用代替了。即：

18、對于的不是簡單假設(shè)為零，而是按表達(dá)式外推，更合理！23性質(zhì)性質(zhì)2：與最大熵譜估計(jì)等效：與最大熵譜估計(jì)等效最大熵譜估計(jì)的提出(Burg)：u經(jīng)典譜估計(jì)方法具有分辨率低和旁瓣“泄漏”的問題。其根本原因是自相關(guān)函數(shù)加窗，這樣克服這些問題必須對自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行外推。uBurg提出以最大熵作為自相關(guān)函數(shù)外推的準(zhǔn)則，其合理性在于這樣處理后，時間序列的隨機(jī)性最大、對自相關(guān)函數(shù)的約束最少、功率譜最平坦。信息熵 (Entropy)是信息論中的一個非常重要的概念，是信號含信息量的度量，表征了信息發(fā)生的隨機(jī)程度。信息量：事件X，事件 發(fā)生時(概率 )，包含的信息 以e為底的信息量單位為nat (奈特)；以2為底的單位

19、bit (比特)kXxkP1()loglogkkkI xPP 24信息量的以下幾個性質(zhì)是顯然的：01, ()0 (kkPI x1 .若 則肯定發(fā)生的事件發(fā)生時，不帶來任何信息)；02 . ()001 ,kkI xP任何事件發(fā)生時，都不會造成信息的丟失；0,()()kjkjPPI xI x3 .若則。熵：熵：平均信息量稱為熵，記為H(X)()()logkkkkkkxxH XP I xPP 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則：()( ) ( )( )log( ) ( )H Xp x I x dxp xp x dxE I x 25121121 ( )exp()(2 )det ( )ln( ) ln(exp()

20、ln(2 )ln(det)2 TNTxNxTxNxp xx RxRH xEp xNEx R xxRxx 設(shè) 維零均值正態(tài)隨機(jī)矢量，則1ln(2 )ln( )lndet)2 ln(2 )ln(det)2( )ln( )det( ) (d1( )ln()2et)xxTxNxxxxxxNRNNRH xSRSHExSSdHRxxR也就是說，定義：信號的功率譜熵為：26已知 共2p+1個樣本相關(guān)函數(shù)，使( ),0, 1,xR kkp( )maxxH S問題：求 ( )xS()()1max( )maxln( )21( )( )( ), 0, 1,2xxxxSSj kxxxH SSdR kSedR kkp約

21、束優(yōu)化問題：約束條件：與相關(guān)函數(shù)相匹配與相關(guān)函數(shù)相匹配11( )ln( )( )( )22pj kxxkxxkpJ SSdR kSed拉格朗日約束多項(xiàng)式：27( )110( ) ( )kxxkppj kj kxkkkpkpJ SSSee與與ARAR功率譜等價功率譜等價實(shí)際上，由Fejer-Riesz定理(證明需用泛函知識)：( )( )ppkj kkkkpkpjz eW zzWe 220( )( )piiiW zA za z若 ，則一定可以找到一個 滿足( )0W0( )piiiA za z而且若 的根全部在單位園內(nèi)，則A(z)是唯一確定的。故有：( )0A z 282011( ) xppj

22、kj kkkkpkSea e1( )( ), 0, 1,21ln( )( ), 0, 1,2j kj kSedR kkpSedC kkp相關(guān)函數(shù)匹配：約束條件倒譜匹配：1ln( )max2Sd11( )ln( )( )( )221 ( )ln( )2pj kkkpqj kkkqJSdR kSedC kSed更深一步，功率譜(spectrum) 和 倒譜(cepstrum)( )Sln( )S( )qpj kj kkkkqkpSee與與ARMA功率譜等價功率譜等價29結(jié)論： AR譜估計(jì)相當(dāng)于對自相關(guān)函數(shù)以序列信息熵最大為原則進(jìn)行外推后進(jìn)行傅立葉變換的結(jié)果； AR譜估計(jì)相當(dāng)于在p+1個自相關(guān)函數(shù)值

23、確定的情況下，以功率譜密度最平坦為準(zhǔn)則得到的估計(jì)結(jié)果； AR譜估計(jì)相當(dāng)于在p+1個自相關(guān)函數(shù)值約定情況下，以功率譜熵最大為準(zhǔn)則得到的估計(jì)結(jié)果。性質(zhì)性質(zhì)3：與最佳線性預(yù)測譜估計(jì)等效：與最佳線性預(yù)測譜估計(jì)等效1( )()pkkx na x nk 2, 1, 2 Min( )( ( )- ( ) kakpnEx nx n最佳問題的定義：最佳線性預(yù)測譜估計(jì)：用隨機(jī)時間序列x(n)前p個時刻的值的線性組合來預(yù)測當(dāng)前值，即：30min11() , 0( )() , 0pkkpkka R mkmR ma R mkmu 最佳線性預(yù)測濾波器權(quán)系數(shù)等于AR模型參數(shù)，最小預(yù)測誤差功率min等于AR模型中激勵噪聲方差

24、2。u 上式還與AR(p)模型的Yule -Walker方程組相同。若二者自相關(guān)函數(shù)相同，則解必然相同。線性預(yù)測結(jié)果：預(yù)測誤差濾波器：預(yù)測誤差濾波器：1-1 ( )( )()( )( ) )1)(pkkpkkkAe nx na x nkE zX zA za zz 式中，于是22min-01|()|( )( )2jxnA eSdE e n31結(jié)論： AR譜估計(jì)相當(dāng)于用時間序列前p個時刻的值在最小均方誤差準(zhǔn)則下來預(yù)測當(dāng)前值并作為外推后值進(jìn)行譜估計(jì)的結(jié)果。 預(yù)測誤差濾波器傳輸函數(shù)A(z)是模型參數(shù)確定的最小相位多項(xiàng)式。(1)x(0)x( )x n(1)x n()x np( )x nN已知 個數(shù)據(jù)外推

25、( +1)x n性質(zhì)性質(zhì)4：等效于輸入序列的最佳白化處理：等效于輸入序列的最佳白化處理u AR模型的輸入信號為白噪聲，線性預(yù)測相當(dāng)于AR模型的逆系統(tǒng)模型；u AR譜估計(jì)與最佳線性預(yù)測譜估計(jì)等效，若最佳線性預(yù)測輸出的誤差信號接近于白噪聲，則AR譜估計(jì)與輸入序列的白化處理等效；u 通過“譜平坦度” 衡量誤差預(yù)測濾波器輸出的誤差信號的白化程度。32譜平坦度：譜平坦度：隨機(jī)時間序列x(n)的譜平坦度定義為：-1expln ( )2011( )2xxxxSdSd( )1xxxS是的幾何均值與算數(shù)均值之比。越大，譜越平坦。特別地，白噪聲的。-, 1, 2 -1expln ( )2 1( )2keeakpe

26、SdMaxSd問題的描述：問題的描述：預(yù)測誤差濾波器A(z)為最小相位濾波器，輸入時間序列x(n)經(jīng)線性預(yù)測后的輸出誤差序列為e(n)，求解以下優(yōu)化問題：33問題的求解：問題的求解：2-1ln |A()| d02-211ln ( )ln |( )|( )221 ln ( )2exxSdASdSd-11expln ( )expln ( )2211( )( )221( )(0)21(0)( )2exeeexxxxeeSdSdSdSdSdRRSdu 若要使e最大，則Re(0)要最??；u 預(yù)測誤差譜平坦度最大(白化度最大)等效于預(yù)測誤差功率最小；u AR譜估計(jì)器等效于對輸入時間序列的白化處理。34結(jié)論

27、：AR譜估計(jì)等效于預(yù)測誤差最佳白化處理；根據(jù)預(yù)測誤差的白化程度可以判斷時間隨機(jī)序列對AR(p)模型的符合程度。AR模型法譜估計(jì)主要性質(zhì)小結(jié)：1. 相當(dāng)于根據(jù)Yule - Walker方程組對自相關(guān)函數(shù)值外推后進(jìn)行傅立葉變換的結(jié)果；2. 相當(dāng)于對隨機(jī)時間序列以最大熵準(zhǔn)則外推后估計(jì)信號的功率譜密度；3. 相當(dāng)于對隨機(jī)時間序列以最佳線性預(yù)測外推后估計(jì)信號的功率譜密度；4. 估計(jì)的功率譜密度是有限數(shù)量自相關(guān)函數(shù)值條件下最平坦的功率譜密度；5. 功率譜估計(jì)等效于對輸入時間序列進(jìn)行最佳白化處理。35第五章第五章 隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)u 功率譜估計(jì)的經(jīng)典和現(xiàn)代方法u AR模型法的功率譜估

28、計(jì)u AR模型法的主要性質(zhì)u Yule-Walker方程的方程的Levinson Durbin求解算法求解算法u 格型濾波器u AR模型參數(shù)提取算法u 噪聲對AR譜估計(jì)的影響u ARMA和MA模型法簡介u 白噪聲中正弦波頻率的估計(jì)36關(guān)于Yule Walker方程組的求解： 求解AR(p)模型的Yule - Walker方程組的常規(guī)方法運(yùn)算量大（p3級）； 計(jì)算結(jié)果僅為p階模型的參數(shù)； Yule - Walker的系數(shù)矩陣很有規(guī)律性，可以構(gòu)造迭代算法進(jìn)行遞推求解，以減少計(jì)算量。設(shè)已經(jīng)迭代求得了AP(k)模型的參數(shù)：2,1,2,kkk kkaaa需要用AP(k)模型的參數(shù)求出AP(k1)模型的參

29、數(shù)：21,11,21,11kkkkkaaa372,1,1(0)(1)( )(1)(0)( -1)0( )( -1)(0)0kkk kRRR kaRRR kaR kR kR也就是說，已知k步的參數(shù)滿足（條件方程組條件方程組）：需要求解（k+1）步目標(biāo)方程組目標(biāo)方程組的參數(shù)：211,11,1,11(0)(1)( )(1)(1)(0)( -1)( )0( )( -1)(0)(1)0(1)( )(1)(0)0kkkkkkRRR kR kaRRR kR kaR kR kRRaR kR kRR 38,00(1- ) , 1kkk ikiDa R kia式中，為此，由條件方程組構(gòu)建擴(kuò)大方程組擴(kuò)大方程組：2,

30、1,(0)(1)( )(1)1(1)(0)( -1)( )0( )( -1)(0)(1)0(1)( )(1)(0)0kkk kkRRR kR kRRR kR kaR kR kRRaR kR kRRD 將擴(kuò)大方程組與目標(biāo)方程組比較，發(fā)現(xiàn)模型參數(shù)缺少一個自由度，故利用Toeplitz性質(zhì)再由擴(kuò)大方程組構(gòu)造一個預(yù)備方程組，為增加自由度創(chuàng)造一個條件：39,12(0)(1)( )(1)00(1)(0)( -1)( )0( )( -1)(0)(1)(1)( )(1)(0)1kk kkkDRRR kR kRRR kR kaR kR kRRaR kR kRR 預(yù)備方程組：預(yù)備方程組：目標(biāo)解由擴(kuò)大方程組的解和預(yù)

31、備方程組的解線性表示，即構(gòu)成模型系數(shù)的迭代關(guān)系式：1,1,1,111,1,1,11111001kkkik ikk kkkkk kkkk kikaaaaaaaaaa (1,2, )ik反射系數(shù)40111222221221120000(1)kkkkkkkkkkkkkkkDDDD顯然，方程組間的右邊列矢量也滿足對應(yīng)的線性關(guān)系，由此得到模型參數(shù) 的迭代關(guān)系式，即：2k2,1(0)( )kkk iiRa R i式中，小結(jié)：(1)Y-W方程組求解的L-D算法過程是一個從AR(1)到AR(p)的迭代過程；(2)迭代計(jì)算需要 或 可獲得p組模型參數(shù)(包括系數(shù)和噪聲方差)；(3)利用模型參數(shù)可估計(jì)對應(yīng)階AR模型

32、的時間序列功率譜。( )R m( )R m41設(shè)已經(jīng)得到AR(k)模型的參數(shù)，迭代求AR(k+1)模型參數(shù)的步驟共6步：102,10,000120222101,1,101,111 .(0)( );2 .(1),1;3 .;4 .(1);5 .(1,2, );6 .()kkkk iikkk ikikkkkkkik ikk kikkkRa R iDa R kiaDaaaika 由系數(shù)迭代關(guān)系的最后一個方程42L-D迭代算法的實(shí)現(xiàn)流程圖：(1)R k ( )R k(1)R k (2)R(1)R( )R k(1)R k (2)R(1)R11,1ka,1ka,2ka,2ka,1k ka,1k ka,k

33、ka,k ka1k1k1k1k21k2k12(1)k1,kka1,1kka1,2ka1,1ka21k11,1kkka (0)RkD43222212,022,12,220,01,02,031( )(0)1(1)(2)42(2)1( )( )( )-11xkkx nRRRARA zSzA zL Dazaaaaa例：已知平穩(wěn)隨機(jī)序列的自相關(guān)值：、，先采用模型的參數(shù)估計(jì)方法對其功率譜進(jìn)行估計(jì)：，試用算法遞推出模型參數(shù)：、。（）解：先給出L-D算法的6個遞推公式：1020,100022211201,1,101,111 .(0)( ); 2 .(1);3 .; 4 .(1);5 .(1,2, );6 .k

34、kkkk ikk iiikkkkkkik ikk kikkkRa R iDa R kiDaaaika 4412000,02220110201,112111,011,12201103(0)1; (1)437; (1)4163 ; ()4171; (2)(6611)11kRDaRDaakDa Ra RD 當(dāng)時，有：當(dāng)時，有：2222212,222,11,122,01,13(1)71671; 7; ;(7) 1aaaaa 45第五章第五章 隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)u 功率譜估計(jì)的經(jīng)典和現(xiàn)代方法u AR模型法的功率譜估計(jì)u AR模型法的主要性質(zhì)u Yule-Walker方程的Levin

35、son Durbin求解算法u 格型濾波器格型濾波器u AR模型參數(shù)提取算法u 噪聲對AR譜估計(jì)的影響u ARMA和MA模型法簡介u 白噪聲中正弦波頻率的估計(jì)46(1)( )(2) (1)(3)kAR pkkAR模型隨機(jī)序列的功率譜估計(jì)過程與最佳線性預(yù)測等效；階預(yù)測誤差與格型濾階預(yù)測誤差之間存在遞推關(guān)系；各階反射系數(shù)與波器設(shè)計(jì)的出發(fā)各階模型點(diǎn)：一一對應(yīng)。,0101( )( )( ) ( )()( )()1 ( )( ) ( ) kkkk ikk ikiikkEzA z X zx nx nenx na x niena x nia 定義 ：時間序列前向預(yù)測值和前向預(yù)測誤差：,1,0002( )()

36、( ) ()() ( )()( ()1kkkk iikkik ikk ik kRikiikx nx nkenx nka x nkiena x nkiEzAz Xax nia 定義 ：時間序列后向預(yù)測值和后向預(yù)測誤差：( ) z47,00,0( )(0,1,)( ) ( )(1)(0,1,)( )( ) ( )kk ikkikk ikiRk ik k ikkkk imRik k iiAR kaikzA zA za zaaaikzA zAzAzaza 模型的系數(shù)序列為，其 變換為多項(xiàng)式：的倒序列為，其 變換為的倒序多項(xiàng)式：0,11,0 ()()k mk mm kkkmkk mkmzzazzA z

37、1,1,11,1,1111(1,2, ) kik ikk kikkkiiikik ikk kiiiiaaaikazazaz 4811,11,1,11111(1)1,1( ) 1 ()kkkkkkiiikik ikk kiiiikikikiAzkakazazazazza 11,1,111( )( )(1)11Rkkkkkiiikk kiiiAzzkkAzzazz 1(1)11111 ( )( )() ( )( )(1) kRkkkRkkkAzzAzAzA zz Az(1)11111( )111) ()() ( ()kkRkkRkkkkz AzAzkkkkkRkkkzz AA zz AzzzA z

38、zzAA zz ( )(2)z49111111111111(1)(2)( )( )1 ( )( )( )( )( )( )1 ( )(kkkkkRRkkkkkkkAzA zAzAzx nzX zEzEzEzzzzEz由和有：等式兩邊同時乘以的 變換，有1111)( )( )1 1( )(1)kkkkkkzzenenenen等式兩邊進(jìn)行 反變換，得前向、后向預(yù)測誤差的迭代公式：5000000000 0( )( )1 ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) RRkA zAzEzA z X zX zenx nEzAz X zX zenx n迭代遞推初值：設(shè)，則或

39、( ) ( )ppenen遞推求解格型濾波器的遞推流程如下圖：( )pen( )pen12p1z1z1z( )x n5111111111( )( )11( )(1) ( )=( )+(1)( ( )(1)( )()kkkkkkkkkkkkkkpenenenenenenenenenenenx n由，有于是，若需由前向預(yù)測誤差倒遞推得到時間序列反向遞推( )AR p，相當(dāng)于建模，則僅需將上圖格型濾波器結(jié)構(gòu)上半部分反向，并將減法運(yùn)算變成加法運(yùn)算，如下圖：( )pen( )pen12p1z1z1z( )x n52,1,(1)(2)1(3)(4)( )( ), (1), ()1,( )( )( )kkk

40、kkkkkkenx n x nx nkaaFIRA zennnex格型濾波器由各級的反射系數(shù)唯一描述；格型濾波器工作穩(wěn)定的充分必要條件是；格型濾波器各級間互不耦合，均為最佳濾波，級聯(lián)后為全程最佳；前向預(yù)測誤差是序列激勵單位脈沖響應(yīng)為的預(yù)測誤差濾波器產(chǎn)生的響應(yīng)；或是 時刻幾個重要事項(xiàng)以前的數(shù)據(jù)預(yù)測產(chǎn)明生的誤差：說：,1,1(5)( )( ), (1), (),1( )( )()( )()()(6)( )()()kkRk kkk kkkenx n x nx nkaaaFIRAzennx nx nnkx nkenx nkx nk；后向預(yù)測誤差是序列激勵單位脈沖響應(yīng)為的預(yù)測誤差濾波器產(chǎn)生的響應(yīng)；或是時

41、刻以后的數(shù)據(jù)預(yù)測產(chǎn)生的誤差：。前向和后向預(yù)測處理的示意圖如下：,1,2,2,1 k kk kk kkkaaaaa,1,2,2,1, kkk kk kk kaaaaa 1 1 -2 2 nknnknknn)( )(x nx n預(yù)測)()(x nkx nk預(yù)測53AR模型法的穩(wěn)定性和功率譜估計(jì)界：穩(wěn)定條件：u 一般自相關(guān)函數(shù)沒有誤差時能自動滿足u H(z)的極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)u 12 22 p2 0u |k| 1，k=1, 2 p譜估計(jì)的界： Burg證明了AR譜的動態(tài)范圍滿足：111 |1 |(0)( )(0)1 |1 |ppiiiiiiRSR下界上界u 任何一個反射系數(shù)i接近于1時，上界變大，下

42、界變小。u 具有大反射系數(shù)模值的AR過程，其譜一定具有尖銳的峰。54第五章第五章 隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)u 功率譜估計(jì)的經(jīng)典和現(xiàn)代方法u AR模型法的功率譜估計(jì)u AR模型法的主要性質(zhì)u Yule-Walker方程的Levinson Durbin求解算法u 格型濾波器u AR模型參數(shù)提取算法模型參數(shù)提取算法u 噪聲對AR譜估計(jì)的影響u ARMA和MA模型法簡介u 白噪聲中正弦波頻率的估計(jì)55問題的提出：問題的提出： Levinson - Durbin算法要先估計(jì)出幾個自相關(guān)函數(shù)值，而自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)是有偏估計(jì)，這將導(dǎo)致AR模型的估計(jì)精度降低，是否有其他辦法提高AR模型的估計(jì)精

43、度？ Levinson - Durbin算法要先算自相關(guān)函數(shù)值，可否直接利用隨機(jī)采樣樣本提取AR模型參數(shù)的方法？問題的定義：怎樣根據(jù)x0, x1 xN1 這一隨機(jī)采樣樣本估計(jì)隨機(jī)時間序列的AR(p)模型參數(shù)？,1,1,1,Tpp pp paaaa,1( )( - )( )pp kkx nax n kn 56主要思想：主要思想：u AR模型法譜估計(jì)與最佳線性預(yù)測濾波等效。u AR模型的參數(shù)與線性誤差預(yù)測濾波器的單位脈沖響應(yīng)相同：E(z) = A(z) X(z)。u 對于平穩(wěn)個態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)時間序列，可用時間平均代替集平均。u AR模型參數(shù)的提取可化為以下優(yōu)化問題：2, 1, 2 ( ) kpakpM

44、inEen或2,1, 2 ( ) kpakpMinEen,1,( )(1) ( )(1)()( ) 1TTpp px nnpxx nx nx npAR paaa設(shè)為無限長時間序列，且 時刻的個樣值列矢量為：模型的系數(shù)矢量為：57實(shí)際上，由于輸入時間序列的樣值有限，其自相關(guān)函數(shù)矩陣只能通過取樣自相關(guān)（時間平均）進(jìn)行估計(jì)，并按誤差平方時間平均最小準(zhǔn)則進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)（提取）。構(gòu)造的方式?jīng)Q定不同的參數(shù)提取算法： Y-W法（相關(guān)法）； 協(xié)方差法； Burg法（前兩種方法的結(jié)合）。,022,1( )()( ) ( ) =1pTTpp iiTTTpTTTpTp pp penax nia xx aE ena

45、 E xxaaaE ena E xxaaaaaaRR 最佳線性前向預(yù)測誤差：前向預(yù)測誤差均方值：同理，對后向預(yù)測誤差，有：這里，。58Yule - Walker法（自相關(guān)法）：法（自相關(guān)法）：誤差平方時間平均最小準(zhǔn)則：-1-1022, 1, 2 , 1, 2 01 ( ) ( )kkNpNpnnppakpakpMinenMinenN或Yule - Walker法（自相關(guān)法）計(jì)算 的示意圖( )pen00(0)x0(1)x np ( )x n(1)x N 000(1)x n()x np11pappa,1p pa11pappa,1p pa11pappa,1p pa前補(bǔ)0后補(bǔ)0第一個數(shù)據(jù)x(0)進(jìn)入

46、濾波器產(chǎn)生(0)pe最后一個數(shù)據(jù)x(N-1)留在濾波器產(chǎn)生(-1)peNp,1,2,( )(1)(1,)( (0), (1), (1)()pppp penpaaaNxxx NNp是長度為的預(yù)測誤差濾波器單位脈沖響應(yīng)與長度為 的數(shù)據(jù)序列的卷積結(jié)果，長度為。卷積過程中需要對有限長序列進(jìn)行前、后補(bǔ)零，也等效為無限長序列加窗。如下圖：59估計(jì)結(jié)果：-1-12,0000-1,000-10( )()() () ()1( - ) () () NpNppppp ip jnnijppNpp ip jijnNpnenax niax njax ni x njaR ijx ni x njN 取樣自相關(guān)值：,00 (

47、- )ppTp ip jijNaR ij aNaaR取樣自相關(guān)矩陣,00( )( - ) , 1ppp ipienax n ia602(1),1,2,min,1,2,2() ( , )(1,2,;0,1,2,) 1( (0)(1)(2)( )=ppTppp pppp pNaYWaR i jip jpaaaaN RaRRaR paa RR00R令取樣自相關(guān)矩陣表示的方程式中，另外，因22min) 1NN，于是-1-10-1-()()0( )(1) (1)11() () ()( ) () 1 ()( )( ) () 1 ( ) (NpNp in i mnmiNpkjij kmkjkjkj kpR

48、kppR ijx ni x njx m x mijNNR ijR kx m x mkNx m x mN R是由取樣自相關(guān)值組成的階方陣。因?yàn)椋?10), 0-1NkmkkN取樣自相關(guān)序列61相關(guān)法的性能：相關(guān)法的性能：u 取樣自相關(guān)矩陣是正定的，能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性；u 求時相當(dāng)于對時間序列進(jìn)行了加窗處理（前后均補(bǔ)0），因此，估計(jì)精度不高。2, 1, 2 - 1 ( )kpakpNn pMinen誤差平方時間平均最小準(zhǔn)則：未對數(shù)據(jù)兩端加未對數(shù)據(jù)兩端加0(未加窗未加窗)，對觀測時間以外數(shù)據(jù)不做任何假設(shè)。，對觀測時間以外數(shù)據(jù)不做任何假設(shè)。(0)x(1)x p( )x n(1)x Np(2)x N (

49、1)x N ()x np(1)x np11pappa,1p pa11pappa,1p pa11pappa,1p pa(1)x( )x p(1)x n()x Np用協(xié)方差法計(jì)算 的原理圖pe (n)協(xié)方差法：協(xié)方差法：6212,00-1 ( )()()( - )(1) (1)1 ( - )() () ppNpp ip jn pijNn penaR ij aNp aaR ijppR ijx ni x njNpRR誤差平方的時間平均：為協(xié)方差估計(jì)值構(gòu)成的矩陣：2min1-2NaNpaaR0R0性能特點(diǎn)：性能特點(diǎn)： 求 時沒有對隨機(jī)信號進(jìn)行加窗處理，因此估計(jì)精度較高； 自相關(guān)矩陣不一定正定的，不能夠保

50、證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。63例：試根據(jù)信號的4個取樣值x(n)=2,4,1,3，分別用自相關(guān)法和協(xié)方差法估計(jì)AR(1)模型參數(shù)。例4.1（教材P143）解：(1)(1)自相關(guān)法自相關(guān)法412111,00( ) , ( )()inienena x ni( ):x n31421( )en11,1a1(0)2e11,1a11,1(1)42ea11,1a11,1(2)14ea 11,1a11,1(3)3ea11,1a11,1(4)3ea（右端添（右端添0）（左端添（左端添0）41101,11,1( )2( )0nenenaa令，有4111111111101111( )( )2 42)4(14)(3)900.5

51、nenenaaaaaa ，（64(2)協(xié)方差法協(xié)方差法( ):x n31421( )en111a，1(0)2e111a，111(1)42ea，111a，111(2)14ea ，111a，111(3)3ea，111a，111(4)3ea，31111111( )2( )0nenenaa，令111111112 42)4(14)(3)00.714aaaa ，（3211( )nen(不外推添不外推添0)(不外推添不外推添0)65101 ( )( ) ()(01) ( )2,4,1 ,3(0 )2; (1)4; (2)1; (3) 3Nknx nR kx n x nkkNNxxxx 另外一種方協(xié)方差法法，

52、直接通過和求解：以相關(guān)法為例請進(jìn)行練習(xí)自相關(guān)序。列，協(xié)方差序列2011,1,11 ( )( ) ()(03)41(0)(2 24 4 +1 1 3 3)7.54 1(1)(2 44 1+1 3)3.754 (1)(0)0. 0 5 nR kx n x nkkRRRRaa 2min1,1 (0)(1)7.53.75 0.55. 6254 5.62522 5 .RRa66Burg法：法：概述：概述：u自相關(guān)法：自相關(guān)法：計(jì)算效率高，能保證預(yù)測濾波器是最小相位，但對數(shù)據(jù)兩端添加了0（加窗處理），估計(jì)精度下降，短數(shù)據(jù)時性能下降。u 協(xié)方差法：協(xié)方差法：計(jì)算效率高，未加窗，估計(jì)精度高，但估計(jì)自相關(guān)矩陣不

53、一定正定，導(dǎo)致預(yù)測濾波器不是最小相位系統(tǒng)，可能不穩(wěn)定。u Burg法法的思想：一方面希望利用已知數(shù)據(jù)段以外的未知數(shù)據(jù)（但不做主觀臆測）；另一方面使預(yù)測誤差濾波器是最小相位的。不直接估計(jì)AR模型參數(shù)，先估計(jì)反射系數(shù)，再利用Levinson遞推算法由反射系數(shù)求得AR模型參數(shù)。67誤差平方時間平均最小準(zhǔn)則：22, -11, 2 ( )( ) kppaNkpn pMinenenBurg法前后向預(yù)測誤差產(chǎn)生原理圖(0)x(1)x p(1)x Np(2)x N (1)x N 1,1pa,p pa,1p pa(1)x( )x p()x Np1,1pa,p pa,1p pa,p pa,1p pa1,1pa,p

54、 pa,1p pa1,1pa(-1)peN(-1)peN( )pep( )pep參數(shù)計(jì)算方法參數(shù)計(jì)算方法：利用Levinson - Durbin迭代算法以及格形濾波器預(yù)測誤差的迭代關(guān)系式，在已知p-1階模型參數(shù)的情況下，只要求出p即可求出p階模型參數(shù)。68-1-11( )( )1( )( -1)ppppppenenenen1-1-12( )(1)( )( )0Nppppn ppen enen en11-11221-12( )(1)( )(1) Nppn ppNppn pen enenen 1p顯然，k反射系數(shù) 的迭代遞推關(guān)系。69,-1,-1, -1,0,-1-100220 , 1, 2 1,

55、(1,)1( )( ) 1( )(1)( )( )( ), 011p ipippp ipp ppppppppaaaipaaenenenenenenx nnNxN 由反射系數(shù)的遞推關(guān)系得模系數(shù)預(yù)測誤型參數(shù)的遞推關(guān)差初始條：件系：100,0( )1Nnna70 設(shè)已知有限數(shù)據(jù)序列x(n),n=0,1,N-1，可按下步驟計(jì)算模型參數(shù)系數(shù)，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算功率譜。1. 置置k=0, 計(jì)算初值：計(jì)算初值：2. k=k+1, 計(jì)算反射系數(shù)：計(jì)算反射系數(shù)：00122000,0( )( )( ) (01); 1 ( ) 1Nnenenx nnNxnNa1-11-122112( )(1)( )(1) Nkkn

56、kkNkkn ken enenen71 5. 計(jì)算計(jì)算k階預(yù)測誤差功率：階預(yù)測誤差功率：2221(1)kkk6. 回到步驟回到步驟(2)-(5), 進(jìn)行下一次迭代。進(jìn)行下一次迭代。4. 計(jì)算前、后向預(yù)測誤差：計(jì)算前、后向預(yù)測誤差：1-11( )( )1( )(1)kkkkkkenenenen3.計(jì)算濾波器系數(shù)：計(jì)算濾波器系數(shù)：,1,1,1,0,(1,.,1),1,k ikikkk ikk kkaaaikaa 721-11122112( )(1)( )(1)()Nppn ppNpppn ppen enenenwnwn算法修正：算法修正：u如果處理數(shù)據(jù)來自AR過程，則可獲得精確的結(jié)果，同時系統(tǒng)的穩(wěn)

57、定性也有保證。u如果處理的是正弦信號會遇到一些困難，例如：譜線分裂、譜峰位置受相位影響大等。u為了減小相位的影響，可對反射系數(shù)估計(jì)公式進(jìn)行如下修正：其中：wp(n)為某一非負(fù)的窗函數(shù)。73第五章第五章 隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)u 功率譜估計(jì)的經(jīng)典和現(xiàn)代方法u AR模型法的功率譜估計(jì)u AR模型法的主要性質(zhì)u Yule-Walker方程的Levinson Durbin求解算法u 格型濾波器u AR模型參數(shù)提取算法u 噪聲對噪聲對AR譜估計(jì)的影響譜估計(jì)的影響u ARMA和MA模型法簡介u 白噪聲中正弦波頻率的估計(jì)74問題的提出問題的提出：uAR譜估計(jì)對觀測噪聲比較敏感：n噪聲會使譜

58、峰展寬，分辨率下降。n噪聲會使譜峰偏離正確位置。u在信噪比低的情況下，AR譜估計(jì)不會優(yōu)于周期圖方法。u研究怎樣減小噪聲對AR譜估計(jì)的惡化影響？假設(shè)x(n)是一個AR(p)過程， 為與x(n)不相關(guān)且方差為 的白噪聲， x(n)與 混合相加后得到y(tǒng)(n)，即：( )n2( )n ( )( )( )y nx nn于是，2221211( ) ()( )( ) ()( ) ()xxyA z A zSzA z A zA z A z噪聲使噪聲使AR(p)過程變?yōu)檫^程變?yōu)锳RMA(p, p)過程！過程！75減小噪聲對減小噪聲對AR譜估計(jì)影響的方法：譜估計(jì)影響的方法： 使用與實(shí)際序列相符的ARMA(p, p)

59、模型進(jìn)行譜估計(jì)方法； 對數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，使用維納濾波器進(jìn)行波形估計(jì)以減小噪聲； 補(bǔ)償自相關(guān)函數(shù)或反射系數(shù)估計(jì)中噪聲的影響：2( )( )( )yxR kR kk 采用髙階AR模型：ARMA(p,p)模型可用AR()模型描述；-1( )( )1( )kkkA zC zc zB z 2-1-1( )/( ) ()/()( )yA zB zSzA zB z22-122-12-1-1( ) ()( ) ( ) ()( ) ()( ) ()xyxA z A zSzA z A zB z B zA z A z令：76AR(p)模型譜估計(jì)總結(jié)：模型譜估計(jì)總結(jié)：AR譜估計(jì)由于對隨機(jī)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行了外推，因此得到了比

60、經(jīng)典譜估計(jì)方法高的分辨率，同時能夠較好地調(diào)和偏差和方差之間的矛盾。幾種常用的現(xiàn)代譜估計(jì)方法，例如：最大熵譜估計(jì)、線性預(yù)測譜估計(jì)和AR譜估計(jì)等，本質(zhì)上都是線性外推的思路，因此是等效的。AR模型可以用三種方法等效地表達(dá)：自相關(guān)函數(shù)值、AR模型參數(shù)以及反射系數(shù)。在自相關(guān)法、協(xié)方差法和Burg法三種AR模型參數(shù)提取方法中，自相關(guān)法的性能稍差些，其他兩種方法的性能相近。AR譜估計(jì)方法對噪聲比較敏感，可以從四個方面減小噪聲對AR譜估計(jì)結(jié)果的影響。77N個樣值個樣值x(0), x(1)x(N-1)功率譜密度 自相關(guān)函數(shù) 相關(guān)圖周期圖AR模型p+1個參量自相關(guān)函數(shù)的值Y-W法協(xié)方差法修正協(xié)方差法反射系數(shù)Bur