中考壓軸題分類專題二《線段和差的最值問題》_3294

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載中考壓軸題分類專題二 線段和差的最值問題基本題型：一、兩線段和的最小值：A/已知兩點 A、 B 與直線 l ，直線 l 上有一動點P，求 PA+PB 的最小值。求出 A 點關(guān)于直線 l 的對稱點 A/，連接 A/ B 交直線 l 于點 P，則點 Py為所求最小值所取的點，/B PAPB min。AAP本題可轉(zhuǎn)化為求ABP 的周長的最小值。xOB拓展：已知兩點A 、 B 與兩直線 l1 與 l 2 ， 動點 P在 l1 上，動點 Q 在 l 2 上，求 AP+PQ+QB 的最小值。求出 A 點關(guān)于直線 l1 的對稱點 A / ，再求出 B 點關(guān)于直線l 2 的對稱點B /，連接A

2、/B/分別交直線l1 于點P、交直線l 2 于點Q，則P、Q為所求最小值所取的點，A/B/APPQQBmin 。本題可轉(zhuǎn)化為求四邊形APQB的周長的最小值。二、兩線段差的最大值：已知兩點A、 B 與直線l （ AB與 l 不平行且在l 同側(cè)），動點P 在 l上，求PAPBmax。連接AB 并延長交直線l 于點P，則點P 為所求最大值時所取的點，ABPAPBmax 。學(xué)習(xí)必備歡迎下載所需知識點：一、中點公式：已知兩點 P x1 , y1 ,Q x2 ,y2 ，則線段 PQ 的中點 M 為x1x2 , y1 y2 。22拓展：三角形的重心（三中線交點）公式：已知ABC 的頂點分別為A x1 , y

3、1 , B x2 ,y2 ,C x3 , y3 ，則ABC 的重心 G 為x1 x2x3 , y1y2 y3。33二、直線的斜率：直線的斜率是指直線與x 軸正方向所成角的正切值。 0090000時， k t an0；90180時，k t a nt a n1 8000 。已知兩點 P x1 , y1 ,Q x2 , y 2，則直線 PQ 的斜率： kPQy1y2。x1x2三、平面內(nèi)兩直線之間的位置關(guān)系：兩直線分別為： l1 : yk1x b1 ， l 2 : yk2 xb2 k1 k2 0 。（一）k1k2l1 l 2。（二） k1 k2l1 與 l2 相交。特別是 k1 k21 l 1 l 2

4、 。b1b2四、求已知點關(guān)于已知直線的對稱點：已知點 P x0 , y0與直線 l : y kxb k 0 ，求點 P 關(guān)于直線 l 的對稱點 P /。過點 P 作直線 l 的垂線 l / 。則 k /1，又因為 l / 過點 P ，將 P 代入 l / : y1 x b / ，既可求出 l / 。將 l / 與kkykx bG 點的坐標(biāo) x1 , y1 。因為 G 為線段 PP/l 聯(lián)立得1 x，既可求出垂足的中點，所以利用中點公式可求得yb/kP / 為 2x1x0 ,2y1y0 。學(xué)習(xí)必備歡迎下載典型例題課后練習(xí)：例一（ 09 深中四月月考） ：已知：拋物線20 與y ax bx c a

5、x軸交于A10 B5 0y軸交于（， ），（ ， ）兩點，與點 M ，拋物線的頂點為 P，且 PB 2 5。（ 1）求 P 點的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（ 5）（ 2）求 MOP 的面積（ O 為坐標(biāo)原點） ；（ 2）（ 3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使 MOQ 的周長最短？若存在，請求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。（ 2）6M42A5 B-2-4P-8學(xué)習(xí)必備歡迎下載例二（05 深圳中考題） 已知 ABC 是邊長為4 的等邊三角形， BC 在 x 軸上，點 D 為 BC 的中點， 點 A 在第一象限內(nèi)，AB 與 y 軸的正半軸相交于點E，點 B（ - 1， 0），P 是 AC 上

6、的一個動點（ P 與點 A、C 不重合）（1）（2分）求點 A、E 的坐標(biāo)；（ ）（分）若6 3 x2bx c 過點A、E，求拋物線的解析式。2 2y=7（3）（5分）連結(jié) PB、 PD，設(shè) L 為 PBD 的周長，當(dāng) L 取最小值時，求點P 的坐標(biāo)及 L 的最小值，并判斷此時點 P 是否在（ 2）中所求的拋物線上，請充分說明你的判斷理由。yAEBODCx學(xué)習(xí)必備歡迎下載例三 (2009 衢州卷 )：如圖，已知點 A(- 4， 8)和點 B(2 ，n)在拋物線 yax2 上(1)求 a 的值及點 B 關(guān)于 x 軸對稱點 P 的坐標(biāo)，并在 x 軸上找一點 Q，使得 AQ+QB 最短，求出點 Q

7、的坐標(biāo)；(2)平移拋物線 y ax2 ，記平移后點 A 的對應(yīng)點為 A，點 B 的對應(yīng)點為 B，點 C( - 2， 0)和點 D (- 4，0)是 x 軸上的兩個定點當(dāng)拋物線向左平移到某個位置時，AC+CB最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式；當(dāng)拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形ABCD 的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由A8y642BDC- 4- 2 O 2 4 x- 2- 4學(xué)習(xí)必備歡迎下載課后練習(xí)：1、如圖，在邊長為1 的等邊三角形ABC 中，點 D 是 AC 的中點，點P 是 BC 邊的中垂線MN 上任一點，則PC PD的最小值為MADPDP

8、ACM NBBCN第 16題圖第 14題圖2、如圖，菱形ABCD 的兩條對角線分別長6 和 8，點 P 是對角線AC 上的一個動點，點M 、 N 分別是邊AB、 BC 的中點，則PM +PN 的最小值是 _3、先閱讀下面材料，然后解答問題：（本小題滿分 10 分）【材料一】：如圖，直線l 上有 A1 、 A2 兩個點，若在直線l 上要確定一點P，且使點 P 到點 A1 、 A2 的距離之和最小，很明顯點 P 的位置可取在A1 和 A2 之間的任何地方，此時距離之和為A1 到A2 的距離 .如圖，直線l上依次有A 、 A2 、 A3 三個點，若在直線l上要確定一點，且使點P到點A 、 A2、 A

9、3的距離之1P1和最小，不難判斷，點P 的位置應(yīng)取在點 A2 處，此時距離之和為A1到 A3的距離 . (想一想，這是為什么？ )不難知道，如果直線 l 上依次有 A1 、 A2 、 A3 、 A4 四個點，同樣要確定一點P，使它到各點的距離之和最小，則點P 應(yīng)取在點A2 和 A3 之間的任何地方； 如果直線 l 上依次有 A 、 A2 、 A3 、 A4 、 A5五個點， 則相應(yīng)點 P 的位置應(yīng)取在點 A31的位置 .A1A2lA1A2A3l圖圖【材料二】：數(shù)軸上任意兩點a、 b 之間的距離可以表示為ab .【問題一】：若已知直線 l 上依次有點 A1 、 A2、 A3 、 A25 共 25

10、 個點，要確定一點P，使它到已知各點的距離之和最小，則點 P 的位置應(yīng)取在；若已知直線 l 上依次有點 A1 、 A2 、A3 、 A50 共 50個點，要確定一點P，使它到已知各點的距離之和最小，則點 P 的位置應(yīng)取在.【問題二】：現(xiàn)要求 x 1x x 1x 2x 3x97 的最小值，根據(jù)問題一的解答思路，可知當(dāng)x 值為時，上式有最小值為.學(xué)習(xí)必備歡迎下載4、已知拋物線yax 2bx (a 0)的頂點在直線y1 x1上，且過點A(4， 0)2求這個拋物線的解析式；設(shè)拋物線的頂點為 P，是否在拋物線上存在一點 B，使四邊形 OPAB 為梯形？若存在，求出點 B 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 .設(shè)點 C(1， 3)，請在拋物線的對稱軸確定一點D，使ADCD 的值最大，請直接寫出點D 的坐標(biāo) .學(xué)習(xí)必備歡迎下載5、如圖 11，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點M（ 2，- 1- 1， 2）為雙曲線上的一點， Q），且 P（為坐標(biāo)平面上一動點， PA 垂直于 x 軸， QB 垂直于 y 軸，垂足分別是A、B（ 1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（ 2）當(dāng)點 Q 在