線性代數(shù)筆記

1、線性代數(shù)筆記第一章 行列式1第二章 矩陣2第三章 向量空間3第四章 線性方程組5第五章 特征值與特征向量5第一章 行列式1.3.1行列式的性質(zhì)給定行列式,將它的行列互換所得的新行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為或。性質(zhì)1 轉(zhuǎn)置的行列式與原行列式相等。即(這個(gè)性質(zhì)表明:行列式對行成立的性質(zhì),對列也成立,反之亦然)性質(zhì)2 用數(shù)k乘行列式D的某一行（列）的每個(gè)元素所得的新行列式等于kD。推論1 若行列式中某一行（列）的元素有公因數(shù)，則可將公因數(shù)提到行列式之外。推論2 若行列式中某一行（列）的元素全為零，則行列式的值為0?？梢宰C明：任意一個(gè)奇數(shù)階反對稱行列式必為零。性質(zhì)3 行列式的兩行（列）互換，行列式的

2、值改變符號。以二階為例推論3 若行列式某兩行（列），完全相同，則行列式的值為零。性質(zhì)4 若行列式某兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則行列式的值為零。性質(zhì)5 若行列式中某一行（列）元素可分解為兩個(gè)元素的和，則行列式可分解為兩個(gè)行列式的和， 注意 性質(zhì)中是指某一行（列）而不是每一行。性質(zhì)6 把行列式的某一行（列）的每個(gè)元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式的值不變。范德蒙德行列式例10 范德蒙行列式.=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)1.4克萊姆法則定理1.4.1 對于n階行列式定理1.4.2 如果n個(gè)未知數(shù)，n個(gè)方程的線性方程組的系數(shù)行列式D0,則方程組有惟一的解: 定理1.4.3 如

3、果n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次方程組的系數(shù)行列式D0，則該方程組只有零解，沒有非零解。推論如果齊次方程組有非零解，則必有系數(shù)行列式D=0。第二章 矩陣一、矩陣的運(yùn)算1、矩陣的加法設(shè)A=（aij）m×n  ，B=（bij）m×n  ，則A+B=（aij+bij）m×n 矩陣的加法適合下列運(yùn)算規(guī)則：（1）交換律：A+B=B+A（2）結(jié)合律：（A+B）+C=A+（B+C）（3）A+0=0+A=A此處0表示與A同型的零矩陣，即A=（aij）m×n ，0=0m×n （4）矩陣A=（aij）m×n，規(guī)

4、定-A=（-aij）m×n，（稱之為A的負(fù)矩陣），則有A+（-A）=（-A）+A=02、矩陣的數(shù)乘設(shè)A=（aij）m×n，K為數(shù)，則KA=（Kaij）m×n矩陣的數(shù)乘適合下列運(yùn)算規(guī)則：（1）K（A+B）=KA+KB（2）（K+L）A=KA+LA（3）（KL）A=K（LA）（4）1*A=A（5）0*A=0（左端的零是指數(shù)0，而右端的“0”表示一個(gè)與A行數(shù)列數(shù)相同的零矩陣。）3、矩陣的乘法設(shè)A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，則A*B=C=（cik）m×l其中C=aijbjk（j=1，n）注意；兩個(gè)矩陣相乘必須第一個(gè)矩陣的列數(shù)等于

5、第二個(gè)矩陣的行數(shù)；矩陣乘法不滿足交換律，即AB不一定等于BA；矩陣乘法有零因子，即A0（零矩陣），B0（零矩陣），但有可能A*B=0（零矩陣）矩陣的乘法適合以下法則：（1）結(jié)合律：（AB）C=A（BC）（2）分配律（A+B）C=AC+BC                     C（A+B）=CA+CB（3）k（AB）=（kA）B=A（kB），此處k是一個(gè)數(shù)。由于矩陣乘法的結(jié)合律，故對于方陣A來說

6、，A的方冪是有意義的，即Ak=A*AA共k個(gè)A相乘，從而有（1）AkAl=Ak+l（2）（Ak）l=Akl（3）InA=AIn=A4、矩陣的轉(zhuǎn)置將矩陣A的行變成列，列變成行得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT或A/注意A是m×n矩陣，則AT為n×m矩陣矩陣的轉(zhuǎn)置適合下列運(yùn)算法則：（1）（AT）T=A（2）（A+B）T=AT+BT（3）（kA）T=kAT（4）（AB）T=BTAT5、方陣的逆矩陣設(shè)A，B為同階可逆矩陣。常數(shù)k0。則1.可逆，且。 AA-1=A-1A=E2.AB可逆，。3. 也可逆，且。 （A-1）k=（Ak）-14.kA也可逆，且。（注：K不能為0）5.消去律

7、 設(shè)P是與A，B同階的可逆矩陣，若PA=PB，則A=B。若a0，ab=ac則b=c。6.設(shè)A是n階可逆方陣。定義 ，并定義。則有，其中k，l是任意整數(shù)。7.設(shè)A 是 n階可逆方陣，則。2.3.1逆矩陣的定義定義2.3.1 設(shè)A是一個(gè)n階方陣。若存在一個(gè)n階方陣B使得。則稱A是可逆矩陣，也稱非奇異陣。并稱。若這樣的B不存在，則稱A不可逆。定理2.3.1 可逆矩陣A的逆矩陣是惟一的。定理2.3.2 n階方陣A可逆的充分必要條件是，且當(dāng)時(shí)，。推論 設(shè)A，B均為n階方陣，并且滿足AB=E，則A,B都可逆，且。2.4.1分塊矩陣的概念對于行數(shù)列數(shù)較高的矩陣A，為運(yùn)算方便，經(jīng)常采用分塊法處理。 即可以用若

8、干條橫線和豎線將其分成若干個(gè)小矩陣。每個(gè)小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。2.4.3幾個(gè)特殊的分快矩陣的運(yùn)算（1）準(zhǔn)對角矩陣方陣的特殊分塊矩陣形如的分塊矩陣稱為分塊對角陣或準(zhǔn)對角陣，其中，均為方陣。（2）兩個(gè)準(zhǔn)對角（分塊對角）矩陣的乘積則（3）準(zhǔn)對角矩陣的逆矩陣 若均為可逆陣?？赡?，且。（4）準(zhǔn)上（下）三角矩陣的行列式?？梢宰C明（1）用初等行變換方法求逆矩陣時(shí)，不能同時(shí)用初等列變換！（2）在求矩陣的秩時(shí)，可以只用初等行變換，但也允許用初等列變換，而且不必化成簡化行階梯形矩陣定義2.5.1（線性方程組的初等變換）稱下列三種變換為線性方程組的初等變換。（1）兩個(gè)方程互換位

9、置；（2）用一個(gè)非零的數(shù)乘某一個(gè)方程；（3）把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上。顯然，線性方程組經(jīng)初等變換后所得的新方程組與原方程組同解。事實(shí)上，上述解線性方程組的過程，只要對該方程組的增廣矩陣做相應(yīng)的行變換即可。二、矩陣初等變換的定義定義2.5.2 分別稱下列三種變換為矩陣的第一、第二、第三種行（列）初等變（1）對調(diào)矩陣中任意兩行（列）的位置；（2）用一非零常數(shù)乘矩陣的某一行（列）；（3）將矩陣的某一行（列）乘以數(shù)k后加到另一行（列）上去。把行初等變換和列初等變換統(tǒng)稱為初等變換。定義2.5.3如果一個(gè)矩陣A經(jīng)過有限次的初等變換變成矩陣B，則稱A與B等價(jià)，記為AB。等價(jià)具有反身性 即對任意矩陣A

10、，有A與A等價(jià)；對稱性 若A與B等價(jià)，則B與A等價(jià)傳遞性 若A與B等價(jià)，B與C等價(jià)，則A與C等價(jià)。三、矩陣的行最簡形式和等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形簡單地說，就是經(jīng)過行初等變換可以把矩陣化成階梯型，進(jìn)而化成行最簡形，而經(jīng)過初等變換（包括行和列的）可以把矩陣化成等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。階梯形矩陣的定義：滿足（1）全零行（若有）都在矩陣非零行的下方；（2）各非零行中從左邊數(shù)起的第一個(gè)非零元（稱為主元）的列指標(biāo)j隨著行指標(biāo)的增加而單調(diào)地嚴(yán)格增加的矩陣稱為階梯形矩陣。（每個(gè)階梯只有一行）行最簡形式以稱滿足（1）它是階梯形；（2）各行的第一個(gè)非零元都是1；（3）第一個(gè)非零元所在列的其它元素均為零的矩陣為行最簡形式。若允許再作初等列變

11、換可繼續(xù)得這最后的式子就是A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。一般，任何一個(gè)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形都是分塊對角陣，也可能為或。2.5.2初等方陣定義2.5.4 對單位陣施行一次初等變換所得到的矩陣稱為初等方陣。以三階方陣為例第一種：第二種：第三種: 顯然，初等陣都是非奇異陣。 2.5.3用初等變換法求逆矩陣因?yàn)槿我夥瞧娈愱囍唤?jīng)行初等變換就可化成單位陣，即則 這表明，當(dāng)對A作初等行變換將A變成單位矩陣E時(shí)，若對單位矩陣做完全相同的初等變換則單位矩陣E將變成。于是有求逆矩陣的初等變換法:寫出分塊矩陣作初等行變換，當(dāng)A化成單位陣時(shí)，E就化成為。 2.5.4用初等變換法求解矩陣方程 一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形 ax=b（a0） 矩陣

12、方程的三種標(biāo)準(zhǔn)形AX=BXA=B（3）AXB=C則解法：對第一類作分塊矩陣對A作初等行變換，當(dāng)A變成單位陣時(shí)，由于B做的是同樣的初等行變換，則得到的是。對于第二類的可先轉(zhuǎn)化為第一類的 ，即由兩邊轉(zhuǎn)置得按上例的方法求出進(jìn)而求出X二.初等變換的性質(zhì)定理2.5.1 設(shè)線性方程組的增廣矩陣經(jīng)有限次的初等行變換化為，則以與為增廣矩陣的方程組同解。定理2.5.2任何矩陣都可以經(jīng)有限次初等行變換化成行最簡形式，經(jīng)有限次初等變換（包括行及列）化成等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。且其標(biāo)準(zhǔn)形由原矩陣惟一確定，而與所做的初等變換無關(guān)。定理2.5.3設(shè)A是一個(gè)m×n階的矩陣，則（1） 對A做一次初等行變換，就相當(dāng)于用一個(gè)與這個(gè)

13、初等變換相應(yīng)的m階初等矩陣左乘A；（2） 對A做一次初等列變換，就相當(dāng)于用一個(gè)與這個(gè)初等變換相應(yīng)的n階初等矩陣右乘A；推論1 方陣經(jīng)初等變換其奇異性不變。定理2.5.4對于任意的m×n階矩陣A，總存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使得 推論2n階可逆陣（非奇異陣）必等價(jià)于單位陣。因?yàn)榉駝t，其等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形不可逆。定理2.5.5n階方陣A可逆的充分必要條件是A能表示成若干個(gè)初等陣的乘積。證 充分性是顯然的。下面證必要性?！啊币阎狝為n階可逆陣，則A與等價(jià)，故存在有限個(gè)n階初等陣，即 ，亦即A能表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積。必要性得證。推論3任意可逆陣A（非奇異陣）只經(jīng)過有限次的初等行（列）

14、變換就能化成單位陣。對n階方陣A，初等變換不改變其奇異性。定義2.6.1 矩陣A的最高階非零子式的階數(shù)稱為該矩陣的秩。記為r（A），有時(shí)也記為 秩（A）。事實(shí)上，如果A有一個(gè)r階子式不等于零，而所有r+1階子式都等于零，則r（A）第三章 向量空間一、n維向量線性運(yùn)算的定義和性質(zhì);定義：設(shè)是一組n維向量構(gòu)成的向量組。如果存在一組不全為零的數(shù)使得則稱向量組線性相關(guān)。否則，稱向量組線性無關(guān)。向量線性運(yùn)算的性質(zhì)：向量的運(yùn)算滿足下列8條運(yùn)算律：設(shè)，都是n維向量，k，l是數(shù)，則（1）+=+；（加法交換律）（2）（+）+=+（+）；（加法結(jié)合律）（3）+0=；（4）+（-）=0（5）1×=（6）K

15、（+）=k+k；（數(shù)乘分配律）（7）（k+l）=k+l；（數(shù)乘分配律）（8）（kl）=k（l）；（數(shù)乘向量結(jié)合律）二、n維向量組的線性相關(guān)性1.向量組的線性相關(guān)性的定義和關(guān)于線性相關(guān)的幾個(gè)定理;（1）m個(gè)n維向量線性相關(guān)的充分必要條件是至少存在某個(gè)是其余向量的線性組合.線性無關(guān)的充分必要條件是其中任意一個(gè)向量都不能表示為其余向量的線性組合.（2） 如果向量組線性無關(guān),而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法唯一.（3） 線性相關(guān)的向量組再增加向量所得的新向量組必線性相關(guān).（部分相關(guān)，則整體相關(guān)；或整體無關(guān)，則部分無關(guān)）（4） 若向量組線性無關(guān),則接長向量組必線性無關(guān).2.判斷向量組的線性相關(guān)性的方

16、法（1）一個(gè)向量線性相關(guān)；（2）含有零向量的向量組必線性相關(guān)；（3）向量個(gè)數(shù)向量維數(shù)時(shí)，n維向量組線性相關(guān)；（4）向量個(gè)數(shù) >向量維數(shù)時(shí), 向量組必線性相關(guān)；（5） 若向量組的一個(gè)部分組線性相關(guān)，則向量組必線性相關(guān)；（6）若向量組線性無關(guān)，則其接長向量組必線性無關(guān)；（7）向量組線性無關(guān)向量組的秩所含向量的個(gè)數(shù) ，向量組線性相關(guān)向量組的秩<所含向量的個(gè)數(shù)；（8）向量組線性相關(guān)（無關(guān)）的充分必要條件是齊次方程組有（沒有）非零解.向量組的秩    一個(gè)向量組1，2，m的部分組i1，i2，ir滿足如下條件：（1）i1，i2，ir線性無關(guān)（2）該向量組任意一個(gè)向

17、量添加到這個(gè)部分組后得到的向量組線性相關(guān)則稱i1，i2，ir為向量組1，2，m的極大線性無關(guān)部分組。     性質(zhì)：（1）一個(gè)向量組的任意向量可由極大無關(guān)組線性表示且表示式系數(shù)唯一；（2）一個(gè)向量組的兩個(gè)極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等。   一個(gè)向量組1，2，m的極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱為向量組的秩，記作r（1，2，m）。     一個(gè)m×n矩陣A，其行向量組的秩稱為矩陣A的行秩；列向量組的秩稱為矩陣A的列秩。   性質(zhì)：   （1）一個(gè)m×

18、;n矩陣A的行秩等于列秩等于矩陣A的秩。    （2）對m×n矩陣進(jìn)行初等變換不改變列向量之間的線性關(guān)系，進(jìn)行初等列變換不改變行向量之間的線性關(guān)系，因此可以用初等行變換求一組列向量的極大無關(guān)組并將其余向量用極大無關(guān)組線性表示。三、向量組的極大無關(guān)組及秩1.極大無關(guān)組的定義2.向量組的秩 求向量組的秩和極大無關(guān)組，并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表示的的方法四、子空間的定義，基、維數(shù)、向量在一組基下的坐標(biāo)3.4.1向量空間的概念定義3.4.1 n維實(shí)向量的全體構(gòu)成的集合稱為實(shí)n維向量空間，記作。定義3.4.2 設(shè)V是的一個(gè)非空子集，且滿足（1）若則；（1）若，則則稱V是的子空間。定義3.4.3對任意的一組n維向量，由它們的全體線性組合組成的集合生成的子空間，記為3.4.3基，維數(shù)，坐標(biāo)定義3.4.4設(shè)V是的一個(gè)向量空間（子空間）。若V中的向量組；（1）線性無關(guān)；（2）V中的任意一個(gè)向量，都能由線性表出（,線性相關(guān)，且表示法惟一），即存在惟一一組數(shù)，使得。則稱向量組為V的一個(gè)基，稱r為向量空間V的維數(shù)，稱為向量在這個(gè)基下的坐標(biāo)。 沒有基，定義為0維。第四章 線性方程組一、線性方程組的三種表示方法二、齊次線性方程組1.齊次方程組解的性質(zhì)設(shè),都是Ax0的解，則C1C2也是Ax0的解（C1，C2為任意常數(shù)）2.齊次方程組有非零解的條件1）齊次方程組A