復(fù)變函數(shù)第2章

1、第二章第二章 解析函數(shù)解析函數(shù) 1 解析函數(shù)的概念與柯西-黎曼方程 初等解析函數(shù) 3 初等多值解析函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分1.導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù):, , , )( 00的范圍的范圍不出不出點點點點中的一中的一為為定義于區(qū)域定義于區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)DzzDzDzfw ,)(.)(00的導(dǎo)數(shù)在這個極限值稱為可導(dǎo)在那么就稱 zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz 記記作作 , )()(lim 000存在存在如果極限如果極限zzfzzfz 第一節(jié) 解析函數(shù)的概念與柯西-黎曼方程在定義中應(yīng)注意在定義中應(yīng)注意:）（不同實變左右極限！的方式是任意的即.)0(

2、00zzzz.)()(,0000都都趨趨于于同同一一個個數(shù)數(shù)比比值值時時內(nèi)內(nèi)以以任任意意方方式式趨趨于于在在區(qū)區(qū)域域即即zzfzzfzDzz 例例1 .)(2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 即即. )( , )( 可導(dǎo)在區(qū)域內(nèi)稱內(nèi)處處可導(dǎo)在區(qū)域如果函數(shù)DzfDzfzifzififz)1 ()1 (lim)1 (0例例2 .12)(22處的導(dǎo)數(shù)在點求iziyxzf解解yixyixyixyx2200)(2)(42limimimyixyixyixxxmy142)(2)(42lim220于是以上

3、極限為則沿直線令,),1(11xmyxmyiz處不可導(dǎo)。故函數(shù)在存在。的路徑，從而原極限不極限結(jié)果依賴于iziz11,0)0(時時而而使使向向當當點點沿沿平平行行于于虛虛軸軸的的方方 zxzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy ,0極限值不同時向使當點沿這兩個不同的方z.Im)(在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)故故zzf 例例3 .Im)(的可導(dǎo)性的可導(dǎo)性討論討論zzf zzfzzfzf )()(解解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(時時而而使使向向當當點點沿沿平平行行于于實實軸軸的的方

4、方 zyzzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyxxyoz0 y ，軸的直線趨向于軸的直線趨向于沿著平行于沿著平行于設(shè)設(shè)zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不存在不存在的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所以所以.2)(yixzf 例例4 是否可導(dǎo)？是否可導(dǎo)？問問yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)( 2)(lim0yixyixz 2lim0 ，軸的直線趨向于軸的直線趨向于沿著平行于沿著平行于設(shè)設(shè)zxzz xyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx2.可導(dǎo)與連續(xù)可導(dǎo)與連續(xù):

5、 函數(shù)函數(shù) f (z) 在在 z0 處可導(dǎo)則在處可導(dǎo)則在 z0 處一定連續(xù)處一定連續(xù), 但但函數(shù)函數(shù) f(z) 在在 z0 處連續(xù)不一定在處連續(xù)不一定在 z0 處可導(dǎo)處可導(dǎo).證證 , 0可導(dǎo)的定義可導(dǎo)的定義根據(jù)在根據(jù)在 z, 0, 0 , |0 時時使得當使得當 z,)()()( 000 zfzzfzzf有有)()()()( 000zfzzfzzfz 令令, 0)(lim 0 zz 則則 )()( 00zfzzf 因為因為 , )()(lim 000zfzzfz 所以所以 . )(0連續(xù)連續(xù)在在即即zzf ,)( )(0zzzzf 3.求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則: . , 0)()1(為復(fù)常數(shù)為復(fù)常數(shù)其

6、中其中cc .,)()2(1為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函函數(shù)數(shù)兩兩個個互互為為反反函函數(shù)數(shù)的的單單值值是是與與其其中中4.微分微分:則可導(dǎo)在設(shè)函數(shù),)( 0zzfw .)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf記作的微分在點稱為函數(shù). )( , 00可微在則稱函數(shù)的微分存在如果

7、函數(shù)在zzfz特別地特別地, , )( 時時當當zzf zwdd zzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等價的可微是等價的可導(dǎo)與在可導(dǎo)與在在在函數(shù)函數(shù)zzzfw .)( ,)(內(nèi)可微內(nèi)可微區(qū)域區(qū)域在在則稱則稱內(nèi)處處可微內(nèi)處處可微區(qū)域區(qū)域在在如果函數(shù)如果函數(shù)DzfDzf ,)()()()(000zzzzfzfzzfw , )(, 0)(lim0的高階無窮小是式中zzzzz. )( )(0的線性部分改變量是函數(shù)wzfwzzf二、解析函數(shù)的概念二、解析函數(shù)的概念1. 解析函數(shù)的定義解析函數(shù)的定義 , )(00的某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)及在如

8、果函數(shù)zzzf).( )( .)( ,)(全全純純函函數(shù)數(shù)或或正正則則函函數(shù)數(shù)個個解解析析函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)的的一一區(qū)區(qū)域域是是或或稱稱內(nèi)內(nèi)解解析析區(qū)區(qū)域域在在則則稱稱內(nèi)內(nèi)每每一一點點解解析析區(qū)區(qū)域域在在如如果果函函數(shù)數(shù)DzfDzfDzf2. 奇點的定義奇點的定義鄰域內(nèi)有解析點但在不解析在若函數(shù)00)(zzzf, 根據(jù)定義可知根據(jù)定義可知:函數(shù)在函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析區(qū)域內(nèi)解析與在與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是是等價等價的的.但是但是,函數(shù)在函數(shù)在一點處解析一點處解析與在與在一點處可導(dǎo)一點處可導(dǎo)是是不等價不等價的的概念概念. 即函數(shù)在一點處可導(dǎo)即函數(shù)在一點處可導(dǎo), 不一定在該點處解析不一定在該點處解析.函數(shù)在

9、一點處解析比在該點處可導(dǎo)的要求要高得多函數(shù)在一點處解析比在該點處可導(dǎo)的要求要高得多. )(0解析在則稱zzf , 0 )( 02處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在例如例如 zzzf . 0 0處不解析處不解析但在但在 z.的奇點為稱)(0zfz例例1.1 的的解解析析性性研研究究函函數(shù)數(shù)zw 解解 , 0 1 處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)除除因因為為 zzw ,1dd 2zzw 且且 , 0 外外處處處處解解析析在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)除除所所以以 zw . 0 為它的奇點為它的奇點 z例例2.)Re()( 的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性與與解解析析性性研研究究函函數(shù)數(shù)zzzf 解解, 0)1( zzfzfz ) 0()

10、0(lim0, 0)Re(lim0 zzzz . 0 )Re()( 處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在故故 zzzzf課后思考題：課后思考題：.1 的的解解析析性性研研究究函函數(shù)數(shù)zw 答案答案 處處不可導(dǎo)處處不可導(dǎo), ,處處不解析處處不解析. ., 0)2( zzzfzzf )()(zzzzzzz )Re()Re()()Re()Re()Re(zzzzzzz , yixz 令令zzfzzf )()( , xxyixxz ,)()(lim 00 xzzfzzfyx 因為因為,)()(lim 00 xzzzfzzfxy . )()(lim 0不存在不存在所以所以zzfzzfz . , , 0 )( 析析它它在在復(fù)復(fù)

11、平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處不不解解根根據(jù)據(jù)定定義義可可導(dǎo)導(dǎo)而而在在其其他他點點都都不不處處可可導(dǎo)導(dǎo)僅僅在在因因此此 zzf , )( , 0 不可導(dǎo)不可導(dǎo)時時即當即當zfz 定理定理 . )( )( )( )1(內(nèi)內(nèi)解解析析在在除除去去分分母母為為零零的的點點和和、差差、積積、商商的的與與內(nèi)內(nèi)解解析析的的兩兩個個函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)域域DzgzfD. )( , )( , . )( , )( )2(內(nèi)解析內(nèi)解析在在那末復(fù)合函數(shù)那末復(fù)合函數(shù)于于都屬都屬的對應(yīng)值的對應(yīng)值函數(shù)函數(shù)內(nèi)的每一個點內(nèi)的每一個點對對如果如果內(nèi)解析內(nèi)解析平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域在在函數(shù)函數(shù)內(nèi)解析內(nèi)解析平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域在在設(shè)函數(shù)設(shè)函

12、數(shù)DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh 以上定理的證明以上定理的證明, 可利用求導(dǎo)法則可利用求導(dǎo)法則.根據(jù)定理可知根據(jù)定理可知:(1) 所有多項式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的所有多項式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的. , )()( )2(奇點使分母為零的點是它的點的區(qū)域內(nèi)是解析的在不含分母為零的任何一個有理分式函數(shù)zQzP定理一定理一.),(),(),()(),(),()(xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf , , : , 點滿足柯西黎曼方程點滿足柯西黎曼方程并且在該并且在該可微可微在點在點與與件是件是可導(dǎo)的充要條可導(dǎo)的充要條內(nèi)一點內(nèi)一點在在則則定義定義內(nèi)有內(nèi)有在區(qū)域在

13、區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)三、函數(shù)解析的充要條件三、函數(shù)解析的充要條件 證證 (1) 必要性必要性.有時使得當則存在可導(dǎo)內(nèi)一點在設(shè)，yixzDyxivyxuzf |z|0 , 0, , ),(),()( ,)()()()( zzzzfzfzzf, 0)(lim 0zz其中,)()( viuzfzzf令,)(ibazf , )(21izviu 所以)()(21yixiyixiba)()(1221yxyaxbiyxybxa, 21yxybxau 于是于是.12yxyaxbv , 0)(lim 0 zz 因為因為100lim yx所以所以200lim yx, 0 從而從而,bxvayvxuyu , , ),(

14、 ),( ),( 可可微微在在點點與與由由此此可可知知yxyxvyxu. , xvyuyvxu 且滿足方程且滿足方程(2) 充分性充分性. )()( zfzzf),(),(),(),(yxvyyxxviyxuyyxxu, viu 由于由于 , ),( ),( ),( 可微可微在點在點與與又因為又因為yxyxvyxu, 21yxyyuxxuu 于是于是, 43yxyyvxxvv ) 4 , 3 , 2 , 1( , 0lim 00kkyx其中 )()( zfzzf因此因此.)()(4231yixiyyviyuxxvixu , , 2xvixvyuyvxu 由柯西黎曼方程由柯西黎曼方程 )()(z

15、fzzf )(yixxvixu.)()(4231yixi zzfzzf)()( xvixu.)()(4231zyizxi , 1, 1 zyzx因為因為, 0)()(lim42310 zyizxiz zzfzzfzfz)()(lim)( 0所以所以.xvixu . ),(),()( 可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點即即函函數(shù)數(shù)yixzyxivyxuzf 證畢證畢 . 件充分條件和一個必要條可微的一個質(zhì)可分別給出復(fù)變函數(shù)根據(jù)多元函數(shù)的微分性注例例1.2)(222的可導(dǎo)性函數(shù)研究定義于復(fù)平面內(nèi)的ixyyxzzf解解.2,2,2,2 ,2, 22xvyvyuxuxyvyxuyxyx因為令方程，在復(fù)平面內(nèi)滿足連續(xù)，且

16、四個偏導(dǎo)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)RCzf)( 在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)。故2)(zzf 內(nèi)解析的充要條件內(nèi)解析的充要條件函數(shù)在區(qū)域函數(shù)在區(qū)域 D. , ),( ),( : ),(),()( 程程并且滿足柯西黎曼方并且滿足柯西黎曼方內(nèi)可微內(nèi)可微在在與與內(nèi)解析的充要條件是內(nèi)解析的充要條件是域域在其定義在其定義函數(shù)函數(shù)定理二定理二DyxvyxuDyxivyxuzf 解析函數(shù)的判定方法解析函數(shù)的判定方法: :. )( , )( ) 1 (內(nèi)是解析的在義斷定則可根據(jù)解析函數(shù)的定內(nèi)處處存在的導(dǎo)數(shù)在區(qū)域?qū)Х▌t證實復(fù)變函數(shù)如果能用求導(dǎo)公式與求DzfDzf. )(, RC ) , ( , )( 2)(內(nèi)解析在件可以斷定則由解析函

17、數(shù)的充要條方程并滿足可微因而偏導(dǎo)數(shù)都存在、連續(xù)內(nèi)的各一階在中如果復(fù)變函數(shù)DzfvuDvuivuzf注注1 解析函數(shù)的實部與虛部不是完全獨立的，它們是解析函數(shù)的實部與虛部不是完全獨立的，它們是C-R方程的一組解，它們是在研究流體力學(xué)時得到的。方程的一組解，它們是在研究流體力學(xué)時得到的。 : ),(),()( ,處的導(dǎo)數(shù)公式在點可得解析函數(shù)根據(jù)定理一yixzyxivyxuzf.1)(yvyuixvixuzf 注注2 解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式更簡潔。解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式更簡潔。四、典型例題四、典型例題解解,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 yvxvyuxu不滿足柯西黎曼方程不滿足柯西黎曼方程

18、, . ,處處不解析處處不解析在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)故故zw 例例1 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：zzwzwRe)2 ;) 1)Re()2(zzw ,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu 四個偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)四個偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù), 但是但是 , , 0 滿足柯西黎曼方程滿足柯西黎曼方程時時僅當僅當 yx ,0 )Re(處可導(dǎo)處可導(dǎo)僅在僅在故函數(shù)故函數(shù) zzzw .在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處不不解解析析例例2解解. )( , , ),(),()( 2zfuvDyxivyxuzf求求并且并且析析內(nèi)解內(nèi)解在區(qū)域在區(qū)域設(shè)

19、設(shè) )1(,2yuuyvxu )2(,2xuuxvyu (1)(2)得得代入代入將將, 0 xu, 0)14( 2 uxu0)14( 2 u由由 ),( 常數(shù)常數(shù)所以所以cu ).( )( 2常數(shù)常數(shù)于是于是icczf 例例3. )( , )( 內(nèi)為一常數(shù)區(qū)域在則內(nèi)處處為零在區(qū)域如果DzfDzf 證證: 因為因為xvixuzf )(, 0 yuiyv, 0 xvyuyvxu故故 , , 常數(shù)常數(shù)常數(shù)常數(shù)所以所以 vu . )( 內(nèi)為一常數(shù)內(nèi)為一常數(shù)在區(qū)域在區(qū)域因此因此Dzf類似可進一步證明類似可進一步證明: , 內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域設(shè)設(shè)Df .)(,7)2( 常數(shù)則中的一個條件滿足如果zf

20、f; 0)() 1 ( zf ; 常數(shù)常數(shù))()2(zf ; 解析解析)()3(zf ;Re 常數(shù)常數(shù))()4(zf ;Im 常數(shù)常數(shù))()5(zf;)6(2uv . arg 常數(shù)常數(shù))()7(zf例例4. 0 , 0 Im)( 2不可微但在點滿足柯西黎曼方程的實、虛部在點證明函數(shù)zzzzf證證, 2)( xyzf 因為因為0, , 2 vxyu所以所以0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xuxuuxx),0 , 0(yv 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yuyuuyy),0 , 0(xv 0 0 . 0 成立成立柯西黎曼方程在點柯西黎曼方程在點 z , 0 z

21、但在點但在點zfzf )0()( 2yixyx ,12 )0()(lim 00izfzfyx因為 . 0 )( 不可微不可微在點在點故函數(shù)故函數(shù) zzf , 0 )0()(lim 0, 0zfzfyx一、指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義指數(shù)函數(shù)的定義: )( 個條件在復(fù)平面內(nèi)滿足以下三當函數(shù)zf;)( (1)在復(fù)平面內(nèi)處處解析zf);()( (2)zfzf).Re(,)( ,0)Im( (3)zxezfzx其中時當)sin(cos , yiyeezxz記為的指數(shù)函數(shù)此函數(shù)稱為復(fù)變數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 初等解析函數(shù)初等解析函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義等價于關(guān)系式指數(shù)函數(shù)的定義等價于關(guān)系式: )(2)(Ar

22、g,|為任何整數(shù)其中kkyeeezxz.)( (3) 0;C)(2) ;)(1) zzzzeeezfezf的值域的定義域為注C . exp , 的符號的符號只是代替只是代替沒有冪的意義沒有冪的意義注意注意zez2. 加法定理加法定理2121zzzzeee , exp ,的的周周期期性性可可以以推推出出根根據(jù)據(jù)加加法法定定理理z,2expikz 的周期是的周期是. 22zikzikzeeee 即即)(為為任任何何整整數(shù)數(shù)其其中中k . 所所沒沒有有的的該該性性質(zhì)質(zhì)是是實實變變指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)xe例例1解解可能不成立。舉例說明等式2121)(zzzzee則設(shè), 2/1,21ziz,) 1()()(

23、2/12/121ieeizz.2/21ieeizz.)(2121zzzzee例例2 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求設(shè)設(shè)解解)sin(cos yiyeeexiyxz 因為因為 .cos)Re( , yeeeexzxz 實部實部所以其模所以其模zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 二、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)二、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)1. 三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的定

24、義,sincos yiyeiy 因為因為,sincos yiyeiy 將兩式相加與相減將兩式相加與相減, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 現(xiàn)在把它們定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況：現(xiàn)在把它們定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況：,2cos :izizeez余弦函數(shù).2sin :ieeziziz正弦函數(shù).cos , sin ,是是偶偶函函數(shù)數(shù)是是奇奇函函數(shù)數(shù)容容易易證證明明zz.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .2為為周周期期的的是是以以正正弦弦函函數(shù)數(shù)和和余余弦弦函函數(shù)數(shù)都都 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù)

25、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).sin)(cos,cos)(sinzzzz 有關(guān)正弦函有關(guān)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)和余弦函數(shù)的幾組重數(shù)的幾組重要公式要公式 . 1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz .sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix , 時時為純虛數(shù)為純虛數(shù)當當yiz,cosh2cosyeeyiyy .sinh2sinyiieeyiyy .sinhcoscoshsin)sin(,sinhsincosh

26、cos)cos()3(yxiyxyixyxiyxyix .cos ,sin , yiyiy時時當當( (注意：這是與實注意：這是與實變函數(shù)完全不同的變函數(shù)完全不同的) )事實上，事實上，, 2/2/ )()cos(yyyeeeiy定的正數(shù)。就可能大于任何預(yù)先給充分大，只要)cos(iyy,cossintan zzz 正切函數(shù)正切函數(shù),sincoscot zzz 余切函數(shù)余切函數(shù),cos1sec zz 正割函數(shù)正割函數(shù).sin1csc zz 余割函數(shù)余割函數(shù)點處解析，且平面上使分母不為零的這四個函數(shù)都在z,csc)(cot,sec)(tan22zzzz,cotcsc)(csc,tansec)(s

27、eczzzzzz.2的周期為，正割函數(shù)和余割函數(shù)周期為正切函數(shù)和余切函數(shù)的例例1 1 . tan 的實部與虛部的實部與虛部確定確定z解解 , iyxz 設(shè)設(shè)zzzcossintan )cos()sin(yixyix yxiyxyxiyxsinhsincoshcossinhcoscoshsin yxyxyyixx2222sinh)cos1(coshcossinhcoshcossin .sinh2cos22sinhsinh2cos22sin2222yxyiyxx )Re(tanz )Im(tanz 其它三其它三角函數(shù)角函數(shù)2. 雙曲函數(shù)的定義雙曲函數(shù)的定義,2cosh zzeez 為為我們定義雙曲

28、余弦函數(shù)我們定義雙曲余弦函數(shù),2sinh zzeez 雙曲正弦函數(shù)為雙曲正弦函數(shù)為.tanh zzzzeeeez 雙曲正切函數(shù)為雙曲正切函數(shù)為.cosh , sinh ,是是偶偶函函數(shù)數(shù)是是奇奇函函數(shù)數(shù)容容易易證證明明zz它們的導(dǎo)數(shù)分別為它們的導(dǎo)數(shù)分別為,cosh)(sinhzz 它們都是以它們都是以 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù),i 2.sinh)(coshzz顯然顯然這些函數(shù)都是解析函數(shù)這些函數(shù)都是解析函數(shù)，各有其解析區(qū)域，各有其解析區(qū)域，且都是相應(yīng)的實雙曲函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣。且都是相應(yīng)的實雙曲函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣。思考題思考題: 實變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有實變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)

29、變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有哪些異同哪些異同?思考題答案思考題答案 兩者在函數(shù)的奇偶性、周期性、可導(dǎo)性上是兩者在函數(shù)的奇偶性、周期性、可導(dǎo)性上是類似的類似的, 而且導(dǎo)數(shù)的形式、加法定理、正余弦函數(shù)而且導(dǎo)數(shù)的形式、加法定理、正余弦函數(shù)的平方和等公式也有相同的形式的平方和等公式也有相同的形式. 最大的區(qū)別是最大的區(qū)別是, 實變?nèi)呛瘮?shù)中實變?nèi)呛瘮?shù)中, 正余弦函數(shù)都正余弦函數(shù)都是有界函數(shù)是有界函數(shù), 但在復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)中但在復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)中, . 1cos 1sin不再成立不再成立與與 zz3.初等復(fù)變函數(shù)初等復(fù)變函數(shù)：基本初等復(fù)變函數(shù)經(jīng)過加、減、乘、：基本初等復(fù)變函數(shù)經(jīng)過加、減、乘、除、乘方和開方等基本運算

30、，或經(jīng)歷有限次復(fù)合運算，除、乘方和開方等基本運算，或經(jīng)歷有限次復(fù)合運算，所形成的復(fù)變函數(shù)稱為初等復(fù)變函數(shù)所形成的復(fù)變函數(shù)稱為初等復(fù)變函數(shù),簡稱為復(fù)變函數(shù)簡稱為復(fù)變函數(shù).定義定義2.8(單葉函數(shù)單葉函數(shù)）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)有定義內(nèi)有定義,且對且對D內(nèi)任意不同的內(nèi)任意不同的兩點兩點z1及及z2都有都有f(z1)f(z2),則稱函數(shù)則稱函數(shù) f(z)在在D內(nèi)是單葉的內(nèi)是單葉的.并且稱區(qū)域并且稱區(qū)域D為為f(z)的單葉性區(qū)域的單葉性區(qū)域.顯然顯然,區(qū)域區(qū)域D到區(qū)域到區(qū)域G的單葉滿變換的單葉滿變換w=f(z)就是就是D 到到G的一一變換的一一變換.f(z)=z2不是不是C上的單葉函數(shù)上

31、的單葉函數(shù). f(z)=z3是是C上的單葉函數(shù)上的單葉函數(shù)第三節(jié) 初等多值函數(shù)定義定義2.9 若若z=wn,則稱則稱w為為z的的n次根式函數(shù)，記為：次根式函數(shù)，記為：的特點。例，簡單介紹多值函數(shù)下面以二次根式函數(shù)為nwz , 根式函數(shù)根式函數(shù) 為冪函數(shù)為冪函數(shù)z=wn 的反函數(shù)的反函數(shù).nwz (1) 根式函數(shù)的多值性根式函數(shù)的多值性.000nzw 20|kinnnkkzwzz e 0,1,1kn arg zz 的的主主輻輻角角,),20(2/iArgzierzwrez設(shè)1. 根式函數(shù)根式函數(shù)的具體數(shù)值無法確定。來說，其幅角點對于復(fù)平面上某一固定Argzz.22/ )2(2/iiererwzC

32、z連續(xù)變?yōu)閷⒂?，從而變，但其幅角卻變?yōu)橹惦m然不的位置，環(huán)繞原點一周回到原來沿某一條閉合曲線若根式的值也保持不變。的幅角不變，因而二次置，環(huán)繞一周回到原來的位閉合曲線沿某一條不包含原點的但若zCz1 (2) 分出根式函數(shù)的單值解析分支分出根式函數(shù)的單值解析分支. 20kinnnnkkkizwzrere 2arg2= 0,1,1kkzkknnn 12010nniiwrewre 22 22niwre 2 (1)11nnnniwre 2kknkiwre 從原點從原點O起到點起到點任意引一條射線將任意引一條射線將z平面割破，該平面割破，該直線稱為割線，在割破了的平面直線稱為割線，在割破了的平面(構(gòu)成以此

33、割線為邊構(gòu)成以此割線為邊界的區(qū)域，記為界的區(qū)域，記為G)上，上， argz2 ，從而可將其轉(zhuǎn)化，從而可將其轉(zhuǎn)化為單值函數(shù)來研究。為單值函數(shù)來研究。 wk在其定義域上解析在其定義域上解析,且且 1nknkkzwznz 1, 1 , 0nk,)()(2)arg(nkzinknkezrzwnwz 分成如下的分成如下的n個單值函數(shù)：個單值函數(shù)： (3) 的支點及支割線的支點及支割線定義定義1 設(shè)設(shè) 為多值函數(shù)，為多值函數(shù)， 為一定點，作小圓周為一定點，作小圓周( )wf za:CzarzCa( )f z,0nwz z:Czr ，若變點，若變點 沿沿 轉(zhuǎn)一周，回到出發(fā)點時，轉(zhuǎn)一周，回到出發(fā)點時，函數(shù)值發(fā)

34、生了變化，則稱函數(shù)值發(fā)生了變化，則稱 為為 的的支點支點，如，如就是其一個支點，這時繞就是其一個支點，這時繞 轉(zhuǎn)一周也可看作繞點轉(zhuǎn)一周也可看作繞點轉(zhuǎn)一周，故點轉(zhuǎn)一周，故點 也是其一個支點也是其一個支點.nwz 常用方法常用方法： 從原點起沿著負實軸將從原點起沿著負實軸將z平面割破平面割破,即可將根式函數(shù)即可將根式函數(shù):nwznwz0zx定義定義2 設(shè)想把平面割開，借以分出多值函數(shù)的單值分設(shè)想把平面割開，借以分出多值函數(shù)的單值分支的割線，稱為多值函數(shù)的支的割線，稱為多值函數(shù)的支割線支割線.如如 可以以負實軸為支割線可以以負實軸為支割線.注注 a) 支割線可以有兩岸支割線可以有兩岸.b) 單值解析

35、分支可連續(xù)延拓到岸上單值解析分支可連續(xù)延拓到岸上.c) 支割線改變各單值分支的定義域，值域也隨之改變支割線改變各單值分支的定義域，值域也隨之改變.d) 對對 ，當以負實軸為支割線時，當，當以負實軸為支割線時，當 時取正值的那個分支稱為時取正值的那個分支稱為主值支主值支.上岸下岸二、對數(shù)函數(shù)二、對數(shù)函數(shù)1. 定義定義.Ln ,)( )0( zwzfwzzew記為稱為對數(shù)函數(shù)的函數(shù)滿足方程2.計算公式計算公式： .2 , )( , Arg的整數(shù)倍的整數(shù)倍并且每兩值相差并且每兩值相差也是多值函數(shù)也是多值函數(shù)所以對數(shù)函數(shù)所以對數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)為多值函數(shù)由于由于izfwz ivuwrezi,令iivuw

36、reezezwLn)(2,ZkkvreuArgzZkkvru)(2),(ln實對數(shù))( )2(lnLnZkkirzw)( )2(arg|ln|lnLnZkkziziArgzzz即,arg Arg ArglnLn zzzizz取主值取主值中中如果將如果將 . Ln ln Ln 的主值的主值稱為稱為，記為記為為一單值函數(shù)，為一單值函數(shù)，那末那末zzz.arglnlnzizz . Ln , , 的的一一個個分分支支稱稱為為上上式式確確定定一一個個單單值值函函數(shù)數(shù)對對于于每每一一個個固固定定的的zk說明說明：w=Lnz是指數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)ew=z的反函數(shù)，的反函數(shù)，Lnz一般不能寫成一般不能寫成lnz

37、,Ln zez 其余各值為其余各值為), 2, 1(2lnLn kikzz例例1 . )1(Ln , 2Ln 以以及及與與它它們們相相應(yīng)應(yīng)的的主主值值求求 解解,22ln2Ln ik 因為因為 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因為因為 )()12(為整數(shù)為整數(shù)kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以注意注意: 在實變函數(shù)中在實變函數(shù)中, 負數(shù)無對數(shù)負數(shù)無對數(shù), 而復(fù)變數(shù)對數(shù)函而復(fù)變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣數(shù)是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣.例例2. 031 iez解方程解方程解解,31 iez 因為因為)31(Ln iz 所以所以 k

38、ii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k3. 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)和和其其它它各各分分支支處處處處連連續(xù)續(xù)主主值值支支的的復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)包包括括原原點點在在除除去去負負實實軸軸 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 4. 分出分出w=Lnz的單值解析分支的單值解析分支從原點起沿著負實軸將從原點起沿著負實軸將z平面平面割破割破，就可將，就可將對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)w=Lnz分成如下分成如下無窮多個無窮多個單值解析分支：單值解析分支：的支點和支割線zwLn .

39、 5),2(argln)Ln(kzirzwkk, 2, 1, 0k wk在定義域上解析在定義域上解析,且且 1Lnkkwzz 例例1 設(shè)設(shè) 定義在沿負實軸割破的平面上，且定義在沿負實軸割破的平面上，且wLnz0zz 與0與wLnz( 1)3wi( )w i()ln(arg2)kkwLnzzizk(arg)z 以以 為支點，連接為支點，連接 的任一的任一（廣義）簡單曲線可作為其支割線（廣義）簡單曲線可作為其支割線.解：解：求值：求值： （是下岸相應(yīng)點的函數(shù)值）求（是下岸相應(yīng)點的函數(shù)值）求 的值的值.)2) 1(arg(| 1|ln3kii1kiiiiiiw25)22()2)(arg(|ln)(三

40、、乘冪三、乘冪 與冪函數(shù)與冪函數(shù)ba1. 乘冪乘冪: , , , Lnabbeaba定義為定義為乘冪乘冪復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)為任意一個為任意一個為不等于零的一個復(fù)數(shù)為不等于零的一個復(fù)數(shù)設(shè)設(shè) . Lnabbea 即即. , )2arg(lnLn 也是多值的一般情況下，因而是多值的注：由于bakaiaazbbezwLn 2.一般冪函數(shù) , )1(為整數(shù)時為整數(shù)時當當b Lnabbea )2arg(ln kaiabeikbaiabe 2)arg(ln ,lnabe .具具有有單單一一的的值值ba)2arg(ln kaiaqpbea)2arg(ln kaqpiaqpe )2arg(sin)2arg(cos lnk

41、aqpikaqpeaqp .) 1( , 1 , 0 , 時相應(yīng)的值即取個值具有qkqab ,0) ,( )2(時時為互質(zhì)的整數(shù)為互質(zhì)的整數(shù)與與當當 qqpqpb , ) 3(是無窮多值的。函數(shù)為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時當bzwb3. 冪函數(shù)的解析性冪函數(shù)的解析性原點和負實軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的原點和負實軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,.)(1 bbbzz的各個分支在除去它是一個多值函數(shù)，它為整數(shù)外除去, b ),1(/ nnmb既約分數(shù)，為有理數(shù)當 數(shù)是無窮多值的。的無窮階支點，此時函點和無窮遠點是為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時，原當bzwb , 111分解成解析分支。內(nèi)可以把在得到一個區(qū)域割線一條簡單連續(xù)曲線作為原點和無窮遠

42、點的不是整數(shù)時，任取連接當bzwDDKb .2Argz,1ln)2ln)|lnln/11111111出發(fā)的值，即回到了它從相應(yīng)地連續(xù)變動到則從，而連續(xù)變動到從周時連續(xù)變動出發(fā)按逆時針或順時針從當一點（zeeeezwnnzzznmniznmiznmznmnm 11/階代數(shù)支點。也稱階支點，的點是這時，稱原點和無窮遠n-n-zwnm例例1 1 . )(1 的輻角的主值的輻角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1

43、的輻角的主值為的輻角的主值為故故ii azzeawLn 4.一般指數(shù)函數(shù)它是無窮多個獨立的、在它是無窮多個獨立的、在z平面上單值解析的函數(shù)。平面上單值解析的函數(shù)。.Ln, zeweea指數(shù)函數(shù)的單值的取主值時，便得到通常當)1Ln(Arcsin2ziziz1. 反三角函數(shù)的定義反三角函數(shù)的定義.cosArc , ,cos zwzwwz記作的反余弦函數(shù)為稱設(shè),2cos iwiweewz 由由, 012 2 iwiwzee得得, 1 2 zzeiw方程的根為方程的根為兩端取對數(shù)得兩端取對數(shù)得).1Ln(cosArc2 zziz 同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù)同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù),

44、 重復(fù)以上步驟重復(fù)以上步驟, 可以得到它們的表達式可以得到它們的表達式:),1Ln(22zzi.11Ln2Arctaniziziz 都是多值函數(shù)。和是多值函數(shù)，所以是二值函數(shù)，對數(shù)函數(shù)由于以上各式中zArczArczcossin12四、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)四、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)2. 反雙曲函數(shù)的定義反雙曲函數(shù)的定義),1Ln( Arsinh2 zzz反雙曲正弦反雙曲正弦),1Ln(osh Ar2 zzzc反雙曲余弦反雙曲余弦.11Ln21 Artanhzzz 反雙曲正切反雙曲正切例例1 1解解).32tan( Arci 求函數(shù)值求函數(shù)值 )32tan( Arci)32(1)32(1Ln2

45、iiiii 53Ln2ii kii231arctan52ln2.31arctan212152ln4 ki . , 2 , 1 , 0 k其中其中五、具有有限個支點的情形五、具有有限個支點的情形設(shè)有任意設(shè)有任意N次多項式：次多項式：mmazazazAzP)()()()(2121maaa,21分別為分別為P(z)的一切相異零點，對應(yīng)重數(shù)為的一切相異零點，對應(yīng)重數(shù)為m,21且有且有,21Nm則函數(shù)則函數(shù)nzPw)(的支點有以下結(jié)論：的支點有以下結(jié)論：(1) 的可能支點為的可能支點為 和和 ；maaa,21(2) 當且僅當當且僅當 不能整除不能整除 時，時， 是是 的支點；的支點；niianzPw)(nzPw)(3) 當且僅當當且僅當 不能整除不能整除 時，時， 是是 的支點；的支點；nNnzPw)(nm,2