高中數(shù)學(xué) 2.4 正態(tài)分布教案 選修2-3

1、河北省張家口一中高二數(shù)學(xué)選修2-3 2.4 正態(tài)分布 教案教學(xué)目標：知識與技能：掌握正態(tài)分布在實際生活中的意義和作用 。過程與方法：結(jié)合正態(tài)曲線，加深對正態(tài)密度函數(shù)的理理。情感、態(tài)度與價值觀：通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì) 。教學(xué)重點：正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、標準正態(tài)曲線n(0，1) 。教學(xué)難點：通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)。復(fù)習(xí)引入： 總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率根據(jù)這

2、條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積即總體密度曲線在區(qū)間(a，b)上得定積分。觀察總體密度曲線的形狀，它具有“兩頭低，中間高，左右對稱”的特征，具有這種特征的總體密度曲線一般可用下面函數(shù)的圖象來表示或近似表示：式中的實數(shù)、是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標準差，的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線講解新課：1.一般地，如果對于任何實數(shù)，隨機變量x滿足,則稱 x 的分布為正態(tài)分布（normal distribution ) 正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，因此正態(tài)分布常記作如果隨機變量 x 服從正態(tài)分布，則記為x. 說明:1參數(shù)是反映隨

3、機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本均值去佑計；是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本標準差去估計2.早在 1733 年，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正態(tài)分布之后，德國數(shù)學(xué)家高斯在研究測量誤差時從另一個角度導(dǎo)出了它，并研究了它的性質(zhì)，因此，人們也稱正態(tài)分布為高斯分布2正態(tài)分布）是由均值和標準差唯一決定的分布通過固定其中一個值，討論均值與標準差對于正態(tài)曲線的影響 3通過對三組正態(tài)曲線分析，得出正態(tài)曲線具有的基本特征是兩頭底、中間高、左右對稱 正態(tài)曲線的作圖，書中沒有做要求，教師也不必補上 講課時教師可以應(yīng)用幾何畫板，形象、美觀地畫出三條正態(tài)曲線的圖形，結(jié)合前面均值與標準差

4、對圖形的影響，引導(dǎo)學(xué)生觀察總結(jié)正態(tài)曲線的性質(zhì) 4正態(tài)曲線的性質(zhì)：（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交 （2）曲線關(guān)于直線x=對稱 （3）當x=時，曲線位于最高點 （4）當x時，曲線上升（增函數(shù)）；當x時，曲線下降（減函數(shù)） 并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近 （5）一定時，曲線的形狀由確定 越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；越小曲線越“瘦高”總體分布越集中：5標準正態(tài)曲線:當=0、=l時，正態(tài)總體稱為標準正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是，其相應(yīng)的曲線稱為標準正態(tài)曲線 標準正態(tài)總體n（0，1）在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位 任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)

5、分布的概率問題 1.標準正態(tài)總體的概率問題: 對于標準正態(tài)總體n（0，1），是總體取值小于的概率，即 ，其中，圖中陰影部分的面積表示為概率 只要有標準正態(tài)分布表即可查表解決.從圖中不難發(fā)現(xiàn):當時，；而當時，（0）=0.5 2.標準正態(tài)分布表標準正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位，為此專門制作了“標準正態(tài)分布表”在這個表中，對應(yīng)于的值是指總體取值小于的概率，即 ，若，則利用標準正態(tài)分布表，可以求出標準正態(tài)總體在任意區(qū)間內(nèi)取值的概率，即直線，與正態(tài)曲線、x軸所圍成的曲邊梯形的面積 3非標準正態(tài)總體在某區(qū)間內(nèi)取值的概率:可以通過轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)總體，然后查標準正態(tài)分布表即可 在這里重點掌握如何

6、轉(zhuǎn)化 首先要掌握正態(tài)總體的均值和標準差，然后進行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化 4.小概率事件的含義 發(fā)生概率一般不超過5的事件，即事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生 假設(shè)檢驗方法的基本思想:首先，假設(shè)總體應(yīng)是或近似為正態(tài)總體，然后，依照小概率事件幾乎不可能在一次試驗中發(fā)生的原理對試驗結(jié)果進行分析 假設(shè)檢驗方法的操作程序，即“三步曲” 一是提出統(tǒng)計假設(shè)，教科書中的統(tǒng)計假設(shè)總體是正態(tài)總體；二是確定一次試驗中的a值是否落入(-3，+3)；三是作出判斷 對于正態(tài)總體取值的概率：在區(qū)間（-，+）、（-2，+2）、（-3，+3）內(nèi)取值的概率分別為68.3%、95.4%、99.7% 因此我們時常只在區(qū)間（-3，+3）內(nèi)研究正態(tài)總

7、體分布情況，而忽略其中很小的一部分 在實際應(yīng)用中，通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量只取之間的值，并簡稱之為3原則。講解范例：例1給出下列三個正態(tài)總體的函數(shù)表達式，請找出其均值和標準差 （）（）（）答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5 例2求標準正態(tài)總體在（-1，2）內(nèi)取值的概率解：利用等式有=0.97720.84131=0.8151例3. 若xn(0,1),求(l)p(-2.32<x<1.2)；(2)p(x>2).解：(1)p(-2.32<x<1.2)=f(1.2)-f(-2.32)=f(1.2)-1-f(2.32)=0.8849-(1-0.989

8、8)=0.8747. (2)p(x>2)=1-p(x<2)=1-f(2)=l-0.9772=0.0228. 例4利用標準正態(tài)分布表，求標準正態(tài)總體在下面區(qū)間取值的概率：(1)在n(1,4)下，求 （2）在n（，2）下，求（，）；（1.84，1.84）；（2，2）；（3，3）解：（）（1）0.8413（）（）（1）0.8413（）（1）（1）0.84130.1587（，）（）（）0.84130.15870.6826（1.84，1.84）（1.84）（1.84）0.9342（2，2）（2）（2）0.954（3，3）（3）（3）0.997例5某正態(tài)總體函數(shù)的概率密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為，求總體落入?yún)^(qū)間（1.2，0.2）之間的概率 解：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是，它是偶函數(shù)，說明0，的最大值為，所以1，這個正態(tài)分布就是標準正態(tài)分布 例6在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績服從一個正態(tài)分布，即試求考試成績位于區(qū)間上的概率是多少？解： 法