唐杰+追及相遇問(wèn)題

1、專(zhuān)題課專(zhuān)題課 追及和相遇問(wèn)題追及和相遇問(wèn)題飆車(chē)撞車(chē)視頻飆車(chē)撞車(chē)視頻思考：什么情況下前后兩輛車(chē)之間的距思考：什么情況下前后兩輛車(chē)之間的距離離X增大、減小和不變？增大、減小和不變？ 甲乙兩人相距甲乙兩人相距32m，為表示友好，同時(shí)相，為表示友好，同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲做初速度為向運(yùn)動(dòng)，甲做初速度為1m/s，加速度為，加速度為2m/s2的勻加速運(yùn)動(dòng)，乙的速度為的勻加速運(yùn)動(dòng)，乙的速度為3m/s，求甲乙相遇時(shí)間？求甲乙相遇時(shí)間？同學(xué)們一起做同學(xué)們一起做一輛汽車(chē)在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮一輛汽車(chē)在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮起時(shí)汽車(chē)以起時(shí)汽車(chē)以3m/s2的加速度開(kāi)始行駛，恰在的加速度開(kāi)始行駛，恰在這時(shí)一輛自行車(chē)

2、以這時(shí)一輛自行車(chē)以6m/s的速度勻速駛來(lái)，的速度勻速駛來(lái)，從后面超過(guò)汽車(chē)。試求：從后面超過(guò)汽車(chē)。試求：（1）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間汽車(chē)追上自行車(chē)？）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間汽車(chē)追上自行車(chē)？（2）汽車(chē)從路口開(kāi)動(dòng)后，在追上自行車(chē)之）汽車(chē)從路口開(kāi)動(dòng)后，在追上自行車(chē)之前經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩車(chē)相距前經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩車(chē)相距X最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？此時(shí)距離是多少？解法一解法一 公式法公式法兩者速度相等時(shí)，兩車(chē)相距最遠(yuǎn)。兩者速度相等時(shí)，兩車(chē)相距最遠(yuǎn)。 （速度關(guān)系）（速度關(guān)系） v汽汽=at=v自自 t= v自自/a=6/3=2sS= v自自t at2/2=62 m 3 22 /2m=6m勻加速直線運(yùn)動(dòng)物體追及同向勻速物體勻加速直線運(yùn)

3、動(dòng)物體追及同向勻速物體時(shí)，追上前具有最大距離的條件：時(shí)，追上前具有最大距離的條件：兩者速度相等兩者速度相等總結(jié)總結(jié)解法二解法二 用圖象求解用圖象求解1）自行車(chē)和汽車(chē)的）自行車(chē)和汽車(chē)的v t 圖象圖象 如圖如圖v/（ms-1）v60t/sttV汽汽V自自由于圖線與橫坐標(biāo)軸所包圍的面積表示由于圖線與橫坐標(biāo)軸所包圍的面積表示位移的大小，所以由圖上可以看出位移的大小，所以由圖上可以看出在相遇之前，在在相遇之前，在t時(shí)刻兩車(chē)速度相等時(shí)，時(shí)刻兩車(chē)速度相等時(shí)， 自行車(chē)自行車(chē)的位移（矩形面積）與汽車(chē)位移（三角形面積）的位移（矩形面積）與汽車(chē)位移（三角形面積）之差（即斜線部分）達(dá)最大，所以之差（即斜線部分）達(dá)最

4、大，所以t=v自自/a= 6 / 3=2 s2）由圖可看出，在）由圖可看出，在t時(shí)刻以后，由時(shí)刻以后，由v自自線與線與v汽汽線組線組成的三角形面積與標(biāo)有斜線的三角形面積相等時(shí)，成的三角形面積與標(biāo)有斜線的三角形面積相等時(shí)，兩車(chē)的位移相等（即相遇）。所以由圖得相遇時(shí)，兩車(chē)的位移相等（即相遇）。所以由圖得相遇時(shí)， t=2t=4 s v = 2v自自=12 m/s 11svv6 22 6 622ttm 自自解法三解法三 用數(shù)學(xué)求極值方法來(lái)求解用數(shù)學(xué)求極值方法來(lái)求解設(shè)汽車(chē)在追上自行車(chē)之前經(jīng)過(guò)設(shè)汽車(chē)在追上自行車(chē)之前經(jīng)過(guò)t時(shí)間兩車(chē)相距最時(shí)間兩車(chē)相距最遠(yuǎn)遠(yuǎn)S=S自自S汽汽=v自自t at2/2（位移關(guān)系）（位

5、移關(guān)系） S=6t 3t2/2由二次函數(shù)求極值條件知由二次函數(shù)求極值條件知t= b/2a = 6/3s = 2s時(shí)，時(shí)， S最大最大 Sm=6t 3t2/2= 62 3 22 /2=6 m 追及和相遇問(wèn)題的分析方法追及和相遇問(wèn)題的分析方法: 1.1.根據(jù)對(duì)兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析，根據(jù)對(duì)兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析，畫(huà)出畫(huà)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程的示意圖運(yùn)動(dòng)過(guò)程的示意圖2.2.找出物體間找出物體間兩個(gè)關(guān)系兩個(gè)關(guān)系（位移和時(shí)間），建（位移和時(shí)間），建立立位移方程位移方程！抓住相距最近條件（速度相！抓住相距最近條件（速度相等），等），建立速度方程建立速度方程！例例2、一車(chē)從靜止開(kāi)始以、一車(chē)從靜止開(kāi)始以1m/s2的加

6、速度前進(jìn)，車(chē)后相距的加速度前進(jìn)，車(chē)后相距S0為為25m處，某人同時(shí)開(kāi)始以處，某人同時(shí)開(kāi)始以6m/s的速度勻速追車(chē)，能的速度勻速追車(chē)，能否追上？如追不上，求人、車(chē)間的最小距離。否追上？如追不上，求人、車(chē)間的最小距離。 解析：解析：依題意，人與車(chē)運(yùn)動(dòng)的依題意，人與車(chē)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等時(shí)間相等，設(shè)為，設(shè)為t,當(dāng)人追上車(chē)時(shí)，兩者之間的當(dāng)人追上車(chē)時(shí)，兩者之間的位移關(guān)系位移關(guān)系為：為：S車(chē)車(chē)+S0= S人人即：即： at22 + S0= v人人t由此方程求解由此方程求解t，若有解，則可追上；，若有解，則可追上； 若無(wú)解，則不能追上。若無(wú)解，則不能追上。 代入數(shù)據(jù)并整理得：代入數(shù)據(jù)并整理得：t212t+50=0

7、=b24ac=1224501=560所以，人追不上車(chē)。所以，人追不上車(chē)。S0v=6m/sa=1m/s2 在剛開(kāi)始追車(chē)時(shí)，由于人的速度大于車(chē)的速度，因在剛開(kāi)始追車(chē)時(shí)，由于人的速度大于車(chē)的速度，因此人車(chē)間的距離逐漸減??；當(dāng)車(chē)速大于人的速度時(shí)，此人車(chē)間的距離逐漸減??；當(dāng)車(chē)速大于人的速度時(shí)，人車(chē)間的距離逐漸增大。因此，人車(chē)間的距離逐漸增大。因此，當(dāng)人車(chē)速度相等時(shí)，當(dāng)人車(chē)速度相等時(shí)，兩者間距離最小。兩者間距離最小。at= v人人 t=6s在這段時(shí)間里，人、車(chē)的位移分別為：在這段時(shí)間里，人、車(chē)的位移分別為：S人人=v人人t=66=36mS車(chē)車(chē)=at2/2=162/2=18mS=S0+S車(chē)車(chē)S人人=25+1

8、836=7m 一車(chē)從靜止開(kāi)始以一車(chē)從靜止開(kāi)始以1m/s2的加速度前進(jìn)，車(chē)后相的加速度前進(jìn)，車(chē)后相距距S0為為25m處，某人同時(shí)開(kāi)始以至少多大的速度勻速追處，某人同時(shí)開(kāi)始以至少多大的速度勻速追車(chē)，才能追上車(chē)？車(chē)，才能追上車(chē)？車(chē)恰好追上人的速度多大車(chē)恰好追上人的速度多大?解析：解析：依題意，人與車(chē)運(yùn)動(dòng)的依題意，人與車(chē)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等時(shí)間相等，設(shè)為，設(shè)為t,當(dāng)人追上車(chē)時(shí)，兩者之間的當(dāng)人追上車(chē)時(shí)，兩者之間的位移關(guān)系位移關(guān)系為：為：S車(chē)車(chē)+S0= S人人即：即： at22 + S0= v人人t 代入數(shù)據(jù)并整理得：代入數(shù)據(jù)并整理得：t2 2v人人t+50=0S0v=?m/sa=1m/s2=b24ac=(2v

9、人人)2 4501 0所以，所以，5 2/vm s人5 2/,.5 2 ;5 2/vm stsvm sv人人車(chē)當(dāng)時(shí) 人恰好追上車(chē)此時(shí)車(chē)速小小結(jié)結(jié)勻速運(yùn)動(dòng)的物體甲追及同向勻加速直線運(yùn)動(dòng)物勻速運(yùn)動(dòng)的物體甲追及同向勻加速直線運(yùn)動(dòng)物體乙時(shí)：體乙時(shí)： 若追不上，則若追不上，則V甲甲= V乙乙是兩者相距最近的是兩者相距最近的條件；條件； 若能追上，則若能追上，則V甲甲= V乙乙是恰好追上的條件是恰好追上的條件 例例3.3. 在平直公路上有兩輛汽車(chē)在平直公路上有兩輛汽車(chē)A、B平行同向行駛，平行同向行駛，A車(chē)以車(chē)以vA=4m/s 的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，B車(chē)以車(chē)以vB=10m/s的速度做勻

10、速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)乃俣茸鰟蛩僦本€運(yùn)動(dòng)，當(dāng)B車(chē)行駛到車(chē)行駛到A車(chē)車(chē)前前S=7m處時(shí)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)以處時(shí)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)以2m/s2的加速度做勻減速直的加速度做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，則從此時(shí)開(kāi)始線運(yùn)動(dòng)，則從此時(shí)開(kāi)始A車(chē)經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間可追上車(chē)經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間可追上B車(chē)？車(chē)？ 分析：分析：畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的示意圖如圖所示：畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的示意圖如圖所示：vA= 4m/svB= 10m/s7m追上處追上處a= -2m/s2A A車(chē)追上車(chē)追上B B車(chē)可能有兩種不同情況：車(chē)可能有兩種不同情況：B B車(chē)停止前被追及和車(chē)停止前被追及和B B車(chē)停止后被追及。車(chē)停止后被追及。究竟是哪一種情況，應(yīng)根據(jù)解答結(jié)果，由實(shí)際情況究竟是哪一種情況，應(yīng)根據(jù)解答結(jié)果，由實(shí)

11、際情況判斷。判斷。解答：解答：設(shè)經(jīng)時(shí)間設(shè)經(jīng)時(shí)間t 追上。依題意：追上。依題意： vBt + at2/2 + S = vAt 即：即：10t - t 2 + 7 = 4 t t=7s t=-1s(舍去舍去)B車(chē)剎車(chē)的時(shí)間車(chē)剎車(chē)的時(shí)間 t= vB / a =5s顯然，顯然，B車(chē)停止后車(chē)停止后A再追上再追上B。B車(chē)剎車(chē)的位移車(chē)剎車(chē)的位移 SB=vB2/2a=102/4=25m A車(chē)的總位移車(chē)的總位移 SA=SB+S=32m t =SA/vA=32/4=8s思考：思考：若將題中的若將題中的vA=4m/s 改為改為vA=16m/s ，結(jié)果如何？，結(jié)果如何？即即甲車(chē)停止前被追及，甲車(chē)停止前被追及， t=1

12、s 即：即：10t - t 2 + 7 = 16t t=1s t=-7s(舍去舍去)小小結(jié)結(jié) 勻速運(yùn)動(dòng)的物體甲追及同向勻減速直線運(yùn)勻速運(yùn)動(dòng)的物體甲追及同向勻減速直線運(yùn)動(dòng)物體乙時(shí)，要分析是在乙停止前后被追及。動(dòng)物體乙時(shí)，要分析是在乙停止前后被追及。思思考考 若甲的速度小于乙的初速度，則若甲的速度小于乙的初速度，則V甲甲= V乙乙有什么意義嗎？有什么意義嗎？ 若甲的速度小于乙的初速度，則若甲的速度小于乙的初速度，則V甲甲= V乙乙是兩者相距最遠(yuǎn)的條件；是兩者相距最遠(yuǎn)的條件；思思考考 若甲的速度大于乙的初速度，則若甲的速度大于乙的初速度，則V甲甲= V乙乙有什么意義嗎？有什么意義嗎？ 沒(méi)有特殊意義。

13、沒(méi)有特殊意義。例例4.汽車(chē)正以汽車(chē)正以10m/s的速度在平直公路上做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度在平直公路上做勻速直線運(yùn)動(dòng),突突然發(fā)現(xiàn)正前方然發(fā)現(xiàn)正前方10m處有一輛自行車(chē)以處有一輛自行車(chē)以4m/s的速度同方向做的速度同方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)勻速直線運(yùn)動(dòng),汽車(chē)立即關(guān)閉油門(mén)汽車(chē)立即關(guān)閉油門(mén),做加速度為做加速度為6m/s2的勻減的勻減速運(yùn)動(dòng)速運(yùn)動(dòng),問(wèn)：?jiǎn)枺海?）汽車(chē)能否撞上自行車(chē)）汽車(chē)能否撞上自行車(chē)?若汽車(chē)不能撞上自行車(chē)，汽車(chē)若汽車(chē)不能撞上自行車(chē)，汽車(chē)與自行車(chē)間的最近距離為多少？與自行車(chē)間的最近距離為多少？（2）汽車(chē)減速時(shí)，他們間距離至少多大不相撞？）汽車(chē)減速時(shí)，他們間距離至少多大不相撞？ 汽車(chē)在關(guān)閉油門(mén)減速后

14、的一段時(shí)間內(nèi)，其速度大于自行車(chē)汽車(chē)在關(guān)閉油門(mén)減速后的一段時(shí)間內(nèi)，其速度大于自行車(chē)速度，因此，汽車(chē)和自行車(chē)之間的距離在不斷的縮小，當(dāng)速度，因此，汽車(chē)和自行車(chē)之間的距離在不斷的縮小，當(dāng)這距離縮小到零時(shí)，若汽車(chē)的速度減至與自行車(chē)相同，則這距離縮小到零時(shí)，若汽車(chē)的速度減至與自行車(chē)相同，則能滿(mǎn)足汽車(chē)恰好不碰上自行車(chē)能滿(mǎn)足汽車(chē)恰好不碰上自行車(chē)v汽汽= 10m/sv自自= 4m/s10m追上處追上處a= -6m/s2分析：分析：畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的示意圖如圖所示畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的示意圖如圖所示解：解：（1）汽車(chē)速度減到汽車(chē)速度減到4m/s時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和發(fā)生的位移分別為和發(fā)生的位移分別為t=(v自自- v汽汽)/a

15、=（4-10）/(-6）s=1sS汽汽= （v自自2-v汽汽2）/2a=(16-100)/(-12)=7m這段時(shí)間內(nèi)自行車(chē)發(fā)生的位移這段時(shí)間內(nèi)自行車(chē)發(fā)生的位移S自自= v自自t=4m因?yàn)橐驗(yàn)?S0+S自自S汽汽所以，汽車(chē)不能撞上自行車(chē)。所以，汽車(chē)不能撞上自行車(chē)。汽車(chē)與自行車(chē)間的最近距離為汽車(chē)與自行車(chē)間的最近距離為S=S0+S自自S汽汽=（10+47）m=7m（2）要使汽車(chē)與自行車(chē)不相撞則）要使汽車(chē)與自行車(chē)不相撞則S=0 則汽車(chē)減速時(shí)它們之間的距離至少為則汽車(chē)減速時(shí)它們之間的距離至少為 S0=S汽汽S自自=（7-4）m=3m小小結(jié)結(jié)勻減速直線運(yùn)動(dòng)物體乙追及同向勻速運(yùn)動(dòng)的物勻減速直線運(yùn)動(dòng)物體乙追及

16、同向勻速運(yùn)動(dòng)的物體甲時(shí)：體甲時(shí)： 若追不上，則若追不上，則V甲甲= V乙乙是兩者相距最近的是兩者相距最近的條件；條件； 若能追上，則若能追上，則V甲甲= V乙乙是恰好追上的條件是恰好追上的條件分析追及和相遇問(wèn)題時(shí)要注意：分析追及和相遇問(wèn)題時(shí)要注意：1.一定要抓住一個(gè)條件兩個(gè)關(guān)系一定要抓住一個(gè)條件兩個(gè)關(guān)系（1）一個(gè)條件是兩個(gè)物體）一個(gè)條件是兩個(gè)物體速度相等速度相等時(shí)滿(mǎn)足的臨界條件時(shí)滿(mǎn)足的臨界條件，如兩個(gè)物體的距離是最大還是最小，是否恰好追上，如兩個(gè)物體的距離是最大還是最小，是否恰好追上等。等。（2）兩個(gè)關(guān)系是）兩個(gè)關(guān)系是時(shí)間時(shí)間關(guān)系和關(guān)系和位移位移關(guān)系關(guān)系時(shí)間關(guān)系指兩物體是同時(shí)運(yùn)動(dòng)還是一前一后時(shí)

17、間關(guān)系指兩物體是同時(shí)運(yùn)動(dòng)還是一前一后位移關(guān)系指兩物體同地運(yùn)動(dòng)還是一前一后，位移關(guān)系指兩物體同地運(yùn)動(dòng)還是一前一后，通過(guò)畫(huà)運(yùn)通過(guò)畫(huà)運(yùn)動(dòng)示意圖找兩物體間的位移關(guān)系是解題的關(guān)鍵。動(dòng)示意圖找兩物體間的位移關(guān)系是解題的關(guān)鍵。2.若被追趕的物體做若被追趕的物體做勻減速運(yùn)動(dòng)勻減速運(yùn)動(dòng)，一定要注意，一定要注意，追上追上前該物體是否停止運(yùn)動(dòng)前該物體是否停止運(yùn)動(dòng)。3.仔細(xì)審題，注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘仔細(xì)審題，注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中隱含條件，如題目中隱含條件，如“剛好剛好”、“恰巧恰巧”、“最多最多”、“至少至少”等，往往對(duì)應(yīng)一個(gè)臨界狀態(tài)，滿(mǎn)足相應(yīng)的等，往往對(duì)應(yīng)一個(gè)臨界狀態(tài)，滿(mǎn)足相應(yīng)的臨

18、界條件。臨界條件。1、勻加速直線運(yùn)動(dòng)物體追及同向勻速物體時(shí)，、勻加速直線運(yùn)動(dòng)物體追及同向勻速物體時(shí)，則則V甲甲= V乙乙追上前具有最大距離的條件；追上前具有最大距離的條件；2、勻速運(yùn)動(dòng)的物體甲追及同向勻加速直線運(yùn)、勻速運(yùn)動(dòng)的物體甲追及同向勻加速直線運(yùn)動(dòng)物體乙時(shí)：動(dòng)物體乙時(shí)：若追不上，則若追不上，則V甲甲= V乙乙是兩者相是兩者相距最近的條件；距最近的條件；若能追上，則若能追上，則V甲甲= V乙乙是恰好是恰好追上的條件追上的條件3、勻速運(yùn)動(dòng)的物體甲追及同向勻減速直線運(yùn)、勻速運(yùn)動(dòng)的物體甲追及同向勻減速直線運(yùn)動(dòng)物體乙時(shí)，動(dòng)物體乙時(shí)，若甲的速度小于乙的初速度，則若甲的速度小于乙的初速度，則V甲甲= V乙乙是兩者相距最遠(yuǎn)的條件。是兩者相距最遠(yuǎn)的條件。4