唐杰+追及相遇問題

1、專題課專題課 追及和相遇問題追及和相遇問題飆車撞車視頻飆車撞車視頻思考：什么情況下前后兩輛車之間的距思考：什么情況下前后兩輛車之間的距離離X增大、減小和不變？增大、減小和不變？ 甲乙兩人相距甲乙兩人相距32m，為表示友好，同時(shí)相，為表示友好，同時(shí)相向運(yùn)動，甲做初速度為向運(yùn)動，甲做初速度為1m/s，加速度為，加速度為2m/s2的勻加速運(yùn)動，乙的速度為的勻加速運(yùn)動，乙的速度為3m/s，求甲乙相遇時(shí)間？求甲乙相遇時(shí)間？同學(xué)們一起做同學(xué)們一起做一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮起時(shí)汽車以起時(shí)汽車以3m/s2的加速度開始行駛，恰在的加速度開始行駛，恰在這時(shí)一輛自行車

2、以這時(shí)一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，的速度勻速駛來，從后面超過汽車。試求：從后面超過汽車。試求：（1）經(jīng)過多長時(shí)間汽車追上自行車？）經(jīng)過多長時(shí)間汽車追上自行車？（2）汽車從路口開動后，在追上自行車之）汽車從路口開動后，在追上自行車之前經(jīng)過多長時(shí)間兩車相距前經(jīng)過多長時(shí)間兩車相距X最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？此時(shí)距離是多少？解法一解法一 公式法公式法兩者速度相等時(shí)，兩車相距最遠(yuǎn)。兩者速度相等時(shí)，兩車相距最遠(yuǎn)。 （速度關(guān)系）（速度關(guān)系） v汽汽=at=v自自 t= v自自/a=6/3=2sS= v自自t at2/2=62 m 3 22 /2m=6m勻加速直線運(yùn)動物體追及同向勻速物體勻加速直線運(yùn)

3、動物體追及同向勻速物體時(shí)，追上前具有最大距離的條件：時(shí)，追上前具有最大距離的條件：兩者速度相等兩者速度相等總結(jié)總結(jié)解法二解法二 用圖象求解用圖象求解1）自行車和汽車的）自行車和汽車的v t 圖象圖象 如圖如圖v/（ms-1）v60t/sttV汽汽V自自由于圖線與橫坐標(biāo)軸所包圍的面積表示由于圖線與橫坐標(biāo)軸所包圍的面積表示位移的大小，所以由圖上可以看出位移的大小，所以由圖上可以看出在相遇之前，在在相遇之前，在t時(shí)刻兩車速度相等時(shí)，時(shí)刻兩車速度相等時(shí)， 自行車自行車的位移（矩形面積）與汽車位移（三角形面積）的位移（矩形面積）與汽車位移（三角形面積）之差（即斜線部分）達(dá)最大，所以之差（即斜線部分）達(dá)最

4、大，所以t=v自自/a= 6 / 3=2 s2）由圖可看出，在）由圖可看出，在t時(shí)刻以后，由時(shí)刻以后，由v自自線與線與v汽汽線組線組成的三角形面積與標(biāo)有斜線的三角形面積相等時(shí)，成的三角形面積與標(biāo)有斜線的三角形面積相等時(shí)，兩車的位移相等（即相遇）。所以由圖得相遇時(shí)，兩車的位移相等（即相遇）。所以由圖得相遇時(shí)， t=2t=4 s v = 2v自自=12 m/s 11svv6 22 6 622ttm 自自解法三解法三 用數(shù)學(xué)求極值方法來求解用數(shù)學(xué)求極值方法來求解設(shè)汽車在追上自行車之前經(jīng)過設(shè)汽車在追上自行車之前經(jīng)過t時(shí)間兩車相距最時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)遠(yuǎn)S=S自自S汽汽=v自自t at2/2（位移關(guān)系）（位

5、移關(guān)系） S=6t 3t2/2由二次函數(shù)求極值條件知由二次函數(shù)求極值條件知t= b/2a = 6/3s = 2s時(shí)，時(shí)， S最大最大 Sm=6t 3t2/2= 62 3 22 /2=6 m 追及和相遇問題的分析方法追及和相遇問題的分析方法: 1.1.根據(jù)對兩個(gè)物體的運(yùn)動過程的分析，根據(jù)對兩個(gè)物體的運(yùn)動過程的分析，畫出畫出運(yùn)動過程的示意圖運(yùn)動過程的示意圖2.2.找出物體間找出物體間兩個(gè)關(guān)系兩個(gè)關(guān)系（位移和時(shí)間），建（位移和時(shí)間），建立立位移方程位移方程！抓住相距最近條件（速度相！抓住相距最近條件（速度相等），等），建立速度方程建立速度方程！例例2、一車從靜止開始以、一車從靜止開始以1m/s2的加

6、速度前進(jìn)，車后相距的加速度前進(jìn)，車后相距S0為為25m處，某人同時(shí)開始以處，某人同時(shí)開始以6m/s的速度勻速追車，能的速度勻速追車，能否追上？如追不上，求人、車間的最小距離。否追上？如追不上，求人、車間的最小距離。 解析：解析：依題意，人與車運(yùn)動的依題意，人與車運(yùn)動的時(shí)間相等時(shí)間相等，設(shè)為，設(shè)為t,當(dāng)人追上車時(shí)，兩者之間的當(dāng)人追上車時(shí)，兩者之間的位移關(guān)系位移關(guān)系為：為：S車車+S0= S人人即：即： at22 + S0= v人人t由此方程求解由此方程求解t，若有解，則可追上；，若有解，則可追上； 若無解，則不能追上。若無解，則不能追上。 代入數(shù)據(jù)并整理得：代入數(shù)據(jù)并整理得：t212t+50=0

7、=b24ac=1224501=560所以，人追不上車。所以，人追不上車。S0v=6m/sa=1m/s2 在剛開始追車時(shí)，由于人的速度大于車的速度，因在剛開始追車時(shí)，由于人的速度大于車的速度，因此人車間的距離逐漸減??；當(dāng)車速大于人的速度時(shí)，此人車間的距離逐漸減?。划?dāng)車速大于人的速度時(shí)，人車間的距離逐漸增大。因此，人車間的距離逐漸增大。因此，當(dāng)人車速度相等時(shí)，當(dāng)人車速度相等時(shí)，兩者間距離最小。兩者間距離最小。at= v人人 t=6s在這段時(shí)間里，人、車的位移分別為：在這段時(shí)間里，人、車的位移分別為：S人人=v人人t=66=36mS車車=at2/2=162/2=18mS=S0+S車車S人人=25+1

8、836=7m 一車從靜止開始以一車從靜止開始以1m/s2的加速度前進(jìn)，車后相的加速度前進(jìn)，車后相距距S0為為25m處，某人同時(shí)開始以至少多大的速度勻速追處，某人同時(shí)開始以至少多大的速度勻速追車，才能追上車？車，才能追上車？車恰好追上人的速度多大車恰好追上人的速度多大?解析：解析：依題意，人與車運(yùn)動的依題意，人與車運(yùn)動的時(shí)間相等時(shí)間相等，設(shè)為，設(shè)為t,當(dāng)人追上車時(shí)，兩者之間的當(dāng)人追上車時(shí)，兩者之間的位移關(guān)系位移關(guān)系為：為：S車車+S0= S人人即：即： at22 + S0= v人人t 代入數(shù)據(jù)并整理得：代入數(shù)據(jù)并整理得：t2 2v人人t+50=0S0v=?m/sa=1m/s2=b24ac=(2v

9、人人)2 4501 0所以，所以，5 2/vm s人5 2/,.5 2 ;5 2/vm stsvm sv人人車當(dāng)時(shí) 人恰好追上車此時(shí)車速小小結(jié)結(jié)勻速運(yùn)動的物體甲追及同向勻加速直線運(yùn)動物勻速運(yùn)動的物體甲追及同向勻加速直線運(yùn)動物體乙時(shí)：體乙時(shí)： 若追不上，則若追不上，則V甲甲= V乙乙是兩者相距最近的是兩者相距最近的條件；條件； 若能追上，則若能追上，則V甲甲= V乙乙是恰好追上的條件是恰好追上的條件 例例3.3. 在平直公路上有兩輛汽車在平直公路上有兩輛汽車A、B平行同向行駛，平行同向行駛，A車以車以vA=4m/s 的速度做勻速直線運(yùn)動，的速度做勻速直線運(yùn)動，B車以車以vB=10m/s的速度做勻

10、速直線運(yùn)動，當(dāng)?shù)乃俣茸鰟蛩僦本€運(yùn)動，當(dāng)B車行駛到車行駛到A車車前前S=7m處時(shí)關(guān)閉發(fā)動機(jī)以處時(shí)關(guān)閉發(fā)動機(jī)以2m/s2的加速度做勻減速直的加速度做勻減速直線運(yùn)動，則從此時(shí)開始線運(yùn)動，則從此時(shí)開始A車經(jīng)多長時(shí)間可追上車經(jīng)多長時(shí)間可追上B車？車？ 分析：分析：畫出運(yùn)動的示意圖如圖所示：畫出運(yùn)動的示意圖如圖所示：vA= 4m/svB= 10m/s7m追上處追上處a= -2m/s2A A車追上車追上B B車可能有兩種不同情況：車可能有兩種不同情況：B B車停止前被追及和車停止前被追及和B B車停止后被追及。車停止后被追及。究竟是哪一種情況，應(yīng)根據(jù)解答結(jié)果，由實(shí)際情況究竟是哪一種情況，應(yīng)根據(jù)解答結(jié)果，由實(shí)

11、際情況判斷。判斷。解答：解答：設(shè)經(jīng)時(shí)間設(shè)經(jīng)時(shí)間t 追上。依題意：追上。依題意： vBt + at2/2 + S = vAt 即：即：10t - t 2 + 7 = 4 t t=7s t=-1s(舍去舍去)B車剎車的時(shí)間車剎車的時(shí)間 t= vB / a =5s顯然，顯然，B車停止后車停止后A再追上再追上B。B車剎車的位移車剎車的位移 SB=vB2/2a=102/4=25m A車的總位移車的總位移 SA=SB+S=32m t =SA/vA=32/4=8s思考：思考：若將題中的若將題中的vA=4m/s 改為改為vA=16m/s ，結(jié)果如何？，結(jié)果如何？即即甲車停止前被追及，甲車停止前被追及， t=1

12、s 即：即：10t - t 2 + 7 = 16t t=1s t=-7s(舍去舍去)小小結(jié)結(jié) 勻速運(yùn)動的物體甲追及同向勻減速直線運(yùn)勻速運(yùn)動的物體甲追及同向勻減速直線運(yùn)動物體乙時(shí)，要分析是在乙停止前后被追及。動物體乙時(shí)，要分析是在乙停止前后被追及。思思考考 若甲的速度小于乙的初速度，則若甲的速度小于乙的初速度，則V甲甲= V乙乙有什么意義嗎？有什么意義嗎？ 若甲的速度小于乙的初速度，則若甲的速度小于乙的初速度，則V甲甲= V乙乙是兩者相距最遠(yuǎn)的條件；是兩者相距最遠(yuǎn)的條件；思思考考 若甲的速度大于乙的初速度，則若甲的速度大于乙的初速度，則V甲甲= V乙乙有什么意義嗎？有什么意義嗎？ 沒有特殊意義。

13、沒有特殊意義。例例4.汽車正以汽車正以10m/s的速度在平直公路上做勻速直線運(yùn)動的速度在平直公路上做勻速直線運(yùn)動,突突然發(fā)現(xiàn)正前方然發(fā)現(xiàn)正前方10m處有一輛自行車以處有一輛自行車以4m/s的速度同方向做的速度同方向做勻速直線運(yùn)動勻速直線運(yùn)動,汽車立即關(guān)閉油門汽車立即關(guān)閉油門,做加速度為做加速度為6m/s2的勻減的勻減速運(yùn)動速運(yùn)動,問：問：（1）汽車能否撞上自行車）汽車能否撞上自行車?若汽車不能撞上自行車，汽車若汽車不能撞上自行車，汽車與自行車間的最近距離為多少？與自行車間的最近距離為多少？（2）汽車減速時(shí)，他們間距離至少多大不相撞？）汽車減速時(shí)，他們間距離至少多大不相撞？ 汽車在關(guān)閉油門減速后

14、的一段時(shí)間內(nèi)，其速度大于自行車汽車在關(guān)閉油門減速后的一段時(shí)間內(nèi)，其速度大于自行車速度，因此，汽車和自行車之間的距離在不斷的縮小，當(dāng)速度，因此，汽車和自行車之間的距離在不斷的縮小，當(dāng)這距離縮小到零時(shí)，若汽車的速度減至與自行車相同，則這距離縮小到零時(shí)，若汽車的速度減至與自行車相同，則能滿足汽車恰好不碰上自行車能滿足汽車恰好不碰上自行車v汽汽= 10m/sv自自= 4m/s10m追上處追上處a= -6m/s2分析：分析：畫出運(yùn)動的示意圖如圖所示畫出運(yùn)動的示意圖如圖所示解：解：（1）汽車速度減到汽車速度減到4m/s時(shí)運(yùn)動的時(shí)間時(shí)運(yùn)動的時(shí)間和發(fā)生的位移分別為和發(fā)生的位移分別為t=(v自自- v汽汽)/a

15、=（4-10）/(-6）s=1sS汽汽= （v自自2-v汽汽2）/2a=(16-100)/(-12)=7m這段時(shí)間內(nèi)自行車發(fā)生的位移這段時(shí)間內(nèi)自行車發(fā)生的位移S自自= v自自t=4m因?yàn)橐驗(yàn)?S0+S自自S汽汽所以，汽車不能撞上自行車。所以，汽車不能撞上自行車。汽車與自行車間的最近距離為汽車與自行車間的最近距離為S=S0+S自自S汽汽=（10+47）m=7m（2）要使汽車與自行車不相撞則）要使汽車與自行車不相撞則S=0 則汽車減速時(shí)它們之間的距離至少為則汽車減速時(shí)它們之間的距離至少為 S0=S汽汽S自自=（7-4）m=3m小小結(jié)結(jié)勻減速直線運(yùn)動物體乙追及同向勻速運(yùn)動的物勻減速直線運(yùn)動物體乙追及

16、同向勻速運(yùn)動的物體甲時(shí)：體甲時(shí)： 若追不上，則若追不上，則V甲甲= V乙乙是兩者相距最近的是兩者相距最近的條件；條件； 若能追上，則若能追上，則V甲甲= V乙乙是恰好追上的條件是恰好追上的條件分析追及和相遇問題時(shí)要注意：分析追及和相遇問題時(shí)要注意：1.一定要抓住一個(gè)條件兩個(gè)關(guān)系一定要抓住一個(gè)條件兩個(gè)關(guān)系（1）一個(gè)條件是兩個(gè)物體）一個(gè)條件是兩個(gè)物體速度相等速度相等時(shí)滿足的臨界條件時(shí)滿足的臨界條件，如兩個(gè)物體的距離是最大還是最小，是否恰好追上，如兩個(gè)物體的距離是最大還是最小，是否恰好追上等。等。（2）兩個(gè)關(guān)系是）兩個(gè)關(guān)系是時(shí)間時(shí)間關(guān)系和關(guān)系和位移位移關(guān)系關(guān)系時(shí)間關(guān)系指兩物體是同時(shí)運(yùn)動還是一前一后時(shí)

17、間關(guān)系指兩物體是同時(shí)運(yùn)動還是一前一后位移關(guān)系指兩物體同地運(yùn)動還是一前一后，位移關(guān)系指兩物體同地運(yùn)動還是一前一后，通過畫運(yùn)通過畫運(yùn)動示意圖找兩物體間的位移關(guān)系是解題的關(guān)鍵。動示意圖找兩物體間的位移關(guān)系是解題的關(guān)鍵。2.若被追趕的物體做若被追趕的物體做勻減速運(yùn)動勻減速運(yùn)動，一定要注意，一定要注意，追上追上前該物體是否停止運(yùn)動前該物體是否停止運(yùn)動。3.仔細(xì)審題，注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘仔細(xì)審題，注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中隱含條件，如題目中隱含條件，如“剛好剛好”、“恰巧恰巧”、“最多最多”、“至少至少”等，往往對應(yīng)一個(gè)臨界狀態(tài)，滿足相應(yīng)的等，往往對應(yīng)一個(gè)臨界狀態(tài)，滿足相應(yīng)的臨

18、界條件。臨界條件。1、勻加速直線運(yùn)動物體追及同向勻速物體時(shí)，、勻加速直線運(yùn)動物體追及同向勻速物體時(shí)，則則V甲甲= V乙乙追上前具有最大距離的條件；追上前具有最大距離的條件；2、勻速運(yùn)動的物體甲追及同向勻加速直線運(yùn)、勻速運(yùn)動的物體甲追及同向勻加速直線運(yùn)動物體乙時(shí)：動物體乙時(shí)：若追不上，則若追不上，則V甲甲= V乙乙是兩者相是兩者相距最近的條件；距最近的條件；若能追上，則若能追上，則V甲甲= V乙乙是恰好是恰好追上的條件追上的條件3、勻速運(yùn)動的物體甲追及同向勻減速直線運(yùn)、勻速運(yùn)動的物體甲追及同向勻減速直線運(yùn)動物體乙時(shí)，動物體乙時(shí)，若甲的速度小于乙的初速度，則若甲的速度小于乙的初速度，則V甲甲= V乙乙是兩者相距最遠(yuǎn)的條件。是兩者相距最遠(yuǎn)的條件。4