數(shù)列不等式放縮法

1、1.3.5.常用公式用放縮法證明不等式的方法與技巧k(k2kk!1)k(k1)2k (k4)4.k 2)2 (k1)!6.放縮技巧(1)所謂放縮的技巧：即欲證 由A到C叫做“放”，由 常用的放縮技巧若 t 0,aA B，欲尋找一個(gè)（或多個(gè)）中間變量B到C叫做“縮”.C，使 A C B,(2)(3)(4)(5)a, b, m(6)(7)2!122(7)n 1 i或丄n 111，2常見題型一）(8)1設(shè)t a,a tn(n1)，則-b1n丄n22n(n1)2、n . n3!1321n!12n.先求和再放縮12(1b丄22舟)2n12n12n2n1,n 、n.n1n(n1)2、n、n11丄）（因?yàn)閚

2、 1n1nn1 n11n12n2n220-n '、孑7)(1n11n-(nn1nn等等。1) n2-亠)(n 1)n1 ，求證：Sn 1n(n 1)132設(shè)bn - ( n N )，數(shù)列bnbn 2的前n項(xiàng)和為Tn ,求證：Tn -n4122 的值ki4k21例2.求證:1111歹5"1(2n 1)212(2n2)例3求證：1丄丄 丄1丄2416364n 2 4n例 5 已知 an4n 2n, Tn2na a2,求證:I；anT2Tn直接放縮1、放大或縮小“因式”：4 a*例1.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a.5Sn1成立，記bnn (n N )。1 a

3、n(I )求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;*3(II )記Cnb2nb2n1(n N )，設(shè)數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為Tn,求證：對(duì)任意正整數(shù)n都有Tn22an 1 n N例2.已知數(shù)列an滿足a11,an 1(I) 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；1 1(川)證明：丄丄 L1an 1例3.設(shè)數(shù)列g(shù)滿足a2, an 11乩 (n 1,2,).證明 an an,2n 1對(duì)一切正整數(shù)n成立1例4.已知數(shù)列an滿足a1， an4an 1(1)nan 122,nN )。(I) 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;(川)設(shè)cnan sin(2n 1)2，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn ,求證：對(duì)n N ,Tna?83例5.數(shù)列Xn由下列條件確定：

4、Xi a 0 , Xn 1 1 Xn A n N .2Xn '(I )證明：對(duì)n 2總有Xn a ; (II)證明：對(duì)n 2總有xn Xn 1b3=6+b2.1. (2014?浙江)已知數(shù)列an和bn滿足aia2a3an=(近)(門令*).若an為等比數(shù)列，且ai=2, (I)求 an 和 bn;(n)設(shè)Cn= -(n N ) 記數(shù)列c n的前n項(xiàng)和為Sn.an bn(i) 求 Sn;(ii) 求正整數(shù)k,使得對(duì)任意 nN*均有SkS.2. (2015?廣東)數(shù)列an滿足：a1+2a2+ nan=4, n N + .(1 )求a3的值；(2) 求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Tn;Tjl ii i

5、i(3 )令 b仁 a1, bn=+ (1+2+2+土)an (n >2 ,證明：數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足 Snv 2+2l nn .nz 3n3. (2013?廣東)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1, n3n n+l 33(1 )求a2的值；(2) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3) 證明：對(duì)一切正整數(shù) n,有-! 1.引七 J 4222*4. (2014?廣東)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn滿足Sn2 -( n2+n - 3) Sn-3 (n2+n) =0, nN (1 )求ai的值；(2) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3) 證明：對(duì)一切正整數(shù) n,有+-'

6、v丄.曰1曰+1) 幻(乜+1)( 務(wù)+D 幣2 * 5. (2013?廣東)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿足4Sn=an+i - 4n- 1, nN，且a2,a5,ai4構(gòu)成等比數(shù)列.(1)證明：叫佃+5 ；(2)(3)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;證明：對(duì)一切正整數(shù)n,有Ianan+l6. (2012?廣東)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿足2Sn=an+1 - 2+1 , n N，且a1, a2+5, a3成等差數(shù)列.(1 )求a1的值；(2) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3) 證明：對(duì)一切正整數(shù) n,有-|al a2 a3 an 乂一、， 27. (2015?重慶)在數(shù)列an中，a1=

7、3, an+1an+ 入 n+1+ua=0 (n N+)(I)若 入=0卩=-2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；2+巫石v+1v 2莎應(yīng).(n)若入(ko N+, k0>2 ,1,證明:%8 (2014?天津)已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合M=0 , 1 , 2,，q - 1，集合A=x|x=x -1',Xi M , i=1 , 2,n.(I)當(dāng)q=2, n=3時(shí)，用列舉法表示集合A ;(n)設(shè) s, t CA, s=a1+a2q+ +anqn 1, t=b1+b2q+ +bnqn j 其中 ai, bi M , i=1 , 2,，n.證明：sv t.n1+x2q+ +xnq

8、若 anV bn,則9. (2012?重慶)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1=a2Sn+a1，其中a20(I)求證：a n是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；(n)若a2>- 1，求證-二 . ，并給出等號(hào)成立的充要條件.10. (2013秋？梁子湖區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)(I)若時(shí)，f (x) < 0求入的最小值;f e =ln (1+x)-x tl+ x)L+x- I_ .(II)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an=1+丄證明211. (2011?廣東)設(shè) b>0,數(shù)列an滿足 a1=b,an=(n>2 .(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;i Tl+1(2)證明：對(duì)于一切正整數(shù)n, anw+12 3

9、 n12. ( 2011?天津)已知數(shù)列an與bn滿足 bn+1an+bnan+1= (- 2) "+1 ,bn=3+(-0nN*，且 ai=2.(I)求a2, a3的值(n)設(shè) Cn=a2n+1 - a2n- 1, n N，證明c n是等比數(shù)列(川)設(shè)Si為an的前n項(xiàng)和，證明(nN*)13. (2011?重慶)設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足 9+1=an+1Sn (n N ).(I)若a1, S2,- 2a2成等比數(shù)列，求 S2和a3.(n)求證：對(duì) k>3有OWk二14. (2011?湖南)已知函數(shù) f (x) =x3, g (x) =x+ :.(I)求函數(shù)h (x)

10、=f (x) - g (x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).并說明理由；(n)設(shè)數(shù)列 an(nN )滿足a1=a(a> 0), f(an+1) =g (an),證明：存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意的n N，都有 anWM .15. (2011?浙江)已知公差不為(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；士成等比數(shù)列0的等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1 ( a1 R),且丄al也2(H)對(duì) nN*，試比較丄 一一 與丄的大小.七a23a23且2介al16. (2011?浙江)已知公差不為 等比數(shù)列.(I)求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式及0的等差數(shù)列an的首項(xiàng)ai為a (aR)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且"丄，丄成8? 屯Sn;(n)記 a

11、Bn=亠+-，當(dāng)n2時(shí)，試比較a也2呂牡-1An與Bn的大小.17. (2009?江西)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an, a1=a, a2=b,且對(duì)滿足m+n=p+q 的正整數(shù) m, n, p, q者E有(1匕丿仃十丐丿一(I匕丿門+勻)(2)證明：對(duì)任意 a,存在與a有關(guān)的常數(shù) 入，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)Q*r18.( 2008?安徽)設(shè)數(shù)列an滿足a1=0,力+仁can+1 - c, n N，其中c為實(shí)數(shù) (1)證明：an0, 1對(duì)任意nN*成立的充分必要條件是c0, 1;(2 )設(shè) 1-=.=.,證明：an>1-( 3c) n-1, nN*;3(3 )設(shè)，證明：'19. (2008?江西)數(shù)列an為等差數(shù)列，an為正整數(shù)，其