《平面的基本性質(zhì)及推論》張新偉

1、（一）平面的概念（一）平面的概念光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們熟光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們熟悉的平面形象，數(shù)學(xué)中的平面概念是現(xiàn)悉的平面形象，數(shù)學(xué)中的平面概念是現(xiàn)實(shí)平面加以抽象的結(jié)果。實(shí)平面加以抽象的結(jié)果。（二）平面的特征（二）平面的特征平面沒有大小、厚薄和寬窄，平面在平面沒有大小、厚薄和寬窄，平面在空間是無限延伸的?？臻g是無限延伸的。（三）平面的畫法（三）平面的畫法（1）水平放置的平面）水平放置的平面（2）豎直放置的平面）豎直放置的平面a用立體的角度來看平面用立體的角度來看平面（四）平面的表示方法（四）平面的表示方法平面可以用希臘字母表示，也可以平面可以用希臘字母表示，也可以用代表表示

2、平面的平行四邊形的四用代表表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)字母表示。個(gè)頂點(diǎn)或相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)字母表示。ABCD如：平面如：平面，平面，平面，平面，平面ABCD，平面，平面AC平面平面BD等。等。問題問題1 1：為什么當(dāng)一個(gè)人在學(xué)會(huì)走路之為什么當(dāng)一個(gè)人在學(xué)會(huì)走路之前總會(huì)有一段爬行的人生經(jīng)歷，同時(shí)也前總會(huì)有一段爬行的人生經(jīng)歷，同時(shí)也有一段拄著拐杖的人生歷程？在爬行與有一段拄著拐杖的人生歷程？在爬行與拄拐杖這兩件事情中是否隱含著什么數(shù)拄拐杖這兩件事情中是否隱含著什么數(shù)學(xué)理論呢？學(xué)理論呢？問題問題2 2：用兩個(gè)合頁和一把鎖就可以固：用兩個(gè)合頁和一把鎖就可以固定一扇門，為什么？定一扇門，為什

3、么？情境引入情境引入問題問題3 3：自行車的撐腳一般安裝在自行車的：自行車的撐腳一般安裝在自行車的什么位置？能不能安裝在前后輪一條直線什么位置？能不能安裝在前后輪一條直線的地方的地方 ？問題問題4 4：照相機(jī)支架需要幾條腿？?jī)蓷l行不：照相機(jī)支架需要幾條腿？?jī)蓷l行不行？三條在一條線上行不行？行？三條在一條線上行不行？情境引入情境引入連接兩點(diǎn)的線中，線段最短；連接兩點(diǎn)的線中，線段最短；過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。基本性質(zhì)基本性質(zhì)1 ：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都

4、在這個(gè)平面內(nèi)。平面內(nèi)。這時(shí)我們說，這時(shí)我們說，直線在平面內(nèi)直線在平面內(nèi)或或平面經(jīng)過直線平面經(jīng)過直線基本性質(zhì)基本性質(zhì)2：經(jīng)過經(jīng)過不在同一條直線上不在同一條直線上的的三點(diǎn)三點(diǎn)，有且只有有且只有一個(gè)平面一個(gè)平面.圖形語言：圖形語言：如何理解公理3中的“有且只有一個(gè)”？“有”是說圖形存在，“只有一個(gè)”是說圖形惟一.公理3可以幫助我們解決哪些幾何問題？確定平面；證明兩個(gè)平面重合.數(shù)學(xué)理論數(shù)學(xué)理論 不共線的三點(diǎn)不共線的三點(diǎn)A,B,CA,B,C的的平面通常記作平面通常記作平面平面ABC ABC 基本性質(zhì)基本性質(zhì)3：如果不重合的兩個(gè)平面有一：如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過這個(gè)公共點(diǎn)，

5、那么它們有且只有一條過這個(gè)點(diǎn)的公共直線個(gè)點(diǎn)的公共直線如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則稱這如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則稱這兩個(gè)平面相交。這條公共直線叫做這兩兩個(gè)平面相交。這條公共直線叫做這兩個(gè)平面的交線。個(gè)平面的交線。Al想一想？想一想？ 過一條直線過一條直線l和直線和直線外一點(diǎn)外一點(diǎn)A的平面有幾個(gè)的平面有幾個(gè)?推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)有經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)有 且只有一個(gè)平面且只有一個(gè)平面.圖形語言：符號(hào)語言：,AlAl 有且只有一個(gè)平面使分析：先在直線分析：先在直線l上任取兩點(diǎn)上任取兩點(diǎn), ,，這樣這樣, , ,三點(diǎn)就能確定一個(gè)平面，三點(diǎn)就能確定一個(gè)平面，再證明再證

6、明l在這個(gè)平面內(nèi)在這個(gè)平面內(nèi)數(shù)學(xué)理論數(shù)學(xué)理論推論推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè) 平面平面.圖形語言：圖形語言：符號(hào)語言：符號(hào)語言：,abPab有且只有一個(gè)平面使數(shù)學(xué)理論數(shù)學(xué)理論ab推論推論3：經(jīng)過兩條平行的直線有且只有一個(gè)經(jīng)過兩條平行的直線有且只有一個(gè) 平面平面.圖形語言：符號(hào)語言：/,abab有且只有一個(gè)平面使數(shù)學(xué)理論數(shù)學(xué)理論ab【例例3】一條直線和三條平行線都相交一條直線和三條平行線都相交, 求證這四條直線共面求證這四條直線共面.abcABCl已知：已知：abc , al = A, bl = B ,cl = C求證：求證：a, b ,c , l共面共面

7、 數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)用alA al 與 共面同理：a,b,cl與 共面a,b,c,l即共面.blcl與 共面, 與 共面/aba,b確定一個(gè)平面,AB,Al Bl又l Cl又,CCa且Ca 也是和確定的平面,/Ccca且a,b,c都在同一個(gè)平面 內(nèi)a,b,c,l即共面.,Aa Bb 有二位同學(xué)證明如下，請(qǐng)判斷正誤：研研討討已知：求證：a，b，c, l共面/ ,abc alA blB clCabcABClaA A證明：證明：又又al=A,bl=B, , ab,a, b, c, l共面共面. .b bc cB BC Cl l,.a b確確定定平平面面.l ,.b cl同同理理確確定定平平面面 ,且,且,.lblblbB而而,與與重重合合, ,經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面.1.判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確(1)如果一條直線與兩條直線都相交如果一條直線與兩條直線都相交,那么這三條直那么這三條直 線確定一個(gè)平面線確定一個(gè)平面 ( )(2)經(jīng)過一點(diǎn)的兩條直線確定一個(gè)平面經(jīng)過一點(diǎn)的兩條直線確定一個(gè)平面 ( )(3)經(jīng)過一點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面經(jīng)過一點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面 ( )(4)平面平面 和平面和平面 交于不共線的三點(diǎn)交于不共線的三點(diǎn)A、B、C. ( ) (5)矩形是平面圖形矩形是平面圖形. ( )abcA2.2.如圖如圖, ,平面平