均衡交通分配模型的擴(kuò)展ppt課件

1、10.1彈性需求下的平衡分配問(wèn)題10.2隨機(jī)用戶平衡交通分配模型 已學(xué)方法的特點(diǎn)：1固定需求：OD需求不變。2四階段預(yù)測(cè)法：各階段分別思索，按步驟進(jìn)展。3正向預(yù)測(cè)：交通調(diào)查、土地利用、出行的生成、斷面交通量。實(shí)踐：1OD需求的變動(dòng)：隨時(shí)間，隨交通形狀等2一體化預(yù)測(cè)組合模型交通方式選擇+交通流分配交通分布+交通流分配交通方式選擇+交通分布+交通流分配3短、平、快而經(jīng)濟(jì)的預(yù)測(cè)觀測(cè)斷面路段交通量OD交通量交通需求預(yù)測(cè)的其他模型彈性需求分配模型隨機(jī)用戶平衡交通分配模型 交通方式劃分和交通流分配的組合模型交通分布和交通流分配的組合模型路段之間相互影響的用戶平衡配流模型 交通分布/方式分擔(dān)/交通分配組合模

2、型超級(jí)網(wǎng)絡(luò)模型由路段交通量推算OD交通量的方法彈性需求:OD交通量隨道路的交通情況發(fā)生變化OD交通量qrs可假定成r與s之間行駛時(shí)間trs的函數(shù)：式中 urs r 與 s 之間的最短行駛時(shí)間； Drs r 與 s 之間的需求函數(shù)。彈性需求分配問(wèn)題:上述可變需求的分配問(wèn)題1模型公式求一組滿足 Wardrop 平衡原理的路段交通量和 OD 交通量，同時(shí) OD 交通量也滿足需求函數(shù)的問(wèn)題那么是彈性需求下的平衡分配問(wèn)題。該問(wèn)題可表達(dá)為以下模型：式中，Drs-1：需求函數(shù)的反函數(shù)與UE問(wèn)題的差別：目的函數(shù)和新變量qrs【 例題 10-1 】 網(wǎng)絡(luò)中只需一條道路。設(shè)該道路的行駛時(shí)間函數(shù)阻抗函數(shù)為 t=1+

3、x x 是道路上的交通流量， OD 需求函數(shù)為 x=5-t 。求該網(wǎng)絡(luò)的平衡解。分析：需求函數(shù)為 x=5-t 闡明隨著走行時(shí)間的添加交通需求量減少，阻抗函數(shù)t=1+x闡明隨著交通需求量的添加走行時(shí)間減少。兩條線的交點(diǎn)就是平衡點(diǎn)。x=2,t=3解：根據(jù)阻抗函數(shù)t=1+x和OD需求函數(shù)為q=5-t列平衡分配方程：需求函數(shù)的反函數(shù)t=5-q，所以目的函數(shù)為：即：令dZ/dx=2x-4=0,得：x=2,t=3由此可見(jiàn)，根據(jù)彈性需求模型求得的解是平衡解。2220.550.54Zxxxxxx2模型解的等價(jià)性證明 利用等價(jià)拉格朗日函數(shù)的一階最優(yōu)性條件闡明。庫(kù)恩 -塔克 Kuhn-Tucher 條件:假設(shè) ，

4、那么 ，即 ，滿足需求函數(shù)。假設(shè) ，那么 ，闡明道路行駛時(shí)間太長(zhǎng)，不能誘發(fā)任何OD量。因此，模型的解滿足平衡條件和需求函數(shù)前兩個(gè)庫(kù)恩 -塔克條件就是UE平衡準(zhǔn)那么。11()00()0()000rsrskkrsrskrsrsrsrsrsrsrsrsrskrsfcucuquDquDqfq0rsq)(1rsrsrsqDuwsruDqrsrsrs),()(，0rsq)(1rsrsrsqDu3模型求解方法迭代法:與UE 模型根本一樣。步驟1 初始化。設(shè)置一組初始可行的路段交通量xa1，OD交通量qrs1，令n=1。步驟2 更新行駛時(shí)間步驟3 尋覓下降方向。根據(jù)tan計(jì)算一切rs間的最小行駛時(shí)間ursn，

5、確定附加OD交通量vrsn和附加路段交通量yrsn：假設(shè) 那么 vrsn = qrs上限，假設(shè) 那么vrsn = 0；將vrsn加載到一切最短徑路上，得到y(tǒng)an 。 步驟4求最正確步長(zhǎng)n*。解一維極值問(wèn)題： 步驟5更新流量。 步驟6 收斂判別。假設(shè)下式滿足，那么停頓計(jì)算；否那么，令n=n+1，前往步驟2?！纠?0-2】用Frank-Wolfe算法求解下述彈性需求用戶平衡交通分配問(wèn)題。Case1：令需求的上限等于4；Case2：令需求的上限等于5；Case3：令需求的上限等于10；12t=1+xx=5-t【 解 】 Case1：令需求的上限等于4；步驟1初始化， q1=x1=2,令n=1 ；步驟

6、2 更新行駛時(shí)間t1=1+x1=3和D-1q1 =5-q1=3;步驟3 尋覓下降方向。由于t1=D-1q1，因此附加OD交通量v1=4；運(yùn)用0-1分配法將v1=4加載到網(wǎng)絡(luò)中，得到y(tǒng)1=4；步驟4 求最正確步長(zhǎng)1將 , 代入目的函數(shù)中，得 ：這時(shí)，求滿足dZ/d 1 =0的1 *，211111()22xxyx211111()22qqvq112 22 20001min(1)(5)Zdd 111111/1 (22) 2 5(22) 22(32)2(32)80dZ d 所以， 1 * =0這時(shí)，交通量：費(fèi)用時(shí)間：t=1+x=3得到了平衡解。211111()222xxyx211111()222qqvq

7、【 解 】 Case2：令需求的上限等于5；步驟1初始化， q1=x1=2；步驟2 更新行駛時(shí)間t1=1+x1=3和D-1q1 =5-q1=3;步驟3 尋覓下降方向。由于t1=D-1q1，因此附加OD交通量v1=5；運(yùn)用0-1分配法將v1=5加載到網(wǎng)絡(luò)中，得到y(tǒng)1=5；步驟4 求最正確步長(zhǎng)1將 , 代入目的函數(shù)中，得 ：這時(shí)，求滿足dZ/d 1 =0的1 *，211111()23xxyx211111()23qqvq112 32 30001min(1)(5)Zdd 111111/1 (23) 3 5(23) 33(33)3(33)180dZ d 所以， 1 * =0更新交通量：更新費(fèi)用時(shí)間：t2

8、=1+x2=3, D-1q1 =5-q2=3;得到了平衡解。211111()232xxyx211111()232qqvq【 解 】 , Case3：令需求的上限等于10；步驟1初始化， q1=x1=2；步驟2 更新行駛時(shí)間t1=1+x1=3和D-1q1 =5-q1=3;步驟3 尋覓下降方向。由于t1=D-1q1，因此附加OD交通量v1=10；運(yùn)用0-1分配法將v1=5加載到網(wǎng)絡(luò)中，得到y(tǒng)1=10；步驟4 求最正確步長(zhǎng)1將 , 代入目的函數(shù)中，得 ：這時(shí)，求滿足dZ/d 1 =0的1 *，211111()28xxyx211111()28qqvq112 82 80001min(1)(5)Zdd 1

9、11111/1 (28) 8 5(28) 88(38)3(3 8)1280dZ d 所以， 1 * =0更新交通量：更新費(fèi)用時(shí)間：t2=1+x2=3, D-1q1 =5-q2=3;得到了平衡解。211111()282xxyx211111()282qqvq網(wǎng)絡(luò)變換法的根本思想：經(jīng)過(guò)變換網(wǎng)絡(luò)圖，將彈性需求用戶平衡配流問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的固定需求用戶平衡配流問(wèn)題，然后可以直接利用F-W算法進(jìn)展求解。有兩種變換網(wǎng)絡(luò)的方法：零阻抗附加流量法超量需求法在根本網(wǎng)絡(luò)根底上，添加兩條路段和一個(gè)虛節(jié)點(diǎn)r 。兩條路段分別是從r到r以及從s到r 。令兩條附加路段的行駛時(shí)間函數(shù)分別為 設(shè)從r到r的交通流量是固定的，等于從r

10、到s的需求上限 例如取小區(qū)r的人口，成為固定需求的平衡分配問(wèn)題，模型可表達(dá)為: 模型闡明： 1由前面對(duì)附加路段的定義 ,以及網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造，決議了從根本網(wǎng)絡(luò)流過(guò)的交通流量與路段sr上的交通流量完全一樣，即 。 可得，變換前后目的函數(shù)完全一致： 2對(duì)于固定需求 ，由于有 ，結(jié)合 和 可知必有 成立。因此從根本網(wǎng)絡(luò)流過(guò)的流量為 ，剩余需求量 會(huì)轉(zhuǎn)移到邊 上。即原彈性需求的約束條件在修正后的網(wǎng)絡(luò)分配模型中完全滿足。 3在變換后的網(wǎng)絡(luò)模型的解點(diǎn)上，即平衡形狀點(diǎn)上，有：假設(shè)從r到s的某條途徑上有流量即 ，那么 ， 從r到r的上下兩條途徑上應(yīng)該有相等的阻抗，即有： ，滿足需求函數(shù)。 rsqrsaxarsxrs

11、qrsaxarsxr rrsxr saxarsar rrsar rr sadDdtddDdtdtdtdtxz0100010000)()( 0)()( )()()()(minrskrskqfkrsr rrskqxf0 r rxrsrsqqrsq)(rsrsqq ),(rr0rsq0rsrsrrqqx)(0)(11rsrsrsrsrsrsrrqDuqDut結(jié)論：經(jīng)過(guò)對(duì)根本網(wǎng)絡(luò)的每一組OD添加2條虛擬邊、1個(gè)虛節(jié)點(diǎn)之后，完全可以用固定需求平衡模型的解法求解彈性需求下的平衡分配問(wèn)題。而固定需求下的平衡配流問(wèn)題我們是熟習(xí)的，如F-W算法?！纠?0-3】用零阻抗附加流量法求解【例10-1】中網(wǎng)絡(luò)模型。令需

12、求的上限等于4；圖10-1 例10-3網(wǎng)絡(luò)變換表示圖12t=1+xx=5-t121t1t3t2=D-1t2=-D-1(x2)t1=1+x1t3=0【 解 】 根據(jù)圖10-1建立用戶平衡模型為：1 用全有全無(wú)分配法求解初始可行解：自在流形狀下，t3=0、t1+ t2=-4 2 求最正確搜索方向 繼續(xù)用全有全無(wú)分配法求解，得：120013min ( )(1)(5)4. .0(1,2,3)xxaz xddxxstxa0001231234,0,5,1,0 xxxttt 0001230,4yyy3求最正確步長(zhǎng) *將 代入目的函數(shù)中，得 ：這時(shí)，求滿足dZ/d =0的*：所以， * =0.51000111

13、11000222210003333()44()44()4xxyxxxyxxxyx4 44 40001min(1)(5)Zdd /42(44 )432160dZ d 這時(shí)，交通量： 費(fèi)用時(shí)間： 目的函數(shù)： 收斂斷定： 所以，滿足了Wardrop第一平衡原理111123442,442,42xxx123123,253,0ttt 2200220(1)(5)4|4Zdd 1230ttt彈性需求平衡分配模型的目的函數(shù)：上式中第二項(xiàng)可分解成 由于右邊第一項(xiàng)為常數(shù)，從目的函數(shù)中去掉對(duì)問(wèn)題的求解沒(méi)有影響。第二項(xiàng)可以對(duì)超量需求 進(jìn)展積分變換。即令 ，原積分變量 w 從 至 ，那么新積分變量 v 從 至零，有其中

14、， 表示逆需求函數(shù)的擴(kuò)展補(bǔ)函數(shù)。由此，可變需求問(wèn)題的等價(jià)規(guī)劃模型可寫(xiě)成 模型中，只需定義一條載流ers的附加路段rs，其路段的阻抗函數(shù)為 ，構(gòu)成超量需求路段網(wǎng)絡(luò)，同樣可以用固定需求下平衡模型的解法求解彈性需求下的平衡分配問(wèn)題：圖10-2 超量需求法網(wǎng)絡(luò)變換表示圖【例10-4】用超量需求法求解【例10-1】中網(wǎng)絡(luò)模型令需求的上限等于8。圖10-3 例10-4網(wǎng)絡(luò)表示圖12t=1+xx=5-t【 解 】如圖10-3 所示，根本網(wǎng)絡(luò)只需一個(gè) OD 對(duì)和一條路段，路段阻抗函數(shù)是 t=1+x， x 為徑路流量，也是 OD 需求量，需求函數(shù)為 x=5-t 。為需求設(shè)置一個(gè)上限 ，逆需求函數(shù)為 ，因 e=8

15、-x，故超需求路段的阻抗函數(shù)為代入可變需求問(wèn)題的等價(jià)規(guī)劃模型積分并將 e 消去，得顯然，極小解為 x=2 ，和例題 10-1 所得結(jié)果一樣。 當(dāng)需求上限取4、5或20時(shí)，其解都是 x=2 。因此，當(dāng)需求上限獲得足夠大時(shí)，問(wèn)題的解不受其值影響。但實(shí)際闡明，需求上限的取值會(huì)影響求解效率，其值過(guò)大，會(huì)添加迭代次數(shù)，所以應(yīng)盡量取小些。如可令 ，其中 是零流徑路阻抗值。由于超量需求法所添加的虛擬路段比零阻抗附加流量法少一半，減少了計(jì)算任務(wù)量，因此可以以為超量需求法優(yōu)于零阻抗附加流量法。源起：第九章中的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)加載模型：將一組OD分配到游覽時(shí)間固定不變的網(wǎng)絡(luò)上如Dial算法、多途徑交通分配模型等。思索將平

16、衡的概念引入到隨機(jī)分配之中，討論隨機(jī)用戶平衡交通分配問(wèn)題，隨機(jī)用戶平衡分配簡(jiǎn)記為SUEStochastic User Equilibrium。 隨機(jī)用戶平衡的定義SUE的概念最是早由Daganzo和Sheffi于1977年開(kāi)展起來(lái)的。SUE分配假設(shè)道路選擇是基于感受的路段的游覽時(shí)間而不是量測(cè)出的時(shí)間perceived travel time，感知出行時(shí)間，出行者感受的時(shí)間被以為是隨機(jī)變量，在出行者中的分布是的。對(duì)這些隨機(jī)變量作不同的假設(shè)分布，可以獲得不同的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)裝載模型。Gumblelogit；Normprobit。隨機(jī)用戶平衡定義為：當(dāng)不存在出行者以為他能經(jīng)過(guò)一方面改動(dòng)出行途徑來(lái)降低其阻抗

17、時(shí)，到達(dá)了SUE形狀。 路段感知阻抗不只作為隨機(jī)變量，而且還要遭到交通量的影響。 出行者的途徑選擇行為依然遵守Wardrop第一原理，只不過(guò)用戶選擇的是本人估計(jì)阻抗最小的途徑。OD對(duì) rs 之間的途徑 k 被選擇的概率實(shí)踐上就是該途徑的阻抗被估計(jì)為最小的概率。 SUE條件： SUE比UE更具普通性，現(xiàn)實(shí)上，UE是SUE的一種特殊情形。假設(shè)路段感知阻抗的方差為零，SUE就變成UE了。 srkpqfrskrsrsk,二優(yōu)化模型：式中， 以各路段實(shí)踐阻抗為條件的感知阻抗的數(shù)學(xué)期望，稱為“期望感知阻抗；ckrs X ：r,s 間各條徑路的實(shí)踐阻抗的向量，Ckrs ： r,s 間第k條徑路的感知阻抗。

18、模型與 SUE 條件的等價(jià)性 對(duì)于上述無(wú)約束極值問(wèn)題，其極值點(diǎn)上的一階條件為： 。 ZX由三項(xiàng)組成，分別對(duì)其各項(xiàng)求關(guān)于xa的偏導(dǎo)數(shù)。對(duì)于第一項(xiàng)有：由于 ，所以有： 對(duì)于第二項(xiàng)有： 對(duì)于第三項(xiàng)有： 因此，極值點(diǎn)的一階條件為： 假設(shè)路段阻抗是單調(diào)遞增函數(shù)，即dta/dxa0 ，那么 ，當(dāng)且僅當(dāng)： 留意到有： ，所以有 。這正是 SUE 的條件。這就闡明，模型與 SUE 條件是等價(jià)的。 由此得： 這也證明了模型滿足非負(fù)約束和交通量守恒要求。 模型解的獨(dú)一性可以證明，目的函數(shù) ZX的海賽矩陣雖然是不確定陣不定型陣，但是它在駐點(diǎn)附近是正定的，故駐點(diǎn)是該無(wú)約束極小化問(wèn)題的一個(gè)部分極小點(diǎn)。問(wèn)題是， ZX在全

19、局范圍內(nèi)存在幾個(gè)極小點(diǎn)，假設(shè)只需一個(gè)，那么該極小點(diǎn)就是最小點(diǎn)，即為獨(dú)一的最優(yōu)解?？梢宰C明 過(guò)程從略，可參考劉燦齊 2001 ， ZX只需一個(gè)極小點(diǎn)，而且在該極小點(diǎn)附近是嚴(yán)厲凸的，所以該部分極小點(diǎn)就是全局的極小點(diǎn)，解是獨(dú)一的。 迭代加權(quán)法Method of Successive Averages 步驟 1 ： 初始化?；?0 交通量的初始阻抗進(jìn)展 0-1 分配，得到路段交通量 。令迭代次數(shù)k=1 。步驟 2 ：更新各路段的阻抗 ，令步驟 3 ：在新的阻抗的根底上，調(diào)用 Dial 算法進(jìn)展交通量的隨機(jī)加載，得到各路段的附加交通量步驟 4 ：令步驟 5 ：判別收斂判別條件： 。 假設(shè)滿足 是預(yù)先設(shè)定的精度值，那么停頓計(jì)算 ； 否那么，令 k=k+1 ，前往步驟 2