圓錐曲線題型總結(jié)19275

1、A(Xi,yJ, B(x2,y2)在直線 y kx b(k 0)上,直線和圓錐曲線?？碱}型1、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：X X1 J ,y * 2"，其中 X, y是點(diǎn) A(X1,y1), B(X2,y2)的中點(diǎn)坐標(biāo)。運(yùn)用的知識(shí):2、弦長(zhǎng)公式：若點(diǎn)則 yikxi b, ykx2 b，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一,ABJ(為X2)2(y帚J(為X2)2(心kx?)2J(1k2)(Xi冷)2(1 k2)(xi X2)2 4x1X2或者AB、(xi X2)2 (yi y2)22)2k(yiy2)2(1 J)®y2)2：(1 )【(%y2)2 4%y2。3、兩條直線h : y

2、k1X dt: yk2x b2 垂直：貝U k1k2兩條直線垂直，則直線所在的向量V1?V2 0bc,巒2aa24、韋達(dá)定理：若一元二次方程ax bx c 0(a 0)有兩個(gè)不同的根 x1, x2，則 x2常見(jiàn)的一些題型: 題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系 題型二：弦的垂直平分線問(wèn)題題型三：動(dòng)弦過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題 題型四：過(guò)已知曲線上定點(diǎn)的弦的問(wèn)題題型五：共線向量問(wèn)題題型六：面積問(wèn)題題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值問(wèn)題題型八：角度問(wèn)題問(wèn)題九：四點(diǎn)共線問(wèn)題 問(wèn)題十：范圍問(wèn)題(本質(zhì)是函數(shù)問(wèn)題)問(wèn)題一、存在性問(wèn)題：（存在點(diǎn)，存在直線 y=kx+m ，存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形

3、（矩形、菱形、正方形），圓）題型一:數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系例題1、已知直線l :yx2kx 1與橢圓C :421始終有交點(diǎn)，求m的取值范圍m解：根據(jù)直線l: y kx1的方程可知，直線恒過(guò)定點(diǎn)（x20，1），橢圓 C :41過(guò)動(dòng)點(diǎn)（0,m）,且m 4，如果直線l : y kx 1和橢圓C :2 2x y1始終有交點(diǎn),4 m.m 1，且 m 4，即 1規(guī)律提示：通過(guò)直線的代數(shù)形式,可以看出直線的特點(diǎn):l : y kx 1 過(guò)定點(diǎn)(0,1)l: y k(x 1) 過(guò)定點(diǎn)(1，0）l:y 2 k（x 1）過(guò)定點(diǎn)（1，2）題型二：弦的垂直平分線問(wèn)題例題2、過(guò)點(diǎn)T（-1,0）作直線l與曲線

4、N2、十:y x交于B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn) E（x° ,0），使得 ABE是等邊三角形，若存在，求出 x0 ；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于設(shè)直線 l : y k（x 1），k 0，人任，力），B（X22）。y k(x 1)2222由 2消y整理，得k x (2 k 1)x k 0y x由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得2242(2 k 1) 4k 4k由韋達(dá)定理，得： 為X2£,住1。則線段AB的中點(diǎn)為（k2 k2112 ,)。2k 2k線段的垂直平分線方程為:111 2k21111y 丟k(x 刁蘆)令 y=0,得Xo 2 2，則 e(2?

5、2,0)1Q ABE為正三角形，E(喬0)到直線AB的距離2AB。Q AB：'(Xi X2)2 (yi y2)<1_k22k3,1 4k g.k2k2解得k39滿足式此時(shí)Xo13題型三：動(dòng)弦過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題2x例題3、已知橢圓C :二a2yr 1(a bb2上的頂點(diǎn)分別為Ai(-2,0),A 2(2,0)。(I)求橢圓的方程;(II)若直線l : x t(t 2)與x軸交于點(diǎn)一點(diǎn)，直線PAi,PA2分別與橢圓交于M、橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論解：(I)由已知橢圓C的離心率eC ， a 2，則得 c . 3, b a 21。x2從而橢圓的方程為4(II)設(shè) M(X1$)，N(X2,y2

6、)，直線 AM的斜率為k1,則直線AM的方程為y k1(x 2)，由k1(x4y22)消y整42 2 2理得(1 4k1 )x 16k2x 16k1 4 0Q2和洛是方程的兩個(gè)根,2為叫4則X11 4k28K24k12 ，1 4k12即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(書(shū)8k22 4k同理，設(shè)直線a2n的斜率為匕則得點(diǎn)n的坐標(biāo)為(=2，說(shuō))Q ypk1(t 2), ypk2(t2)& k2-，Q直線MN的方程為：-一y1 tx X|y2 %x2x1令y=0，得xX2 yixi y2，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得:y1 y2又Qt 2 ,04-2Q橢圓的焦點(diǎn)為t(、3,o)4,3，即 t故當(dāng)tMN過(guò)橢圓的

7、焦點(diǎn)。題型四：過(guò)已知曲線上定點(diǎn)的弦的問(wèn)題例題4、已知點(diǎn)A、B、C是橢圓E：(a b 0)上的三點(diǎn)，其中點(diǎn) A(. 3,0)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線BCuuur uuur過(guò)橢圓的中心O,且ACgBC 0,uuuunrBC2AC2 x a2，如圖。(I)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；(II)若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q，使得直線 PC與直線QC關(guān)于直線x .3對(duì)稱，求直線PQ的斜率。uiur解：(I) Q BCuiurOC將點(diǎn)C( 3, . 3)代入方程，得b24 ,(II)Q直線PC與直線QC關(guān)于直線x設(shè)直線PC的斜率為y 3 k(x 3),(1 3k2)x2 6.3k(12AC ,uuur LULT且B

8、C過(guò)橢圓的中心0uuurAC Q AC gBC為(.3, . 3) oACO又QA (2 ,3,0)2占八、C的坐標(biāo)QA(23,0)是橢圓的右頂點(diǎn),a 2.3，則橢圓方程為:2x122橢圓E的方程為I12-3對(duì)稱,k，則直線QC的斜率為k)xxp9 3吟晉即冷1 3kQ yp ykxP、3(1 k)XpXq9k2 18k 3 9k2從而直線kx . 3(1 k)，由kx 3(13y2 1229k 18k 3 0Qx9k2 18k 3 同理可得:、3(1 3k2)kxQ、3(1 k) = k(xP 18k 3Y3(1 3k2).3(1 3k2).3(1 3k2)36kPC的方程為:k)消y，整理

9、得:03 是方程的一個(gè)根,kpQxQxq)yp9 k2 18k 3>-3(1 3k2)2屈=廠12kV3(1 3k2)yQxPxQ則直線PQ的斜率為定值1 o3題型五：共線向量問(wèn)題例題5、設(shè)過(guò)點(diǎn)D(0,3)的直線交曲線 M :uuu uuu1于P、Q兩點(diǎn)，且DP = l DQ ,求實(shí)數(shù)I的取值范圍。豕1 = I X2(x2,y2-3)即血=3+匕-3)uuu uuu解：設(shè) P(X1,y1),Q(X2,y2), Q DP = l DQ(X1,y1-3)= l判別式法、韋達(dá)定理法、配湊法設(shè)直線PQ的方程為：ykx 3,k0，由y 2kx 3消y整理后,4x2 9y2362 2(4 9k2)x

10、254kx 450Q p、Q是曲線M上的兩點(diǎn)2(54 k)4 45(42 29k )= 144k80 02即9k 5由韋達(dá)定理得:54 kXiX24 9k454 9k2Q(X1 X2)2%x2X2Xi542k245(4 9k2)(1)2即6 25(1)29k249k249k2由得019k21，代入，整理得515(136)2解之得當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即 x0時(shí),易知總之實(shí)數(shù)I的取值范圍是丄,5 。5題型六：面積問(wèn)題例題6、已知橢圓C:2y_b2的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為 3 。32X 2所求橢圓方程為y 1。3I)求橢圓C的方程；n)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn) 0

11、到直線l的距離為，求 AOB面積的取大值。2c 76解：(i)設(shè)橢圓的半焦距為 c ,依題意，b 1 ,a 3a . 3,(n)設(shè) A(X1, yj , B(X2, y2)。(1 )當(dāng) AB 丄 x軸時(shí)，AB 巧。 (2)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y kxm。由已知_m1_k仝，得23(k2 1)。4把y kx m代入橢圓方程,整理得 (3k21)x26kmxc 23mX-ix26 km3k2 1x23(m2 1)3k2 1AB(1 k2)(X2X1)2(1k2)36k2m22 2 (3k1)12( m2 1)3k2112(k2 1)(3k2 1m2)3(k2 1)(9k2(3

12、k1)2 2(3k1)12k2429k 6k 1129k2 £-(k 0) < 36122 3 6當(dāng)且僅當(dāng)9 k22，即kk2上3時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)3k 0時(shí),AB| 靈,綜上所述| ABmax 2。當(dāng)AB最大時(shí)， AOB面積取最大值 S -2AB旦基。max 22題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值問(wèn)題例題7、在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，過(guò)定點(diǎn)C( 0，p)作直線與拋物線x2=2py (p>0 )相交于 A、B兩點(diǎn)。(I)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) 0的對(duì)稱點(diǎn)，求 ANB面積的最小值;(n)是否存在垂直于 y軸的直線I，使得I被以AC為直徑的圓截得弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出I的方程；若不存

13、在，說(shuō)明理由。(I)依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N ( 0,-p )，可設(shè) A (X1 ,y1),B (X2,y2),直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得2 2pyy kx p.消去 y得x2-2pkx-2p 2=0.由韋達(dá)定理得 X1+X2=2pk,x 1X2=-2p 2.于是S ABN S BCN S acnX2=px1X2P、'(X1X2)24X2 = pj4p2k28p22p2 k22.當(dāng)k 0時(shí)，(SABN)min 2 2p2.(n)假設(shè)滿足條件的直線 I存在，其方程為y=a,AC的中點(diǎn)為O ,t與AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P、Q , PQ的中Xi點(diǎn)為H，則。H PQO點(diǎn)的

14、坐標(biāo)為(2Hlayip1122O2a y1 p,2| PH OPa),在，其方程為=(a 號(hào))yi a(p令a i(2PH)2=4 (a 扣2即拋物線的通徑所在的直線OPOH1 i 22 AC|2 xi(yip)=扣2p2)i4(2ayip)2a(p a).號(hào),此時(shí)PQp為定值，故滿足條件的直線i存解法2 :(I)前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得AB 1 k2 xi 刈 :1 k2 . (Xi X2)2 4xiX21 k2 4p2k2 8p2=2p 1 k2. k22.又由點(diǎn)到直線的距離公式得 d f 2 p .從而，S abn - d AB - 2p. 1 k2 、k2 2 r2p 2 2p2 k

15、2 2,22Vi k2當(dāng) k 0時(shí)，(S abn) max 2 2p2.(n)假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為(x 0)(x xj (y p)(y yj 0,將直線方程y=a代入得2XX1X (a p)(ayd0,則二 X24(a p)(a yj 4 (a P) y1 a(pa).設(shè)直線I與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為 P （X2,y2）,Q（X4,y4）,則有PQ|X3X4(4(a號(hào))a(p a)2(a號(hào))a(p a).令a p 0,得a 號(hào)，此時(shí)PQ p為定值，故滿足條件的直線 I存在，其方程為即拋物線的通徑所在的直線。題型八：角度問(wèn)題例題8、（如圖（21

16、）圖，M （-2，0）和N（ 2，0）是平面上的兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)p滿足:PMPN6.()求點(diǎn)P的軌跡方程；（n）若|PM| -PN=，求點(diǎn)1 cos MPNi九m題）圖解：（I）由橢圓的定義，點(diǎn)因此半焦距P的軌跡是以c=2，長(zhǎng)半軸M、N為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=6的橢圓.a=3，從而短半軸 2b= . a2 c25所以橢圓的方程為 9(n)由 PMgPN 1 cosMPN,得 |PM gPN cosMPN PM gPN 2.因?yàn)閏osMPN1,P不為橢圓長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，故P、M、N構(gòu)成三角形在APMN中，MN|4,由余弦定理有MN 2 PM 2PN2 2 PM gPN cosMPN.將代入，得42PMPN2 2

17、( PM gPN 2).故點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2 3的雙曲線x2由（I ）知，點(diǎn)P的坐標(biāo)又滿足1，所以由方程組5X2X9y245,3y23.解得X3.32<52 '即P點(diǎn)坐標(biāo)為普,J)、2 23 35、(丁，-T)或（孚，冷）.問(wèn)題九：四點(diǎn)共線問(wèn)題2X例題9、設(shè)橢圓C 2a-y21(a bb0)過(guò)點(diǎn)MC、2,1)，且著焦點(diǎn)為Fi(.2,0)(I )求橢圓C的方程;(n)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(4,1)的動(dòng)直線I與橢圓uur uuuAQgPB ,uuu uuuC相交與兩不同點(diǎn) A, B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q ,滿足AP gQB證明：點(diǎn)Q總在某定直線上解(1)由題意:c222 11 ，解

18、得a24,b22，所求橢圓方程為a b2 2 . 2cab(2)方法設(shè)點(diǎn) Q、A、B 的坐標(biāo)分別為(x, y),( Xi, yj,( X2, y2)。uuu由題設(shè)知APuuu uuur uuuPB , AQ , QB均不為零，記urnAPutuPBuuuAQuu才，則QBuuu又A , P, B, Q四點(diǎn)共線，從而 APuuu uiuruuuPB,AQ QB于是4X1X21 y1y211XXX2y1y215y ,1從而2 2 2X1x24x , L L (1)又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即2 2X2 2y24,L L 2 2X1 2y1 4,L L (1) + (2 )X2 并結(jié)合(3 ), (4)

19、得 4s 2y 4即點(diǎn)Q(x, y)總在定直線2x y 20上方法設(shè)點(diǎn) Q(x, y), A(Xi,yJ, B(X2,y2)，由題設(shè),uurPAPBUUU UUUPA , PBuuur uuuAQ , QB均不為零。uuurAQQB4,整理得uurr又P,代Q,B四點(diǎn)共線，可設(shè)PAX14X1y1,y11X24X1y1,y21由于A(Xi, yi), B(X2, y2)在橢圓C上，將uuur uuruuuAQ,PBBQ(0, 1),于是(1)(2)(1)，(2)分別代入C的方程x2 2y2(X22y24) 24(2 xy2)140(3)(X22y24) 24(2 xy2)140(4)(4) -

20、(3)得 8(2x y 2)00,二 2x y 20即點(diǎn)Q(x, y)總在定直線2x y 20上問(wèn)題十：范圍問(wèn)題(本質(zhì)是函數(shù)問(wèn)題)2 x2設(shè)Fi、F2分別是橢圓y 1的左、右焦點(diǎn)。4(I)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PFi PF2的最大值和最小值;(n)設(shè)過(guò)定點(diǎn) M(0,2)的直線I與橢圓交于不同的兩點(diǎn) A、B，且/ AOB為銳角(其中0為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的 斜率k的取值范圍。解：(I)解法一：易知 a2,b1,c.3所以F1、3,0,F2 3,0，設(shè) P x,y，則uurPF1uuurPF2.3 x, y :,.32X, yX2y3x21三 3 1 3x2 844uur ujuu因?yàn)閤

21、 2,2，故當(dāng)x 0,即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，PFi PF2有最小值 2ujir uuur當(dāng)x 2，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，PF1 PF2有最大值1解法二：易知 a 2,b 1,c-3，所以 R 、3,0 , F2 ，3,0 ，設(shè) P x, y，則uuuruuiT,uuuuPF2PhPF2X庇22ycos F1PF2UULTPF1x .3 y2uuurPF112聯(lián)立二 X|又00顯然直線y2 X4X24k0不滿足題設(shè)條件,kx消去整理得:4kk2A0B又y23.21k4uuuuPF2x2可設(shè)直線k2uuur 2PF1l:y1X14X24k230 得:900cosA0B 0uuuOA2 kx2k

22、2x1x22k x1 2k2故由、得問(wèn)題十一、存在性問(wèn)題:（存在點(diǎn)，存在直線（矩形、菱形、正方形），圓）22設(shè)橢圓e：y1a b(a,b>0 )過(guò) M (2 ,（I）求橢圓E的方程;uuur 2PF2 uutT 2 PF1uuuu 2F1F2uuuuPF23 （以下同解法一）kx 2, A xny2 ,BX2 4kx 30uuuOBX2y=kx+muuu OA3k2.2 1 k4，存在實(shí)數(shù),X2,y2 ，uuuOB x1x2k28kj14k2 14k2存在圖形：三角形（等比、等腰、直角）,四邊形2 ）,N（'、6,1）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓uuu uuuE恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且OA OB ?若存在,寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。解：（1 ）因?yàn)闄E圓E:2 y b2(a,b>0 )過(guò) M ( 2，-、2),N( x6 ,1)兩點(diǎn),4所以孑6a2b21b21解得1孑1b218所以142ab24橢圓E的方程為呂（2 ）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)uuuA,B,且 OAuuuOB，設(shè)該圓的切線y方程為y kx m解方程組X2kx2y_4m得