剪力彎矩計(jì)算

1、剪力彎矩計(jì)算桿件的內(nèi)力及其求法 梁的內(nèi)力圖及其繪制 彎矩、剪力、荷載集度 間的關(guān)系 疊加法作剪力圖和彎矩圖 其它桿件的內(nèi)力計(jì)算方法 小結(jié)剪力彎矩計(jì)算第一節(jié) 桿件的內(nèi)力及其求法 一、桿件的外力與變形特點(diǎn) 平面彎曲荷載與反力均作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁軸線也在該平面內(nèi)彎成一條曲線。 1.彎曲梁（橫向力作用）受力特點(diǎn)：垂直桿軸方向作用外力， 或桿軸平面內(nèi)作用外力偶；變形特點(diǎn)：桿軸由直變彎。 單跨靜定梁的基本形式：剪力彎矩計(jì)算2、軸向拉伸與壓縮 桿（縱向力作用）受力特點(diǎn)：外力與桿軸線方向重合；變形特點(diǎn)：桿軸沿外力方向伸長或縮短。3、扭轉(zhuǎn)軸（外力偶作用）受力特點(diǎn)：外力偶作用在垂直桿軸平面內(nèi)；變形特點(diǎn)：

2、截面繞桿軸相對(duì)旋轉(zhuǎn)。4、組合變形兩種或兩種以上基本變形的組合。剪力彎矩計(jì)算二、梁的內(nèi)力及其求法 1、剪力和彎矩的概念 圖示簡支梁在荷載及支座反力共同作用下處于平衡狀態(tài)。 求距支座A為x的橫截面m-m.上的內(nèi)力。用截面法求內(nèi)力。 步驟：1)截開 2)代替 內(nèi)力外力引起的受力構(gòu)件內(nèi)相鄰部分之間相互作用力的改變量。 桿件橫截面上的內(nèi)力有：軸力，剪力，彎矩，扭矩等。剪力Q限制梁段上下移動(dòng)的內(nèi)力;彎矩M限制梁段轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)力偶。 單位：剪力Q KN, N；彎矩M KN.m ， N.m 3)平衡 0Y0QRAARQ 0oM0 xRMAoxRMAo若取右半段梁為研究對(duì)象,可得：QQ ooMM 剪力彎矩計(jì)算 1）

3、剪力Q：截面上的剪力Q使所取脫離體產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)（或者左上右下）為正，反之為負(fù)。 2）彎矩M：截面上的彎矩M使所取脫離體產(chǎn)生下邊凸出的變形時(shí)（或者左順右逆）為正，反之為負(fù)。 為避免符號(hào)出錯(cuò),要求： 未知內(nèi)力均按符號(hào)規(guī)定的正向假設(shè)。 2、剪力和彎矩的符號(hào)規(guī)定剪力彎矩計(jì)算例例3-1：懸臂梁如圖所示。求1-1截面和2-2截 面上的剪力和彎矩。解：解：1）求1-1截面上的內(nèi)力 0YqlPQ21100M218121qlPlM0211QqlP04)21(21MlqllP 求得的 Q1 、M1 均為負(fù)值,說明內(nèi)力實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。矩心 O 是1-1截面的形心。2）求2-2截面上的內(nèi)力0YqlPQ

4、200M2221qlPlM02QqlP02)(2MlqllP 求得的 Q2 、M2 均為負(fù)值,說明內(nèi)力實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。矩心 O1是2-2截面的形心。剪力彎矩計(jì)算 例3-2 外伸梁如圖，試求1-1，2-2截面上的剪力和彎矩。解：1、求支座反力：由整體平衡0638, 021ABYPPMkNYA140632, 021BAYPPMkNYB9校核： 反力無誤。020391421PPYYYBA 2、求1-1截面上的內(nèi)力：取左半段研究0, 011QPYYAkNPYQA1131411013, 011MYPMAo矩心o1-1截面形心 3、求2-2截面上的內(nèi)力：取右半段研究0, 02BYQYkNYQB92

5、05 . 1, 02MYMBomkNPYMA53111mkNYMB5 .135 .12若取左半段梁研究，則0, 0221QPPYYAkNPPYQA92031421205 . 15 . 65 . 4, 0221MPPYMAomkNPPYMA5 .135 . 15 . 65 . 4212矩心o2-2截面形心剪力彎矩計(jì)算3、直接法求梁的內(nèi)力：（由外力直接求梁橫截面上的內(nèi)力） （1）梁任一橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力沿截面方向投影的代數(shù)和；iQPQ 符號(hào)規(guī)定：外力使截面產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)（或左上右下）該截面剪力為正，否則為負(fù)； （2）梁任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截

6、面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和；)(iQoPMM 符號(hào)規(guī)定：外力使梁段產(chǎn)生上凹下凸變形時(shí)（或左順右逆）該截面彎矩為正，否則為負(fù)； 計(jì)算時(shí)可按二看一定的順序進(jìn)行：一看截面一側(cè)有幾個(gè)力，二看各力使梁段產(chǎn)生的變形，最后確定該截面內(nèi)力的數(shù)值。剪力彎矩計(jì)算例例3-3：簡支梁如圖所示。試計(jì)算1-1、2-2、 3-3、4-4 截面上的剪力和彎矩。 解解：1）求支座反力 0AM0322LVLPpLB0MB 06P7P6PVPVYBA 61PVQA)(6032PVLVLPPLAA2）計(jì)算截面內(nèi)力 1-1截面：)(67PVB反力無誤。校核1831PLLVMA2-2截面：62PVQA942363

7、2PLPLLpmLVMA3-3截面：63PVQA1872326)33(3PLPLLPmLLVMA4-4截面:674PVQB18736734PLLPLVMB剪力彎矩計(jì)算 第二節(jié) 梁的內(nèi)力圖及其繪制 梁各截面的內(nèi)力隨截面位置而變化，其函數(shù)關(guān)系式 Qx=Q(x), Mx=M(x) 稱作剪力方程和彎矩方程。 列內(nèi)力方程即求任意截面的內(nèi)力。qxPxQ)(221)(qxPxxM 反映剪力（彎矩）隨截面位置變化規(guī)律的曲線，稱作剪力（彎矩）圖。二、剪力圖和彎矩圖的作法： 取平行梁軸的軸線表示截面位置，規(guī)定正值的剪力畫軸上側(cè)，正值的彎矩畫軸下側(cè)；可先列內(nèi)力方程再作其函數(shù)曲線圖。)0(lx )0(lx 如懸臂梁：

8、當(dāng)x=o, Q(x)=-P, M(x)=0; x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=-Pl-ql2/2.其剪力圖和彎矩圖如圖示。221qlPl 一、剪力圖和彎矩圖的概念剪力彎矩計(jì)算 例3-4 作圖示懸臂梁的內(nèi)力圖。 解：1.列內(nèi)力方程：（先確定x坐標(biāo)，再由直接法求x截面的內(nèi)力。）)0( ,)(lxPxQ)0( ,)(lxPxxM 2.作內(nèi)力圖：（先取坐標(biāo)系確定端點(diǎn)坐標(biāo)，再按內(nèi)力方程特征繪圖。）Q(x)等于常數(shù)，為水平線圖形；由;)(,)0(, 0PlQlxPQx作剪力圖 M(x)等于x的一次函數(shù)，為斜直線圖形；由;)(,; 0)0(, 0PllMlxMx作彎矩圖 結(jié)論：當(dāng)梁段上沒有荷載q

9、作用時(shí)，剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線。剪力彎矩計(jì)算 例3-5 作圖示簡支梁的內(nèi)力圖。解：1.列內(nèi)力方程：先求支座反力)0( ,21)(lxqxqlqxVxQA)0(),(2121)(22lxxlxqqxxVxMA利用對(duì)稱性：)(21qlVVBA 2.作內(nèi)力圖： Q(x)為x的一次函數(shù)，Q圖為斜直線；;21)(,;21)0(, 0qllQlxqlQx作 M(x)為x的二次函數(shù)，M圖為拋物線；;81)2(,2; 0)(,; 0)0(, 02qllMlxlMlxMx 結(jié)論：當(dāng)梁段上有均布荷載q作用時(shí)，Q圖為斜直線，M圖為二次拋物線。作剪力彎矩計(jì)算 例3-6 作圖示簡支梁的內(nèi)力圖。 解：1.列內(nèi)力方

10、程： 求支座反力：由整體平衡),(lPbVA);(lPaVB校核無誤。 因P作用，內(nèi)力方程應(yīng)分AC和CB兩段建立。AC段：)0( ;)(,)(axxlPbxVxMlPbVxQAACB段：);()()(,)(1111xllPaxlVxMlPaVxQBB)(1lxa2.作內(nèi)力圖：)0( ;)(,)(2222bxxlPaxMlPaxQ; 0)0(,)0(, 0MlPaQx; 0)(,)(,aMlPbaQax;)(,)(),( ,21lPabaMlPbaQbxax. 0)(,)(),0( ,21lMlPalQxlxAC段：CB段：剪力彎矩計(jì)算 結(jié)論：在集中力P作用截面，Q圖發(fā)生突變，突變值等于該集中力

11、P的大??；M圖有尖角，尖角的指向與集中力P相同。 內(nèi)力函數(shù)的不連續(xù)是由于將集中力的作用范圍簡化為一個(gè)點(diǎn)的結(jié)果。若考慮集中力為微梁段上的均布荷載，則C截面的 Q圖和M圖應(yīng)為斜直線和拋物線。 因此，當(dāng)談到集中力作用出的剪力時(shí)，必須指明是集中力的左側(cè)截面（C左）還是集中力的右側(cè)截面（C右）。剪力彎矩計(jì)算 例3-7 作圖示簡支梁的內(nèi)力圖。 解：1.列內(nèi)力方程：求支座反力)(lmVVBA校核無誤。AC段：)0( ;)(,)(axxlmxMlmxQCB段：)();()(,)(1111lxaxllmxMlmxQ)0( ;)(,)(2222bxxlmxMlmxQ 2. 作內(nèi)力圖：; 0)0(,)0(:0Mlm

12、Qx;)(,)(:lmaaMlmaQax;)(,)(:1lmbaMlmaQax. 0)(,)(:1lMlmlQlxAC段：CB段： 結(jié)論：在集中力偶作用截面，Q圖不受影響；M圖有突變，突變值等于該集中力偶的力偶矩。（談彎矩時(shí)，必須指明集中力偶作用截面的左側(cè)或者右側(cè)。）剪力彎矩計(jì)算第三節(jié) 彎矩、剪力、荷載集度間的關(guān)系 一、彎矩、剪力、荷載集度間的關(guān)系 由梁微段的平衡條件：0)()()()(, 0dxxqxdQxQxQY).()(axqdxxdQ; 02)()()()()(, 0dxdxxqdxxQxMxdMxMMO(Mo矩心O取在右側(cè)截面的形心。).()(bxQdxxdM將(b)代入(a)，).

13、()(22cxqdxxMd(a)、(b)、(c)三式即Q、M、q間的關(guān)系。力學(xué)意義：微分形式的平衡方程；幾何意義：反映內(nèi)力圖的凹凸性；（一階導(dǎo)數(shù)反映切線斜率； 二階導(dǎo)數(shù)反映曲線凹凸性。）剪力彎矩計(jì)算 二、M、Q、q三者間關(guān)系在內(nèi)力圖繪制中的應(yīng)用（內(nèi)力圖特征） q=0梁段 q=c梁段 P作用截面 m 作用梁段 梁上外力剪力圖彎矩圖 剪力彎矩計(jì)算例例3-8：用簡捷法繪出圖示簡支梁的內(nèi)力圖。解解：1）計(jì)算支座反力 )(KN6VA )(18KNVB0461864qVVYBAKNqVQKNQABC184664,6KNVQQAcA6, 0AM0)(qxVxQBmqVxB3618mKNqVMB2723330

14、mKNVMAC122在Q=0處，彎矩有極值,數(shù)值為：由BC 段：AB 段：BC 段：AB 段：3）畫內(nèi)力圖：（先求控制截面內(nèi)力值，再按內(nèi)力圖特征畫圖。） 剪力圖 校核無誤。2) 梁分段：為AC,CB兩段。彎矩圖4）確定內(nèi)力最大值：,18|maxkNQ在B支座處。,.27|maxmkNM在距B支座3m處。0BMm,24KN122AVCM剪力彎矩計(jì)算 三、簡捷法繪梁內(nèi)力圖的步驟： 1. 求支座反力；（注意校核！懸臂梁可省略。） 2. 將梁分段；（以梁上荷載變化處為界，包括：P、m作用點(diǎn)，q的起止點(diǎn)，梁的支座和端點(diǎn)等。） 3. 繪內(nèi)力圖；（先確定控制截面內(nèi)力值，再按 繪圖，最后用內(nèi)力圖特征檢驗(yàn)?？刂?/p>

15、截面即梁分界截面。注意P、m作用處應(yīng)取兩側(cè)截面。） 4. 確定內(nèi)力最大值及其位置。(從圖上直接找 。)maxmax| ,|MQ 簡捷法繪梁內(nèi)力圖的關(guān)鍵是：正確確定控制截面內(nèi)力值（一般用直接法）；熟記內(nèi)力圖的特征。 確定控制截面內(nèi)力值的方法有三種： 1）截面法；（三個(gè)步驟，兩套符號(hào)規(guī)定。） 2）直接法；（由外力定內(nèi)力符號(hào)看梁的變形。） 3）積分法。（微分關(guān)系逆運(yùn)算的應(yīng)用。）剪力彎矩計(jì)算 3）積分法求指定截面的內(nèi)力： 假定梁段上從左向右依次有A、B兩個(gè)點(diǎn)，A點(diǎn)的QA、MA已知，可由此計(jì)算B點(diǎn)的QB、MB.。 A B 由),()(xqdxxdQ;)()(dxxqxdQ,)()(BABAdxxqxdQ

16、;)(BAABdxxqQQ同理，由),()(xQdxxdM;)(BAABdxxQMM 如此，可利用積分法從梁左端向右端依次確定各控制截面內(nèi)力值；按內(nèi)力圖的特征逐段繪圖。 這樣需知梁端點(diǎn)上的內(nèi)力值：梁端點(diǎn)荷載剪力值彎矩值鉸支座無集中荷載支反力值 零固定端無集中荷載支反力值支反力偶矩 自 由 端無集中荷載 零 零 集中力P P力值 零集中力偶m 零 m力偶矩剪力彎矩計(jì)算 例3-9 試用簡捷法繪制圖示外伸梁的內(nèi)力圖。 解：1、求支座反力：)(7)32108288(121kNYA)(5)152104248(121kNYB02281BAYYY校核無誤； 2、梁分段：為AC,CD,DB,BE四段； 3、繪

17、圖：從左向右逐段作Q圖和M圖； 檢驗(yàn)Q最后與右端P2值相等,結(jié)果無誤； M極值點(diǎn)的確定:（由三角形的相似比）;434),134(xxx;3)3143(mxmkNMF.5 .20112120mkNMmkNMrDlD.61016.1633215 .204、確定內(nèi)力最大值：|Q|max=7kN 在A端； |M|max=20.5kN.m 在距A端5m處（在F端）。剪力彎矩計(jì)算第四節(jié) 疊加法作剪力圖和彎矩圖 一、疊加原理： 分析圖示懸臂梁。 ,qLRPRqLPRBqBPB;2,222qLMpLMqLPLMBqBpB;)(;)(,)(qxxQPxQqLpxQqP;2)(,)(,2)(22qxxMPxxMq

18、xPxxMqP;BqBPBRRR;BPBPBMMM);()()(xQxQxQqP).()()(xMxMxMqP剪力彎矩計(jì)算 疊加原理： 由幾個(gè)荷載所引起的反力，內(nèi)力或其它參數(shù)（應(yīng)力、位移）等于各個(gè)荷載單獨(dú)引起的該參數(shù)值相疊加。 二、 疊加法作剪力圖和彎矩圖 步驟： 1）先把作用在梁上的復(fù)雜荷載分解為幾組簡單荷載單獨(dú)作用情況； 2）分別作出各簡單荷載單獨(dú)作用下梁的剪力圖和彎矩圖。（各圖已知或容易畫出，可查表51） 3）疊加各內(nèi)力圖上對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)代數(shù)值，得原梁的內(nèi)力圖。 疊加原理適用條件：參數(shù)與荷載成線性關(guān)系。即各種荷載對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的效應(yīng)（即各參數(shù)）彼此獨(dú)立。 對(duì)靜定結(jié)構(gòu)，小變形假設(shè)可保證這一點(diǎn)。

19、注意：疊加不是圖形的拼合，而是將同一截面上的內(nèi)力值代數(shù)相加；是各簡單荷載下的內(nèi)力圖在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相加。剪力彎矩計(jì)算例310 用疊加法作圖所示外伸梁的 M 圖。解解：1）先分解荷載為P1、P2單獨(dú)作用情況； 2）分別作出各荷載單獨(dú)作用下梁的彎矩圖； 如圖 a 3）疊加各控制截面各彎矩圖上的縱坐標(biāo)得梁的彎矩圖。如圖d剪力彎矩計(jì)算 三、區(qū)段疊加法作梁彎矩圖(適用于復(fù)雜荷載作用下結(jié)構(gòu)的彎矩圖。) 梁中取出的任意梁段都可看作是簡支梁，用疊加法作簡支梁的彎矩圖即梁段的彎矩圖。 梁段中的極值的求法： 1.列剪力方程； 2.令剪力方程為零，確定X坐標(biāo)； 3.將X截面各M圖的縱坐標(biāo)疊加。 ;2BDCDBCBC

20、LLPLMM 因?yàn)镸極值未必是最大值，且一般極值與跨中截面的彎矩值較接近，故結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算時(shí)多求梁段中 點(diǎn)彎矩，而不求極值，以簡化計(jì)算。剪力彎矩計(jì)算第五節(jié) 其它桿件的內(nèi)力分析 一、拉壓桿(沿軸線縱向力作用） 內(nèi)力：軸力N， 軸力的符號(hào)規(guī)定：拉為正，壓為負(fù)。;iNPN 二、扭轉(zhuǎn)圓軸（橫截面內(nèi)力偶作用） 1、扭矩 ： 用截面法求內(nèi)力。 軸力圖的規(guī)定：正值的軸力圖畫在軸上側(cè)，負(fù)值在軸下側(cè)。 1）截開；2）代替；3）平衡。扭矩限制軸段轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)力偶。扭矩單位：;,mkNmN., 0, 0knknxMMMMM扭矩的符號(hào)規(guī)定：按右手螺旋法則， 順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。剪力彎矩計(jì)算 二、功率、轉(zhuǎn)速與扭矩之間的關(guān)

21、系作用在傳動(dòng)輪上的外力偶矩通常需由軸的功率和轉(zhuǎn)速換算。 設(shè)皮帶輪處的力偶矩為MK (單位：Nm) 軸轉(zhuǎn)動(dòng)一分鐘時(shí)力偶矩MK所作的功為：則皮帶輪每分鐘所作的功為： 機(jī)器的功率為T(單位：千瓦；1KW 當(dāng)于每秒鐘作1000Nm的功）；或功率為N(單位：馬力；1PS=735.5 Nm/s); 軸每分鐘轉(zhuǎn)速為n(單位：r/min)；)(min)/()(9550.260000mNrnKWTnTMK)(60000mNTWKMnW.2或：)(min)/()(70207024mNrnPSNnNMK, WW 剪力彎矩計(jì)算 例3-11、試作圖示機(jī)器傳動(dòng)軸的扭矩圖。已知軸的轉(zhuǎn)速 ，主 動(dòng)輪1 的功率 ，三個(gè)從動(dòng)輪2

22、、3、4的功率 分別為 。, WWPSN5001;1502PSN PSNPSN200;15043求外力偶矩：（2）計(jì)算扭矩：根據(jù)平衡條件：與軸轉(zhuǎn)向一致mKNm.70.1130050002. 71mKNmm.51. 330015002. 732mKNm.406830020002. 74021mMnmKNmMn.51. 321 0 xMmKNmmMn.02. 7322043mMnmKNmMn.68. 443mKNMn.02.7max （3）確定最大值： 在31軸段。0322mmMn剪力彎矩計(jì)算3、 組合變形桿件的內(nèi)力：（將外力向沿桿軸和垂直桿軸的對(duì)稱軸方向分解，再由平衡條件確定內(nèi)力。） （1）斜彎

23、曲 （雙向平面彎曲）： 兩分力Py,Pz分別引起沿鉛垂面和水平面的平面彎曲。略去剪力作用，則x截面的彎矩方程為：.sinsin)(MxPxPxMzy;coscos)(MxPxPxMyz 例3-12 作圖示懸臂梁的彎矩圖。.2,/5kNPmkNq;1025212122maxmkNqlMz.422maxmkNPlMy剪力彎矩計(jì)算 （2）拉伸（壓縮）與彎曲的組合：兩分力Px、Py產(chǎn)生沿軸線方向的拉伸（壓縮）和鉛垂面內(nèi)的平面彎曲變形。X截面的內(nèi)力方程為：;sin)(PPxNx.cos)(xPxPxMyz 例3-13 簡易吊車如圖，作橫梁內(nèi)力圖。 解：1）作橫梁內(nèi)力圖，求拉桿作用力： 2）求內(nèi)力：;8

24、.1285 . 25 . 15 . 2kNYB;408 .128 . 05 . 2kNXB;12kNXNBx.125 . 15 . 25 . 15 . 28 .12mkNMB3）作內(nèi)力圖：剪力彎矩計(jì)算（3）偏心壓縮（拉伸）： 偏心力P平移后所得力P和附加力偶M使桿件產(chǎn)生軸向壓縮（拉伸）和純彎曲的組合變形。;yzPeMPN.zyPeM例3-14 廠房牛腿柱如圖，已知橫梁傳來軸向力P1=100kN,吊車梁傳來偏心力P2=30kN,偏心距e=0.2m。求作其內(nèi)力圖。 解：;130)30100()(21kNPPN.62 . 0302mkNePM剪力彎矩計(jì)算4）彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合：皮帶輪緊邊受力T大于松邊t，向軸線平移所得P和附加力偶Mk使軸產(chǎn)生鉛垂面彎曲和扭轉(zhuǎn)的組合變形。;)()(xTtPxxM;2)(DtTMk例3-15 卷揚(yáng)機(jī)工作時(shí)受搖把上推力P和吊裝勿重量Q共同作用。設(shè)橫軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，不考慮軸承摩擦，試作其內(nèi)力圖。 解：鉛垂面內(nèi)重力Q使軸產(chǎn)生彎曲變形，跨中截面最大彎矩為QL/4; 力P,Q均未通過軸