函數(shù)零點(diǎn)與一元二次方程根的分布

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載函數(shù)零點(diǎn)與一元二次方程根的分布函數(shù)的零點(diǎn)： 對于函數(shù) yf ( x) ，把使 f ( x)0 的實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù) yf ( x) 的零點(diǎn)。零點(diǎn)存在性定理：如果 函數(shù) yf (x) 在區(qū)間 a, b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f ( a)f (b)0 ，那么，函數(shù) yf ( x) 在區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)有零點(diǎn)， 即存在 c(a,b) ，使得 f (c)0 ，這個 c 也就是方程f ( x)0 的根。函數(shù)與方程思想 ：若 y =f (x) 與 x 軸有交點(diǎn) x0f ( x0 )=0若 y =f ( x )與 y = g ( x ) 有交點(diǎn) ( x0 ， y0 )f

2、( x) = g( x) 有解 x0 。一元二次方程根的分布一、一元二次方程根的基本分布零分布所謂一元二次方程根的 零分布 ，指的是方程的根相對于零的關(guān)系。比如二次方程有一正根，有一負(fù)根，其實(shí)就是指這個二次方程一個根比零大，一個根比零小，或者說，這兩個根分布在零的兩側(cè)。設(shè)一元二次方程ax2bxc0 （ a0 ）的兩個實(shí)根為x1 ， x2 ，且 x1 x2 ?！径ɡ?1】 x10 ， x20 (兩個正根 )b 24 ac0，bx1 x20ax1 x2c0a推論 ： x10 ， x20b24 ac 0 或b24ac 0aa00f (0 ) c0f (0)c0b0b0b【定理 2】 x10 ， x2

3、 0x1x224 ac0，b0ax1 x 2c0a推論： x10 ， x20b 24 ac0b 24 ac0a0或0af ( 0)c 0f (0 )c0b0b0【定理 3】 x10x2c0abb【定理 4】 x10 ， x2 0c 0 且；x10 ， x2 0c 00。102且aa學(xué)習(xí)必備歡迎下載二一元二次方程的非零分布k 分布設(shè)一元二次方程 ax 2bxc 0 （ a0 ）的兩實(shí)根為 x1 ， x2 ，且 x1x2 。 k 為常數(shù)。則一元二次方程根的 k 分布（即 x1， x2 相對于 k 的位置）有以下若干定理。【定理 1】 k x1x2b24ac0af (k)0bk2a【定理 2】 x1

4、x2kb 24ac 0af (k )。0bk2a【定理 3】 x1kx2af (k)0 。推論 1x10 x2ac 0 。推論 2x11 x2a(a b c) 0 。【定理 4】有且僅有 k1x1 （或 x2 ） k 2f (k1 ) f (k2 ) 0a 0a 0f ( k1 )0【定理 5】 k1 x1 k2p1 x2p2f ( k1 )0f ( k 2 )0或0f ( k2 )f ( p1 )0f ( p1 )0f ( p2 )0f ( p 2 )0學(xué)習(xí)必備歡迎下載b 24 ac 0b 24ac 0【定理 6】 k1 x1 x2 k2a 0或 a 0f ( k1 )0f ( k 1 )0

5、f ( k 2 )0f ( k 2 )0k 1bk1bk 2k 22a2 a三、例題【例 1】若一元二次方程kx 23kxk30 的兩根都是負(fù)數(shù)，求k 的取值范圍。【例 2】k 在何范圍內(nèi)取值，一元二次方程kx 23kxk30 有一個正根和一個負(fù)根？3（1）已知方程x211xm20的兩實(shí)根都大于1，求m的取值范圍?！纠?】（2）若一元二次方程 mx2(m1)x30的兩個實(shí)根都大于-1 ，求 m 的取值范圍。（3）若一元二次方程mx2(m1)x30的兩實(shí)根都小于2，求 m 的取值范圍?！纠?4】（ 1）已知方程x22mx2m23 022m有一根大于，另一根比小，求的取值范圍。（2）已知方程 x

6、2( m 2)x2m1 0 有一實(shí)根在0 和 1 之間，求 m 的取值范圍。例 1、（ k12或 k>3）例 2、（0< k <3）51 或 m例 3、1、（ 12m129 ） 2、（ m2或 m526 ）3、（ m526）42例 4、1（ 1221m2 ）m1） 2（2223函數(shù)零點(diǎn)與一元二次方程根的分布10如果二次函數(shù)學(xué)習(xí)必備歡迎下載一、選擇題1、已知 f (x) =(x a )( x b ) 2( a < b ) ，并且，是方程 f ( x) =0 的兩根 (< )，則實(shí)數(shù) a ， b ，、的大小關(guān)系是 ( )A 、 < a < b <B

7、、 a < < < bC、 a < < b <D 、 < a < < b2、方程 f ( x) = ax 2bxc =0( a >0)的兩個根都大于1 的充要條件是()A. 0 且 f (1)>0b>2C. 0 且bcb>2。B. f (1)>0 且>2，>1D. 0 且 f (1)>0 ，aaaa3、函數(shù) f (x)xcos x 在 0,) 內(nèi)（）（A）沒有零點(diǎn)（B）有且僅有一個零點(diǎn)（C）有且僅有兩個零點(diǎn)（D）有無窮多個零點(diǎn)4、 已知 f ( x) 是 R 上最小正周期為2 的周期函數(shù)，且當(dāng)

8、0x2 時 ,f ( x)x3x , 則函數(shù) yf ( x) 的圖象在區(qū)間 0,6 上與 x 軸的交點(diǎn)的個數(shù)為（）（A） 6（ B）7（C）8（D）95、設(shè) abc 0 ，二次函數(shù) fxax2bx c 的圖象可能是（）6、設(shè)函數(shù) f ( x) x2(2a1)x4 ，若 x1x2 , x1 x20 時，有 f ( x1 )f ( x2 ) ，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 （）11C.1D. a1A. aB. aa22227、設(shè)二次函數(shù)f ( x)ax24xc( xR) 的值域為 0,), 則19的最大值為（）c1a9A 31B 38C 6D 3125335268函數(shù) f (x)exx 2的零點(diǎn)所在的

9、區(qū)間是（）(A) （-2,-1） (B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2 ）9若函數(shù) yf (x)在區(qū)間a,b上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是（）A 若B若C若D若f ( a) f (b)0 ，不存在實(shí)數(shù) c(a,b) 使得 f (c)0 ；f (a) f (b)0，存在且只存在一個實(shí)數(shù)c (a, b) 使得 f (c)0 ；f (a) f (b)0，有可能存在實(shí)數(shù)c(a,b) 使得 f (c)0 ；f ( a) f (b)0 ，有可能不存在實(shí)數(shù)c(a,b) 使得 f (c)0 ；yx 2mx (m 3) 有兩個不同的零點(diǎn)，則m 的取值范圍是（）A2,6B2,6C2,

10、6D, 26,學(xué)習(xí)必備歡迎下載11直線 y3與函數(shù) yx26 x的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為（）A 4個B 3個C2個1D 個12若方程 x3x10 在區(qū)間 ( a, b)( a, bZ , 且b a1) 上有一根，則 ab 的值為（）A1B 2C 3D 4二、填空題13、已知函數(shù)2 ,x2 ，若關(guān)于 x 的方程 f ( x)k 有兩個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k 的取值范圍是 _.f (x)x(x1)3 , x214函數(shù) f ( x)ln xx2的零點(diǎn)個數(shù)為。15 函數(shù) f (x) 對一切實(shí)數(shù)x1x)1x) ，并且方程 f (x )0 有三個實(shí)根，則這三個實(shí)根的和都滿足f (f (22為。16若函數(shù)f ( x

11、)4xx2a 的零點(diǎn)個數(shù)為3，則 a _。三解答題17、已知關(guān)于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間( 1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2) 內(nèi)，求 m 的范圍 .(2)若方程兩根均在區(qū)間(0 ，1)內(nèi)，求 m 的范圍 .18、若方程 x2(k2)xk0 的兩實(shí)根均在區(qū)間（1、1）內(nèi)，求 k 的取值范圍。19、若方程 x2(k2) x2k10 的兩根中，一根在0 和 1 之間，另一根在1 和 2 之間，求 k 的取值范圍。20、若方程 4x(m3)2xm0 有兩個不相同的實(shí)根，求m 的取值范圍。21、若關(guān)于 x 的方程 lg( x220 x)lg(8 x6

12、a3)0 有唯一的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。參考答案：一、選擇題學(xué)習(xí)必備歡迎下載ADBADCCCCDAC二、填空題13（0,1）14、 215、1.516、4三解答題17、(1)5m116.(2)m 1 22218、（42 3k1）122k19、（）2320、0< m <1x220x0x或x0 21、提示：原方程等價于202即2x20x8x 6a3x12x6a3 0令 f (x) = x2+12 x +6 a +3(1)若拋物線 y = f ( x) 與 x 軸相切，有 =144 4(6 a +3)=0 即 a =11 。11112將 a =代入式有 x = 6 不滿足式， a 。y22(2)若拋物線 y = f ( x) 與 x 軸相交，注意到其對稱軸為 x =6，故交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有且僅有一個滿足式的充要條件是Oxf (20)01631 6a20f (0)0解得6。2當(dāng)163a16時原方程有唯一解。2另法：原方程等價于x2+20 x =8 x 6 a 3( x < 20 或 x >0)問題轉(zhuǎn)化為： 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍，使直線y =8 x 6a 3 與拋物線 y = x2 +20 x ( x < 20 或 x >