初中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)70：正整數(shù)簡單性質(zhì)的復(fù)習(xí)

1、初 中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)(70)正整數(shù)簡單性質(zhì)的復(fù)習(xí)一. 連續(xù)正整數(shù)一. n位數(shù)的個數(shù)：一位正整數(shù)從1到9，共9個，兩位數(shù)從10到99，共90個，三位數(shù)從100到999共9×102個，那么 n位數(shù)的個數(shù)共_.(n是正整數(shù))練習(xí)：1. 一本書共1989頁，用0到9的數(shù)碼，給每一頁編號，總共要用數(shù)碼個. 2.由連續(xù)正整數(shù)寫成的數(shù)12349991000是一個_位數(shù)； 10011002100319881989是_位數(shù). 3. 除以3余1的兩位數(shù)有_個，三位數(shù)有_個，n位數(shù)有_個. 4. 從1到100的正整數(shù)中，共有偶數(shù)_個，含 3的倍數(shù)_個； 從50到1000的正整數(shù)中，共有偶數(shù)_個

2、，含3的倍數(shù)_個.二. 連續(xù)正整數(shù)的和：1+2+3+n=(1+n)×.把它推廣到連續(xù)偶數(shù)，連續(xù)奇數(shù)以及以模m有同余數(shù)的連續(xù)數(shù)的和.練習(xí)：5.計(jì)算2+4+6+100=_.6. 1+3+5+99=_.7. 5+10+15+100=_.8. 1+4+7+100=_.9. 1+2+3+1989其和是偶數(shù)或奇數(shù)？答_10. 和等于100的連續(xù)正整數(shù)共有_組，它們是_.11. 和等于100的連續(xù)整數(shù)共有_組，它們是_.三. 由連續(xù)正整數(shù)連寫的整數(shù)，各位上的數(shù)字和整數(shù) 123456789各位上的數(shù)字和是：(0+9)+(1+8)+(4+5)=9×5=45；123499100各位數(shù)字和是(0

3、+99)+(1+98)+(49+50)+1=18×50+1=901.練習(xí)：12. 整數(shù) 12349991000各位上的數(shù)字和是_.13. 把由1開始的正整數(shù)依次寫下去，直到第198位為止：這個數(shù)用9除的余數(shù)是_.14. 由1到100這100個正整數(shù)順次寫成的數(shù)123499100中： 它是一個_位數(shù)； 它的各位上的數(shù)字和等于_； 從這一數(shù)中劃去100個數(shù)字，使剩下的數(shù)盡可能大，那么 剩下的數(shù)的前十位是_.四.連續(xù)正整數(shù)的積： 1×2×3××n 記作n ! 讀作n的階乘. n個連續(xù)正整數(shù)的積能被n!整除.如：2!|a(a+1), 3!|a(a+1)

4、(a+2), n !|a(a+1)(a+2)(a+n1). a為整數(shù). n! 中含有質(zhì)因數(shù)m的個數(shù)是+.x表示不大于x的最大正整數(shù)，i=1,2,3 min如：1×2×3××10的積中，含質(zhì)因數(shù)3的個數(shù)是：=3+1=4練習(xí)：15. 在100!的積中，含質(zhì)因數(shù)5的個數(shù)是：_16.一串?dāng)?shù)1，4，7，10，697，700相乘的積中，末尾共有零_個 17. 求證：10494 | 1989!18. 求證：4! | a(a21)(a+2) a為整數(shù)五. 兩個連續(xù)正整數(shù)必互質(zhì)練習(xí)：19. 如果n+1個正整數(shù)都小于2n, 那么必有兩個是互質(zhì)數(shù)，試證之.二. 正整數(shù)十進(jìn)制的

5、表示法一. n+1位的正整數(shù)記作：an×10n+an1×10n1+a1×10+a0 其中n是正整數(shù)，且0ai9 (i=1,2,3,n)的整數(shù), 最高位an0.例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.例題：從12到33共22個正整數(shù)連寫成a=1213143233. 試證：a能被99整除.證明：a=12×1042+13×1040+14×1038+31×104+32×102+33 =12×10021+13×10020+14×

6、1019+31×1002+32×100+33. 100的任何次冪除以9的余數(shù)都是1，即100 n=(99+1) n1 (mod 9) a=99k+12+13+14+31+32+33 (k 為正整數(shù) ) =99 k+(12+33)+(13+32)+(22+23) =99k+45×11 =99k+99×5.a能被99整除.練習(xí)：20. 把從19到80的連結(jié)兩位數(shù)連寫成192021227980.試證明這個數(shù)能被1980整除二. 常見的一些特例=10 n1, =(10 n1), (10 n1).例題：試證明12，1122，111222，11112222，這些數(shù)中

7、的任何一個，都是兩個相鄰的正整數(shù)的積.證明：第n個數(shù)是=×10 n+ =(10 n+2)=×. 證畢.練習(xí)：21. 化簡 ×+1=_.22. 化簡 =_.23. 求證 是合數(shù).24. 已知：存在正整數(shù) n,能使數(shù)被1987整除. 求證：數(shù)p=和 數(shù)q=都能被1987整除. 25. 證明： 把一個大于1000的正整數(shù)分為末三位一組，其余部分一組，若這兩組數(shù)的差，能被7(或13)整除，則這個正整數(shù)就能被7(或13)整除.26. 求證：×15+1是完全平方數(shù).三. 末位數(shù)的性質(zhì).一.用n (a)表示自然數(shù)的個位數(shù). 例如a=124時，n (a)=4；a=3時，

8、n (a)=3. 1. n (a4k+r)=n (ar) a和k都是整數(shù)，r=1,2,3,4. 特別的： 個位數(shù)為0，1，5，6的整數(shù)，它們的正整數(shù)次冪的個位數(shù)是它本身.個位數(shù)是4，9 的正偶數(shù)次冪的個位數(shù)也是它本身.2. n (a)=n (b)n (ab)=010 |(ab).3. 若n (a)=a0, n (b)=b0. 則n (an)=n (a0n)； n (ab)=n (a0b0).例題1：求53100 ； 和 7的個位數(shù).解：n (53100)=n (34×24+4)=n (34)=1先把冪的指數(shù)77化為4k+r形式，設(shè)法出現(xiàn)4的因數(shù).77=777+7=7(761)+4+3

9、=7(721)(74+72+1)+4+3 =7×4×12× (74+72+1)+4+3 =4k+3 n(7)=n(74k+3)=n(73)=3.練習(xí)：27. 19891989的個位數(shù)是_，9的個位數(shù)是_.28. 求證：10 | (1987198919931991).29. 2210×3315×7720×5525的個位數(shù)是_.二. 自然數(shù)平方的末位數(shù)只有0，1，4，5，6，9；連續(xù)整數(shù)平方的個位數(shù)的和，有如下規(guī)律：12，22，32，102的個位數(shù)的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1. 用這一性質(zhì)計(jì)算連續(xù)整數(shù)平方的個位數(shù)

10、的和 例題1. 填空：12，22，32，1234567892的和的個位數(shù)的數(shù)字是_. 解：12，22，32，102的個位數(shù)的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11到20；21到30；31到40；123456781到123456789，的平方的個位數(shù)的和也都是45. 所以所求的個位數(shù)字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的個位數(shù)5. 2. 為判斷不是完全平方數(shù)提供了一種方法例題2. 求證：任何五個連續(xù)整數(shù)的平方和不能是完全平方數(shù).證明：(用反證法)設(shè)五個連續(xù)整數(shù)的平方和是完全平方數(shù)，那么可記作：(n2)2+(n1)2+n2+(n+1)2+

11、(n+2)2=k2 (n, k都是整數(shù))5(n2+2)=k2 . k2是5的倍數(shù)，k也是5的倍數(shù).設(shè)k=5m, 則5(n2+2)=25m2. n2+2=5m2.n2+2是5的倍數(shù)，其個位數(shù)只能是0或5，那么 n2的倍數(shù)是8或3.但任何自然數(shù)平方的末位數(shù)，都不可能是8或3. 假設(shè)不能成立 任何五個連續(xù)整數(shù)的平方和不能是完全平方數(shù).3.判斷不是完全平方數(shù)的其他方法例題3. 已知：a是正整數(shù).求證： a(a+1)+1不是完全平方數(shù) 證明：a(a+1)+1=a2+a+1，且a是正整數(shù) a2< a(a+1)+1=a2+a+1<(a+1)2， a 和a+1是相鄰的兩個正整數(shù)，a(a+1)+1介

12、于它們的平方之間a(a+1)+1不是完全平方數(shù)例題4. 求證： (n>1的正整數(shù)) 不是完全平方數(shù) 證明：根據(jù)奇數(shù)的平方數(shù)除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.但 =4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3即除以4余數(shù)為3，而不是1，它不是完全平方數(shù).例題5. 求證：任意兩個奇數(shù)的平方和，都不是完全平方數(shù).證明：設(shè)2a+1,2b+1(a,b是整數(shù))是任意的兩個奇數(shù).(2a+1)2+(2b+1)2=4a2+4a+1+4b2+4b+1=4(a2+b2+a+b)+2. 這表明其和是偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)，故任意兩個奇數(shù)的平方和，都不可能是完全平方數(shù).三. 魔術(shù)數(shù)：將自

13、然數(shù)n接寫在每一個自然數(shù)的右面，如果所得到的新數(shù)，都能被n整除，那么n稱為魔術(shù)數(shù).常見的魔術(shù)數(shù)有：a) 能被末位數(shù)整除的自然數(shù)，其末位數(shù)是1，2，5(即10的一位正約數(shù)是魔術(shù)數(shù))b) 能被末兩位數(shù)整除的自然數(shù)，其末兩位數(shù)是10，20，25，50(即100的兩位正約數(shù)也是魔術(shù)數(shù))c) 能被末三位數(shù)整除的自然數(shù)，其三末位數(shù)是100，125，200，250，500(即1000的三位正約數(shù)也是魔術(shù)數(shù))練習(xí)：30. 在小于130的自然數(shù)中魔術(shù)數(shù)的個數(shù)為_.四. 兩個連續(xù)自然數(shù)，積的個位數(shù)只有0，2，6；和的個位數(shù)只有1，3，5，7，9. 練習(xí)：31. 已知：n是自然數(shù)，且9n2+5n+26的值是兩個相鄰

14、自然數(shù)的積，那么n的值是：_. 四. 質(zhì)數(shù)、合數(shù)1. 正整數(shù)的一種分類：2. 質(zhì)數(shù)中，偶數(shù)只有一個是2，它也是最小的質(zhì)數(shù).3. 互質(zhì)數(shù)：是指公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù). 相鄰的兩個正整數(shù)都是互質(zhì)數(shù). 例題：試寫出10個連續(xù)自然數(shù)，個個都是合數(shù).解：答案不是唯一的，其中的一種解法是：令a=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11那么a+2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7，a+8，a+9，a+10，a+11就是10個連續(xù)數(shù)，且個個都是合數(shù). 一般地，要寫出n個連續(xù)自然數(shù)，個個是合數(shù)，可用

15、令m=n+1, 那么m!+2, m!+3, m!+4, + m!+n+1 就是所求的合數(shù).m!+i (2in+1) 有公約數(shù)i. 練習(xí)：32. 已知質(zhì)數(shù)a， 與奇數(shù)b 的和等于11，那么a=_,b=_.33. 兩個互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是72，若這兩個數(shù)都是合數(shù)，那么它們分別等于_，_.34. 寫出10個連續(xù)正奇數(shù)，個個都是合數(shù)，可設(shè)m=(10+1)×2， m!=22! 那么所求的合數(shù)是22!+3，_,_,_,35. 寫出10個連續(xù)自然數(shù)，個個都是合數(shù)，還可令 n=2×3×5×7×11.(這里11=10+1，即n是不大于11的質(zhì)數(shù)的積).那么 n+

16、2，n+3，n+4，n+11就是所求的合數(shù).這是為什么？如果 要寫15個呢？36. 已知：x,m,n 都是正整數(shù) . 求證：24m+2+x4n 是合數(shù).五.奇數(shù)和偶數(shù)1.整數(shù)的一種分類：2. 運(yùn)算性質(zhì)：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)， 偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)， 奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù).奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù).(奇數(shù))正整數(shù)=奇數(shù)，(偶數(shù))正整數(shù)=偶數(shù).4. 其他性質(zhì)： 兩個連續(xù)整數(shù)必一奇一偶，其和是奇數(shù)，其積是偶數(shù). 奇數(shù)的平方被4除余1；偶數(shù)的平方能被4整除；除以4余2或3的整數(shù)不是平方數(shù).a) 2n (n為正整數(shù))不含大 于1的奇因數(shù).b) 若兩個整數(shù)的和

17、(差)是奇數(shù)，則它們必一奇一偶.c) 若n個整數(shù)的積是奇數(shù)，則它們都是奇數(shù). 例1. 設(shè)m 與n都是正整數(shù)，試證明m3n3為偶數(shù)的充分必要條件是mn為偶數(shù).證明：m3n3（mn）(m2+mn+n2).當(dāng)mn為偶數(shù)時，不論m2+mn+n2是奇數(shù)或偶數(shù)，m3n3都是偶數(shù)；mn為偶數(shù)是m3n3為偶數(shù)的充分條件.當(dāng)mn為奇數(shù)時，m, n必一奇一偶，m2，mn，n2三個數(shù)中只有一個奇數(shù)，m2+mn+n2是奇數(shù)，從而m3n3也是奇數(shù).mn為偶數(shù)，是m3n3為偶數(shù)的必要條件.綜上所述m3n3為偶數(shù)的充分必要條件是mn為偶數(shù).例2. 求方程x2y2=1990的整數(shù)解.解：(x+y)(xy)=2×5&

18、#215;199. 若x, y同是奇數(shù)或同是偶數(shù)，則 x+y，xy都是偶數(shù)，其積是4的倍數(shù)，但1990不含4的因數(shù)，方程左、右兩邊不能相等. 若x, y為一奇一偶，則xy，x+y都是奇數(shù)，其積是奇數(shù)，但1990不是奇數(shù)，方程兩邊也不能相等.綜上所述，不論x, y取什么整數(shù)值，方程兩邊都不能相等. 所以 原方程沒有整數(shù)解本題是根據(jù)整數(shù)的一種分類：奇數(shù)和偶數(shù)，詳盡地討論了方程的解的可能性.練習(xí)：37. 設(shè)n為整數(shù)，試判定n2n+1是奇數(shù)或偶數(shù).38. 1001+1002+1003+1989其和是偶數(shù)或奇數(shù)，為什么？39. 有四個正整數(shù)的和是奇數(shù)，那么它們的立方和，不可能是偶數(shù)，試說明理由.40.

19、求證：方程x2+1989x+9891=0沒有整數(shù)根.41. 已知： 求證：n是4的倍數(shù).42. 若n是大于1的整數(shù)，p=n+(n21)試判定p是奇數(shù)或偶數(shù)，或奇偶數(shù)都有可能. 六. 按余數(shù)分類1. 整數(shù)被正整數(shù) m除，按它的余數(shù)可分為m類，稱按模m分類. 如：模m=2，可把整數(shù)分為2類:2k, 2k+1 k為整數(shù)，下同模m=3，可把整數(shù)分為3類:3k, 3k+1，3k+2.模m=9，可把整數(shù)分為9類:9k,9k+1,9k+2.9k+8.2. 整數(shù)除以9的余數(shù)，與這個整數(shù)各位上的數(shù)字和除以9的余數(shù)相同.如：6372，5273，4785各位數(shù)字和除以9的余數(shù)分別是0，8，6. 那么這三個數(shù)除以9的

20、余數(shù)也分別是0，8，6.3. 按模m分類時，它們的余數(shù)有可加，可乘，可乘方的性質(zhì).如：若a=5k1+1,b=5k2+2. 則a+b除以5 余數(shù) 是3 (1+2)；ab除以5余2 (1×2)； b2 除以5余4 (22).例1. 求19891989除以7的余數(shù).解：19891989=(7×284+1)1989， 1989198911989 1 (mod 7).即19891989除以7的余數(shù)是1.練習(xí)：43. 今天是星期一，99天之后是星期_.44. n 個整數(shù)都除以 n1, 至少有兩個是同余數(shù)，這是為什么？45. a 是整數(shù)，最簡分?jǐn)?shù)化為小數(shù)時，若為循環(huán)小數(shù)，那么一個循環(huán)節(jié)最

21、多有幾位？4. 運(yùn)用余數(shù)性質(zhì)和整數(shù)除以9的余數(shù)特征，可對四則運(yùn)算進(jìn)行檢驗(yàn)例2. 下列演算是否正確？ 12625+9568=21193 ； 2473×429=1060927.解：用各位數(shù)字和除以9，得到余數(shù)：12625，9568，21193除以9的余數(shù)分別是7，1，7. 7+17， 演算必有錯. 2473，429，1060927除以9的余數(shù)分別是7，6，7.而7×6=42，它除以9余數(shù)為6，不是7，故演算也有錯.注意：發(fā)現(xiàn)差錯是準(zhǔn)確的，但這種檢驗(yàn)并不能肯定演算是絕對正確.練習(xí)：46. 檢驗(yàn)下列計(jì)算有無差錯： 37285483275=289679 ； 23366292÷

22、;6236=3748.5. 整數(shù)按模分類，在證明題中的應(yīng)用例3. 求證：任意兩個整數(shù)a和b，它們的和、差、積中，至少有一個是3的倍數(shù).證明：把整數(shù)a和b按模3分類，再詳盡地討論.如果a, b除以3，有同余數(shù) (包括同余0、1、2)，那么a, b的差是3的倍數(shù)；如果a, b除以3，余數(shù)不同，但有一個余數(shù)是0，那么a, b的積是3的倍數(shù)；如果a, b除以3，余數(shù)分別是1和2，那么a, b的和是3的倍數(shù).綜上所述任意兩個整數(shù)a，b，它們的和、差、積中，至少有一個是3的倍數(shù). (分類討論時，要求做到既不重復(fù)又不違漏)例4. 已知： p5，且 p和2p+1都是質(zhì)數(shù). 求證：4p+1是合數(shù). 證明：把整數(shù)

23、按模3分類. 即把整數(shù)分為3k,3k+1,3k+2 (k為整數(shù))三類討論p是質(zhì)數(shù)，不能是3的倍數(shù)，即p3k； 當(dāng)p=3k+1時, 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). 2p+1不是質(zhì)數(shù)，即p3k+1； 只有當(dāng)質(zhì)數(shù)p=3k+2時， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5. 2 p+1也是質(zhì)數(shù)， 符合題設(shè).這時，4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合數(shù). 證畢練習(xí)：47. 已知：整數(shù)a不能被2和3整除 . 求證：a2+23能被24整除. 48. 求證：任何兩個整數(shù)的平方和除以8，余數(shù)不可能為6.49. 若正整數(shù)a不是5的倍數(shù). 則a8+3a44能被100整除.50. 已知：自然

24、數(shù)n>2求證：2n1和2n+1中，如果 有一個是質(zhì)數(shù)，則另一個必是合數(shù).51.設(shè)a,b,c是三個互不相等的正整數(shù)，求證 a3bab3,b3cbc3,c3aca3三個數(shù)中，至少有一個能被10整除. 七. 整數(shù)解1. 二元一次方程 ax+by=c的整數(shù)解：當(dāng)a,b互質(zhì)時，若有一個整數(shù)的特解那么可寫出它的通解2. 運(yùn)用整數(shù)的和、差、積、商、冪的運(yùn)算性質(zhì) 整數(shù)±整數(shù)=整數(shù)， 整數(shù)×整數(shù)=整數(shù)，整數(shù)÷(這整數(shù)的約數(shù))=整數(shù)， (整數(shù))自然數(shù)=整數(shù)3. 一元二次方程，用求根公式，根的判別式，韋達(dá)定理討論整數(shù)解.4. 根據(jù)已知條件討論整數(shù)解.例1. 小軍和小紅的生日.都在

25、10月份，且星期幾也相同，他們生日的日期的和等于34，小軍比小紅早出生，求小軍的生日.解：設(shè)小軍和小紅的生日分別為x, y，根據(jù)題意，得 (k=1,2,3,4) 2x=347k x=17k=1, 3時， x沒有整數(shù)解；當(dāng)k=2時， 當(dāng)k=4時， (10月份沒有31日，舍去)小軍的生日在10月10日例2. 如果一個三位數(shù)除以11所得的商，是這個三位數(shù)的各位上的數(shù)的平方和，試求符合條件的所有三位數(shù). 解：設(shè)三位數(shù)為100a+10b+c, a, b, c都是整數(shù)，0<a9，0b, c9.那么 ， 且8<ab+c<18.要使ab+c被11整除，其值只能是0和11.( 1)當(dāng)ab+c=

26、0時， 得9a+b=a2+b2+c2.以b=a+c代入，并整理為關(guān)于a的二次方程，得 2a2+2(c5)a+2c2c=0根據(jù)韋達(dá)定理 這是必要而非充分條件.5c>0, 以c=0, 1, 2, 3, 4逐一討論a的解.當(dāng)c=2,4時，無實(shí)數(shù)根；當(dāng)c=1,3時，無整數(shù)解；只有當(dāng)c=0時，a=5；或a=0. (a=0不合題意，舍去)只有c=0,a=5,b=5適合 所求的三位數(shù)是550；(2)當(dāng)ab+c=11時， 得9a+b+1=a2+b2+c2.以b=a+c代入，并整理為關(guān)于a的二次方程，得2a2+2(c16)a+2c223c+131=0. 仿(1)通過韋達(dá)定理，由c的值逐一以討論a的解.只有

27、當(dāng)c=3時, a=8, b=0適合所有條件.即所求三位數(shù)為803.綜上所述，符合條件的三位數(shù)有550和803.練習(xí)：52. 正整數(shù)x1, x2, x3,xn滿足等式x1x2x3x4+x5=x1x2x3x4x4x5 那么x5的最大值是_. 53. 如果p, q, 都是整數(shù)，.且p>1, q>1, 試求p+q的值.54. 能否找到這樣的兩個正整數(shù)m和n，使得等式m2+1986=n2成立. 試說出你的猜想，并加以證明.55. 當(dāng)m取何整數(shù)時，關(guān)于x的二次方程m2x218mx+72=x26x的根是正整數(shù)，并求出它的根. 56. 若關(guān)于x的二次方程（1+a）x2+2x+1a=0的兩個實(shí)數(shù)根都

28、是整數(shù)，那么a的取值是_. 57. 不等邊三角形的三條邊都是整數(shù)，周長的值是28，最大邊與次大邊的差比次大邊與最小邊的差大1，適合條件的三角形共有_個，它們的邊長分別是：_.58. 直角三角形三邊長都是整數(shù)，且周長的數(shù)值恰好等于面積的數(shù)值，求各邊長.59. 雞翁一，值錢；，雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一.百錢買百雞，問雞翁、雞母、雞雛各幾何？60. 甲買鉛筆4支，筆記本10本，文具盒1個共付1.69元，乙買鉛筆3支，筆記本7本，文具盒1個共付1.26元，丙買鉛筆、筆記本、文具盒各1，應(yīng)付幾元？若1×2×3×4××99×100=12 n

29、×m，其中m為自然數(shù)，n為使得等式成立的最大自然數(shù)，則m是( ) (a).能被2整除，不能被3整除 . (b).能被3整除，但不能被2整除.(c).被4整除，不能被3整除. (d).不能被3整除，也不能被2整除.練習(xí)70參考答案：1. 9+90×2+900×3+990×4=68492. 2893 7956 3. 30，300，3×10n1 4. 50,33,476,317 . 5.2550 6.2500.7. 1050 1. 1717.9.奇數(shù) (1+1989)× . 10有兩組：18，19，20，21，22；9，10，11，12，1

30、3，14，15，16.11.有四組：除上題中的兩組外，尚有8到16；17到2212.13501. 13. 余數(shù)是6(由1到102剛好是198位).14. (1)192 (2)901 (3)9999978596 15.+=2416. 60個.計(jì)算積中含質(zhì)因數(shù)5的個數(shù)是： 從10，25，40，55，700這組數(shù)中含質(zhì)因數(shù)5的共有(70010)÷15+1=47；而25，100，175，700含有52因數(shù)，應(yīng)各加1個5，共有(10025)÷75+1=10；且250，625，含有53因數(shù)，應(yīng)再各加1個5，共有 2個；625 含有54因數(shù)，再加1個5. 總共是47+10+2+1=60.

31、17. =379+79+15+3=49418.把a(bǔ)(a21)(3a+2)化為a(a+1)(a1)(2a+4)+(a2)=2(a1)a(a+1)(a+2)+(a2)(a1)a(a+1).19.根據(jù)兩個連續(xù)整數(shù)必互質(zhì)，把n+1個正整數(shù)按非連續(xù)數(shù)單獨(dú)分組，因?yàn)樗鼈兌夹∮?n,所以最多分為n 組，那么n+1個正整數(shù)至少有一個不能單獨(dú)分組，即與n組中的一個互質(zhì).20. 易證能被20整除，再證能被99整除21. 原數(shù)=(10n1)2+1×10n+(10n1)=102n22. 原數(shù)=×(102n1)2××(10n1)=()2=(23. 原數(shù)=×(101990

32、1)= ×(10995+1) (109951)=×(10995+1) (101)×n (n為整數(shù))24. p=×(103n+9×102n+8×10n+7) q=×(103n+3+9×102n+2+8×10n+1+7)10n=9×+1， 103n+3，102n+2，10n+1除以的余數(shù)分別為103，102，10.q的第二因式除以的余數(shù)分別為1×103+9×102+8×10+725.設(shè)a=103 m+n，7|(mn).a=103 m+n=103 m+mm+n=1001m(mn).26. 原數(shù)=27. 1. 28. 71與33的個位數(shù)相同. 29 . 0.30. 9個(1，25，10，20，25，50，100，125).31. 2，6. 可設(shè)9n2+5n+26=m(m+1),配方，分解因式3