第三 時間響應(yīng)分析PPT課件

1、對于一般情況，若齊次方程的特征根si各不相同，則 n和si 與系統(tǒng)的初始狀態(tài)、輸入無關(guān)，只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，即系統(tǒng)的固有特性。)()()()()()(121112111211tBeAeAtyeAeAtytBtyeAtynitsinitsinitsinitsinitsiiiiii第1頁/共68頁 若線性微分方程的輸入函數(shù)有導數(shù)項，則可將其作為新的輸入，其輸出即為原輸出的導數(shù)。 時間響應(yīng)是指零狀態(tài)響應(yīng)，包括瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)相應(yīng)。 瞬態(tài)響應(yīng)：當Resi0，則隨著時間的增加，自由響應(yīng)逐漸衰減，當t是自由響應(yīng)趨于零，此時所有的極點均位于s平面的左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定，自由響應(yīng)稱為瞬態(tài)響應(yīng)。反之，系統(tǒng)不穩(wěn)

2、定，自由響應(yīng)就不是瞬態(tài)響應(yīng)。 穩(wěn)態(tài)相應(yīng)：一般指強迫響應(yīng)。第2頁/共68頁 系統(tǒng)的三個基本要求系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應(yīng)的快速性、響應(yīng)的準確性。 Resi0，自由響應(yīng)發(fā)散（不穩(wěn)定）， Resi0還是Resi0決定了系統(tǒng)是否穩(wěn)定； 當系統(tǒng)穩(wěn)定時，| Resi |的大小，決定了自由響應(yīng)是快還是慢衰減，決定系統(tǒng)的響應(yīng)是快速還是慢速趨向于穩(wěn)態(tài)相應(yīng)；而Imsi的情況在很大程度上決定了自由響應(yīng)的振蕩情況，決定了系統(tǒng)的響應(yīng)在規(guī)定時間內(nèi)接近穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的情況，這影響著響應(yīng)的準確性。第3頁/共68頁3.2 典型輸入信號 單位脈沖函數(shù) 單位階躍函數(shù) 單位斜坡函數(shù) 單位拋物線函數(shù) 正弦函數(shù) 隨機函數(shù)第4頁/共68頁典型輸入信號h

3、0.1T第5頁/共68頁3.3 一階系統(tǒng)T稱為一階系統(tǒng)的時間常數(shù)，它與外界無關(guān)，是一階系統(tǒng)的固有特性。 11)()()(TssXisXosG第6頁/共68頁一 、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當系統(tǒng)的輸入信號xi(t)是理想的單位脈沖函數(shù)(t)時，系統(tǒng)的輸出xo(t)稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)w(t)。TtiieTtwTsLsGLtwsGsWtLsXsXsGsXosW/111)(11)()()()(1)()()()()()(TtiieTtwTsLsGLtwsGsWtLsXsXsGsXosW/111)(11)()()()(1)()()()()()(TtiieTtwTsLsGLtwsGsWtLsXsXsGsXo

4、sW/111)(11)()()()(1)()()()()()(TtiieTtwTsLsGLtwsGsWtLsXsXsGsXosW/111)(11)()()()(1)()()()()()(TtiieTtwTsLsGLtwsGsWtLsXsXsGsXosW/111)(11)()()()(1)()()()()()(第7頁/共68頁一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)是一單調(diào)下降的指數(shù)曲線。如果將曲線衰減到初值得2%之前的過程定義為過渡過程，則可計算相應(yīng)的過渡過程響應(yīng)時間為4T。一階系統(tǒng)慣性大，過渡過程時間長。 第8頁/共68頁二 、 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng))(11)(111)()(111)()()(1)()(

5、)()()(/11tBeetxsTsLsXLtxsTssXsGsXstuLsXsXsGsXTtTtouoouioiio為穩(wěn)態(tài)項為瞬態(tài)項，)(11)(111)()(111)()()(1)()()()()(/11tBeetxsTsLsXLtxsTssXsGsXstuLsXsXsGsXTtTtouoouioiio為穩(wěn)態(tài)項為瞬態(tài)項，)(11)(111)()(111)()()(1)()()()()(/11tBeetxsTsLsXLtxsTssXsGsXstuLsXsXsGsXTtTtouoouioiio為穩(wěn)態(tài)項為瞬態(tài)項，)(11)(111)()(111)()()(1)()()()()(/11tBeetx

6、sTsLsXLtxsTssXsGsXstuLsXsXsGsXTtTtouoouioiio為穩(wěn)態(tài)項為瞬態(tài)項，)(11)(111)()(111)()()(1)()()()()(/11tBeetxsTsLsXLtxsTssXsGsXstuLsXsXsGsXTtTtouoouioiio為穩(wěn)態(tài)項為瞬態(tài)項，第9頁/共68頁曲線兩個重要的特點：（1） A點，其對應(yīng)的時間t=T時，系統(tǒng)的響應(yīng)xou(t)達到了穩(wěn)態(tài)值63.2%；(2) 零點，曲線的切線斜率等于1/T。系統(tǒng)的過渡過程時間為4T。第10頁/共68頁3.4 二階系統(tǒng)式中， 稱為無阻尼固有頻率， 稱為阻尼比。 它們是二階系統(tǒng)的特征參數(shù),表明系統(tǒng)本身的固

7、有特性。 2222)()()(nnnsssXisXosGn第11頁/共68頁 二階系統(tǒng)的 特征方稱為 此方程的兩個特征根為 0222nnss122 , 1nns第12頁/共68頁阻尼比取不同的值，二階系統(tǒng)的特征根也不同（1）當01時，兩特征根為共軛復數(shù)，即 欠阻尼系統(tǒng)。（2）當=0時，兩特征根為共軛純虛根，即 無阻尼系統(tǒng)。（3）當=1時，兩特征根為相等的負實根，即 臨界阻尼系統(tǒng)。（4）當1時，兩特征根為不相等的負實根，即 過阻尼系統(tǒng)。 22 , 11nnjsnjs2, 1ns2, 1122 , 1nns第13頁/共68頁第14頁/共68頁一二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng))1()(2)()()()(1)

8、()()()()()(2222122211nnnnnnsLssLsGLtwsGsWtLsXisXisGsXosW)1()(2)()()()(1)()()()()()(2222122211nnnnnnsLssLsGLtwsGsWtLsXisXisGsXosW)1()(2)()()()(1)()()()()()(2222122211nnnnnnsLssLsGLtwsGsWtLsXisXisGsXosW第15頁/共68頁（1）當01系統(tǒng)欠阻尼時， （t0）（2）當=0系統(tǒng)無阻尼時， （t0）tesLtwdtnnnnnnsin1)1()(11)(2222221tsLtwnnnnnsin)(221第16

9、頁/共68頁（3）當=1系統(tǒng)臨界阻尼時， （t0） （4）1系統(tǒng)過阻尼時， 欠阻尼系統(tǒng)稱為二階振蕩系統(tǒng)，其幅值衰減的快慢取決于 。（t0） tnnnnetsLtw2221)()(n12)1(1)1(112)()1()1(22121222ttnnnnnneesLsLtw第17頁/共68頁第18頁/共68頁 二、系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)12)()(12)()()(1)()()()()(22211222sssLsXoLtxossssXisGsXostuLsXisXisGsXonnnnnn12)()(12)()()(1)()()()()(22211222sssLsXoLtxossssXisGsXostuLs

10、XisXisGsXonnnnnn第19頁/共68頁（1）01系統(tǒng)欠阻尼時， （t0）（2）=0系統(tǒng)無阻尼時， （t0）)1sin(111)sin1(cos1)(222arctgtettetxodtddtnnttxoncos1)(第20頁/共68頁（3）當=1系統(tǒng)臨界阻尼時， （t0） （4）1系統(tǒng)過阻尼時， 在欠阻尼系統(tǒng)中，當=0.40.8時，不僅其過渡過程時間比=1時更短，而且振蕩也不太嚴重。tnnettxo)1 (1)()(121) 1( 121) 1( 1211) (212) 1(22) 1(222122seseeetxtst snttonn第21頁/共68頁第22頁/共68頁 三、 二

11、階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標 性能指標： 上升時間 tr 峰值時間 tp 最大超調(diào)量 Mp 調(diào)整時間 ts 振蕩次數(shù) N第23頁/共68頁1、上升時間trdrdrdrdrdrdtdrdtrortrtttttetrtetxttrnrn取令時，當,.2 ,1arctan1tan0)sin1(cos0)sin1(cos111)(2222drdrdrdrdrdtdrdtrortrtttttetrtetxttrnrn取令時，當,.2 ,1arctan1tan0)sin1(cos0)sin1(cos111)(2222第24頁/共68頁 drdrdrdrdrdtdrdtrortrtttttetrtetxttrnrn

12、取令時，當,.2 ,1arctan1tan0)sin1(cos0)sin1(cos111)(2222增大。增大，一定時，減小；增大，一定時，可知，及由rnrndrndttt21第25頁/共68頁2、峰值時間tp dppdpdpdtttt取,.2 , 00sin0|)(pttdttdxo增大。增大，一定時，減小；增大，一定時，可知，及由pnpndpndttt21第26頁/共68頁3最大超調(diào)量Mp。時，相應(yīng)超調(diào)量為當無關(guān)。而與無阻尼固有頻率有關(guān)，只與阻尼比超調(diào)量%5 . 125%8 . 04 . 0nMp%100)()()(oopoxxtxMp%100%100)sin1(cos21/2/eMpeM

13、pdn第27頁/共68頁4調(diào)整時間ts 222211ln111|)1sin(11|1)(1)().().()()(05.002.0).().(|)()(|nstdtsstearctgtetxoxottxoxotxottxoxotxonn222211ln111|)1sin(11|1)(1)().().()()(05.002.0).().(|)()(|nstdtsstearctgtetxoxottxoxotxottxoxotxonn22211ln111|)1sin(|).().(|)()(|nstdtstearctgtettxoxotxonn第28頁/共68頁 作為最佳阻尼比。所以一般取為最小。時

14、，當為最??；時，當，時，近似得到當707. 068. 005. 076. 002. 0305. 0402. 07 . 00ssnsnstttt第29頁/共68頁 5振蕩次數(shù)N2215 .1305.0,9 .0012402.0,9 .00/2NtNttNnsnsds，得時，當，得時，當在過渡過程時間0tts內(nèi)，xo(t)穿越其穩(wěn)態(tài)值xo()的次數(shù)的一半定義為振蕩次數(shù)。 第30頁/共68頁四 、二階系統(tǒng)計算舉例例1 求單位階躍信號輸入時的tp，Mp，ts。02. 033. 1405. 0133%5 . 9%100)1/exp(2785. 0411212ststtMMststnsnssppdpndp

15、求）（求）（求）（解156 . 0sn第31頁/共68頁例2 如圖為在質(zhì)量快m上施加8.9N階躍力后的時間響應(yīng)，求系統(tǒng)的m，k和c值。解 由圖可知 stmxtxmxpopoo2,0029. 0)()(,03. 0)(ssXkcsmssXsXsGiio9 . 8)(1)()()(2mNkmxkskcsmsssXstxxososoto/297,03. 0)(9 . 89 . 81lim)(lim)(lim)() 1 (200第32頁/共68頁kgmmkssttMeMpnnpndppdn3 .77/96.1, 6 .0,216 .0%6 .9%10003.00029.0%100)2(212/msNc

16、mcn/8 .181,/2)3(第33頁/共68頁%5%35%10062.31,316.062.3162.31316.0262.315005.050)(21/12222eMpssssssGnB0236. 02)501 (2069. 0%5%10062.311000)501 (20100050)501 (05. 050)(21/122nnBeMpssssssG校正后校正前第34頁/共68頁3.5 高階系統(tǒng)01110111.)(asasasabsbsbsbsGnnnnmmmm0.0111asasasannnn設(shè)特征方程由n個特征根，其中有n1個實數(shù)根，n2對共軛虛根，n=n1+2n2。)(,arc

17、tan)0()sin()(2)()2()()()()()(1)()2()()()(221110212211011212211121221dkknkkkkkknkkkdkkknkkdktknjtpjonknknkkkknjjjonjnknknkkjmiiioinjnknknkkjmiiBCBDBCBtteDeAAtxssCsBpsAsAsXsspsszsKsXsGsXssXsspszsKsGnkkj振蕩曲線指數(shù)曲線分量穩(wěn)態(tài)傳遞函數(shù)一般形式第35頁/共68頁)(,arctan)0()sin()(2)()2()()()()()(1)()2()()()(221110212211011212211121

18、221dkknkkkkkknkkkdkkknkkdktknjtpjonknknkkkknjjjonjnknknkkjmiiioinjnknknkkjmiiBCBDBCBtteDeAAtxssCsBpsAsAsXsspsszsKsXsGsXssXsspszsKsGnkkj振蕩曲線指數(shù)曲線分量穩(wěn)態(tài)第36頁/共68頁通過對一般情況分析，可對系統(tǒng)性能作定性分析。 （1）當系統(tǒng)閉環(huán)極點全部在s平面左邊時，其特征根具有負實部，因此系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，各分量衰減的快慢，取決于極點離虛軸的距離，離虛軸愈遠，衰減愈快。 （2）衰減項的幅值，與極點和零點都有關(guān)系。極點距原點越遠，則對應(yīng)項的幅值就越小。當極點和零點很靠

19、近時，對應(yīng)項得負值也很小。 （3）如果高階系統(tǒng)中離虛軸最近的極點，其實部小于其他極點實部的1/5，并且附近不存在零點，可以認為系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)主要由這一極點決定，稱為主導極點第37頁/共68頁主導極點第38頁/共68頁第39頁/共68頁第40頁/共68頁第41頁/共68頁第42頁/共68頁第43頁/共68頁第44頁/共68頁四階系統(tǒng)響應(yīng)第45頁/共68頁3.6 系統(tǒng)的誤差分析與計算靜態(tài)誤差1）靜差 表示系統(tǒng)的靜態(tài)精度，只有穩(wěn)定系統(tǒng)才談得上靜差2）靜差與輸入信號有關(guān)，衡量標準是用一些典型輸入信號作為標準階躍 斜坡 加速度 st1)( 121st 32121st第46頁/共68頁一、系統(tǒng)的誤差與偏差

20、 系統(tǒng)誤差是以系統(tǒng)輸出端為基準，是控制系統(tǒng)所希望的輸出與實際輸出之差。 e(t)=xor(t)-xo(t) Laplace變換后得 E1(s)=Xor(s)-Xo(s)系統(tǒng)偏差是以系統(tǒng)的輸入端為基準，是給定輸入與反饋量之差。 (t)=xi(t)-b(t)Laplace變換后得 E(s)=Xi(s)-B(s)=Xi(s)-H(s)Xo(s)第47頁/共68頁 當Xor(s)Xo(s)，E(s)0，E(s)就起控制作用； 當Xor(s)=Xo(s)，E(s)=0，E(s)就不起控制作用。 所以 E(s)=Xi(s) B(s) =Xi (s) H(s) Xo(s) =Xi (s) H(s) Xor(

21、s) Xi (s) H(s) Xor(s)=0 Xi (s)=H(s) Xor(s) 或 Xor(s)= Xi (s)/ H(s) E(s)=Xi (s) H(s) Xo(s)= H(s) Xor(s) H(s) Xo(s) 所以 E(s)= H(s) E1(s) 或 E1(s)= E(s)/ H(s) 由上可知，求出偏差E(s)后即可求出誤差，對單位反饋系統(tǒng)來說，偏差與誤差相同。第48頁/共68頁第49頁/共68頁二 誤差e(t)的一般計算第50頁/共68頁數(shù)隊伍差的影響。反映了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參為誤差傳遞函數(shù)，)()();()(1)()()()()()()()()(1)()()()()()()

22、()()()()()(1)()(;)()()(1)()()()()()()()()()()(1)()()()()(1)()()(121221212122121sGssGsHsNssXissNsGsXsGsHsNsGsXsGsHsXsXsXsEsHsGsGsGsGsHsGsGsGsGsGsNsGsXsGsNsHsGsGsGsXsHsGsGsGsGsXNNxiXiNXiNixiNixiioorNxiNixiio數(shù)隊伍差的影響。反映了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參為誤差傳遞函數(shù)，)()();()(1)()()()()()()()()(1)()()()()()()()()()()()(1)()(;)()()(1)()

23、()()()()()()()()()(1)()()()()(1)()()(121221212122121sGssGsHsNssXissNsGsXsGsHsNsGsXsGsHsXsXsXsEsHsGsGsGsGsHsGsGsGsGsGsNsGsXsGsNsHsGsGsGsXsHsGsGsGsGsXNNxiXiNXiNixiNixiioorNxiNixiio數(shù)隊伍差的影響。反映了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參為誤差傳遞函數(shù)，)()();()(1)()()()()()()()()(1)()()()()()()()()()()()(1)()(;)()()(1)()()()()()()()()()()(1)()()()

24、()(1)()()(121221212122121sGssGsHsNssXissNsGsXsGsHsNsGsXsGsHsXsXsXsEsHsGsGsGsGsHsGsGsGsGsGsNsGsXsGsNsHsGsGsGsXsHsGsGsGsGsXNNxiXiNXiNixiNixiioorNxiNixiio數(shù)對誤差的影響。反映了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參為誤差傳遞函數(shù)，)()();()(1)()()()()()()()()(1)()()()()()()()()()()()(1)()(;)()()(1)()()()()()()()()()()(1)()()()()(1)()()(121221212122121sG

25、ssGsHsNssXissNsGsXsGsHsNsGsXsGsHsXsXsXsEsHsGsGsGsGsHsGsGsGsGsGsNsGsXsGsNsHsGsGsGsXsHsGsGsGsGsXNNxiXiNXiNixiNixiioorNxiNixiio第51頁/共68頁四、 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)偏差 )(lim)(lim10ssEteestss)(lim)(lim0ssEtstss第52頁/共68頁四 、與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差)()()(11lim)(lim)(lim)()()(11)()()()()()()()()(00sXsHsGsssEtsXsHsGsEsXsGsHsXsXsH

26、sXsEisstssiiioi)()()(11lim)(lim)(lim)()()(11)()()()()()()()()(00sXsHsGsssEtsXsHsGsEsXsGsHsXsXsHsXsEisstssiiioi)()()(11lim)(lim)(lim)()()(11)()()()()()()()()(00sXsHsGsssEtsXsHsGsEsXsGsHsXsXsHsXsEisstssiiioi第53頁/共68頁 V為幾分環(huán)節(jié)的個數(shù)，表征了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征。 v=0,1,2,時分別稱為0型， 1型和2型系統(tǒng)。V愈高，穩(wěn)態(tài)精度愈高，但穩(wěn)定性愈差，因此一般不超過3 3型。 vKsnjmi

27、njvmiKKssKGsHsGsGsGTjsTisGTjssTiKsHsGsGsG)(0)()()(1)(0lim)1()1()(0)1()1()()()()(01111記為設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)第54頁/共68頁（1）當輸入為單位階躍信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為無差系統(tǒng)。型系統(tǒng)，對于為有差系統(tǒng)。型系統(tǒng)，對于為位置無偏系數(shù)0,2111,0lim)(0lim)()(lim11)()(1)(lim)(lim)(lim00000sspsspvsvssppisstssKKKKsKssKGsHsGKKsHsGsXsssEt為無差系統(tǒng)。型系統(tǒng)，對于為有差系統(tǒng)。型系統(tǒng)，對于為位置無偏系數(shù)0,2111,0lim)(0

28、lim)()(lim11)()(1)(lim)(lim)(lim00000sspsspvsvssppsstssKKKKsKssKGsHsGKKsHsGsXisssEt為無差系統(tǒng)。型系統(tǒng)，對于為有差系統(tǒng)。型系統(tǒng)，對于為位置無偏系數(shù)0,2111,0lim)(0lim)()(lim11)()(1)(lim)(lim)(lim00000sspsspvsvssppsstssKKKKsKssKGsHsGKKsHsGsXisssEt第55頁/共68頁（2）當輸入為單位斜坡信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差0,21,1, 00lim)( 0lim)()(lim1)()(1)(lim)(lim)(lim100000ssvs

29、svssvvsvssvvisstssKKKKKsKsssKGsHssGKKsHsGsXsssEt型系統(tǒng)，對于型系統(tǒng)，對于型系統(tǒng)，對于為速度無偏系數(shù)0,21,1, 00lim)( 0lim)()(lim1)()(1)(lim)(lim)(lim100000ssvssvssvvsvssvvsstssKKKKKsKsssKGsHssGKKsHsGsXisssEt型系統(tǒng)，對于型系統(tǒng)，對于型系統(tǒng)，對于為速度無偏系數(shù)0,21,1, 00lim)( 0lim)()(lim1)()(1)(lim)(lim)(lim100000ssvssvssvvsvssvvsstssKKKKKsKsssKGsHssGKKsH

30、sGsXisssEt型系統(tǒng)，對于型系統(tǒng)，對于型系統(tǒng)，對于為速度無偏系數(shù)第56頁/共68頁（3）當輸入為加速度信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為 為無差系統(tǒng)。型系統(tǒng)，對于為有差系統(tǒng)。型系統(tǒng)，對于為加速度無偏系數(shù)KKKKsKssKGssHsGsKKsHsGssHsGsssHsGsXsssEtssXttxissassavsvssaassisstssi1,2,010lim)(0lim)()(lim1)()(1lim)()(1/1lim)()(1)(lim)(lim)(lim1)(,21)(20202020300032為無差系統(tǒng)。型系統(tǒng)，對于為有差系統(tǒng)。型系統(tǒng)，對于為加速度無偏系數(shù)KKKKsKssKGssHsGs

31、KKsHsGssHsGsssHsGsXsssEtssXttxissassavsvssaassisstssi1,2,010lim)(0lim)()(lim1)()(1lim)()(1/1lim)()(1)(lim)(lim)(lim1)(,21)(20202020300032為有差系統(tǒng)。型系統(tǒng)，對于。型系統(tǒng)，對于為加速度無偏系數(shù)KKKKsKssKGssHsGsKKsHsGssHsGsssHsGsXsssEtssXttxissassavsvssaassisstssi1,2,010lim)(0lim)()(lim1)()(1lim)()(1/1lim)()(1)(lim)(lim)(lim1)(,2

32、1)(20202020300032第57頁/共68頁第58頁/共68頁表3.6.1 在不同輸入時的不同類型系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)偏差 K11K1K1第59頁/共68頁五 、干擾有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差。均趨向于和時，當當1)()(0)()(,)()()()()(1)()()(lim)(lim)()()(1)()()()()()()()()()(1)()()()()()()()(2010220221101121200212212sGsGsssGKsGssGKsGsHsGsGsGsHssNssEsHsGsGsNsGsHsXsHsEsNsHsGsGsGsXosXosHsBsBsXsEvvssssoi系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)

33、態(tài)偏差反映了系統(tǒng)的抗干擾能力，此時不考慮給定輸入作用，即Xi(s)=0，只有干擾信號N(s)。均趨向于和時，當當1)()(0)()(,)()()()()(1)()()(lim)(lim)()()(1)()()()()()()()()()(1)()()()()()()()(2010220221101121200212212sGsGsssGKsGssGKsGsHsGsGsGsHssNssEsHsGsGsNsGsHsXsHsEsNsHsGsGsGsXosXosHsBsBsXsEvvssssoi。均趨向于和時，當當1)()(0)()(,)()()()()(1)()()(lim)(lim)()()(1)()()()()()()()()