【精品課件】113導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1、1.1.31.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義回顧回顧平均變化率平均變化率fx121)()f xxx2f(x函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)從從x x1 1到到x x2 2平均變化率為平均變化率為: :回顧回顧我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度.從函數(shù)從函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的瞬時(shí)變化率是處的瞬時(shí)變化率是:0000()(),limlimxxfxffxxxx 我們稱(chēng)它為函數(shù)我們稱(chēng)它為函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0處的導(dǎo)數(shù)，記作處的導(dǎo)數(shù)，記作f f (

2、x(x0 0) )或或y y|xx|xx0 0即即00000()()(),limlimxxfxfffxxxxx 由導(dǎo)數(shù)的意義可知由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是導(dǎo)數(shù)的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函數(shù)的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均變化率00(3)()lim.xyfxx 取極限，得導(dǎo)數(shù)注意注意:這里的增量不是一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù)它可正也可負(fù). 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪種形式, y也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形

3、式也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式.回回顧顧OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直線(xiàn)直線(xiàn)AB的斜率的斜率問(wèn)題你能借助函數(shù)的圖象說(shuō)說(shuō)平均變化率問(wèn)題你能借助函數(shù)的圖象說(shuō)說(shuō)平均變化率)(xfxxfxxf)(00表示什么嗎？請(qǐng)?jiān)诤瘮?shù)表示什么嗎？請(qǐng)?jiān)诤瘮?shù)圖象中畫(huà)出來(lái)圖象中畫(huà)出來(lái)問(wèn)題在問(wèn)題在你能描述一下嗎？你能描述一下嗎？0 x割線(xiàn)割線(xiàn)AB的的變化情況的的變化情況的過(guò)程中，的過(guò)程中，請(qǐng)?jiān)诤瘮?shù)圖象中畫(huà)出來(lái)請(qǐng)?jiān)诤瘮?shù)圖象中畫(huà)出來(lái)ABoxyy=f(x)割割線(xiàn)線(xiàn)切線(xiàn)切線(xiàn)T導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)B沿著曲線(xiàn)無(wú)限接近點(diǎn)沿著曲線(xiàn)無(wú)限接近點(diǎn)A即即x0時(shí)時(shí),

4、割線(xiàn)割線(xiàn)AB如果有一個(gè)極限位置如果有一個(gè)極限位置AT.則我則我們把直線(xiàn)們把直線(xiàn)AT稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)A處的處的切線(xiàn)切線(xiàn). 設(shè)切線(xiàn)的傾斜角為設(shè)切線(xiàn)的傾斜角為,那那么當(dāng)么當(dāng)x0時(shí)時(shí),割線(xiàn)割線(xiàn)AB的斜的斜率率,稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)A處的處的切切線(xiàn)的斜率線(xiàn)的斜率.即即:00000()()()limlimxxf xxf xykf xxx 切線(xiàn)這個(gè)概念這個(gè)概念: 提供了求曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)的斜率的一種方法提供了求曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)的斜率的一種方法; 切線(xiàn)斜率的本質(zhì)切線(xiàn)斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).要注意要注意,曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn): 1) 與該點(diǎn)的位置有關(guān)與該點(diǎn)的位置有

5、關(guān);2) 要根據(jù)割線(xiàn)是否有極限位置來(lái)判斷與求解要根據(jù)割線(xiàn)是否有極限位置來(lái)判斷與求解.如有極限如有極限,則在則在 此點(diǎn)有切線(xiàn)此點(diǎn)有切線(xiàn),且切線(xiàn)是唯一的且切線(xiàn)是唯一的;如不存在如不存在,則在此點(diǎn)處無(wú)切線(xiàn)則在此點(diǎn)處無(wú)切線(xiàn);3) 曲線(xiàn)的切線(xiàn)曲線(xiàn)的切線(xiàn),并不一定與曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)并不一定與曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn), 可以有多個(gè)可以有多個(gè),甚至可以無(wú)窮多個(gè)甚至可以無(wú)窮多個(gè).ABoxyy=f(x)割割線(xiàn)線(xiàn)切切線(xiàn)線(xiàn)T 概括：概括：函數(shù)函數(shù) 在在 處的處的 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 的的幾何意義幾何意義就是函數(shù)就是函數(shù) 的圖像在點(diǎn)的圖像在點(diǎn) 處的處的切線(xiàn)切線(xiàn)AT的斜率的斜率. )(xf0 xx 0/xf)(xf)(,(00 xfxAA

6、Boxyy=f(x)切切線(xiàn)線(xiàn)T例題例題1高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中， 秒秒 時(shí)運(yùn)動(dòng)員相時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度是對(duì)于水面的高度是 （單位：（單位： ），），(1)求運(yùn)動(dòng)員在求運(yùn)動(dòng)員在 時(shí)的瞬時(shí)速度，并解釋此時(shí)的瞬時(shí)速度，并解釋此時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài);在在 呢呢? t)(s105 . 69 . 4)(2ttthst1mst5 . 0 解解:在函數(shù)在函數(shù) 的的圖像上，圖像上，(1)用圖形來(lái)體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)用圖形來(lái)體現(xiàn)導(dǎo)數(shù) ， 的幾何意義的幾何意義. 105 . 69 . 4)(2ttth3 . 3) 1 (/h6 . 1)5 . 0(/hh0 . 15 . 0Ot運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度為運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的

7、瞬時(shí)速度為 ，6 . 1)5 . 0(/hst1ththth) 1 ()1 (ttt1015 . 619 . 410) 1(5 . 6) 1(9 . 4223 . 39 . 4t3 . 3同理，同理， thh1/3 . 3) 1 (/hst1sm/3 . 3st5 . 0smh/6 . 1)5 . 0(/sm/6 . 1上升上升下落下落這說(shuō)明運(yùn)動(dòng)員在附近，正以大約這說(shuō)明運(yùn)動(dòng)員在附近，正以大約 的速率的速率 。3 . 39 . 4t0limt)(lim0t 3 . 31/hst5 . 0sm/ (2)請(qǐng)描述，比較曲線(xiàn)分別在請(qǐng)描述，比較曲線(xiàn)分別在 附近增（減）以及增（減）快慢的情況。附近增（減）以

8、及增（減）快慢的情況。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4thtO3t4t0t1t2t (2)請(qǐng)描述，比較曲線(xiàn)分別在請(qǐng)描述，比較曲線(xiàn)分別在 附近增（減）以及增（減）快慢的情況。附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4t增（減增（減):增（減）增（減）快慢：快慢：=切線(xiàn)的斜率切線(xiàn)的斜率附近：附近：瞬時(shí)瞬時(shí)變化率變化率（正或負(fù)）（正或負(fù)）即：瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)）即：瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)）（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）畫(huà)切線(xiàn)畫(huà)切線(xiàn)即：導(dǎo)數(shù)即：導(dǎo)數(shù) 的絕多值的大小的絕多值的大小=切線(xiàn)斜率的絕對(duì)值的切線(xiàn)斜率的絕對(duì)值的 大小大小切線(xiàn)的傾斜程度

9、切線(xiàn)的傾斜程度（陡峭程度）（陡峭程度）(2) 曲線(xiàn)在曲線(xiàn)在 時(shí)，切線(xiàn)平行于時(shí)，切線(xiàn)平行于x軸，曲線(xiàn)在軸，曲線(xiàn)在 附近比較平坦，幾乎沒(méi)有升降附近比較平坦，幾乎沒(méi)有升降 0t曲線(xiàn)在曲線(xiàn)在 處切線(xiàn)處切線(xiàn) 的斜率的斜率 0 在在 附近，曲線(xiàn)附近，曲線(xiàn) ，函數(shù)在，函數(shù)在 附近單調(diào)附近單調(diào)0t,1t,1t2t如圖，切線(xiàn)如圖，切線(xiàn) 的傾斜程度大于切線(xiàn)的的傾斜程度大于切線(xiàn)的傾斜程度，傾斜程度， 2t1t,3t4t大于大于上升上升遞增遞增2l1l3l4l3t4t上升上升這說(shuō)明曲線(xiàn)在這說(shuō)明曲線(xiàn)在 附近比在附近附近比在附近 得迅速得迅速2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth0)(),(4/3/thth

10、,1t2t,3t4t遞減遞減下降下降小于小于下降下降,3t4t 例例2如圖表示人體血管中的藥物濃度如圖表示人體血管中的藥物濃度c=f(t)（單位：（單位：mg/ml）隨時(shí)間）隨時(shí)間t（單位：（單位：min） 變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計(jì)變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計(jì) t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）時(shí)，血管中）時(shí)，血管中 藥物濃度的瞬時(shí)變化率，把數(shù)據(jù)用表格藥物濃度的瞬時(shí)變化率，把數(shù)據(jù)用表格 的形式列出。的形式列出。(精確到精確到0.1) 血管中藥物濃度的血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率, 就是藥物濃度就是藥物濃度從圖象上看從圖象上看,它表示它表示曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切

11、線(xiàn)的斜率切線(xiàn)的斜率.函數(shù)函數(shù)f(t)在此時(shí)刻的在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）以簡(jiǎn)單對(duì)象刻畫(huà)復(fù)雜的對(duì)象以簡(jiǎn)單對(duì)象刻畫(huà)復(fù)雜的對(duì)象t 0.2 0.4 0.60.8藥物濃度的藥物濃度的瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率 3 . 004 . 15 . 000()( )( )limlimxxyf xxf xfxyxx 在不致發(fā)生混淆時(shí)，在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)也簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)000( )()( )()( ).yf xxfxf xfxx 函數(shù)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的導(dǎo) 函 數(shù)在點(diǎn) 處的函數(shù)值函數(shù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)由函數(shù)f(x)在在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程

12、可以看到,當(dāng)當(dāng)x=x0時(shí)時(shí),f(x0) 是一個(gè)確定的數(shù)是一個(gè)確定的數(shù).那么那么,當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí),便是便是x的的一個(gè)函數(shù)一個(gè)函數(shù),我們叫它為我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).即即:如何求函數(shù)如何求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)?(1)()( );yf xxf x 求函數(shù)的增量(2):()( );yf xxf xxx求函數(shù)的增量與自變量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求極限，得導(dǎo)函數(shù)例例3:求曲線(xiàn)求曲線(xiàn)y=f(x)=x2+1在點(diǎn)在點(diǎn)P(1,2)處的切線(xiàn)方程處的切線(xiàn)方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:20200

13、00 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切線(xiàn)方程為切線(xiàn)方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程求曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程的基本步驟的基本步驟:求出求出P點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo);利用切線(xiàn)斜率的定義求利用切線(xiàn)斜率的定義求 出切線(xiàn)的斜率出切線(xiàn)的斜率;利用點(diǎn)斜式求切線(xiàn)方程利用點(diǎn)斜式求切線(xiàn)方程.練習(xí)練習(xí):如圖已知曲線(xiàn)如圖已知曲線(xiàn) ,求求:(1)點(diǎn)點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率處的切線(xiàn)的斜率; (2)點(diǎn)點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程處的切線(xiàn)方程.)38, 2(313Pxy上上一一點(diǎn)點(diǎn) yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)

14、1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即點(diǎn)點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率等于處的切線(xiàn)的斜率等于4. (2)在點(diǎn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程是處的切線(xiàn)方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.小結(jié)：小結(jié)：.函數(shù)函數(shù) 在在 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) 的的幾何意義，幾何意義，就是函數(shù)就是函數(shù) 的圖像在點(diǎn)的圖像在點(diǎn) 處的切線(xiàn)處的切線(xiàn)AD的斜率的斜率（數(shù)形結(jié)合）（數(shù)形結(jié)合） )(xf0 xx 0/xf)(xf)(,00 xfxAxxfxxfxfx)()(lim)(0000/切線(xiàn)切線(xiàn) AD的斜率的斜率3.導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)) xxfxx

15、fxfx)()(lim)(0/ 2.利用利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際生活問(wèn)題，解釋實(shí)際生活問(wèn)題，體會(huì)體會(huì)“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合”，“以直代曲以直代曲”的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法。思想方法。 以簡(jiǎn)單對(duì)象刻畫(huà)復(fù)雜的對(duì)象以簡(jiǎn)單對(duì)象刻畫(huà)復(fù)雜的對(duì)象（3）函數(shù)）函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) 就是導(dǎo)函數(shù)就是導(dǎo)函數(shù) 在在x=x0處的函數(shù)值，即處的函數(shù)值，即 。這也是。這也是 求函數(shù)在點(diǎn)求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf （2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的而言的, 就是函數(shù)就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 。)(xf （1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改 變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè) 常數(shù)，不是變數(shù)。常數(shù)，不是變數(shù)。4.弄清弄清“函數(shù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)” 之間的區(qū)別與聯(lián)系。之間的區(qū)別與聯(lián)系。（1）求出函數(shù)在