高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變形 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系課件 北師大版必修4

1、11 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系第三章 三角恒等變形2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能通過三角函數(shù)的定義推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.2.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.3.能運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明.3題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練4問題導(dǎo)學(xué)5知識點(diǎn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式思考1計(jì)算下列式子的值：(1)sin230cos230；(2)sin245cos245；(3)sin290cos290.由此你能得出什么結(jié)論？嘗試證明它.答案6答案答案3個式子的值均為1.由此可猜想：對于任意角，有sin2cos21，下面用三角函數(shù)的定義證明：設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x，y)，則由三角

2、函數(shù)的定義，得sin y，cos x.sin2cos2x2y2|OP|21.7思考2由三角函數(shù)的定義知，tan 與sin 和cos 間具有怎樣的等量關(guān)系？答案8(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式平方關(guān)系： .商數(shù)關(guān)系： .(2)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形sin2cos21的變形公式sin2 ；cos2 .tan 的變形公式sin ；cos .梳理梳理sin2cos211cos21sin2cos tan 9題型探究10 類型一利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式求值命題角度命題角度1已知角已知角的某一三角函數(shù)值及的某一三角函數(shù)值及所在象限，求角所在象限，求角的其余三角的其余三角 函數(shù)值函數(shù)值例例1若sin ，

3、且為第四象限角，則tan 的值為答案解析11同角三角函數(shù)的關(guān)系揭示了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin ，cos ，tan 三個值之間，知道其中一個可以求其余兩個.解題時(shí)要注意角的象限，從而判斷三角函數(shù)值的正負(fù).反思與感悟12跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1已知tan ，且是第三象限角，求sin ，cos 的值.又是第三象限角，解答13命題角度命題角度2已知角已知角的某一三角函數(shù)值，未給出的某一三角函數(shù)值，未給出所在象限，求角所在象限，求角的的 其余三角函數(shù)值其余三角函數(shù)值例例2已知cos ，求sin ，tan 的值.解答14是第二或第三象限角.(1)當(dāng)是第二象限角時(shí)，則(2

4、)當(dāng)是第三象限角時(shí)，則15利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求值時(shí)，若沒有給出角是第幾象限角，則應(yīng)分類討論，先由已知三角函數(shù)的值推出的終邊可能在的象限，再分類求解.反思與感悟16跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2已知cos ，求13sin 5tan 的值.解答17是第二或第三象限角.(1)若是第二象限角，18(2)若是第三象限角，綜上可知，13sin 5tan 0.1920類型二利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡解答是第三象限角，cos 0.21解答這類題目的關(guān)鍵在于公式的靈活運(yùn)用，切實(shí)分析好同角三角函數(shù)間的關(guān)系，化簡過程中常用的方法有：(1)化切為弦，即把非正弦、余弦的函數(shù)都化為正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡的目的.

5、(2)對于含有根號的，常把根號下化成完全平方式，然后去根號達(dá)到化簡的目的.(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2cos21，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的.反思與感悟22解答23解答解解是第二象限角，cos 0，24類型三利用同角三角函數(shù)關(guān)系證明證明原等式成立.25證明三角恒等式的過程，實(shí)質(zhì)上是化異為同的過程，證明恒等式常用以下方法：(1)證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡.(2)證明左、右兩邊等于同一個式子(左、右歸一).(3)比較法：即證左邊右邊0或 1(右邊0).(4)證明與已知等式等價(jià)的另一個式子成立，從而推出原式成立.反思與感悟26證明27證明證明方法一

6、方法一(比較法作差)28方法二方法二(比較法作商)29方法三方法三(綜合法)(1sin x)(1sin x)1sin2xcos2xcos xcos x，30類型四齊次式求值問題解答例例5已知tan 2，求下列代數(shù)式的值.31解答32(1)關(guān)于sin 、cos 的齊次式，可以通過分子、分母同除以cos 或cos2轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan 的式子后再求值.(2)注意例5第(2)問式中不含分母，可以視分母為1，靈活地進(jìn)行“1”的代換，由1sin2cos2代換后，再同除以cos2，構(gòu)造出關(guān)于tan 的代數(shù)式.反思與感悟33解答所以tan 3.34解答(2)sin22sin cos 1.35當(dāng)堂訓(xùn)練361.若s

7、in ，且是第二象限角，則tan 的值等于23451答案解析3723451答案解析2.已知sin cos ，則sin cos 等于38答案解析2345139答案解析234514.若tan 2，則sin cos .40解答2345141規(guī)律與方法1.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可以由一個角的一個三角函數(shù)值，求出這個角的其他三角函數(shù)值.2.利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式可以進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡，結(jié)果要求：(1)項(xiàng)數(shù)盡量少；(2)次數(shù)盡量低；(3)分母、根式中盡量不含三角函數(shù)；(4)能求值的盡可能求值.3.在三角函數(shù)的變換求值中，已知sin cos ，sin cos ，sin cos 中的一個，可以利用方程思想，求出另外兩個的值.424.在進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡或求值時(shí)，細(xì)心觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x用公式，統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、降低次數(shù)是三角函數(shù)關(guān)系式變形的出發(fā)點(diǎn).利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系主要是統(tǒng)一函數(shù)，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化簡或恒等式證明時(shí)，注