考研復習資料

1、第一講函數(shù)、一、理論要求1.函數(shù)概念與性質2.極限3.連續(xù)二、題型與解法A. 極限的求法連續(xù)與極限函數(shù)的基本性質（單調(diào)、有界、奇偶、周期） 幾類常見函數(shù)（復合、分段、反、隱、初等函數(shù)） 極限存在性與左右極限之間的關系 夾逼定理和單調(diào)有界定理 會用等價無窮小和羅必達法則求極限 函數(shù)連續(xù)（左、右連續(xù)）與間斷 理解并會應用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（最值、有界、介值）1）用定義求2）代入法（對連續(xù)函數(shù)，可用因式分解或有理化消除零因子）3）變量替換法4）兩個重要極限法5）用夾逼定理和單調(diào)有界定理求6）等價無窮小量替換法7）洛必達法則與 Taylor 級數(shù)法8）其他（微積分性質，數(shù)列與級數(shù)的性質）arcta

2、n x x1.lixarctan x x ln(1 2x3)lxi2x31 （ 等價小量與洛必達 ）62.已知 lxim0sin6x xf(x) 0，求 lim 6 f(x)x0x3x2lim 解： x 0sin6x xf(x)limx06 cos6x f (x) xy'3x2lim 216 cos6 x 3y'' xy''' x06x36sin6x 2y' xy'' lim x0216 3y''(0)0 y''(0) 72limx06 f (x)x2y' y'' 7

3、2lim lim36 ( 洛必達)x 0 2x x 0 2 22x2x3. lim (x 1 x 1)x1重要極限）4.已知 a、 b為正常數(shù)， 求lim （解：令 t (a b23)x,ln tln( a x bx) ln 2xlim lnt limx 0 x 03/2 t (ab)3bx3(axlna bx lnb) 23ln(ab)(變量替換 )5.lim (cos x) ln(1 x )解：令 t (cos x)2ln(1 x2) ,lnt2ln(1 x2 )ln(cos x)lim lnt lim tanxx 0 x 0 2x1 t e1/22變量替換）6.設 f '(x)

4、連續(xù)， f (0) 0, f '(0) 0，x20 f (t)dt 1求 lxim0 2 xx 0 x2 0 f (t)dt洛必達與微積分性質 ）ln(cos x)x 2,x 0在 x=0 連續(xù)，求 aa,x 07.已知 f (x)解：令 a lxim0ln（cos x） / x21/2（連續(xù)性的概念 ）三、補充習題（作業(yè)）x1.lim e 1 x3 (洛必達 )x 0 1 x cos x1 ctgx( sin x1x)x洛必達或 Taylor）1（ 洛必達與微積分性質 ）第二講導數(shù)、微分及其應用、理論要求1.導數(shù)與微分導數(shù)與微分的概念、幾何意義、物理意義2.微分中值定理會求導（基本公

5、式、四則、復合、高階、隱、反、參數(shù)方程求導） 會求平面曲線的切線與法線方程理解 Roll 、Lagrange、Cauchy、 Taylor 定理會用定理證明相關問題3.應用會用導數(shù)求單調(diào)性與極最值、凹凸性、漸進線問題，能畫簡圖會計算曲率（半徑）二、題型與解法A.導數(shù)微分的計算基本公式、四則、復合、高階、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導x arctan t y ty 2 et5決定，求dydx2. y y(x)由ln(x2 y) x3y sin x決定，求 dy|x 0 1 dx解：兩邊微分得 x=0 時 y' ycosx y，將 x=0 代入等式得 y=1B.曲線切法線問題3. y y(x)由2x

6、y x y 決定， 則 dy|x 0 (ln 2 1)dx4.求對數(shù)螺線e 在（ ， ）（e /2, /2） 處切線的直角坐標方程。解：x e cos ,(x,y)| /2 (0,e /2), y'| /2 1 y e siny e / 2 x5.f（x） 為周期為 5 的連續(xù)函數(shù)，它在 x=1 可導，在 x=0 的某鄰域內(nèi)滿足 f（1+sinx）-3f（1-sinx）=8x+o（x） 。求 f（x）在（ 6， f（6） ）處的切線方程。lim f (1 sinx) 3f(1 sinx)x 0 sin xsinx tf (1 t) f (1)tf (1 t) f(1)tC.導數(shù)應用問題

7、0,x0 0 ，故為極小值點。0,x0 07. y(x 1)2求單調(diào)區(qū)間與極值、凹凸區(qū)間與拐點、漸進線。4f'(1) 8 f '(1) 2 y 2(x 6)6.已知 y f ( x)對一切x滿足xf '' (x) 2x f '(x)2 1 e x，若f '(x0) 0(x0 0) ，求 (x0,y0) 點的性質。解：令 x x0代入， f''(x0 ) xex0x0解：定義域 x ( ,1) (1, )y' 0 駐點 x 0及x 3y'' 0 拐點x 0；x 1：鉛垂； y x 2：斜8.求函數(shù) y (x

8、1)e /2 arctan 2 1 3 1 7 nsin(x t) 2x3x7( 1)n0 3 3!7 (4n 1)(2n 1)!1x2(2n 1)2 1 6 n x 2 x x ( 1) sinx 3! (2n 1)! 的單調(diào)性與極值、漸進線。x 駐點 x 0與 x 12x x /2 arctan y' 2 e /2 arctan1xD.冪級數(shù)展開問題漸：y e (x 2)與 y x 2d9.dxx 2 2sin(x t)2dt sin x22 2 1 6 sin(x t)2 (x t)2 3!(x t)6sin(x t)2 dt 13(x t)3 31!7( 1)n (x t)2(

9、2n 1)(2n 1)!(x t)7( 1)n 1 (x t)(4n 1)(2n 1)!x4n1ddx 0 sin(x t)2dtn2( 1)n 1 xo( xn 2)n245 xxn3 ( 1)n 1 nx 2 o(xn)d 02 d x2 2或： x t u sin u ( du ) sin u du sin x dx x dx 010.求 f(x) x2 ln(1 x)在x 0處的n階導數(shù)f (n)(0)23解： x2 ln(1 x) x2 (x23(n ) n 1 n!(n)(0) ( 1)n 1 nn!2E.不等式的證明11.x (0,1)求證(1 x)ln 2(1 x) x2，1l

10、n 21ln(1 x )證： 1)令 g(x) (1 x) ln2(1 x) x2,g(0) 0g'(x), g''(x),g'''(x) 2ln(1 2x) 0, g'(0) g''(0) 0 (1 x)2x (0,1)時g''(x)單調(diào)下降， g''(x) 0,g'( x)單調(diào)下降g'(x) 0, g(x)單調(diào)下降， g(x) 0；得證。11F.中值定理問題2)令 h(x) ln(11 x) 1x,x (0,1),h'(x) 0,單調(diào)下降，得證。12.設函數(shù) f

11、(x)在 1，1 具有三階連續(xù)導數(shù)，且 f ( 1) 0, f (1) 1 ，f '(0) 0 ，求證：在( -1，1)上存在一點 ，使f '''( ) 31 2 1 3證： f (x) f (0) f '(0)xf ''(0)x2f '''( )x32! 3!其中 (0,x), x 1,1110 f ( 1) f (0) f ''(0)f '' '( 1)將 x=1， x=-1 代入有2 6111 f (1) f (0) f ''(0) f '

12、9;'( 2 ) 26兩式相減： f '''( 1) f '''( 2 ) 61 1， 2， f '''( ) f '''( 1) f '''( 2) 322 2 213. e a b e ，求證： ln b ln a 2 ( b a) e f (b) f (a)證： Lagrange :f ' ( )ba令 f ( x) ln 2x,ln2b ln2 aba2ln令 (t )lnt'(t)1 ln t0 ( )(e2 )ln2 2 4ln 2 b l

13、n 2 a2 (b a) (關鍵：構造函數(shù))e三、補充習題（作業(yè)）1. f（x） ln 11 xx2,求y''（0）2.曲線 x et sin 2t 在(0,1)處切線為 y 2x 1 0 y et cos 2t113. y xln( e )(x 0)的漸進線方程為 y x xe4.證明 x>0 時(x2 1)ln x (x 1)2證：令 g(x) (x2 1)ln x (x 1)2,g'(x),g''(x),g'''(x) 2(x 3 1) xg(1) g'(1) 0， g' '(1) 2 0x (

14、0,1), g''' 0, g'' 2x (1, ), g'' ' 0,g' ' 2g' ' 0x (0,1), g' 0x (1, ), g' 0g0第三講不定積分與定積分一、理論要求1.不定積分掌握不定積分的概念、性質（線性、與微分的關系）會求不定積分（基本公式、線性、湊微分、換元技巧、分部）2.定積分理解定積分的概念與性質理解變上限定積分是其上限的函數(shù)及其導數(shù)求法 會求定積分、廣義積分 會用定積分求幾何問題（長、面、體） 會用定積分求物理問題（功、引力、壓力）及函數(shù)平均值二、題

15、型與解法A.積分計算dxdxx(4 x) 4 (x 2)x2arcsin C 222. e 2x (tan x 1)2dxe2xsec2 xdx 2 e2x tan xdx e2x tanx Cln(1 x )3. 設 f (ln x)，求 f (x) dx解： f (x)dx ln(1 e )dxe x ln(1 ex )(1B.積分性質arctan x14. 1 2 dx1 xx1f ( x )5. f (x) 連續(xù)， (x)f (xt)dt ,且limA，求 (x) 并討論 '(x)0 x 0 x在 x 0 的連續(xù)性。b1arctan x |1 blim 1 (x12 )dx l

16、n 2x 1 x2 4 2x0 f ( y) dy 解： f (0) (0) 0, y xt (x) 0C.積分的應用'(x)xf (x) 0 f (y)dyx2d x 2 26.ddx 0 tf(x2 t2)dtx2A'(0) lim '(0) A/ 2 '(0)2ddx 0x f(x2 t2)d(t2 x2)d x 20 f (y)d(y) xf (x2)2dx3a 27.設 f (x) 在0，1連續(xù)，在(0，1)上 f (x) 0，且 xf'(x) f (x) 2 x2，又 f (x)與x=1,y=0 所圍面積 S=2。求 f(x)，且 a=?時S

17、繞 x軸旋轉體積最小。d f (x) 3a f(x) 3a x2 cx f(x)dx 2 c 4 a解： (dx x 23a 2f(x) 32a x212(4 1)x V ' ( y2dx)' 0 a 58.曲線 yx 1 ，過原點作曲線的切線， 求曲線、 切線與 x 軸所圍圖形繞 x 軸旋轉的表面積。解：切線 y x/2繞 x 軸旋轉的表面積為sd222曲線 y x 1 繞 x 軸旋轉的表面積為 2 yds( 5 5 1)16 總表面積為 (11 5 1)6三、補充習題(作業(yè))1.ln sin xsin 2 xdx cot xln sin 2x cot x x C2. 2 x

18、 5 dxx 2 6x 13arcsin x3. dxx第四講向量代數(shù)、多元函數(shù)微分與空間解析幾何一、理論要求1.向量代數(shù)理解向量的概念(單位向量、方向余弦、模)了解兩個向量平行、垂直的條件向量計算的幾何意義與坐標表示2.多元函數(shù)微分理解二元函數(shù)的幾何意義、連續(xù)、極限概念，閉域性質理解偏導數(shù)、全微分概念能熟練求偏導數(shù)、全微分熟練掌握復合函數(shù)與隱函數(shù)求導法3.多元微分應用4.空間解析幾何理解多元函數(shù)極值的求法，會用 Lagrange 乘數(shù)法求極值 掌握曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法 會求平面、直線方程與點線距離、點面距離、題型與解法A. 求偏導、全微分1. f (x) 有二階連續(xù)偏

19、導，z f (ex sin y) 滿足 zx''x z'y'y e2x z ，求f(x)解： f '' f 0 f (u) c1eu c2e u2z12. z 1 f (xy) y (x y)，求x x yB.空間幾何問題3. y y(x),z z(x)由z xf(x y),F(x,y,z) 0決定 ，求 dz/dx4. 求 x y z a 上任意點的切平面與三個坐標軸的截距之和。解： x/ x0 y / y0 z/ z0a d a5.曲面 x2 2y2 3z2 21在點 (1, 2,2) 處的法線方程。C.極值問題6.設 z z(x, y)是由

20、 x2 6xy 10y2 2yz z2 18 0 確定的函數(shù)， 求 z z( x, y) 的極值點與極值。三、補充習題(作業(yè))1. z2. z2 f(xy, xy) g(yx),求 x2zy y x x yf (xy, x g( y),求 z y x x2 2 y3. z u ,u ln x y , arctan ,求 dz x第五講多元函數(shù)的積分一、理論要求1.重積分熟悉二、三重積分的計算方法(直角、極、柱、球)b y2(x )a dx y1(x) f (x, y)dy f ( x, y)dxdya2 yr1(2x() )1 d r1( ) f (r, )rdrby2( x)z2( x,y)

21、dxdyf(x, y,z)dzay1(x )z1(x,y )z22(z)r 2(z, )f (x, y, z)dxdydz Vdzdf (r, ,z)rdrz11(z)r1( z, )2( )r 2( , ) 2d 1( ) d r1( , ) f (r, , )r2 sin dr會用重積分解決簡單幾何物理問題(體積、曲面面積、重心、轉動慣量)z f (x, y) A D 1 z'x2 z'2y dxdy2.曲線積分理解兩類曲線積分的概念、性質、關系，掌握兩類曲線積分的計算方法y(x) a f(x, y(x) 1 y'2xdx af (x(t), y(t) x'

22、t2 y't2 dtL f (x, y) dlL:yx x( t) y y(t ) L: r r( )L:22f (r cos , r sin ) r 2 r '2 d3.曲面積分熟悉 Green 公式，會用平面曲線積分與路徑無關的條件 理解兩類曲面積分的概念(質量、通量) 、關系Dxy f (x,y,z(x,y) 1 z'x2 z'2y dxdyGauss :E dSEdV (通量，散度):z z(x,y)f (x, y, z)dSStokes: LF dr S( F) dS(旋度)二、題型與解法A.重積分計算221. I (x2 y2)dV, 為平面曲線y

23、2z 繞 z 軸旋轉一周與 z=8 x0的圍域。8 解： I 0dz x2 y2 2z(x22 8 2 2z 2 y2 )dxdydz dr2rdr1024dxdy, D 為 y a a2 y(a 0) 與x2 y 22. ID 4a 2 x2B.曲線、曲面積分yx 圍域。( I a3. f (x,y)2(162 12)16 2x2 y,1 x 2,0 y x0, 其他 ，22求f (x, y)dxdy, D :x2 y2 2x (49/20)4. I(ex siny b(x y)dx (ex cosy ax)dyL2L從A(2a,0)沿y2ax x2至 O(0,0)解：令 L1從O沿y 0至

24、A2a 2I (b a) dxdy( bx)dx (2)a2b0L L1 L1 D2aL L1 L1 D5.I L xdy2 yd2x , L為以(1,0)為中心， R( 1)為半徑的圓周正向 L 4x2 y22x rcosy r sin0LL1 L L1解：取包含 (0,0) 的正向 L1:L L16.對空間 x>0 內(nèi)任意光滑有向閉曲面 S，2xS xf (x)dydz xyf (x)dzdx e zdxdy 0，且 f (x) 在 x>0 有連續(xù)一階導數(shù)， lim f(x) 1,求 f (x)。 x0解：0sF dSFdV( f(x) xf '(x) xf (x)e2

25、x)dVy' (1 1)y 1 e2xxxxexy(e x 1)x第六講常微分方程一、理論要求1.一階方程2.高階方程3.二階線性常系數(shù)熟練掌握可分離變量、齊次、一階線性、伯努利方程求法會求 y(n) f (x), y'' f (x, y' )( y' p(x), y'' f (y, y' )( y' p(y)y'' py ' q 0 2 p q 01x2 x12y1c1e 1c 2e 21211 2 x(齊次 )1 2y1 (c1 c2 x)eiy1 e x (c1 cos x c 2 sin x

26、)y2 Qn (x)e xf(x) Pn(x)e x1or 2y2 Qn (x)xe x (非齊次)1and 2y2 Qn (x)x2e xf (x) e x(pi (x) cos x pj (x) sin x)iy2 e x (qn(x) cos x rn( x) sin x (非齊xiy2 xe x(qn(x)cos x rn (x) sin x(n max(i, j)次)、題型與解法A.微分方程求解1. 求 (3x2 2xy y2 )dx (x2 2xy)dy 0 通 解2 2 3 xy x y xc)ux2.利用代換 y 化簡 y''cosx 2y'sinx 3

27、ycosx ex 并求通解。 cosxu'' 4u ex ,y c1cos2x2c2 sin xcos xxe5 cos x13.設 y y(x) 是上凸連續(xù)曲線， (x,y)處曲率為 ，且過 (0,1)處1 y'2切線方程為 y=x+1 ，求 y y(x) 及其極值。2 11解： y'' y'2 1 0 y ln |cos( x) | 1 ln 2, ymax 1 ln2 4 22三、補充習題(作業(yè))yx1.已知函數(shù) y y(x)在任意點處的增量 y 2 o( x),y(0) ,求y(1) 。( e4 ) 1x2 x2 x2 x 1 2x2.

28、求 y' ' 4y e2 x的通解。( y c1e 2x c2e2xxe2x )43. 求(yx2 y2)dx xdy 0(x 0), y(1) 0的通解。( y 1(x2 1)22 x1 14. 求 y'' 2y' e2x 0,y(0) y'(0) 1的特解。( y(3 2x)e2x44第七講無窮級數(shù)一、理論要求1.收斂性判別級數(shù)斂散性質與必要條件 常數(shù)項級數(shù)、幾何級數(shù)、 p 級數(shù)斂散條件 正項級數(shù)的比較、比值、根式判別法 交錯級數(shù)判別法2.冪級數(shù)冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域的求法 冪級數(shù)在收斂區(qū)間的基本性質（和函數(shù)連續(xù)、逐項微積分） Ta

29、ylor 與 Maclaulin 展開3.Fourier 級數(shù)了解 Fourier 級數(shù)概念與 Dirichlet 收斂定理 會求 l,l的 Fourier級數(shù)與 0,l 正余弦級數(shù)第八講線性代數(shù)一、理論要求1.行列式2.矩陣會用按行（列）展開計算行列式 幾種矩陣（單位、數(shù)量、對角、三角、對稱、反對稱、逆、伴隨） 矩陣加減、數(shù)乘、乘法、轉置，方陣的冪、方陣乘積的行列式 矩陣可逆的充要條件，會用伴隨矩陣求逆 矩陣初等變換、初等矩陣、矩陣等價 用初等變換求矩陣的秩與逆理解并會計算矩陣的特征值與特征向量 理解相似矩陣的概念、性質及矩陣對角化的沖要條件 掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法 掌握實對稱矩陣

30、的特征值與特征向量的性質3.向量理解 n 維向量、向量的線性組合與線性表示 掌握線性相關、線性無關的判別 理解并向量組的極大線性無關組和向量組的秩 了解基變換與坐標變換公式、過渡矩陣、施密特方法 了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念與性質4.線性方程組理解齊次線性方程組有非零解與非齊次線性方程組有解條件 理解齊次、非齊次線性方程組的基礎解系及通解 掌握用初等行變換求解線性方程組的方法5.二次型二次型及其矩陣表示，合同矩陣與合同變換 二次型的標準形、規(guī)范形及慣性定理 掌握用正交變換、配方法化二次型為標準形的方法 了解二次型的對應矩陣的正定性及其判別法第九講概率統(tǒng)計初步一、理論要求1.隨機事件與概率了解

31、樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機事件的關系與運算 會計算古典型概率與幾何型概率 掌握概率的加減、乘、全概率與貝葉斯公式2.隨機變量與分布理解隨機變量與分布的概念 理解分布函數(shù)、離散型隨機變量、連續(xù)型變量的概率密度 掌握 0-1 、二項、超幾何、泊松、均勻、正態(tài)、指數(shù)分布，會求分布函 數(shù)3.二維隨機變量數(shù)理解二維離散、連續(xù)型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布 理解隨機變量的獨立性及不相關概念 掌握二維均勻分布、了解二維正態(tài)分布的概率密度 會求兩個隨機變量簡單函數(shù)的分布4.數(shù)字特征理解期望、方差、標準差、矩、協(xié)方差、相關系數(shù)的概念掌握常用分布函數(shù)的數(shù)字特征，會求隨機變量的數(shù)學期望5.大

32、數(shù)定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛欽大數(shù)定理 了解隸莫弗 -Laplace 定理與列維 - 林德伯格定理6.數(shù)理統(tǒng)計概念理解總體、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩 了解 2 分布、 t 分布、 F 分布的概念和性質，了解分位數(shù)的概念 了解正態(tài)分布的常用抽樣分布7.參數(shù)估計掌握矩估計與極大似然估計法 了解無偏性、有效性與一致性的概念，會驗證估計量的無偏性 會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間8.假設檢驗掌握假設檢驗的基本步驟第十講總結1.極限求解變量替換( 1 作對數(shù)替換) ，洛必達法則，其他(重要極限，微積分性 質，級數(shù)，等價小量替換)1. lim cos2x,x 0 0 (x 0)(x a) (x 2a) . (x (n 1)a) x a ( 幾 何 級 n n n n n 2數(shù))2.lim (2arccosx)1/x e /2 (對數(shù)替換 )x0tan 3. lim (2 x) 2x14. lim (3 xx 6 xx15.limxa(xn an) nan 1(x a) (x a)26. f (x) 4,x 0，求 lim f (x)x0xcostdt2.導數(shù)與微分復合函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導