三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

1、1.3 1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式第一課時第一課時問題提出問題提出1.1.任意角任意角的正弦、余弦、正切是怎樣的正弦、余弦、正切是怎樣定義的？定義的？的終邊的終邊P(xP(x，y)y)O Ox xy ysinycosxtan(0)yxx2. 2k2. 2k（kZkZ）與）與的三角函數(shù)的三角函數(shù)之間的關(guān)系是什么？之間的關(guān)系是什么？公式一：公式一： sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ（ )3.3.你能求你能求sin750sin750和和sin930sin930的值嗎？的值嗎？4.4.利用公式一，可將任意角的三角函數(shù)利用公式一，可將任意角的三角函數(shù)值，

2、轉(zhuǎn)化為值，轉(zhuǎn)化為0 00 03603600 0范圍內(nèi)的三角函數(shù)范圍內(nèi)的三角函數(shù)值值. .其中銳角的三角函數(shù)可以查表計算，其中銳角的三角函數(shù)可以查表計算，而對于而對于90900 03603600 0范圍內(nèi)的三角函數(shù)值，范圍內(nèi)的三角函數(shù)值，如何轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值，是我們?nèi)绾无D(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值，是我們需要研究和解決的問題需要研究和解決的問題. .知識探究（一）：知識探究（一）：的誘導(dǎo)公式的誘導(dǎo)公式 思考思考1 1：210210角與角與3030角有何內(nèi)在聯(lián)系？角有何內(nèi)在聯(lián)系？思考思考2 2：若若為銳角，則為銳角，則（180180，270270）范圍內(nèi)的角可以怎樣）范圍內(nèi)的角可以怎樣表示？表示？

3、210210=180=180+30+30180180+的終邊的終邊xy yo o+的終邊的終邊思考思考3 3：對于任意給定的一個角對于任意給定的一個角，角，角的終邊與角的終邊與角的終邊有什么關(guān)系？的終邊有什么關(guān)系？思考思考4 4：設(shè)角設(shè)角的終邊與單位圓交于點的終邊與單位圓交于點P P（x x，y y），則角），則角的終邊與單位圓的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)如何？的交點坐標(biāo)如何？的終邊的終邊xy yo o+的終邊的終邊P(xP(x，y)y)Q(-xQ(-x，-y)-y)思考思考5 5：根據(jù)三角函數(shù)定義，根據(jù)三角函數(shù)定義，sinsin（） 、coscos（）、）、tantan（）的值分別是什么？）的值

4、分別是什么？的終邊的終邊xy yo o+的終邊的終邊P(xP(x，y)y)Q(-xQ(-x，-y)-y)sin(sin()=-y)=-ycos(cos()=-x)=-xtan(tan()=)=yx思考思考6 6：對比對比sinsin，coscos，tantan的值，的值，的三角函數(shù)與的三角函數(shù)與的三角函數(shù)有什的三角函數(shù)有什么關(guān)系？么關(guān)系？思考思考7 7：該公式有什么特點，如何記憶？該公式有什么特點，如何記憶？ 公式二：公式二： tan)tan(cos)cos(sin)sin(知識探究（二）：知識探究（二）：-，-的誘導(dǎo)公式：的誘導(dǎo)公式： 思考思考1 1：對于任意給定的一個角對于任意給定的一個角

5、，的終邊與的終邊與的終邊有什么關(guān)系？的終邊有什么關(guān)系？ y y的終邊的終邊xo o-的終邊的終邊思考思考2 2：設(shè)角設(shè)角的終邊與單位圓交于點的終邊與單位圓交于點 P P（x x，y y），則），則的終邊與單位圓的交的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)如何？點坐標(biāo)如何？y y的終邊的終邊xo o-的終邊的終邊P(x,y)P(x,y)P(x,-y)P(x,-y) 公式三：公式三： tan)tan(cos)cos(sin)sin(思考思考3 3：根據(jù)三角函數(shù)定義，根據(jù)三角函數(shù)定義，的三角的三角函數(shù)與函數(shù)與的三角函數(shù)有什么關(guān)系？的三角函數(shù)有什么關(guān)系？y y的終邊的終邊xo o-的終邊的終邊P(x,y)P(x,y)

6、P(x,-y)P(x,-y)思考思考4 4：利用利用( ()，結(jié)，結(jié)合公式二、三，你能得到什么結(jié)論？合公式二、三，你能得到什么結(jié)論？ 公式四：公式四： tan)tan(cos)cos(sin)sin(思考思考5 5：如何根據(jù)三角函數(shù)定義推導(dǎo)公式如何根據(jù)三角函數(shù)定義推導(dǎo)公式四？四？-的終邊的終邊y y的終邊的終邊xo oP(x,y)P(x,y)P(-x,y)P(-x,y)-的終邊的終邊思考思考6 6：公式三、四有什么特點，如何記公式三、四有什么特點，如何記憶？憶？ 公式三：公式三： tan)tan(cos)cos(sin)sin( 公式四：公式四： tan)tan(cos)cos(sin)sin

7、( 2k 2k（kZkZ），），的三角函數(shù)值，等于的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)的同名函數(shù)值，再放上原函數(shù)的象限符號值，再放上原函數(shù)的象限符號. .簡記為簡記為“函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名不變，符號看象限” 思考思考7 7：公式一四都叫做誘導(dǎo)公式，他公式一四都叫做誘導(dǎo)公式，他們分別反映了們分別反映了2k2k（kZkZ），），的三角函數(shù)與的三角函數(shù)與的三角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，你能概括一下這四組函數(shù)之間的關(guān)系，你能概括一下這四組公式的共同特點和規(guī)律嗎？公式的共同特點和規(guī)律嗎？ 例例1、求值：、求值：（1）sin （2）cos （3）tan(1560)767676114理論遷移理論遷移例例2、判斷

8、下列函數(shù)的奇偶性：、判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(x)=1-cosx （2）g(x)=xsinx31練習(xí)練習(xí)1 1、已知、已知cos(cos(x x) ) ，求下，求下列各式的值：列各式的值：（1 1）cos(2cos(2x x) )；（；（2 2）cos(cos(x x).). 練習(xí)練習(xí)2、化簡：、化簡：（1 1） ；（2 2） .)-cos(-180)180-sin(-)360sin()cos(180tan585)cos(-350)210(sincos1902.2.以誘導(dǎo)公式一四為基礎(chǔ)，還可以以誘導(dǎo)公式一四為基礎(chǔ)，還可以產(chǎn)生一些派生公式，產(chǎn)生一些派生公式，如如sinsin（22）= =s

9、insin， sinsin（33）=sin=sin等等. .小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè)1.1.誘導(dǎo)公式都是恒等式，即在等式有意誘導(dǎo)公式都是恒等式，即在等式有意義時恒成立義時恒成立. .3.3.利用誘導(dǎo)公式一四，可以求任意利用誘導(dǎo)公式一四，可以求任意角的三角函數(shù)，其基本思路是：角的三角函數(shù)，其基本思路是：這是一種化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想這是一種化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. .任意負角的任意負角的三角函數(shù)三角函數(shù)任意正角的任意正角的三角函數(shù)三角函數(shù)0 022的角的角的三角函數(shù)的三角函數(shù)銳角的三角銳角的三角函數(shù)函數(shù)1.3 1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式第二課時第二課時問題提出問題提出1.1.誘導(dǎo)公式一、二

10、、三、四分別反映了誘導(dǎo)公式一、二、三、四分別反映了2k+2k+（kZkZ）、）、 與與的三角函數(shù)之間的關(guān)系，這的三角函數(shù)之間的關(guān)系，這四組公式的共同特點是什么？四組公式的共同特點是什么？cosx函數(shù)同名，象限定號函數(shù)同名，象限定號. . 2.對形如對形如、的角的三角函數(shù)的角的三角函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為可以轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，對形角的三角函數(shù)，對形如如 、 的角的三角函數(shù)與的角的三角函數(shù)與角角的三角函數(shù)，是否也存在著某種關(guān)系，的三角函數(shù)，是否也存在著某種關(guān)系，需要我們作進一步的探究需要我們作進一步的探究.思考思考1 1：sinsin（90906060）與）與sin60sin60的值相等嗎？相反嗎？的值相

11、等嗎？相反嗎？思考思考2 2：sinsin（90906060) )與與cos60cos60，coscos（90906060）與）與sin60sin60的值分別的值分別有什么關(guān)系？據(jù)此，你有什么猜想？有什么關(guān)系？據(jù)此，你有什么猜想？知識探究（一）：知識探究（一）： 的誘導(dǎo)公式的誘導(dǎo)公式 2cos)2(sin思考思考3 3：如果如果為銳角，你有什么辦法證為銳角，你有什么辦法證明明 ， ？cos()si n2paa-=思考思考5 5：點點P P1 1（x x，y y）關(guān)于直線）關(guān)于直線y=xy=x對稱對稱的點的點P P2 2的坐標(biāo)如何？的坐標(biāo)如何？思考思考4 4：若若為一個任意給定的角，那么為一個任

12、意給定的角，那么 的終邊與角的終邊與角的終邊有什么對稱關(guān)的終邊有什么對稱關(guān)系？系？2的終邊的終邊Oxy的終邊的終邊2思考思考6 6：設(shè)角設(shè)角的終邊與單位圓的交點的終邊與單位圓的交點為為P P1 1（x x，y y），則），則 的終邊與單的終邊與單位圓的交點為位圓的交點為P P2 2（y y，x x），根據(jù)三角函），根據(jù)三角函數(shù)的定義，你能獲得哪些結(jié)論？數(shù)的定義，你能獲得哪些結(jié)論？2的終邊的終邊P P1 1(x(x，y)y)Oxy的終邊的終邊2P P2 2(y(y，x)x) 公式五：公式五： sin)2cos(cos)2sin(思考思考1 1：sinsin（90906060）與）與cos60co

13、s60，coscos（90906060）與）與sin60sin60的值分別的值分別有什么關(guān)系？據(jù)此，你有什么猜想？有什么關(guān)系？據(jù)此，你有什么猜想？知識探究（二）：知識探究（二）： 的誘導(dǎo)公式的誘導(dǎo)公式 2sin)2cos(cos)2sin(思考思考3 3：根據(jù)相關(guān)誘導(dǎo)公式推導(dǎo)，根據(jù)相關(guān)誘導(dǎo)公式推導(dǎo)， ， 分別等于什么？分別等于什么？)2sin()2cos( 公式六：公式六： sin)2cos(cos)2sin(思考思考2 2： 與與 有什么內(nèi)在聯(lián)系？有什么內(nèi)在聯(lián)系？22)2(2思考思考4 4： 與與 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？)2tan(tan思考思考6 6：正弦函數(shù)與余弦函數(shù)互稱為余函正弦函數(shù)

14、與余弦函數(shù)互稱為余函數(shù)，你能概括一下公式五、六的共同特數(shù)，你能概括一下公式五、六的共同特點和規(guī)律嗎？點和規(guī)律嗎？ 公式六：公式六： sin)2cos(cos)2sin( 公式五：公式五： sin)2cos(cos)2sin(思考思考7 7：誘導(dǎo)公式可統(tǒng)一為誘導(dǎo)公式可統(tǒng)一為的三角函數(shù)與的三角函數(shù)與的三角函數(shù)之間的關(guān)系，的三角函數(shù)之間的關(guān)系，你有什么辦法記住這些公式？你有什么辦法記住這些公式？)Zk(2k奇變偶不變，符號看象限奇變偶不變，符號看象限.例例1、求證：、求證：sin( )=- cos , cos( )=sin 3232理論遷移理論遷移例例2、已知、已知cos(75+ )= ，且，且-180 -90，求，求cos(15- )的值。的值。13練習(xí)練習(xí)1 1、 化簡：化簡：)29)sin(-)sin(-)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(2練習(xí)練習(xí)2 2、已知、已知 ，求，求 的值的值32)6(cos)32(sin2.2.誘導(dǎo)公式是三角變換的基本公式，其誘導(dǎo)公式是三角變換的基本公式，其中角中角可以是一個單角，也可以是一個可以是一個單角，也可以是一個復(fù)角，應(yīng)用時要注意整體把