等差數(shù)列講義：選填經(jīng)典題型(詳解答案)

1、等差數(shù)列講義：選填經(jīng)典題型、單選題11111 數(shù)列,JJ的通項(xiàng)公式可能是an（）57911A .( 1)n1B .(1)nc ( 1)n1D .( 1)n2n 33n 23n 22n 32 在等比數(shù)列an中，a2> ai”是“an為遞增數(shù)列”的（）A 充分不必要條件B 必要不充分條件C .充要條件D.既不充分也不必要3.下列關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的敘述正確的是（）A 若非常數(shù)列an為等差數(shù)列，則也可能是等差數(shù)列B 若非常數(shù)列an為等比數(shù)列，則an2an不可能是等差數(shù)列C 若數(shù)列ann的前n項(xiàng)和Sn aR，則數(shù)列an可能是等差數(shù)列若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn有最大值,則公差 d可能大于零已

2、知數(shù)列an1 , an 1an2an 1，則 an2n 12n+lC.丄2n 112n 15.已知X0將四個(gè)數(shù)X,Xy, x y,Jx2 y2按照一定順序排列成一個(gè)數(shù)列,則（）A .當(dāng)0時(shí),存在滿(mǎn)足已知條件的X, y，四個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列B .當(dāng)0時(shí),存在滿(mǎn)足已知條件的x, y，四個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列c.當(dāng)0時(shí),存在滿(mǎn)足已知條件的x, y，四個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列D 當(dāng)0時(shí),存在滿(mǎn)足已知條件的X, y，四個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列6 .已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,2滿(mǎn)足 an 4Sn 2an 3 ,則 Sn()A. 2n2 nB. n2 2nC. n2D. n2 2n7.在等差數(shù)列an中，已知34+ a8=

3、 16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和Sn=（）A. 58B. 88C. 143D. 176_ 2 18 .設(shè)a 0, b 0 ,是Ig4a與lg 2b的等差中項(xiàng)，貝y的最小值為（）a bA .2 2B. 3C . 4D .9g .在數(shù)列9n中，9n =3n-19,則使數(shù)列9n的前n項(xiàng)和Sn最小時(shí)n=()A .4B. 5C . 6D .710.已知等差數(shù)列9n 中，922，前5項(xiàng)的和S5滿(mǎn)足15 S525 ,則公差d取值范圍為（）1 31,41,31A.JB.C .D .-12 2211 .設(shè)等差數(shù)列9n的前n項(xiàng)和為Sn:,滿(mǎn)足910 , S9S14 ,則（）A .d 0B .Sn的最大值為S23c. a

4、i2 0D 滿(mǎn)足Sn0的最大自然數(shù)n的值為2312 .若an是等差數(shù)列，首項(xiàng)ai0，公差d 0 ,且92013 32012920130，則使數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn0成立的最大自然數(shù) 門(mén)是（ ）A . 4027B. 4026C. 4025D. 402413 .設(shè)等差數(shù)列 9n的前n項(xiàng)和為Sn ,且滿(mǎn)足I' -!，則S1 Sg9291S|5中最915大項(xiàng)為（S15A .915S1c.魚(yú)9gS8a814 .數(shù)列9n 滿(mǎn)足 9n 1 ( 1) 9n2n1，則an的前20項(xiàng)和為（A . 210B . 220c.23024015.數(shù)列2 29n的通項(xiàng)9n n COS.2 n nsin 一3,其前n

5、項(xiàng)和為Sn，則S30為（）A.470B. 490495D . 51016.已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q，若 91q 1，且 9m91929 J 910，則 mA . 19B. 45C . 55D . 1003111A .B.-C .-D .1089318 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)之和Sn2n 4n 1 ,則aia2a10的值為（）A . 61B. 65C . 67D .6817 .在等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為Sn,S2S41 S43，則S等于（）19.等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn與人，對(duì)一切自然數(shù)n，都有SnC.1020.已知等差數(shù)列a.的公差d0 ,前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)正整數(shù)m，下列四

6、個(gè)結(jié)論則b5等于（）1011（1） Sm、S2mSm、S3mS2m成等差數(shù)列，也可能成等比數(shù)列;（2） Sm、S2m Sm、Ssm Szm成等差數(shù)列，但不可能成等比數(shù)列;Ssm可能成等比數(shù)列，但不可能成等差數(shù)列；Ssm不可能成等比數(shù)列，也不叫能成等差數(shù)列 Sm、S2m、 Sm、S2m、正確的是（）A . （1）（3）B . （1）（4）21.已知數(shù)列 an為等差數(shù)列，首項(xiàng)a1值為（）A . 2007B. 2008C .(3)D .(4)0，若a10041，則使得Sn0的n的最大a1005C .2009D .2010a20150 , a2014 a20150 ,則使前n項(xiàng)22 若an是等差數(shù)列，

7、首項(xiàng)a10 , a2014和Sn 0成立的最小正整數(shù)門(mén)是（ ）A. 2014B. 2015C. 4028D. 40296，則Sn取最大值時(shí)的nS S23 .已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，a1 8，S1 土的值為（）C. 4 或 524 .張丘建算經(jīng)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有女 不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄，問(wèn)織幾何”其意思為有個(gè)女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織五尺，最后一天織一尺,三十天織完，問(wèn)三十天共織布（）A . 30 尺B . 150 尺C. 90 尺D . 180 尺二、填空題25 .已知數(shù)列an中，dl,an0

8、，前n項(xiàng)和為Sn.若a.、,瓦.S7（nN*,n > 2），則數(shù)列 的前15項(xiàng)和為anan 126 .設(shè)等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn，若Sm 14,Sm0,Sm 214(m2且 m N ),則m .27 .設(shè)數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足a1 2a2J 1-2ann，則 S528 .在數(shù)列 an 中，a?5 ,an1 a.2n n N*，則數(shù)列an的通項(xiàng)a.29 .記數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn滿(mǎn)足Sn 14Sn2，且 a12 , bnlog 2 an，則數(shù)12an,0 an212an 1,an2，則 S2020133 .設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11鳥(niǎo)1時(shí)n的值為 .34 .已

9、知數(shù)列 an的前項(xiàng)和為Sn, a1 3, an 1& Sn1，則使最取得最大值n1an2，則 S2020 列bn的前n項(xiàng)和Tn 30 .設(shè)數(shù)列an中前n項(xiàng)的和Sn 2an 3n 7,則a.31.若 a11 , an 2an 11(n2, n N)，則 an432 .設(shè)數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn，已知ai, an 15等于參考答案1. D, 1 1由ai，排除a, c,由a2，排除B.故選：D.57【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的判定與排除法的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題2. Ban是遞增數(shù)列，則必有 a2 ai，必要性滿(mǎn)足，若ai1, a2 2，滿(mǎn)足a2 ai，但q 2，數(shù)列an不是遞增數(shù)列，

10、充分性不滿(mǎn)足.應(yīng)是必要不充分條件，故選：B .【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，掌握充分必要條件的定義是解題關(guān)鍵.3. C,11 an an 1d ,對(duì)于A,設(shè)數(shù)列an的公差為d, d 0，則 ，由d 0、an 1 an an 1 anan 1 an1 11an 1 an不為定值可知不為定值，故不可能是等差數(shù)列，故 A錯(cuò)誤；an 1 anann22對(duì)于B，若an1 ，則an 1，此時(shí)an為等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,若a 1，則Sn 1 1 0，此時(shí)an 0，數(shù)列an是等差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為印，公差為d ,n n 1 dd則Sn amd n23 n，若d 0，結(jié)合二次

11、函數(shù)的圖象與性質(zhì)可2 22知Sn無(wú)最大值，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列、等差數(shù)列的判斷，考查了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特性，合理舉例、牢記知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.an11 2an1 小11小4. C在等式an 1- 兩邊取倒數(shù)得-2,2 ,2an 1an 1ananan 1 an2n 1 ,屬于基礎(chǔ)題.所以，數(shù)列 1 是首項(xiàng)為丄公差為2的等差數(shù)列，則 1 2 n 1ana1an1an.故選：C.2n 1【點(diǎn)睛】本題考查利用倒數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)，考查了等差數(shù)列定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力,5. D注意到 x 5,y 4 時(shí)，x y 0，且 x y,x,x y,y2 的值為 9, 5

12、, 1,3，構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列由此判斷出D選項(xiàng)正確故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義，考查分析求解能力，屬于基礎(chǔ)題6. DII 24 4Sn 2an 3,an 0,2當(dāng) n 1 時(shí)，ai 4S 2a1 3,ai 3或a11 （舍去）；當(dāng) n2 時(shí)，a； 14Sn12an13 ,an 4S 2an3 ,兩式相減得： anan1anan 12 an an 1 I * a 0,an an 12 ,所以數(shù)列 an是首項(xiàng)a1 3，公差d 2的等差數(shù)列，2an 2n 1,Sn n2n，故選：d.點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)與前 n和之間的關(guān)系以及等差數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式，還考查了

13、運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題7. B等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式s；n (a1 an)11(a1 an),s112 211® a8)211 16288.考點(diǎn)：數(shù)列前n項(xiàng)和公式.Tg、2是Ig4a與Ig2b的等差中項(xiàng), 2lg,2 Ig4a Ig2b,即 Ig2 Ig4a 2b Ig 22a b, 2a b 1 .21212b2a所以一一(一)(2ab) 552'、49a ba bab當(dāng)且僅當(dāng)空竺即a b 時(shí)取等號(hào)，a b3.2 1的最小值為9.a b9. C因?yàn)閍n 3n 19，所以數(shù)列 an是首項(xiàng)16，公差為3的等差數(shù)列,所以Sn3 2353 n n ,2 2A 3 23535令y

14、xx，易知該函數(shù)圖象開(kāi)口朝上，對(duì)稱(chēng)軸為直線x2 2 6N可得當(dāng)n 6時(shí)，Sn取最小值.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列性質(zhì)及前 n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題10. C由題可知：5 45 4Ss 5a1d 5 2 dd 5d 10 ,2 2又 15 S525，所以 15 5d 10 25,解得1 d 3.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前 n和以及公差的范圍，關(guān)鍵在于S5用d表示，屬基礎(chǔ)題11. C設(shè)等差數(shù)列的公差為 d由 S9S14 ,22可得9印14a!14 13d ,2整理可得a111d0，由 a 0所11dai 0，即d 0，故A錯(cuò)誤;根據(jù)d0,則數(shù)列為遞減數(shù)

15、列,a111d0 ，即卩 a12則前11項(xiàng)或前12項(xiàng)的和最大,故B錯(cuò)誤；C正確;n n 1Snnad2na1n n 1 耳11a122所以nn n 120，即 卩 n2223n0，解得 0 n23,滿(mǎn)足Sn0的最大自然數(shù)n的值為22,故D錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題12. D因?yàn)閍n是等差數(shù)列，首項(xiàng)印0，公差d所以an是遞減數(shù)列,又因?yàn)?a2013 a2012a2013所以 a20120, a20130, a2012所以 S40254025 a20130, S4024a2013 , a2012a20130 ,4024 a2

16、012a2013所以則使數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn0成立的最大自然數(shù) n是4024.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題13. DS515旦15a80 ,SI616色並 8 a*a?0 ,所以 a80,a90，所qq以一 °，|，0，后面的項(xiàng)都小于零由于S S2( | (S8,a1a2)l )a8aia8，所以最大項(xiàng)為S8a8考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)，構(gòu)造新數(shù)列的性質(zhì)【點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式，考查數(shù)列的單調(diào)性根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，將已知條件巴.：二I：亠,:盂J轉(zhuǎn)化為a8 0,ag 0 ,這就說(shuō)

17、明數(shù)列的首項(xiàng)是正數(shù)，且公差是復(fù)數(shù)，并且正負(fù)交替的項(xiàng)位于第8和第9項(xiàng)，所以構(gòu)造的新數(shù)列中，前面8項(xiàng)是正數(shù)，后面7項(xiàng)是負(fù)數(shù)，所以最大項(xiàng)只有在前8項(xiàng)中產(chǎn)生，然后比較分子分母的單調(diào)性可得最大值為第八項(xiàng)因?yàn)閍n1(1)n an 2n1n 1n 1n故an 21an 12n111 a=ann1 2n12n 1即：an2nan12n 12n1同理可得：an 3 an 11n 12n12n3故可得an 3an 2 an 1an4n4n12令bna4na4 n 1a4n 2a4n 3則bmbn16，又 010故bn16n6故S20bid III b55b1 1016210 .故選:14. AnA.【點(diǎn)睛】2n

18、1 2n 1本題考查由遞推公式，找到通項(xiàng)之間的關(guān)系，屬數(shù)列困難題,對(duì)計(jì)算能力要求較高15. An123456首先對(duì)an進(jìn)行化簡(jiǎn)得an邊亍，又由cos關(guān)于n的取值表:2n n111111cos一+ * 432222可得cos 2nn的周期為3 ,則可得3S3o42 52262III嚀92 302 ,設(shè)bk23k 2 3k9k 5，5則 S309 1 2 . 1010470,故選 A.2點(diǎn)睛：本題考查二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的周期性以及等差數(shù)列的求和公式，意在考查靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力以及計(jì)算能力，求求解過(guò)程要細(xì)心，注意避免計(jì)算錯(cuò)誤16. C由題意，正項(xiàng)等比數(shù)列 an的公比為q，且a1

19、q 1 ,m 1 m101 29104555可得 am aeq , 818283 珈印 qa, q q ,因?yàn)?am 81828 I 810，即 qm q55，所以 m 55 -故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式， 以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中熟 記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的求和公式， 準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求 解能力17. A設(shè)首項(xiàng)為勺81 ,公差為d ,II魚(yú)1S43，281d4a16d3，即8133d，則SS84816d6d6d盒，故選A88128d12d28d【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，意在考查對(duì)基本公式的掌握情況

20、， 屬于基礎(chǔ)題.18. C據(jù)通項(xiàng)公式得a1a20a3a4aioaia2aioSl0102a22S24 10a3a4當(dāng)n1時(shí)，S1a1 2 ,當(dāng)n2時(shí)，anSnSn 1n2 4n 1 n 1)24 n 11 2n 5,故an2n2,n 15,n2 ,67 .故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系式，注意n 1的情況，是道基礎(chǔ)題.19. C9 a1 a99a5,T99 4 b99b5 ,a5 雖，b5 九99又當(dāng)n 9時(shí)，§,T910【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，判斷n 9是解題的關(guān)鍵20. D【解析】試題分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，S2m Sm Sm

21、 口勺,m Szm Sm 2m?d ,2 2 2 2 2 4 2 2 4 2(SmSm)(Smm d)Sm2mdSmm dSm(Sm2m d) m dSm(S3mS2m)22Sm m d ,，因此(1)錯(cuò)誤，正確，由上顯然有 S2m SmS3m S?m , S?m22S3m 3Sm 3m d ,S2mSmS3mSm m2dSm m4d2考點(diǎn)：等差數(shù)列的前12234 2(Smm d) -m d0，故錯(cuò)誤,4n項(xiàng)和，等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義.(4)正確即填21. B數(shù)列an為等差數(shù)列a1004,右 -31005所以31004 與 31005 異號(hào)首項(xiàng)ai0,則公差d 0所以310040, 3100

22、50則 a1004a1005 ,所以 a1004 a10050由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列性質(zhì)可得S20082008 3132008120081004 31004 310050S20092009 a1 a20092009 a1005 a100522009a1005所以Sn0的最大值為S2008，即n 2008故選:B【點(diǎn)睛】，屬于中檔本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，不等式性質(zhì)的應(yīng)用22. D因?yàn)榈炔顢?shù)列 an中,30 , 32014 320150 ,所以公差 d 0 ,320140 ,a20150 ,因?yàn)?a2014a20150 ,所以S40284028 31 3

23、4028 4028 32014320150 ,23134029因?yàn)?320150，所以 S40294029 ； S根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，n 4028時(shí)，Sn 0 ； n 4029時(shí)，Si 0.故使前n項(xiàng)和Sn 0成立的最小正整數(shù)n是4029 .故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)， 考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題23. C設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d，則 Sn 8nS1112d 83d解得d 2, Sndn28 d n2 2n2 9d814由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)4或5時(shí),Sn取最大值，故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值,考查數(shù)列的通項(xiàng)，屬

24、于中檔題24. C已知等差數(shù)列 a5, a30 hS3030(1 5)90,選 C.225.1531因?yàn)镹 ,n > 2),所以anSn 1an所以.,s；7=i.所以忌是首項(xiàng)為1,公差為i的等差數(shù)列,所以 an、S -.Sn1 2n 1(n又a11也滿(mǎn)足，所以an 2n 1(n N ).1 1 111所以anan 12n 1 2n 12 2n 1 2n 11所以數(shù)列的前15項(xiàng)和為anan 11111111111 丄丄11 15a1a2a2a3a15a162132352 293123131【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合問(wèn)題，考查an與Sn的關(guān)系、等差數(shù)列的判定、裂項(xiàng)相消法求和，綜合性較強(qiáng)已知

25、3n與Sn的關(guān)系式，有兩種思路：一是由 Sn S. 1 3n消掉S得到關(guān)于通項(xiàng)的 關(guān)系式；二是把a(bǔ)n代換成Sn Sn 1得到關(guān)于求和的關(guān)系式26. 5因?yàn)閍mSmSm 10 ( 4)4 ,am 1amam1 am 23am 118,am 16 ,(aiam)m0 ,所以44，從而Sm23127.16解:a12a2IIIn 12 an n ,可得n1時(shí),a11 ,n2時(shí),a12a2Q 22 a,n 1 n 1 ,又a12、322n 1an n,am 2 Sm 2 Sm 14，所以從而公差d 6 42，又am 164 2m，解得 m 5，故填 5.兩式相減可得2n 1an 1 ,n 11即 an，

26、2上式對(duì)n 1也成立，1可得數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公比為一的等比數(shù)列,21可得S5故答案為:163116【點(diǎn)睛】本題主要考查了賦值法及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力及分析能力,屬于中檔題。28. 2n 1由題意可得:anan 1an 1 an 22門(mén)12“ 2a2 a12利用累加法，得：an a12na1 3 ,于是：an 2n 1 .故答案為2n 1【點(diǎn)睛】本題考查利用累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題29. n2由題可知：Sn 14Sn2當(dāng)n 2時(shí)，Sn4Sn 12，得Sn 1 Sn4Sn Sn 1，即 an 1 4an ( n 2)又 *1 2，所以 a? 3S| 2 3a1 2 8，則

27、 a? 4a1,所以數(shù)列 an是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列,所以 an 2 4n 1 22n 1，則 bnlog2 an 2n 1 ,所以Tnn 1 2n 1故答案為：n22點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)an，Sn證明等比數(shù)列，還考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，掌握Sn Sn 1,n 2 ann n 1 ，熟悉公式，屬基礎(chǔ)題 .a1,n 130 2n 1 3由 Sn 2an 3n 7 ，取 n 1 得： a1 2a1 3 7 ，即 a1 4.當(dāng) n 2 時(shí)， Sn 1 2an 1 3 n 1 7 ，得：an2an2an 13 ，即 an 2an 13.an 32an3n 2 . a1310，數(shù)列an3是以1 為