能帶理論P(yáng)PT課件

1、4.0 引言 單電子近似的基本思想 布洛赫定理 金屬自由電子的空晶格模型 能帶的一般性 電子在外場中的運(yùn)動(dòng) 金屬、半導(dǎo)體、絕緣體能帶的差別一、基本內(nèi)容二、學(xué)習(xí)要點(diǎn)熟練掌握以下內(nèi)容n布洛赫定理及能帶的一般性n能帶的起因的物理解釋，能帶的一般特點(diǎn)n固體導(dǎo)電性與能帶結(jié)構(gòu)的關(guān)系第1頁/共32頁4.1 單電子近似一、復(fù)雜性的起源多體問題晶體的總哈密頓量薛定諤方程12121212(, ,)(, ,)aaNNeNNeHER RRr rrR RRr rr第2頁/共32頁4.1 單電子近似二、晶體多粒子體系的簡化方案之絕熱近似第3頁/共32頁4.1 單電子近似二、晶體多粒子體系的簡化方案之絕熱近似第4頁/共32

2、頁4.1 單電子近似二、晶體多粒子體系的簡化方案之絕熱近似問題：絕熱近似后，電子體系的哈密頓中含有電子坐標(biāo)的交叉項(xiàng)，薛定諤方程依然不能求解第5頁/共32頁4.1 單電子近似三、晶體多粒子體系的簡化方案之單電子近似電子在周期勢場中運(yùn)動(dòng)若可以找到近似的勢函數(shù)，使得體系的哈密頓量及薛定諤方程為：22( )2jjjeHVm r221212( ) ( ,)( ,)2jjNNjeVEm rr rrr rr分離變量求解，獲得N個(gè)形式完全相同的薛定諤方程，只須求解一個(gè)方程，多電子問題化簡為單電子問題第6頁/共32頁4.1 單電子近似三、晶體多粒子體系的簡化方案之單電子近似單電子周期勢場示意圖第7頁/共32頁4

3、.2 布洛赫（Bloch）定理一、Bloch定理內(nèi)容rkrrikkeu)()(uk(r): 與晶格平移周期一致的周期函數(shù)1 12233123( )()( , , )kklluullll l lrrRRaaa為整數(shù)第8頁/共32頁價(jià)電子的基本特征： 1. 價(jià)電子的局域性 2. 價(jià)電子的非局域性 晶體中價(jià)電子可用被周期調(diào)制的自由電子波函數(shù)描述 周期函數(shù)反映了電子的局域特性 自由電子波函數(shù)反映了電子的非局域特性二、Bloch定理的物理理解4.2 布洛赫（Bloch）定理晶體具有平移周期性|2必然具有同晶體一致的周期性uk(r)必然具有同晶體一致的周期性波函數(shù)可以有任意常復(fù)數(shù)因子第9頁/共32頁二、B

4、loch定理的物理理解4.2 布洛赫（Bloch）定理布洛赫波示意圖第10頁/共32頁三、Bloch定理的嚴(yán)格證明4.2 布洛赫（Bloch）定理( ) ( )()TffRrrR , 0H T 平移算子和哈密頓可以有相同的本證函數(shù)，設(shè)平移算子的本證函數(shù)為：C(R)引進(jìn)平移算符()()()( )( )iiueeuk r Rk rrRrRrr第11頁/共32頁四、波矢k的物理意義4.2 布洛赫（Bloch）定理單電子波函數(shù)和本征值與k有關(guān)hk不是電子動(dòng)量的本征值但波矢的變化表征了電子同其它準(zhǔn)粒子相互作用或外場作用的動(dòng)量變化五、波矢k的取值()( )1,2,3iiNrikkra周期性邊界條件：312

5、123123lllNNNkbbb第12頁/共32頁4.3 中心方程與能帶利用Bloch定理，可以將Bloch電子的薛定諤方程寫為如下形式一、中心方程22()( )( )( )2iVuE umkkkkrrr將周期勢函數(shù)和布洛赫函數(shù)的周期函數(shù)部分作傅立葉展開( )( )iiVV euu eG rG rGkGGGrr結(jié)合上述結(jié)果并令傅立葉系數(shù)相等，可以得到2()( )( )2GuV uE umGGG-GkGGkkk中心方程這是一組關(guān)于uG的線性齊次方程組，其非零解的條件是系數(shù)行列式為零第13頁/共32頁4.3 中心方程與能帶一、能帶中心方程系數(shù)行列式（這個(gè)行列式只能中中間寫起）為零，可以得到以下結(jié)論

6、：每給定一個(gè)k值，便可以得到一組Ek, k1E1(k1), En(k1), En(k1), k2E1(k2), E2(k2), En(k2), 能帶是周期勢函數(shù)中運(yùn)動(dòng)的Bloch電子的必然屬性,第14頁/共32頁4.4 能帶的基本性質(zhì)一、第15頁/共32頁二、4.4 能帶的基本性質(zhì)第16頁/共32頁4.4 能帶的基本性質(zhì)能帶的表示方法周期區(qū)圖示簡約區(qū)圖示EgEg第17頁/共32頁4.4 能帶的基本性質(zhì)能帶的表示方法周期區(qū)圖示每個(gè)能帶的狀態(tài)總數(shù)由周期性邊界條件可以得出每個(gè)能帶所能填充的能帶總數(shù)為單胞數(shù)目的2倍第18頁/共32頁4.5 能帶的空晶格模型物理上理解能帶的一種方法金屬中的準(zhǔn)自由電子（價(jià)

7、電子）模型 金屬中的自由電子除去與離子實(shí)相互碰撞的瞬間外，無相互作用。電子所受到的勢能函數(shù)為常數(shù)。 電子波函數(shù)仍然為自由電子波函數(shù) 電子受到晶格的散射，當(dāng)電子的波矢落到布里淵區(qū) 邊界時(shí)，發(fā)生Bragg衍射第19頁/共32頁f f = Aeikxr r (x) = |f f |2Emk)(E22k4.5 能帶的空晶格模型第20頁/共32頁f f = Aeikxf f = Ae-ikxf f + = Aeikx+ Ae-ikxr r+ = 4A2cos2(kx)f f = Aeikx- Ae-ikxr r = 4A2sin2(kx)Emk)(E22kEgResulted from r r+Resu

8、lted from r r-p/a2p/ap/a2p/a0k (G/2) = (G/2)2時(shí)：自由電子波滿足Bragg方程，行波不存在，代之于駐波解，形成能帶第21頁/共32頁能帶結(jié)構(gòu)是晶體的普遍屬性能帶結(jié)構(gòu)是晶體的普遍屬性價(jià)電子的基本特征： 1. 價(jià)電子的局域性 2. 價(jià)電子的非局域性Bloch定理：rkrrikkeu)()(uk(r): 與晶格平移周期 一致的周期函數(shù) 晶體中價(jià)電子可用被周期調(diào)制的晶體中價(jià)電子可用被周期調(diào)制的自由電子波函數(shù)描述自由電子波函數(shù)描述 周期函數(shù)反映了電子的局域特性周期函數(shù)反映了電子的局域特性 自由電子波函數(shù)反映了電子的非自由電子波函數(shù)反映了電子的非局域特性局域特性

9、 由于電子波函數(shù)的空間位相有自由于電子波函數(shù)的空間位相有自由電子波函數(shù)一項(xiàng)決定，由電子波函數(shù)一項(xiàng)決定，Bragg衍射同樣發(fā)生衍射同樣發(fā)生 能帶必然存在，能帶結(jié)構(gòu)是晶體能帶必然存在，能帶結(jié)構(gòu)是晶體的必然屬性的必然屬性4.5 能帶的空晶格模型第22頁/共32頁4.6能帶與原子能級劈裂Solid of N atomsTwo atomsSix atomsnFor the total number N of atoms in a solid (1023 cm3), N energy levels split apart within a width E.Electrons must occupy different energies due to Pauli Exclusion principle.S帶、P帶、雜化帶等說法第23頁/共32頁4.7布洛赫電子在外場中的運(yùn)動(dòng)電子群速度與能帶形狀的關(guān)系第24頁/共32頁4.7布洛赫電子在外場中的運(yùn)動(dòng)滿帶不能導(dǎo)電第25頁/共32頁EgEg金屬金屬絕緣體絕緣體半導(dǎo)體半導(dǎo)體價(jià)帶導(dǎo)帶金屬、絕緣體、半導(dǎo)體的能帶特征4.7布洛赫電子在外場中的運(yùn)動(dòng)