概率論復(fù)習(xí)題及答案

1、For pers onal use only in study and research; not forcommercial useFor pers onal use only in study and research; not forcommercial use概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)題一事件及其概率1. 設(shè)A, B,C為三個(gè)事件，試寫出下列事件的表達(dá)式： A, B, C都不發(fā)生；(2)代B, C不都發(fā)生；(3) A, B, C至少有一個(gè)發(fā)生；(4) A, B, C至多有一個(gè)發(fā)生。解：(1) ABC ha-GE(2) ABC = A - B - C(3) A _ B _ C(4) BC 一

2、AC 一 AB2. 設(shè) A , B為兩相互獨(dú)立的隨機(jī)事件 ，P(A) =0.4 , P(B) =0.6,求 P(A _ B), P(A - B), P(A| B)。解: P(A 一 B)二 P(A) P(B) -P(AB) = P(A) P(B) - P(A)P(B) = 0.76 ；P(A-B)二 P(AB)二 P(A)P(B) =0.16, P(A|B)二 P(A) =0.4。3. 設(shè) A, B互斥，P(A) =0.5，P(A_ B)=0.9，求 P(B), P(A-B)。解: P(B)二 P(A B) - P(A)二 0.4, P(A - B)二 P( A)二 0.5。4. 設(shè) P(A)

3、 =0.5, P(B) =0.6, P(A| B) =0.5，求 P(A - B), P(aB)。解：P(AB)二 P(B)P(A| B) =0.3, P(A B)二 P(A) P(B) - P(AB) = 0.8,P(A_B= F( A B= P A P AB。0. 25. 設(shè) A, B,C 獨(dú)立且 P(A) =0.9, P(B)二 0.8, P(C) =0.7,求 P(A B C)。解:P(A B C) =1 一卩(瓦_(dá).目_.) =1 一 P(ABC) =1 _P(A)P(B)P(C)=0.994。6. 袋中有4個(gè)黃球，6個(gè)白球，在袋中任取兩球，求(1) 取到兩個(gè)黃球的概率；(2) 取到

4、一個(gè)黃球、一個(gè)白球的概率。解:(1)-；(2) P =15c4c16157.從09十個(gè)數(shù)字中任意選出三個(gè)不同的數(shù)字，求三個(gè)數(shù)字中最大數(shù)為5的概率。解:128.從(0,1)中任取兩數(shù)，求兩數(shù)之和小于0.8的概率。1-0.8 0.8解：P=20.32。19. 甲袋中裝有5只紅球，15只白球，乙袋中裝有 4只紅球，5只白球，現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋中， 再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，問從乙袋中取出紅球的概率為多少？解：設(shè)人=從甲袋中取出的是紅球 ”，B = 從乙袋中取出的是紅球”，則：1-31-2P( A) , P(A 匕,P (B |A-) P B Ac),4425由全概率公式得：17P(B)二 P(A)

5、P(B| A) P(A)P(B | A廠4010. 某大賣場(chǎng)供應(yīng)的微波爐中，甲、乙、丙三廠產(chǎn)品各占50%、40%、10%,而三廠產(chǎn)品的合格率分別為95%、85%、80%，求(1) 買到的一臺(tái)微波爐是合格品的概率；(2) 已知買到的微波爐是合格品，則它是甲廠生產(chǎn)的概率為多大？解：(1)設(shè)A,A2 ,A3分別表示買到的微波爐由甲、乙、丙廠生產(chǎn)，B表示買到合格品，則P(A)=0. 5PA=) 0.F44=( ) P).B, & |)P0B95,(| P B0.A85,(|)3由全概率公式得 P(B)=v P(A)P(B| A) =0.895 ；i =1P(A 丨 B) - P(AB) 一 P

6、(AJP(B|A) 0.475 一 95P(B)P(B)0.895179二一維隨機(jī)變量及其數(shù)字特征工 kx 1,1.已知X的概率密度函數(shù) f (x)弋10,0 x 2else1】求 k, P X , EX。I.2j解： f (x)dx = ：(kx 1)dx =2k 2 =1 二1f 1 、2 ( 192P2 X>-i=n i x 1| d x=，EX = xI 2JU 2丿1 6l0 V1x 1 dx，。22.設(shè) X B(3,0.1)，求 P：X =2、PX _1。= 0.271。223解：PX =2 =C3(0.1) (0.9) =0.027, PX _1 =1 - PX =0 =1

7、 0.9-43.設(shè)三次獨(dú)立隨機(jī)試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的概率相同，已知事件A至少出現(xiàn)一次的概率為37，求A在一次試64驗(yàn)中出現(xiàn)的概率 p 。解：三次試驗(yàn)中 A出現(xiàn)的次數(shù)X B(3, p)，由題意:4.PX _1 =1 _p1x =0丄1 -Cfp0。_ p)3=1 - (1 - p)337=641000 某種燈管的壽命 X (單位：小時(shí))的概率密度函數(shù)為f(x)二I0,x2x 1000else(1)求 PX 1500;任取5只燈管，求其中至少有 2只壽命大于1500的概率。鈕10002解: PX>1500 = J1500hdx = § ；設(shè)5只燈管中壽命大于1500的個(gè)數(shù)為Y 

8、9;則YB5,f，5.6.7.PY 一2 =1PY =0 PY =1 =1 一 1-5 2設(shè) X B(n, p), EX -1.6, DX -1.28,求 n, p。解：EX = np =1.6, DX =np(1 - p) =1.28= n = 8, p = 0.2。設(shè) X 二(2)，求 PX -2, E(X2 2X -3)。解：PX_2=1-3e°,14232243°2 2 2E(X 2X -3) =E(X ) 2EX YpEXDX 2EX -3=4 2 4-3 = 7。設(shè) X U1,6，求 P4 ： X 乞 2。解：f(x)W7'0,一1'%'

9、6， p一4：X 空 2丄 2 f(x)dx-J匚斗0dxelse8.設(shè)X服從(-1,5)上的均勻分布，求方程t2Xt 0有實(shí)根的概率。1_1<x <525 11解：f(x)=6，- - , PA 啟 0 =PX2 _4Z0= J2 一 dx=。0, else9.設(shè) X U1,3，求 EX, DX, E解:EX =2, DX =(3-1)21210.設(shè)某機(jī)器生產(chǎn)的螺絲長(zhǎng)度1_Lf (x) = 20,1 _x _3131 11,E f = dx = ln 3.IX 丿1 x 22elseX N (10.05,0.0036)。規(guī)定長(zhǎng)度在范圍10.05 _0.12內(nèi)為合格，求螺絲不合格的

10、概率。解：螺絲合格的概率為P10.05 -0.12X £10.05 + 0.12= P-0.120.06X -10.05<0.060.120.06-門(2) _：(一2)二2：(2) _1 =0.9544故螺絲不合格的概率為 1 -0.9544 =0.0456。11. 設(shè) X N(0,4)，Y = -2X 3000，求 EY、DY 及 Y 的分布。解：EY - -2EX 3000 =3000, DY =4DX =16,Y N(3000,16)。12. 設(shè) X 與 Y 獨(dú)立，且 X N(1,1), Y N(1,3),求 E(2X -Y), D(2X -Y)。解：E(2X Y) =

11、2EX - EY =1, D(2X Y) =4DX DY = 7。f 1,13. 設(shè) X -：(4), Y B 4, , :y =0.6,求 D(3X -2Y)。I 2 J解：D(3X-2Y)=9DX 4DY-12匚丫 DX DY =25.6。14.設(shè)X U T ,2，求Y = X的概率密度函數(shù)。解：FY(y) =P& Ey=P X 蘭 y(1)當(dāng) y : 0時(shí)，F(xiàn)y(y)二 0 ；(2) 當(dāng)0乞y乞1時(shí),(3) 當(dāng) 1 ： y - 2 時(shí),八12FY(y"W ；FyW)二4y 1.嚴(yán)當(dāng) y 2時(shí)，F(xiàn)y(y) =1 ；23y, 故 Fv(y) = 3“y +131,y：00乞

12、y乞11：y豈 2y 21fY(y)二 FY(y) =3,0,0乞y空11 ： y _ 2。else三二維隨機(jī)變量及其數(shù)字特征1. 已知（X,Y）的聯(lián)合分布律為:*-112-50.10.4050.2a0.2(1) 求 a ；(2) 求 PX0,Y <1PY =1|X =5；求X ,Y的邊緣分布律；求XY ；(5)判斷X,Y是否獨(dú)立。解：(1) a = 0.1;(2) 0.3, 0.2 ；(3) X :0.5, 0.5;Y: 0.3, 0.5, 0.2 ； EX =0, EY 二 0.6, E(XY)二 0= cov(X,Y)二 0, 二 0 ；0d _ 0.40.2 0.1，不獨(dú)立。2.

13、 已知（X,Y）的聯(lián)合分布律為:且X與Y相互獨(dú)立，求:（1） a,b 的值； PXY =0；(3) X, Y的邊緣分布律;EX, EY, DX, DYz =XY的分布律。解:L,b±189PXY =0=1 _PXY =0 =19'V 1 1 1 V 1 26 3 2-5 2EX , EX63 3 'DX = EX263.已知(X,Y)的概率密度函數(shù)為 f (x, y)=c(x y),°,0蘭x蘭2,0蘭y蘭1，求:else(1)常數(shù)c ；關(guān)于變量X的邊緣概率密度函數(shù)fx(X)；53(EX) , EY ,EY , DY = EY -(EY)36339-1PZ

14、1,PZ =0, PZ =2993E(X Y)o解:ffJ -oO(1)2=0c xdx = 2c c =3c = 1= c =-; 3fx(X)二二 f(x,y)dy 二 0310，11.-(x y)dy斗x+T3 I 2丿0 ： x 2elseE( X Y)(x y) f (x, y)dxdy =-dx11 2 16 03(x y) dr。4.設(shè)(X,Y)的概率密度函數(shù)為：f(x,y)二 Axy,0空x空1,0空y< x else(1) 求 A ;(2) 求 fx(x), fY(y);(3)判斷X,Y是否獨(dú)立；求 P Y -1 , PX Y ：1?;I 2 J求 cov(X,Y) o

15、解：i xa°dx ° Axydy 二§=1= A = 8 ；fx(x)(x,y)dyX3! !.° 8xydy =4x , 二,0 _ x _1else28xydx =4y(1 - y2), 0_y_1 fY(y) = . f (x,y)dx =二 y.,else(3) f (x, y) = fx(x) fY(y)= X, Y 不獨(dú)立； 門 1315”2)1 P X14x3dx, PIX Y : 1 dy 8xydx 二I 2J打160八y ，64844(5) EX 飛，EY 二齊，E(XY) =9,cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)=亦

16、WIQKZ厶厶O四中心極限定理1.某種電器元件的壽命服從指數(shù)分布E(0.01)(單位：小時(shí))，現(xiàn)隨機(jī)抽取16只，求其壽命之和大于1920小時(shí)的概率。16解：設(shè)第i只電器元件的壽命為 Xi (i =1,2,川,16),則E(XJ =100, D(XJ =10000。令* =' Xx，iT則EX =1600, DX =160000。由中心極限定理得理口00”®)400J= 0.2119。pfx 1920 ； = P B(100,0.2), EX =100 0.2 =20, DX =100 0.2 0.8 =16 ； 1600&1600002. 生產(chǎn)燈泡的合格率為 0.8，

17、記10000個(gè)燈泡中合格燈泡數(shù)為 X，求(1) E(X)與 D(X)； 合格燈泡數(shù)在7960 8040之間的概率。解：(1) X B(10000,0,8), E(X) =10000 0.8 = 8000, D(X) =10000 0.8 0.2 =1600 ；(2) 由中心極限定理得p7960 蘭 X 蘭8040p；Z968000 蘭8000 蘭8048000；山一日)l 404040= 2(1) -1 =0.6826。3. 有一批建筑房屋用的木柱， 其中80%的長(zhǎng)度不小于3m，現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)地取 100根，問至少有30 根短于3m的概率是多少？解：設(shè)這100根木柱中短于3m的個(gè)數(shù)為X，則

18、X _ EX 3n _ 20由中心極限定理得 P!X_30l = P 二 _ 二 =2.5 /-門(2.5) =0.0062。VdX716j4. 某單位設(shè)置一電話總機(jī)，共有 200架電話分機(jī)。設(shè)每個(gè)電話分機(jī)是否使用外線通話相互獨(dú)立，設(shè)每時(shí)刻 每個(gè)分機(jī)有0.05的概率要使用外線通話。問總機(jī)至少需要多少外線才能以不低于0.9的概率保證每個(gè)分機(jī)要使用外線時(shí)可供使用 ？解：設(shè)至少需要k條外線。使用外線的分機(jī)數(shù)X B(200,0.05)，EX =200 0.05 =10, DX =200 0.05 0.95 =9.5。由中心極限定理得:PH = P X占 PI VDx屁 JV _0.9. 9.5- k!

19、0 _1.28 二 k -13.9452。 .9.5五.抽樣分布1.從一批零件中抽取 6個(gè)樣本，測(cè)得其直徑為21.522.3,1.7,2.5,1.8，求 X, S。_ 1 6 2 1 6 _解：xxi =1.9667, s(Xi 'X)= 0.1427。6 i =15 i =12.設(shè)Xi,X2是來自正態(tài)總體 N(0,9)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，已知 Yaa, X2)2服從2分布，求a。2&xx2(xx2)解：X1 X2 N(0,18)= 1 2N(0,1)= 1 2V18182(1AaT。3.總體 X N(72,100),(1)對(duì)容量n =50的樣本，求樣本均值 X大于70的概率;為使

20、X大于70的概率不小于0.95，樣本容量至少應(yīng)為多少?解:i70_72(1) X N 72,2 , P(X 70) =1 - ：I 72丿=1 _：(-.2)=0.92;XN 72迴i n曲"i T00：0.9554.-_ 1.645二 n _ 67.65 。 5-10設(shè) X1,X2，川,X10取自正態(tài)總體 N (0,0.09),求 P ' Xi21.44 。I?# JnZ (Xi 門2 解：由于v2c102(n),故 P' X"1.44 = P 2(10) 16 = 0.1。i 二5.設(shè) Xi，X2，|)|,Xn 來自總體 X N(.L,；2), S 為樣

21、本方差，求 ES2, DS2。解：(n-?S 滬(n_i),E(S2) =E廠(n1)= (n 1)"2,ern-1- n-1D(S2) = D 二| n -12(n-1)2 2( n-1) =(n-1)2 4。n1六參數(shù)估計(jì)1.設(shè)隨機(jī)變量XB(n, p)，其中n已知。X為樣本均值,求p的矩估計(jì)量。X解：EX =np=X = ? 。n2.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為：f(x)=刁八：x : 1，其中r是未知參數(shù),二的矩估計(jì)量。else1+9-解：EXX = ? = 2X '1。23. 設(shè)總體X的分布律為X123P6612日現(xiàn)有樣本：1,1,1,3,1,2,3,2,2,1,2,2,

22、3,1,1,2，求的矩估計(jì)值與最大似然估計(jì)值。3 _ X7c 5解：(1) EX -2二 3(1 -2旳=3 -3 - X = ?，將 x 代入得 仝二一；3412(2)似然函數(shù) L = PX1 = 1, X2 = 1j H,= 2-PX1 =1PX2 =1II|PX16 = 2 - Jr6(1 -2對(duì)3"丄q創(chuàng)n L 136 門/曰山13對(duì)數(shù)似然函數(shù)ln L =13ln " 3ln(1 -2旳，令0，得= 一。1 _ 2寸234. 設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x)”10,0 x 1。else現(xiàn)測(cè)得X的8個(gè)數(shù)據(jù)：0.6, 0.4, 0.8, 0.6, 0.8,0.7, 0.

23、6, 0.6，求二的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值。乂1 a eu日-解：(1) E(X) xf (x)dxxx' dx，令 E(X) =X，得0 1畀£= 0.63751.76 ；1 -X 1 -0.6375n(2)似然函數(shù)L =舀f (x) - 松嚴(yán) 7n qxn，對(duì)數(shù)似然函數(shù)In L二n In二- 1廠In x ,令75.嘰,：嚴(yán)=0，得亠c9n8/ . 一一 -3.7626 ' ln xii 4:2.13。設(shè)軸承內(nèi)環(huán)的鍛壓零件的平均高度X服從正態(tài)分布 N(»0.42)。現(xiàn)在從中抽取20只內(nèi)環(huán)，其平均高度X = 32.3毫米，求內(nèi)環(huán)平均高度的置信度為95%的

24、置信區(qū)間。2解：二已知，置信區(qū)間為- (J-X - z：, Xn2。將X = 32.3 坊=0.4 n=20,z 0025 1.96 代入,得所求置信區(qū)間為(32.125, 32.475)。6.為了估計(jì)一批鋼索所能承受的平均張應(yīng)力(單位：千克力/平方米)，從中隨機(jī)地選取了10個(gè)樣品作實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)算得：X = 6720,s = 220 ,設(shè)鋼索所能承受的張應(yīng)力服從正態(tài)分布，試在置信水平95%下求這批鋼索所能承受的平均張應(yīng)力的置信區(qū)間。2解：匚未知，置信區(qū)間為_1)+孕如(n 1)。Vn 2)將 X =6720,s =220, n =10,t°.°25(9) =2.26

25、22代入，得所求置信區(qū)間為 (6562.6, 6877.4)。7.冷銅絲的折斷力服從正態(tài)分布，從一批銅絲中任取10根，測(cè)試折斷力，得數(shù)據(jù)為568, 572, 570, 570, 596, 584, 572(2)方差的置信區(qū)間(0.05 )。求:(1)578, 572, 570, 樣本均值和樣本方差；解:(1)_ 1 10x = x =575.2, s10 y102 I2(Xi - x)75.73 ；9心丄未知，置信區(qū)間為2 2(n -1)s (n _ 1)s2 ( n-1)"_：( n -1)2一 2©75.73 9 匯 75.73 '119.0228 '

26、2.7004=(35.83, 252.40)。七.假設(shè)檢驗(yàn)1.某糖廠用自動(dòng)打包機(jī)裝糖，已知每袋糖的重量(單位:千克)服從正態(tài)總體分布 N(i , 4 )，今隨機(jī)地抽50, 5050千克?查了 9袋，稱出它們的重量如下：50, 48, 49, 52, 51, 47, 49,問在顯著性水平- -0.05下能否認(rèn)為袋裝糖的平均重量為z丄=1.96，將2解：由題意需檢驗(yàn)H。：=50,已：、50。二2已知，拒絕域?yàn)?Ux =49.5556,% = 50, ；=2, n=9代入，得U =-0.6667。未落入拒絕域中，故接受 H。，即可以認(rèn)為袋裝糖的平均重量為 50千克。2.某批礦砂的5個(gè)樣本的含金量為:

27、3.25, 3.27, 3.24, 3.26,3.24設(shè)測(cè)定值總體服從正態(tài)分布，問在顯著性水平:-=0.1下能否認(rèn)為這批礦砂的金含量的均值為3.25 ？解：由題意需檢驗(yàn)2H0 :卩=3.25,H, : 4 H3.25。未知，拒絕域?yàn)門X0S/ _'nt.( n- 1) = 2.1318，"2將x =3.252, % =3.25, s =0.013,n = 5代入得T = 0.344。未落入拒絕域中，故接受 H。，即可以認(rèn)為這批礦砂的含金量的均值為3.25 。3.某種螺絲的直徑 XN (叫64)，先從一批螺絲中抽取 10個(gè)測(cè)量其直徑，其樣本均值x = 575.2，方差2s =68.16。問能否認(rèn)為這批螺絲直徑的方差仍為64 (： =0.05)？解：由題意需檢驗(yàn) H0 : ；2 =64,已：匚2 =64。丄未知，拒絕域?yàn)?22(n - 1)S以* n1)=2.7 或_2(n-1)S2> - -；(n -1) = 0.02 (25) = 41.566。將 n = 26, s = 9200代入得 ？ = 46，落入拒絕域中，故拒絕H。，即能推斷這批電池壽命的波動(dòng)性較以前有顯著增大。僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial u