數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 鉆井布局ppt課件

1、主講: 廖川榮 一.問題提出 勘探部門在某地域找礦。初步勘探時(shí)期已 零散地在假設(shè)干位置上鉆井，獲得了地質(zhì)資料。 進(jìn)入系統(tǒng)勘探時(shí)期后，要在一個(gè)區(qū)域內(nèi)按縱橫等距的網(wǎng)格點(diǎn)來布置井位，進(jìn)展“撒網(wǎng)式 全面鉆探。 由于鉆一口井的費(fèi)用很高，假設(shè)新設(shè)計(jì)的井位與原有井位重合或相當(dāng)接近，便 可利用舊井的地質(zhì)資料，不用打這口新井。 (1999)鉆井規(guī)劃 因此，應(yīng)該盡量利用舊井，少打新井，以 節(jié)約鉆探費(fèi)用。 比如:鉆一口新井的費(fèi)用為500萬元 設(shè)平面上有n個(gè)點(diǎn)Pi，其坐標(biāo)為ai ,bi i= 1，2，,n,表示已有的個(gè)井位。 新布置的井位是一個(gè)正方形網(wǎng)格N的一切 結(jié)點(diǎn)所謂“正方形網(wǎng)格是指每個(gè)格子都是正 方形的網(wǎng)格；結(jié)

2、點(diǎn)是指縱線和橫線的交點(diǎn)。 , 利用舊井資料的費(fèi)用為10萬元，那么利用一口舊井 就節(jié)約費(fèi)用490萬元。 假定每個(gè)格子的邊長(zhǎng)井位的縱橫間距 都是1單位比如100米。整個(gè)網(wǎng)格是可以 在平面上恣意挪動(dòng)的。 假設(shè)一個(gè)知點(diǎn)Pi點(diǎn)與某個(gè)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)Xi的間隔 不超越給定誤差=0.05單位，那么以為Pi處 的舊井資料可以利用，不用在結(jié)點(diǎn)Xi處打新井。 為進(jìn)展輔助決策，勘探部門要求我們研討 如下問題： 1.假定網(wǎng)格的橫向和縱向是固定的比如東 西向和南北向， 并假定間隔誤差是沿橫向和縱向計(jì)算的; 即要求可利用Pi點(diǎn)與相應(yīng)結(jié)點(diǎn)Xi的橫坐標(biāo)之 差(取絕對(duì)值)及縱坐標(biāo)之差(取絕對(duì)值)均不超 過.在平面上平行挪動(dòng)網(wǎng)格N，使可

3、利用的 舊井?dāng)?shù)盡能夠大。 試提供一種數(shù)值計(jì)算方法，并對(duì)下面的數(shù) 值例子用計(jì)算機(jī)進(jìn)展計(jì)算。 2. 在問題1.)的根底上，思索 網(wǎng)格的橫向 和縱向不固定可以旋轉(zhuǎn)的情形，給出算 法及計(jì)算結(jié)果。 I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 aI 0.50 1.41 3.00 3.37 3.40 4.72 4.72 5.43 7.57 8.38 8.98 9.50 bI 2.00 3.50 1.50 3.51 5.50 2.00 6.24 4.10 2.01 4.50 3.41 0.80 二.名詞和符號(hào)闡明 1.取整運(yùn)算. x=不大于x的最大整數(shù). x=INT(X) r(x)=x+ . (

4、x按4舍5入規(guī)那么取整) 數(shù)值例子: n=12個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)如下表所示12 按4舍5入取整的小數(shù) 部分 2.) 間隔概念. 縱橫間隔: 給定兩點(diǎn)P(a,b)及X(x,y) d(P,X)=max 歐氏間隔: 3.)記號(hào): xxxx的小數(shù)部分. f xxr x,xayb22,P Xxayb 代表題設(shè)誤差,即 0.05 單位 第i口舊井所在的點(diǎn).其坐標(biāo) . 為 代表 附近的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn),其 坐標(biāo)為 . (s , t) 網(wǎng)格離原點(diǎn)最近的結(jié)點(diǎn)坐 標(biāo). 網(wǎng)格旋轉(zhuǎn)的角度.iP,iia biXiP,iix y 三. 問題分析與要求 假設(shè)一個(gè)知點(diǎn) 與某個(gè)網(wǎng)格 結(jié)點(diǎn) 間隔不超越給定誤差 (0.05)單位,那么以為 處的舊

5、井資 料可以利用. 因此,在縱橫(或歐氏)間隔定義 下, 可采用以下兩種處置方法: )以 為中心,2 單位為邊長(zhǎng)作一iPjXiPiP 個(gè)正方形(或半徑為 的圓). 假設(shè)網(wǎng)格在平移過程中,網(wǎng)格中的 某個(gè)結(jié)點(diǎn) 落在以 為中心的正方 形(或圓)的閉區(qū)域上,那么可以以為 可以利用舊井 的相應(yīng)資料. )以 為中心,2 單位為邊長(zhǎng)作一 個(gè)正方形(或半徑為 的圓).假設(shè)網(wǎng)格 在平移過程中, 落在以 為中心的jXiPjXiPjXiPjX 正方形(或圓)的閉區(qū)域上,那么可以認(rèn) 為 可以利用舊井 的相應(yīng)資料. 注: 這兩種方法分別對(duì)應(yīng)于網(wǎng)格挪動(dòng) 和坐標(biāo)平移,顯然它們是等價(jià)的. 對(duì)問題1.由于精度要求為 0.01

6、( = 0.05)且網(wǎng)格可上下、左右平行移 動(dòng). 因此:可按縱橫坐標(biāo)方向分別平移 jXiP 100次.對(duì)區(qū)域中的一切12個(gè)舊井點(diǎn) 進(jìn)展搜索,記錄可利用的舊井?dāng)?shù). 最后比較這100100次平移中 哪一次可利用的舊井?dāng)?shù)最大,那么該網(wǎng) 格位置為最優(yōu). 對(duì)問題2. 以某一角度為步長(zhǎng)轉(zhuǎn)動(dòng) 網(wǎng)格,在每一角度下,固定網(wǎng)格方向, 按問題1.的方法檢驗(yàn)最多有多少舊 井可以利用. 再比較一切搜索過的角度下可 利用的舊井?dāng)?shù),即可得允許轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)可 利用最多的舊井?dāng)?shù). 注:)由于兩點(diǎn)間的縱橫間隔會(huì)因轉(zhuǎn) 動(dòng)而改動(dòng),故問題2采用歐氏間隔. )由于方格的對(duì)稱性,只需從 轉(zhuǎn) 到 即可.00090 ) 為保證旋轉(zhuǎn)小角度后,點(diǎn)的變動(dòng)

7、 不超越精度 =0.01,取步長(zhǎng) . R為間隔最遠(yuǎn)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的間隔. 此題中求出 .需求 將0, 分為2,000份,因此,此題要 進(jìn)展2000次問題一的計(jì)算. 標(biāo)題要求就網(wǎng)格的方向固定或不 固定兩種情況,計(jì)算可利用的最大R31.04 102 舊井?dāng)?shù),并給出相應(yīng)的算法. 四. 假設(shè). .地形對(duì)誤差無影響,無須思索地形 這一要素. .網(wǎng)格充分大,給出的舊井均在所定 勘探區(qū)域內(nèi),舊井位點(diǎn)的坐標(biāo)可記為 . 網(wǎng)格N的鉛垂網(wǎng)線,程度網(wǎng)線分別 與兩坐標(biāo)軸平行. ,iiiP a b 即:網(wǎng)格N可由該網(wǎng)格中的任何一個(gè) 結(jié)點(diǎn)所獨(dú)一確定. 五.模型的建立與求解. 設(shè)對(duì)給定的直角坐標(biāo)系oxy, 知點(diǎn)pi的坐標(biāo)為(a

8、i,bi), (1in) 在網(wǎng)格N中離原點(diǎn)o最近的結(jié)點(diǎn)為(s,t),那么 |S|1/2, |t|1/2, 且網(wǎng)格N的任一結(jié)點(diǎn)可表示為(s+m,t+n),其m,n 均為整數(shù). 結(jié)點(diǎn) (s,t) 可看作網(wǎng)格N上的一個(gè)參 照點(diǎn),它可以在單位正方形 內(nèi)挪動(dòng).11,22xyxy于是網(wǎng)格N的設(shè)計(jì)參數(shù)為s,t. 1. 問題1的求解. 我們要弄清楚,對(duì)給定的s及t,如何 計(jì)算可利用的舊井?dāng)?shù)目f(s,t). 由于只需兩個(gè)變量,我們可以用數(shù) 值計(jì)算方法,并借助計(jì)算機(jī),用列表法 把二元函數(shù)f(s,t)的值計(jì)算出來,然后 求其最大值.下面是一種計(jì)算方案. 知點(diǎn)pi與結(jié)點(diǎn)xi的間隔誤差是 沿坐標(biāo)軸方向的，即要求pi與x

9、i的橫縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值. 0, s t112233121iPiX,iia b,iix y,m nstixsmiytn ,iia biPiX,iix y網(wǎng)格挪動(dòng)坐標(biāo)平移 即: 當(dāng)且僅當(dāng)正方形鄰域 中存在結(jié)點(diǎn) (s+m,t+n) 時(shí), 是可 利用的.,iiiU Px y xaybiPiiamsaiibntb iiiiasmasbtnbt 1 當(dāng) (1) 時(shí)布爾變量 否那么 可利用的舊井?dāng)?shù): iiiiasasbtbt,1ius t ,0ius t 1,niifs tus t 問題1可歸結(jié)為如下的最優(yōu)化問題: 目的函數(shù): = s.t.max,f s t1max,niius t0iiiasasu 1,

10、2,in0iiibtbtu 1,2,in1122s1122t ,0,1iu 1,2,in 以上模型可用計(jì)算機(jī)求其數(shù)值解. 比如取0.01為步長(zhǎng),將s及t的取 值 范圍各自等分為100份,然后在 100100個(gè)點(diǎn)中求出f(s,t)的值,并 從 中直接比較求出最優(yōu)解來. 在計(jì)算f(s,t)時(shí)只需對(duì)滿足不等 式 的i進(jìn)展計(jì)數(shù). iiiiasasbtbt 對(duì)給出的數(shù)值例子,其計(jì)算結(jié)果為: max f(s,t)=4, 其中: s=0.4 , t=0.5, 可利用的井號(hào)為 2, 4, 5, 10. 2.問題2的求解. 首先思索用歐氏間隔表示誤差而 網(wǎng)格N不旋轉(zhuǎn)的情形. 顯然,當(dāng)且僅當(dāng)園形鄰域 222,ii

11、iU Px yxayb2 內(nèi)存在結(jié)點(diǎn) (s+m,t+n) 時(shí),知點(diǎn) 是可利用的. 此時(shí),記布爾變量 由于網(wǎng)格N不旋轉(zhuǎn),且正方形鄰 域 包含了園形鄰域 即:iP,1ius t 否那么 ,0ius t 1,iUP2,iUP2,iUP1,iUPiP唯 一 可 能 含 于 正 方 形 鄰 域 中 的結(jié) 點(diǎn) 是 :isasixiiytbt.,iix y.iiiiasmasbtnbt 我們可以進(jìn)一步檢驗(yàn)該結(jié)點(diǎn)是 否落入園形鄰域中. 因此,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),布爾變量 即:當(dāng)且僅當(dāng) (2)222iiiaybix,1ius t ,0ius t否那么 222iiiiiiiiasasbtbtsasatbtb 是可利用的

12、. 注: 用這種方法計(jì)算出一切的 ( ). (此例:n=12) 由 f(s,t)= 得到 s , t 給定 時(shí)的函數(shù)值 f(s,t). 由此可得以上問題的數(shù)學(xué)模型: 目的函數(shù) =max iP,ius t1,2,in1,niius tmax,f s t1,niius t s.t. 0iiiasasu 1,2,in0iiibtbtu 1,2,in1122s,1122t 0,1iu 1,2,iniiytbt isasix結(jié)點(diǎn):2220iiiiisasatbtbu 思索用歐氏間隔表示誤差而網(wǎng)格 N 可以旋轉(zhuǎn)的情形. 欲求的網(wǎng)格N的橫向和縱向可 用新坐標(biāo)系0 xy的橫軸和縱軸表 示,其中ox軸與ox軸的

13、夾角為 , 02 根據(jù)坐標(biāo)變換公式,點(diǎn)pi在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為 sinbcosabsinbcosaaiiiiii (3) 注: 坐標(biāo)原點(diǎn)o不一定是網(wǎng)格N的結(jié)點(diǎn). 我們?cè)O(shè)計(jì)在坐標(biāo)系oxy中,網(wǎng)格N中離原點(diǎn)最近的結(jié)點(diǎn)為(s,t), 其中: |s|21,|t|21這樣一來,網(wǎng)格N的設(shè)計(jì)參數(shù)為, s , t. 由于方格的對(duì)稱性， 只需從000轉(zhuǎn)到90即可，為保證旋轉(zhuǎn)小角度后，點(diǎn)的變動(dòng)不超越精度 0.01,取步長(zhǎng) R為間隔最遠(yuǎn)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的間隔.此題中求出R31.04 10 .需求將 分為2000等份.0 ,2 步驟:將的取值范圍離散化,將 分為2000等份.0 ,2 對(duì)每一個(gè)值,運(yùn)用坐標(biāo)變換公式: 計(jì)算出各點(diǎn)cossincossiniiiiiiaabbab .iP在新坐標(biāo)系 0 xy 中的坐標(biāo),iia biP. 運(yùn)用上述的算法進(jìn)展搜索,本問 題要進(jìn)展2000100100= 次數(shù) 值計(jì)算. 對(duì) 次計(jì)算結(jié)果進(jìn)展比較,求 出最大值.72 1072 10 0iP,iia biaibiaibxy x y,iia biPcossincossiniiiiiiaabbab 當(dāng)=/