任意角、弧度及任意角的三角函數(shù).doc

1、第4章三角函數(shù)與三角恒等變換學(xué)案16任意角、弧度及任意角的三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1。了解任意角的概念.2。了解弧度制的概念,能進(jìn)行弧度與角度的互化。3.理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切)的定義自主梳理1任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線OA繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置OB所成的圖形旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線OA叫做角的_，射線的端點(diǎn)O叫做角的_，旋轉(zhuǎn)終止位置的射線OB叫做角的_,按_時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做正角,按_時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角若一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn),稱它形成了一個(gè)_角（1）象限角使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是_角

2、（2）象限界角(即終邊在坐標(biāo)軸上的角）終邊在x軸上的角表示為_(kāi)；終邊在y軸上的角表示為_(kāi);終邊落在坐標(biāo)軸上的角可表示為_(kāi)(3)終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合_或_，前者用角度制表示,后者用弧度制表示（4）弧度制把長(zhǎng)度等于_長(zhǎng)的弧所對(duì)的_叫1弧度的角以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制,叫做_，它的單位符號(hào)是_，讀作_,通常略去不寫（5）度與弧度的換算關(guān)系360°_ rad；180°_ rad；1°_ rad；1 rad_57。30°。（6)弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式l_，即弧長(zhǎng)等于_S扇_.2三角函數(shù)的定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上任

3、意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，|OP|r,我們規(guī)定：比值叫做的正弦，記作sin ，即sin ；比值叫做的余弦，記作cos ,即cos ；比值_（x0)叫做的正切，記作tan ,即tan .（1)三角函數(shù)值的符號(hào)各象限的三角函數(shù)值的符號(hào)如下圖所示，三角函數(shù)正值歌：一全正,二正弦，三正切，四余弦(2）三角函數(shù)線下圖中有向線段MP,OM，AT分別表示_,_和_自我檢測(cè)1“”是“cos 2”的_條件2與2010°終邊相同的最小正角為_(kāi),最大負(fù)角為_(kāi)3(2010·山東青島高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知sin <0且tan 0，則角是第_象限角4若n·360°，m

4、83;360°（m，nZ）,則，終邊關(guān)于直線_對(duì)稱5已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則角的最小正值為_(kāi)探究點(diǎn)一角的概念例1（1）如果角是第三象限角,那么，,角的終邊落在第幾象限;（2）寫出終邊落在直線yx上的角的集合；(3）若168°k·360° （kZ），求在0°，360°)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角變式遷移1若是第二象限的角，試分別確定2，的終邊所在位置探究點(diǎn)二弧長(zhǎng)與扇形面積例2已知一個(gè)扇形的圓心角是,0<2，其所在圓的半徑是R。(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積；（2）若扇形的周長(zhǎng)是一定值C

5、(C0）,當(dāng)為多少弧度時(shí),該扇形有最大面積？變式遷移2（1）已知扇形的周長(zhǎng)為10,面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù);(2）已知扇形的周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和中心角取何值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少?探究點(diǎn)三三角函數(shù)的定義例3已知角的終邊在直線3x4y0上,求sin ，cos ，tan 的值變式遷移3已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4a，3a） （a0），求sin ,cos ，tan 的值1角的度量由原來(lái)的角度制改換為弧度制，要養(yǎng)成用弧度表示角的習(xí)慣，象限角的判斷，終邊相同的角的表示，弧度、弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式的運(yùn)用是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)2三角函數(shù)都是以角為自變量(用弧度表示),以比值為函數(shù)值的

6、函數(shù)，是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射，注意兩種定義法，即坐標(biāo)法和單位圓法(滿分：90分）一、填空題(每小題6分,共48分)1點(diǎn)P從（1,0)出發(fā)，沿單位圓x2y21逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q，則Q的坐標(biāo)為_(kāi)2(2011·汕頭模擬)若角和角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,則角可以用表示為_(kāi)3已知點(diǎn)P落在角的終邊上，且0,2），則的值為_(kāi)4已知為第三象限的角，則在第_象限5（2011·南京模擬)已知點(diǎn)P(sin cos ，tan ）在第一象限,且0，2，則的取值范圍是_6若1弧度的圓心角所對(duì)弦長(zhǎng)等于2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于_7(2011·淮安模擬)已知角的終邊落在直線y3x上，則_

7、.8閱讀下列命題：若點(diǎn)P(a,2a) (a0)為角終邊上一點(diǎn)，則sin ；同時(shí)滿足sin ，cos 的角有且只有一個(gè)；設(shè)tan 且<<,則sin ；設(shè)cos(sin ）·tan(cos ）0 (為象限角），則在第一象限其中正確命題為_(kāi)(將正確命題的序號(hào)填在橫線上)二、解答題(共42分)9（14分)已知扇形OAB的圓心角為120°，半徑長(zhǎng)為6，(1）求的弧長(zhǎng)；(2）求弓形OAB的面積10(14分)在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊的范圍,并由此寫出角的集合:(1）sin ；（2）cos 。11(14分)已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x,) （x0)，且cos x.求sin

8、 的值答案 自主梳理1始邊頂點(diǎn)終邊逆順零（1)第幾象限(2)k，kZ（3)k·360°，kZ2k，kZ(4）半徑圓心角弧度制rad弧度(5）2°（6）·r弧所對(duì)的圓心角(弧度數(shù)）的絕對(duì)值與半徑的積lrr22。(2)的正弦線的余弦線的正切線自我檢測(cè)1充分而不必要2.210°150°3。三4.x軸5.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引（1）一般地，角與終邊關(guān)于x軸對(duì)稱；角與終邊關(guān)于y軸對(duì)稱;角與終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（2)利用終邊相同的角的集合S|2k，kZ判斷一個(gè)角所在的象限時(shí)，只需把這個(gè)角寫成0，2）范圍內(nèi)的一角與2的整數(shù)倍，然后判斷角的象限(3)利用

9、終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法為先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合參數(shù)k賦值來(lái)求得所需角解（1）2k2k (kZ),2k<<2k(kZ)，即2k<2k (kZ)角終邊在第二象限又由各邊都加上，得2k<22k (kZ）是第四象限角同理可知，是第一象限角(2)在（0，)內(nèi)終邊在直線yx上的角是，終邊在直線yx上的角的集合為。(3）168°k·360° （kZ），56°k·120° （kZ）0°56°k·120°<360°,k

10、0,1，2時(shí)，0°，360°)故在0°，360°）內(nèi)終邊與角的終邊相同的角是56°,176°，296°.變式遷移1解是第二象限的角，k·360°90°<<k·360°180° (kZ）(1)2k·360°180°2<2k·360°360° （kZ），2的終邊在第三或第四象限，或角的終邊在y軸的非正半軸上(2)k·180°45°<k·180

11、76;90° (kZ），當(dāng)k2n （nZ)時(shí)，n·360°45°<n·360°90°；當(dāng)k2n1 (nZ)時(shí)，n·360°225°<<n·360°270°.是第一或第三象限的角的終邊在第一或第三象限例2解題導(dǎo)引本題主要考查弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式，并與最值問(wèn)題聯(lián)系在一起確定一個(gè)扇形需要兩個(gè)基本條件，因此在解題中應(yīng)依據(jù)題目條件確定出圓心角、半徑、弧長(zhǎng)三個(gè)基本量中的兩個(gè)，然后再進(jìn)行求解解(1）設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，該弧所在弓形的面積為S，如圖所示，當(dāng)60&

12、#176;，R10 cm時(shí)，可知lR cm.而SS扇SOABlRR2sin ××10×100× cm2。（2）已知2RlC，即2RRC，S扇R2·R·R·R·2R·2·2.當(dāng)且僅當(dāng)R2R，即2時(shí),等號(hào)成立，即當(dāng)為2弧度時(shí)，該扇形有最大面積C2.變式遷移2解設(shè)扇形半徑為R，圓心角為，所對(duì)的弧長(zhǎng)為l.（1)依題意，得221780。8或。82，舍去，。(2)扇形的周長(zhǎng)為40，即R2R40,SlRR2R·2R2100。當(dāng)且僅當(dāng)R2R,即R10，2時(shí)扇形面積取得最大值，最大值為100.例3解題導(dǎo)

13、引某角的三角函數(shù)值只與該角終邊所在位置有關(guān)，當(dāng)終邊確定時(shí)三角函數(shù)值就相應(yīng)確定了但若終邊落在某條直線上時(shí)，這時(shí)終邊實(shí)際上有兩個(gè),因此對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有兩組，要分別求解解角的終邊在直線3x4y0上，在角的終邊上任取一點(diǎn)P(4t，3t） (t0)，則x4t，y3t，r5t，當(dāng)t0時(shí)，r5t,sin ，cos ，tan ；當(dāng)t0時(shí)，r5t，sin ，cos ,tan .綜上可知，t>0時(shí)，sin ,cos ，tan ；t<0時(shí)，sin ，cos ，tan 。變式遷移3解r5|a|。若a0,則r5a，角在第二象限，sin ，cos ,tan 。若a<0，則r5a,角在第四象限，sin ，c

14、os ，tan 。課后練習(xí)區(qū)1（，)解析依題意得Q(cos，sin），即Q(，)22k（kZ)3。解析由三角函數(shù)的定義，tan 1.又sin 0，cos <0，P在第四象限，。4二或四解析是第三象限角，180°k·360°<<270°k·360°（kZ)90°k·180°<135°k·180°（kZ）當(dāng)k2m (mZ）時(shí)可得90°m·360°<135°m·360°，故的終邊在第二象限當(dāng)k

15、2m1 （mZ)時(shí)可得270°m·360°315°m·360°，故的終邊在第四象限綜上，可知是第二或第四象限的角5.解析由已知得2k<2k或2k<2k,kZ.02，當(dāng)k0時(shí)，<或<.6。解析設(shè)圓的半徑為r,r·sin 1。r.弧長(zhǎng)l·r。72或2解析角終邊落在直線y3x上，為第二或第四象限角當(dāng)為第二象限時(shí),2.若為第四象限時(shí),2.8解析中，當(dāng)在第三象限時(shí),sin ，故錯(cuò)中，同時(shí)滿足sin ，cos 的角為2k (kZ)，不只有一個(gè)，故錯(cuò)正確可能在第一象限或第四象限，故錯(cuò)綜上選。9解(1）120°，r6，的弧長(zhǎng)為lr×64。（4分）(2)S扇形OABlr×4×612,(8分)SABOr2·sin ×62×9，(12分）S弓形OABS扇形OABSABO129.（1