導(dǎo)數(shù)在最優(yōu)化中應(yīng)用

1、 簡易邏輯 教師 學(xué)生姓名填寫時間 2014.年級 學(xué)科數(shù)學(xué)上課時間 階段基礎(chǔ)（） 提高（ ） 強(qiáng)化（ ）課時計劃第（ ）次課共（ ）次課教學(xué)目標(biāo)教學(xué)難點教學(xué)過程導(dǎo)數(shù)在最優(yōu)化中應(yīng)用知識要點一、 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟1) 分析實際問題中各變量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系2) 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解方程3) 比較函數(shù)在區(qū)間端點和 的點的函數(shù)值得大小，最大（?。┱邽樽畲螅ㄐ。┲?二、 特別提醒：1) 在求實際問題的最大(小)值時，一定要考慮實際問題的意義，不符合題意的值應(yīng)該舍去.2) 在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使得的情形，如果

2、函數(shù)在這點有極大（?。┲?，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大（小）值.例題精講【例1】 將邊長為的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記，則的最小值是 【例2】 設(shè)球的半徑為時間的函數(shù)若球的體積以均勻速度增長，則球的表面積的增長速度與球半徑（ ）A成正比，比例系數(shù)為 B成正比，比例系數(shù)為C成反比，比例系數(shù)為 D成反比，比例系數(shù)為【例3】 某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量（單位：千克）與銷售價格（單位：元/千克）滿足關(guān)系式=，其中36，為常數(shù)，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克.（I）求的值（II）若該商品的成本為3元/千克，試確

3、定銷售價格的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.【例4】 如圖6，長方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動，速度為，雨速沿E移動方向的分速度為.E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設(shè)其值與×S成正比，比例系數(shù)為；（2）其它面的淋雨量之和，其值為，記為E移動過程中的總淋雨量，當(dāng)移動距離d=100，面積S=時.（）寫出的表達(dá)式（）設(shè)0v10,0c5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動速度，使總淋雨量最少.【例5】 提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車

4、流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時研究表明：當(dāng)時，車流速度是車流密度的一次函數(shù)（）當(dāng)時，求函數(shù)的表達(dá)式；（）當(dāng)車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）可以達(dá)到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）【例6】 某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為萬元；距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為萬元，假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其它因素記余下工程的費用為萬

5、元（1）試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)米時，需新建多少個橋墩才能使最小？【例7】 請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A,B,C,D四個點重合與圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒.E,F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè).（1）某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S最大，試問應(yīng)取何值？（2）某廠商要求包裝盒的容積V最大，試問應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.【例8】 某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按

6、照設(shè)計要求容器的體積為立方米，且.假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為.設(shè)該容器的建造費用為千元.（）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；（）求該容器的建造費用最小時的.【例9】 兩縣城和相距，現(xiàn)計劃在兩縣城外以為直徑的半圓弧上選擇一點建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關(guān)，對城和城的總影響度為對城與城的影響度之和，記點到城的距離為，建在處的垃圾處理廠對城和城的總影響度為，統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反

7、比，比例系數(shù)為 ，當(dāng)垃圾處理廠建在的中點時，對城和城的總影響度為 將表示成的函數(shù)； 討論中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城和城的總影響度最?。咳舸嬖?，求出該點到城的距離；若不存在，說明理由【例10】 如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形的兩個頂點、及的中點處，已知，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界），且與、等距離的一點處，建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道、設(shè)排污管道的總長度為設(shè)，將表示為的函數(shù)；請根據(jù)中的函數(shù)關(guān)系，確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的排污管道的總長度最短【例11】 如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割

8、成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為 求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域； 求面積的最大值【例12】 為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：）滿足關(guān)系：，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元設(shè)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和求的值及的表達(dá)式；隔熱層修建多厚時，總費用達(dá)到最小，并求最小值【例13】 統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時）的函

9、數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距千米當(dāng)汽車以千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？【例14】 請您設(shè)計一個帳篷它下部的形狀是高為m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為m的正六棱錐（如右圖所示）試問當(dāng)帳篷的頂點到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？OO1課后鞏固計劃：【習(xí)題1】 某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半徑，單位是厘米已知每出售ml的飲料，制造商可獲利分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為，瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最??？【習(xí)題2】 有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸的處，乙廠到河岸的垂足與相距，兩廠要在此岸邊合建一個供水站，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米元和元