九上數(shù)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度

1、數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度知識(shí)點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)1:表示數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的代表平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的商叫這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。 _ 1 / x = (x, + 兀2 +.+xh)n屮位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按人小順序排列，處在最中i'可位査的一個(gè)數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位 數(shù)。眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中岀現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其 中平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛。知識(shí)點(diǎn)2：表示數(shù)據(jù)離散程度的代表極差的定義：一組數(shù)據(jù)屮最大值與最小值的差，能反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，我們就把 這樣的差叫做極差。極差二最大值一最小值，一般來(lái)說(shuō)，極差

2、小，則說(shuō)明數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度小。 知識(shí)點(diǎn)3：方差的定義在一組數(shù)據(jù)xp x2,，心中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)差的平方，它們的平均數(shù)，即 + ( - mls2=«»來(lái)描述這組數(shù)據(jù)的離散程度，并把s?叫做這組數(shù)據(jù)的方差。一組數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的離散程度越大；一組數(shù)據(jù)的方差越小，說(shuō)明這組 數(shù)據(jù)的離散程度越小。知識(shí)點(diǎn)4：標(biāo)準(zhǔn)差方差的算術(shù)平方根，即用s二與心齊心一訥來(lái)描述這一組數(shù)據(jù)的離散稈度，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。 知識(shí)點(diǎn)5：方差與平均數(shù)的性質(zhì)若x|, x2,心的方差是s?,平均數(shù)是二，則有%1 x|+b,x2+bxn+b的方差為v,平均數(shù)是二+b%1 axi，ax2, ax

3、n的方差為a2s2,平均數(shù)是a二%1 axi+b, ax2+b, axi1+b 的方差為 ay,平均數(shù)是 a- +b二、典型例題剖析1、數(shù)據(jù)5,7,8,8,9的眾數(shù)是()a. 5b.7c.8d.9【解析】一組數(shù)據(jù)屮的眾數(shù)是指出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，8出現(xiàn)次數(shù)最多。【答案】選：c.【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是眾數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題。2、重慶農(nóng)村醫(yī)療保險(xiǎn)已經(jīng)全面實(shí)施。某縣七個(gè)村中享受了住院醫(yī)療費(fèi)用報(bào)銷的人數(shù)分別為:20, 24, 27, 2& 31, 34, 38,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是解析：根據(jù)中位數(shù)的定義即可求出，答案：28點(diǎn)評(píng)：如果所給的數(shù)據(jù)沒(méi)按大小順序排列，第一步首先按大小順序排列好，第二步，如果

4、數(shù) 據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)，屮間的那位就是屮位數(shù)，如果有偶數(shù)個(gè)，屮間的兩位的平均數(shù)是小位數(shù)。3、張老師想對(duì)同學(xué)們的打字能力進(jìn)行測(cè)試，他將全班同學(xué)分成5組.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這5個(gè)小組平均每分鐘打字的個(gè)數(shù)如下：10(), 8(), x, 9(), 9().已知這纟r數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)相等，那么 這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.解析：顯然眾數(shù)是90,所以平均數(shù)也是90,故100+80+x+90+90=90x5,得x=90.答案：90.點(diǎn)評(píng)：本題考查眾數(shù)、屮位數(shù)與平均數(shù)，關(guān)鍵是理解眾數(shù)、屮位數(shù)與平均數(shù)的求法，特 別是眾數(shù)與中位數(shù)的求法，容易混淆.4、我市某一周每天的最高氣溫統(tǒng)計(jì)如下:27, 28, 29, 29, 30, 29

5、, 28 (單位:c°),則這組數(shù)據(jù)的極差與眾數(shù)分別是(a) 2, 28 (b)3, 29 (c)2, 27 (d) 3, 28【解析】極差是數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差30-27=3,眾數(shù)是在數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率最多的數(shù),在這數(shù)據(jù)屮是29,故選b【答案】b【點(diǎn)評(píng)】本題考查極差與眾數(shù)的概念，只要理解相關(guān)概念問(wèn)題不難解決.5、一組數(shù)據(jù)一1, 0, 3, 5, x的極差是7,那么x的值可能有()a個(gè) b.2個(gè) c.4個(gè) d.6個(gè)【答案】b6、小華所在的九年級(jí)一班共有50名學(xué)牛，-次休檢測(cè)量了全班學(xué)生的身高，由此求得該班 學(xué)牛的平均身高是1.65米，而小華的身高是1.66米，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 a.

6、 1.65米是該班學(xué)生身高的平均水平b. 班上比小華高的學(xué)生人數(shù)不會(huì)超過(guò)25人c. 這組身高數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定是1.65米d. 這組身高數(shù)據(jù)的眾數(shù)不一定是1.65米【解析】木題考杳了一組數(shù)據(jù)屮屮位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)的概念及三者的取法，由平均數(shù)所反 映的意義故a選項(xiàng)正確，由中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系確定c選項(xiàng)正確，由眾數(shù)與平均數(shù)的關(guān) 系確定d選項(xiàng)正確，由于平均數(shù)受一組數(shù)據(jù)中的極大、小值的影響，故b選項(xiàng)錯(cuò)誤.【答案】b【點(diǎn)評(píng)】本題比較靈活的考查了一組數(shù)據(jù)中的三數(shù)(中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù))及三者z間的 關(guān)系，難度屮等.7、從甲、乙、丙三個(gè)廠家牛產(chǎn)的同一種產(chǎn)品屮各抽取8件產(chǎn)品，對(duì)使用壽命進(jìn)行跟蹤調(diào)查, 結(jié)果如下

7、：（單位：年）甲：3、4、5、6、8、8、8、10乙：4、6、6、6、8、9、12、13丙：3、3、4、7、9、10、11、12三個(gè)廠家在廣告中都稱該產(chǎn)品的使用壽命是8年。請(qǐng)根據(jù)結(jié)果判斷廠家在廣告中分別運(yùn)用 平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)中的哪一種表示集中趨勢(shì)的特征數(shù)。甲:乙:丙:解：眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)8、甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員在一-次訓(xùn)練小，每人各打10發(fā)子彈，根據(jù)命中環(huán)數(shù)求得方差分 別為s甲2=0.6, s乙2=0.&則運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)比較穩(wěn)定.【解析】據(jù)方差的意義可作出判斷.方差是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越小，表 明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

8、根據(jù)方差分 別為s甲2=0.6, s乙2=0.8,可找到最穩(wěn)定的.【答案】ts甲2 = 0.6vs乙2 = 0.8, .rp的成績(jī)比較穩(wěn)定.【點(diǎn)評(píng)】本題考查方差的意義.方差是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，表明 這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù) 分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.三、課堂檢測(cè)1、一纟r數(shù)據(jù)4, 3, 6, 9, 6, 5的屮位數(shù)和眾數(shù)分別是a. 5 和 5.5b. 5.5 和 6c. 5 和 6d. 6 和 6【解析】把數(shù)據(jù)從小到大重新排列為3, 4, 5, 6, 6, 9,最中間的兩個(gè)數(shù)5和6的平

9、 均數(shù)為5.5,其中出現(xiàn)次最多的數(shù)是6,所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是5.5和6.【答案】b【點(diǎn)評(píng)】眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，易求，但不可將頻數(shù)（即出現(xiàn)的次數(shù)）當(dāng)作眾數(shù).而 求一組數(shù)據(jù)的屮位數(shù)時(shí)，必須先將這纟f1數(shù)按從小到人（或從人到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù) 的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么最中 間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).2、一組數(shù)據(jù)x】、x2x”的極差是8,則另一組數(shù)據(jù)2x+1、2x2+1，2x“+1的極差是（）a. 8 b. 16 c. 9 d. 173、已知一組數(shù)據(jù)3,d,4,5的眾數(shù)為4,則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）a. 3b. 4

10、c. 5d. 6【解析】由數(shù)據(jù)3,d,4,5的眾數(shù)為4,可得a為4,再求這紐數(shù)據(jù)3, 4, 4, 5的平均數(shù)為4?！敬鸢浮窟xb?！军c(diǎn)評(píng)】此題考查眾數(shù)和平均數(shù)的概念。4、6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1（）,其屮的一個(gè)為5,那么其余5個(gè)數(shù)的平均數(shù)是（）%1 數(shù)據(jù)x.+3, x2+3,，xn+3的平均數(shù)是方差是 ,%1 數(shù)據(jù)2xb 2x2,2x“的平均數(shù)是方差是 ,%1 數(shù)據(jù)2xi+3, 2x2+3,2xn+3的平均數(shù)是方差是 ,6、下列說(shuō)法正確的是【】a、兩名同學(xué)5次成績(jī)的平均分相同，則方差較人的同學(xué)成績(jī)更穩(wěn)定。b、某班選出兩名同學(xué)參加校演講比賽，結(jié)果一定是一名男生和一名女生c、學(xué)校氣象小組預(yù)報(bào)明天下雨的概

11、率為0.8,則明天下雨的可能性較大d、為了解我市學(xué)校“陽(yáng)光體育”活動(dòng)開(kāi)展情況，必須采用普查的方法【答案】co7、下列說(shuō)法正確的是（）a.兩組數(shù)據(jù)的極差相等，則方差也相等b.數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小c.數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差越小，說(shuō)明數(shù)據(jù)越穩(wěn)定d.數(shù)據(jù)的平均數(shù)越人，則數(shù)據(jù)的方差越大8、樣木數(shù)據(jù)3, 6, d, 4, 2的平均數(shù)是3,則這個(gè)樣本的方差是o9、數(shù)據(jù)e，吃，兀3，兀的平均數(shù)為加，標(biāo)準(zhǔn)差為5,那么各個(gè)數(shù)據(jù)與mz差的平方和為10、已知數(shù)據(jù)1, 2, 3, 4, 5的方差為2,則11, 12, 13, 14, 15的方差為 ,標(biāo)準(zhǔn)差為 o11、甲乙兩人在相同的條件下各射靶10次，他們的環(huán)數(shù)的

12、方差是s甲j2. 4, s乙2,則射擊穩(wěn)定性是（） a.甲高 b.乙高 c.兩人一-樣多d.不能確定12、若一組數(shù)據(jù)，6/2,，的方差是5,則一組新數(shù)據(jù)2®, 2勺，2的方差 是a. 5b. 10c. 20d. 5013、屮、乙、丙、丁四人進(jìn)行射擊測(cè)試，每人10次射擊的平均成績(jī)恰好都是9. 4環(huán)，方差 分別是s2t2=0. 90, s乙2=1.22, s丙2=0. 43, s 丁2=1.68,在本次射擊測(cè)試中,成績(jī)最穩(wěn)定的 是a.甲 b.乙 c.丙 d. j*【解析】木題考查了方差的概念及意義學(xué)握方差的意義是關(guān)鍵比較卩、乙、內(nèi)的方差大小 即可【答案】由于s 丁2 >s>s

13、f >$丙2,丙的方差最小，所以成績(jī)最穩(wěn)定的是丙，故選c 【點(diǎn)評(píng)】考査一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度其實(shí)質(zhì)就是比較它們的方差、標(biāo)準(zhǔn)差或極差.平均數(shù)相同 或相差不人時(shí)，方差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定.14 （2014*淮安）小華同學(xué)某體育項(xiàng)目7次測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?, 7, 10, 8, 10, 9, 10.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（）a. 8, 1（）b. 1（）, 9c. 8, 9d. 9, 1（）眾數(shù)；中位數(shù).根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進(jìn)行解答即可.解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列：7, 8, 9, 9, 10, 10, 10,最屮間的數(shù)是9,則中位數(shù)是9；1（）出現(xiàn)了 3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

14、則眾數(shù)是1（）；故選d.此題考查了中位數(shù)和眾數(shù)，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅?最中間的那個(gè)數(shù)（最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);眾數(shù)是一組數(shù) 據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).15、從甲、乙兩種棉花中各抽収10株，測(cè)得它們株高分別如下（單位：cm） 甲：25, 41, 40, 37, 22, 14, 19, 39, 21, 42；乙：27, 16, 44, 27, 44, 16, 40, 40, 16, 4（）。（1）哪種棉花長(zhǎng)得較高？（2）哪種棉花長(zhǎng)得較齊？解：（1）10 (25+41 +40+37+22+14+19+39+21 +42) =3()(27+16+44+

15、27+44+16+40+40+16+40) =31叼 < 二二乙種棉花長(zhǎng)得高s* 丄x(25-30)j+(4l-30)j i umu(2) w理 _x(27-3l)a 4 (w-"4 00 -3l)a -128js.緒v曜甲種棉花長(zhǎng)得整齊某班四個(gè)小組的人數(shù)如下：10, 10, x, 8,已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)相等，求這組 數(shù)據(jù)的中位數(shù)。i0 4-i0-i-k4-8a-1-k解：平均數(shù)是 *廠中位數(shù)一定是四個(gè)數(shù)據(jù)中的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)16、為了從甲、乙兩名學(xué)生小選拔一人參加電腦知識(shí)競(jìng)賽，在相同條件下對(duì)他的電腦知識(shí) 進(jìn)行了 10次測(cè)試，成績(jī)?nèi)缦拢海▎挝唬悍郑┘椎某煽?jī)76849086818786828583乙的成績(jī)82848589798091897479回答下列問(wèn)題:(1)“id當(dāng)xw8時(shí)，2(2)(3)當(dāng) 8vxw10 時(shí)，&