01第一節(jié)中值定理

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用從其次章第一節(jié)的前言中已經(jīng)知道,導(dǎo)致微分學(xué)產(chǎn)生的第三類問題是“求最大值和最小 值” . 此類問題在當(dāng)時(shí)的生產(chǎn)實(shí)踐中具有深刻的應(yīng)用背景,例如 ,求炮彈從炮管里射出后運(yùn)行的水平距離 即射程 , 其依靠于炮筒對(duì)地面的傾斜角即發(fā)射角 . 又如 ,在天文學(xué)中,求行星離開太陽的最遠(yuǎn)和最近距離等. 始終以來 ,導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)的變化率, 在爭(zhēng)論函數(shù)變化的性態(tài)中有 著特別重要的意義,因而在自然科學(xué)、工程技術(shù)以及社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用.在其次章中 , 我們介紹了微分學(xué)的兩個(gè)基本概念導(dǎo)數(shù)與微分及其運(yùn)算方法.本章以微分學(xué)基本定理微分中值定理為基礎(chǔ), 進(jìn)一步介紹利用導(dǎo)

2、數(shù)爭(zhēng)論函數(shù)的性態(tài), 例如判定函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性, 求函數(shù)的極限、極值、最大小值以及函數(shù)作圖的方法, 最終仍爭(zhēng)論了導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用.第一節(jié)中值定理中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)部某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,因而稱為中值定理. 中值定理既是用微分學(xué)學(xué)問解決應(yīng)用問題的理論基礎(chǔ),又是解決微分學(xué)自身 進(jìn)展的一種理論性模型, 因而稱為微分中值定理.分布圖示 引 言 羅爾定理 例 1 例 2 例 3內(nèi)容要點(diǎn) 拉格朗日中值定理 例 4 例 5 例 6 柯西中值定理 例 7 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí) 題 3-1一、 羅爾定理 ：在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)；在開區(qū)間a, b內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)

3、值相等, 即f af b.結(jié)論：在 a, b內(nèi)至少存在一點(diǎn) ab, 使得f 0.注：羅爾定理的三個(gè)條件是特別重要的,假如有一個(gè)不滿意,定理的結(jié)論就可能不成立.分別舉例說明之.羅爾定理中f a f b這個(gè)條件是相當(dāng)特殊的,它使羅爾定理的應(yīng)用受到限制. 拉格朗日在羅爾定理的基礎(chǔ)上作了進(jìn)一步的爭(zhēng)論,取消了羅爾定理中這個(gè)條件的限制,但仍保留了其余兩個(gè)條件 ,得到了在微分學(xué)中具有重要位置的拉格朗日中值定理.二、 拉格朗日中值定理：在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)；在開區(qū)間a, b 內(nèi)可導(dǎo) . 結(jié)論：在 a, b 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ab,使得 f bf af ba優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載拉格朗日中值公式反映了可導(dǎo)函數(shù)在

4、 a,b 上整體平均變化率與在 a,b內(nèi)某點(diǎn)處函數(shù)的局部變化率的關(guān)系. 如從力學(xué)角度看,公式表示整體上的平均速度等于某一內(nèi)點(diǎn)處的瞬時(shí)速度 . 因此 ,拉格朗日中值定理是聯(lián)結(jié)局部與整體的紐帶.拉格朗日終值定理可改寫為yf x0xx 01.稱為 有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分學(xué)中占有重要位置,有時(shí)也稱這個(gè)定理為微分中值定理. 在某些問題中 ,當(dāng)自變量x 取得有限增量x 而需要函數(shù)增量的精確表達(dá)式時(shí),拉格朗日中值定理就突顯出其重要價(jià)值.推論 1假如函數(shù)f x 在區(qū)間 i 上的導(dǎo)數(shù)恒為零, 那末f x 在區(qū)間 i 上是一個(gè)常數(shù).三、 柯西中值定理：在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)；在開區(qū)間a, b內(nèi)可導(dǎo)

5、；在 a, b內(nèi)每一點(diǎn)處 ,g x0 . 結(jié)論：在 a, b內(nèi)至少存在一點(diǎn)ab,使得明顯 , 如取g xx, 就g bf ag ag abf bgba, gf g x 1, 因而柯西中值定理就變成拉格朗日中值定理 微分中值定理 了. 所以柯西中值定理又稱為廣義中值定理.例題選講羅爾定理的應(yīng)用例 1（ e01 ）對(duì)函數(shù)f xsin 2x 在區(qū)間 0, 上驗(yàn)證羅爾定理的正確性.解明顯f x 在 0, 上連續(xù)，在0, 內(nèi)可導(dǎo)，且f 0f 0,而在 0, 內(nèi)確存在一點(diǎn)使2f2 sin x cos x |x/ 20.2例 2 不求導(dǎo)數(shù) , 判定函數(shù)所在的范疇 .f x x1x2x3 的導(dǎo)數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)及這

6、些零點(diǎn)解由于f 1f 2f 30, 所以f x在閉區(qū)間1,2 、 2,3 上滿意羅爾定理的三個(gè)條件，從而，在1, 2 內(nèi)至少存在一點(diǎn)1, 使 f 10, 即1 是f x 的一個(gè)零點(diǎn)；又在 2,3 內(nèi)至少存在一點(diǎn)2 , 使 f 2 0, 即2 是f x的一個(gè)零點(diǎn)；又由于f x 為二次多項(xiàng)式，最多只能有兩個(gè)零點(diǎn)，故f x恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，分別在區(qū)間 1, 2 和 2,3 內(nèi).例 3 證明方程 x 55 x10 有且僅有一個(gè)小于1 的正實(shí)根 .證設(shè) f xx55 x11, 就f x在 0,1 上連續(xù)，且f 01, f 13. 由介值定理,存在 x00,1, 使f x0 0, 即為方程的小于1 的正實(shí)根

7、 .設(shè)另有 x10,1, x1x0 , 使f x1 0.由于 f x在 x0 , x1 之間滿意羅爾定理的條件,所以至少存在一點(diǎn)在x0, x1 之間 ，使得f 0. 但f x5 x 410 x0,1, 導(dǎo)致沖突，故x 0 為唯獨(dú)實(shí)根 .優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載拉格朗日中值定理的應(yīng)用 例 4（e02 ）驗(yàn)證函數(shù)f x arctan x 在 0,1 上滿意拉格朗日中值定理,并由結(jié)論求值.解 f x就arctan x 在 0,1 上連續(xù) ,在 0,1 可導(dǎo) ,故滿意拉格朗日中值定理的條件.f 1即arctan1f 0farctan 0 1011x 2 x01112故1124401.例 5 證明arcsi

8、n xarccosx 1x21.證設(shè) f xatc sin ca arccos x, x1,1,f x11x 210,1x2f xc, x1,1.又f 0即carcsin 0.2arccosx0,22arcsin xarccos x. 2例 6e03 證明當(dāng) x0 時(shí),x1xln1xx.證設(shè) f xln1x, 就f x在 0, x 上滿意拉格朗日定理的條件.故f xf 0f x00x ,f 00,f x1,1x從而 ln1x x 01x,又由 111x111,1x1xxx, 1x1即xl n1xx.1x柯西中值定理的應(yīng)用例 7 驗(yàn)證柯西中值定理對(duì)函數(shù)f x x 31, g xx 2 在區(qū)間1,

9、2 上的正確性 .優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載解函數(shù)f xx 31, g x x2 在區(qū)間1,2 上連續(xù) ,在開區(qū)間1,2 內(nèi)可導(dǎo) ,且g x2x0. 于是f x, g x滿意柯西中值定理的條件. 由于f 2g 2f 1g 12 311317,2213f xg x3 x,2令 3 x27 , 得 x314 .取9141,2,9就等式f 2g2f 1g1f xg x成立 .這就驗(yàn)證了柯西中值定理對(duì)所給函數(shù)在所給區(qū)間上的正確性.課堂練習(xí)1. 試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不行.羅爾 （ rolle ， 16521719）簡(jiǎn)介：羅爾是法國數(shù)學(xué)家；1652 年 4 月 21 日生于昂貝爾特，1719 年

10、 11 月 8 日卒于巴黎；羅爾誕生于小店家庭，只受過初等訓(xùn)練，且結(jié)婚過早，年輕時(shí)貧困潦倒，靠充當(dāng)公證人與律師抄錄員的微薄收入養(yǎng)家糊口，他利用業(yè)余時(shí)間刻苦自學(xué)代數(shù)與丟番圖的著作，并很有心得； 1682 年，他解決了數(shù)學(xué)家奧扎南提出一個(gè)數(shù)論難題，受到了學(xué)術(shù)界的好評(píng)，從而名身雀起，也使他的生活有了轉(zhuǎn)機(jī)，此后擔(dān)任初等數(shù)學(xué)老師和陸軍部行征官員；1685 年進(jìn)入法國科學(xué)院，擔(dān)任低級(jí)職務(wù)，到1690 年才獲得科學(xué)院發(fā)給的固定薪水；此后他始終在科學(xué)院供職， 1719 年因中風(fēng)去世；羅爾在數(shù)學(xué)上的成就主要是在代數(shù)方面，專長(zhǎng)于丟番圖方程的爭(zhēng)論；羅爾所處的時(shí)代正值牛頓、 萊布尼茲的微積分產(chǎn)生不久，由于這一新生事物

11、不存在規(guī)律上的缺陷，從而遭受多方面的非議，其中也包括羅爾，并且他是反對(duì)派中最直言不諱的一員；1700 年，在法國科學(xué)院發(fā)生了一場(chǎng)有關(guān)無窮小方法是否真實(shí)的論戰(zhàn)；在這場(chǎng)論戰(zhàn)中， 羅爾認(rèn)為無窮小方法由于缺乏理論基礎(chǔ)將導(dǎo)致謬誤，并說：“微積分是奇妙的謬論的聚集”；瓦里格農(nóng)、 索弗爾等人之間，綻開了反常猛烈的爭(zhēng)辯；約翰.貝努利仍諷刺羅爾不懂微積分；由于羅爾對(duì)此問題表現(xiàn)得反常興奮，致使科學(xué)院不得不多次出面干預(yù)；直到1706 年秋天，羅爾才向瓦里格農(nóng)、索弗爾等人承認(rèn)他已經(jīng)舍棄了自己的觀點(diǎn)，并且充分熟悉到無窮小分析新方法價(jià)值；羅爾于 1691 年在題為任意次方程的一個(gè)解法的證明的論文中指出了：在多項(xiàng)式方程 f

12、 x0 的兩個(gè)相鄰的實(shí)根之間，方程f x 0 至少有一個(gè)根；一百多年后，即1846年，尤斯托 .伯拉維提斯將這肯定理推廣到可微函數(shù)，并把此定理命名為羅爾定理；拉格朗日 （joseph-louis lagrange ， 17361813 ）簡(jiǎn)介：據(jù)拉格朗日本人回憶，幼年家境富有，可能不會(huì)作數(shù)學(xué)爭(zhēng)論，但到青年時(shí)代，在數(shù)學(xué)家f.a. 雷維里（ r-evelli ）指導(dǎo)下學(xué)幾何學(xué)后，萌發(fā)了他的數(shù)學(xué)天才；17 歲開頭專攻當(dāng)時(shí)快速進(jìn)展的數(shù)學(xué)分析；他的學(xué)術(shù)生涯可分為三個(gè)時(shí)期：都靈時(shí)期（1766年以前）、柏林時(shí)期（1766 1786 ）、巴黎時(shí)期（1787 1813 ） ；拉格朗日在數(shù)學(xué)、 力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)

13、科中都有重大歷史性的奉獻(xiàn)，但他主要是數(shù)學(xué)家，爭(zhēng)論力學(xué)和天文學(xué)的目的是說明數(shù)學(xué)分析的威力；全部著作、 論文、學(xué)術(shù)報(bào)告記錄、學(xué)術(shù)通訊超過 500 篇；優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載拉格朗日的學(xué)術(shù)生涯主要在18 世紀(jì)后半期；當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)是自然科學(xué)主體；數(shù)學(xué)的主流是由微積分進(jìn)展起來的數(shù)學(xué)分析，以歐洲大陸為中心；物理學(xué)了主流是力學(xué)；天文學(xué)的主流是天體力學(xué)；數(shù)學(xué)分析的進(jìn)展使力學(xué)和天體力學(xué)深化，而力學(xué)和天體力學(xué)的課題又成為數(shù)學(xué)分析進(jìn)展的動(dòng)力；當(dāng)時(shí)的自然科學(xué)代表人物都在此三個(gè)學(xué)科做出了歷史性重大奉獻(xiàn)；下面就拉格朗日的主要奉獻(xiàn)介紹如下：數(shù)學(xué)分析的開拓者1變分法這是拉格朗日最早爭(zhēng)論的領(lǐng)域，以歐拉的思路和結(jié)果為依

14、據(jù)，但從純分析方法動(dòng)身， 得到更完善的結(jié)果；他的第一篇論文“極大和微小的方法爭(zhēng)論”是他爭(zhēng)論變分法的序幕； 1760 年發(fā)表的“關(guān)于確定不定積分式的極大微小的一種新方法”是用分析方法建立變分法制代表作；發(fā)表前寫信給歐拉，稱此文中的方法為“變分方法”；歐拉確定了，并在他自己的論文中正式將此方法命名為“變分法”；變分法這個(gè)分支才真正建立起來；2微分方程早在都靈時(shí)期，拉格朗日就對(duì)變系數(shù)微分方程爭(zhēng)論做工出了重大成果；他在降階過程中提出了以后所稱的相伴方程，并證明白非齊次線性變系數(shù)方程的相伴方程，就是原方程的齊次方程；在柏林期，他對(duì)常微分方程的奇解和特解做出歷史性奉獻(xiàn)，在1774 年完成的 “關(guān)于微分方程

15、特解的爭(zhēng)論”中系統(tǒng)地爭(zhēng)論了奇解和通解的關(guān)系，明確提出由通解及其對(duì)積分常數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)消去常數(shù)求特別解的方法；仍指特別解為原方程積分曲線族的包絡(luò)線；當(dāng)然，他的奇解理論仍不完善，現(xiàn)代奇解理論的形式是由g.達(dá)布等人完成的；除此之 外，他仍是一階偏微分方程理論的建立者；3方程論拉格朗日在柏林的前十年，大量時(shí)間花在代數(shù)方程和超越方程的解法上；他把前人解三、 四次代數(shù)方程的各種解法，總結(jié)為一套標(biāo)準(zhǔn)方法，而且仍分析出一般三、四次方程能用代數(shù)方法解出的緣由；拉格朗日的想法已包蘊(yùn)了置換群的概念，他的思想為后來的n.h. 阿貝爾和e. 伽羅瓦采納并進(jìn)展, 最終解決了高于四次的一般方程為何不能用代數(shù) 方法求解的問題.

16、此外 , 他仍提出了一種格朗日極數(shù).4. 數(shù)論著拉格朗日在1772 年把歐拉40 多年沒有解決的費(fèi)馬另一猜想“一個(gè)正整數(shù)能 表示為最多四個(gè)平方數(shù)的和”證明出來；后來仍證明白聞名的定理：n 是質(zhì)數(shù)的充要條件為（n-1 ） .+1 能 被 n 整 除 ；5函數(shù)和無窮級(jí)數(shù)同 18 世紀(jì)的其他數(shù)學(xué)家一樣，拉格朗日也認(rèn)為函數(shù)可以綻開為無窮級(jí)數(shù)， 而無窮級(jí)數(shù)同是多項(xiàng)式的推廣；泰勒級(jí)數(shù)中的拉格朗日余項(xiàng)就是他在這方面的代表作之一；分析力學(xué)的創(chuàng)立者拉格朗日在這方面的最大奉獻(xiàn)是把變分原理和最小作用原理詳細(xì)化，而且用純分析方法進(jìn)行推理，成為拉格朗日方法；天體力學(xué)的奠基者第一在建立天體運(yùn)動(dòng)方程上，他用他在分析力學(xué)中的

17、原理，建議起各類天體的運(yùn)動(dòng)方程；其中特殊是依據(jù)他在微分方程解法的任意常數(shù)變異法，建立了以天體橢圓軌道根數(shù)為基本變 量的運(yùn)動(dòng)方程， 現(xiàn)在仍稱作拉格朗日行星運(yùn)動(dòng)方程，并在廣泛作用； 在天體運(yùn)動(dòng)方程解法中，拉格朗日的重大歷史性奉獻(xiàn)是發(fā)覺三體問題運(yùn)動(dòng)方程的五個(gè)特解，即拉格朗日平動(dòng)解；總之，拉格朗日是18 世紀(jì)的宏大科學(xué)家，在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科中都有歷史性的重大奉獻(xiàn)； 但主要是數(shù)學(xué)家，他最突出的奉獻(xiàn)是在把數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)脫離幾何與力學(xué)方面起了打算性的作用；使數(shù)學(xué)的獨(dú)立性更為清晰，而不僅是其他學(xué)科的工具；同時(shí)在使天文學(xué)力學(xué)化、力學(xué)分析上也起了歷史性的作用，促使力學(xué)和天文學(xué)（天體力學(xué)）更深化進(jìn)展；由于

18、歷史的局限，嚴(yán)密性不夠阻礙著他取得更多成果；柯西 （ augustin louis cauchy， 17891857 ）優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載業(yè)績(jī)永存的數(shù)學(xué)大師19 世紀(jì)初期，微積分已進(jìn)展成一個(gè)巨大的分支，內(nèi)容豐富，應(yīng)用特別廣泛，與此同時(shí)，它的薄弱之處也越來越暴露出來，微積分的理論基礎(chǔ)并不嚴(yán)格；為解決新問題并澄清微積分概念， 數(shù)學(xué)家們綻開了數(shù)學(xué)分析嚴(yán)謹(jǐn)化的工作，在分析基礎(chǔ)的奠基工作中，做出杰出奉獻(xiàn)的要推宏大的數(shù)學(xué)定柯西；柯西 1789 年 8 月 21 日誕生于巴黎；父親是一位熟知古典文學(xué)的律師，與當(dāng)時(shí)法國的大數(shù)學(xué)家拉格朗日， 拉普拉斯交往親密； 柯西少年時(shí)代的數(shù)學(xué)才華頗受這兩位數(shù)學(xué)家的稱贊，并

19、預(yù)言柯西日后必成大器；拉格朗日向其父建議“趕快給柯西一種堅(jiān)實(shí)的文學(xué)訓(xùn)練”，以便他的愛好不致反他引入岐途；父親加強(qiáng)了對(duì)柯西的文學(xué)教養(yǎng)，使他在詩歌方面也表現(xiàn)出很高 的才華；1807 年至 1810年柯西在工學(xué)院學(xué)習(xí)；曾當(dāng)過交通道路工程師；由于身欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的勸說，舍棄工程師而致力于純數(shù)學(xué)的爭(zhēng)論，柯西在數(shù)學(xué)上的最大奉獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了極限概念，并以極限為基礎(chǔ)建立了規(guī)律清晰的分析體系；這是微積分進(jìn)展史上的青華，也柯西應(yīng)付類科學(xué)進(jìn)展所作的巨大奉獻(xiàn)；1821 年柯西提出極限定義的方法，把極限過程用不等式來刻劃，后經(jīng)維爾斯特拉斯改進(jìn)，成為現(xiàn)在所說的柯西極限定義或叫定義；當(dāng)今全部微積分的教科書都仍（至少是在本