新北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四章一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和典型例題分析(星辰出品)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載新北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四章一次函數(shù)一、函數(shù)1、函數(shù)的概念（重點(diǎn)）一般的，如果在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x 和y ，并且對(duì)于變量x 的每一個(gè)值，變量y 都有一個(gè)唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們就稱(chēng)y 是x 的函數(shù)，其中x 是自變量，y 是因變量。理解函數(shù)的關(guān)鍵四點(diǎn)：（1）有兩個(gè)變量； （ 2）一個(gè)變量變化，另一個(gè)隨之變化；（ 3）對(duì)于自變量x 每一個(gè)確定的值，函數(shù)y 有且僅有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)； （ 4）函數(shù)不是數(shù)，是過(guò)程中x 、y 的變量關(guān)系。2、函數(shù)的三種表示方法（難點(diǎn)）（1）列表法（2）關(guān)系式法（3）圖像法3、函數(shù)的值及自變量的取值范圍（重點(diǎn)）（1）對(duì)于自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)確

2、定的值a ，函數(shù)有唯一確定的對(duì)應(yīng)值，稱(chēng)為自變量等于a 時(shí)的函數(shù)值。（ 2）使得函數(shù)有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍。確定自變量取值范圍兩點(diǎn)：一是必須使含有自變量的代數(shù)式有意義，二是必須滿(mǎn)足實(shí)際問(wèn)題的意義。二、一次函數(shù)與正比例函數(shù)1、一次函數(shù)的概念（重點(diǎn)）若兩個(gè)變量x 、 y 間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示成ykxb （ k 、 b 為常數(shù)， k0 ）的形式，則成y 是 x 的一次函數(shù)。2、正比例函數(shù)的概念（重點(diǎn)）對(duì)于一次函數(shù)ykxb （ k0 ），當(dāng) b0 時(shí)，變?yōu)?ykx ，這是把 y 叫做 x 的正比例函數(shù)。3、根據(jù)條件列一次函數(shù)的關(guān)系式（難點(diǎn)）認(rèn)真分析，探究實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)信息，再次

3、基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，從而解決問(wèn)題。步驟：（ 1）認(rèn)真分析，理解題意；（ 2）找出等量關(guān)系；學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 3）寫(xiě)出一次函數(shù)關(guān)系式；（ 4）確定自變量的取值范圍，實(shí)際問(wèn)題實(shí)際分析。三、一次函數(shù)的圖像1、函數(shù)的圖像（重點(diǎn)）把一個(gè)函數(shù)的自變量的值和與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形就叫做函數(shù)的圖象。注：一次函數(shù)的圖像是一條直線(xiàn)，所以只需描出兩個(gè)點(diǎn)即可畫(huà)出圖象。2、正比例函數(shù)ykx,( k0) 的圖像和性質(zhì)（重點(diǎn)）（1）正比例函數(shù)ykx,( k0) 的圖像是經(jīng)過(guò)(0,0) 、(1,k ) 兩點(diǎn)的直線(xiàn)。（2）當(dāng) k0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一三象限，且y

4、 隨x 的增大而增大；當(dāng)k0 時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)二四象限，且y 隨x的增大而減小。3、一次函數(shù)圖象的特點(diǎn)及性質(zhì)（重點(diǎn)）一次函數(shù)ykxb,( k0) 的圖像和性質(zhì)：k 的符號(hào)b 的符號(hào)函數(shù)圖像圖像特征圖像經(jīng)過(guò)一、二、三象限，y 隨 xb>0的增大而增大。k>0圖像經(jīng)過(guò)一、三、四象限，y 隨 xb<0的增大而增大。學(xué)習(xí)必備歡迎下載圖像經(jīng)過(guò)一、二、四象限，y 隨 xb>0的增大而減小K<0圖像經(jīng)過(guò)二、三、四象限，y 隨 xb<0的增大而減小。注：當(dāng) b=0 時(shí)，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。特點(diǎn)：一次函數(shù) y kx b,( k0)的圖像是一條直線(xiàn)，

5、因此作函數(shù)圖象時(shí)，只需要確定兩個(gè)點(diǎn)，即可連接兩點(diǎn)做出函數(shù)圖象，函數(shù)圖象也成直線(xiàn)y kx b 。性質(zhì)：（1）圖象經(jīng)過(guò) (0, b) 點(diǎn)。當(dāng) k0 時(shí)， y 隨 x 增大而增大，當(dāng)k0 時(shí)， y 隨 x 增大而減小。（2）當(dāng) k 0 ，b 0 時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一二三象限； 當(dāng) k 0， b0 時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一三四象限； 當(dāng) k 0 ，b0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一二四象限；當(dāng)k 0 ， b 0 時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)二三四象限；（3）兩條直線(xiàn)位置關(guān)系：當(dāng)k 相等， b 不等時(shí)，兩直線(xiàn)平行；當(dāng)k 相等， b 相等時(shí)，兩直線(xiàn)重合；當(dāng)k 不等時(shí)，兩直線(xiàn)相交；當(dāng) k 不等， b 相等時(shí)，兩直線(xiàn)相交于y 軸；四、一次函數(shù)的應(yīng)用1、確定

6、正比例函數(shù)的表達(dá)式（重點(diǎn)）正比例函數(shù)ykx 只有一個(gè)待定系數(shù)k ，只需要除原點(diǎn)(0,0) 之外的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出 k 值，進(jìn)而學(xué)習(xí)必備歡迎下載求出函數(shù)表達(dá)式。注：一次函數(shù)的圖像是一條直線(xiàn)，所以只需描出兩個(gè)點(diǎn)即可畫(huà)出圖象。2、用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式（難點(diǎn)）一次函數(shù)ykxb,( k0) 有兩個(gè)待定系數(shù)k 和 b ，所以只需求出二者的值，即可求出函數(shù)表達(dá)式。待定系數(shù)法：首先設(shè)函數(shù)ykxb ；其次將兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)帶人表達(dá)式，列出k 、 b 的方程；最后求解方程。3、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系（重難點(diǎn)）（1）從“數(shù)”的方面看：一次函數(shù)ykxb 函數(shù)值為某一數(shù)值時(shí)，自變量x 的值即為

7、方程的解。（2）從“形”的方面看：函數(shù)與x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程kxb0 的解。4、利用圖象信息解決實(shí)際問(wèn)題（重難點(diǎn)）兩方面分析圖象：（ 1）根據(jù)函數(shù)圖象可判斷函數(shù)類(lèi)型，注意特殊的點(diǎn)（ 2）從 x 軸、 y 軸的實(shí)際意義去理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義類(lèi)型一：正比例函數(shù)與一次函數(shù)定義1、當(dāng) m 為何值時(shí)，函數(shù)y(m3)xm2 8( m4) 是一次函數(shù)？舉一反三：【變式 1】如果函數(shù)m 3(m 2) 是正比例函數(shù)，那么（） .y xA m=4 或 m=2B m=4C m=1D m=2【變式 2】已知 y-3與 x 成正比例，且 x=2時(shí)， y=7. （ 1）寫(xiě)出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)

8、系式； （ 2）當(dāng) x=4 時(shí)，求 y 的值；（ 3）當(dāng) y=4 時(shí)，求 x 的值類(lèi)型二：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式2、求圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2， -1），且與直線(xiàn)y=2x+1 平行的一次函數(shù)的表達(dá)式舉一反三：【變式1】已知彈簧的長(zhǎng)度y（ cm）在一定的彈性限度內(nèi)是所掛重物的質(zhì)量x（ kg）的一次函數(shù)，現(xiàn)已測(cè)得不掛重物時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為6cm，掛4kg的重物時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度是7.2cm，求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式【變式 2】已知直線(xiàn)y=2x+1 （1）求已知直線(xiàn)與y 軸交點(diǎn) M 的坐標(biāo)；學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）若直線(xiàn)y=kx+b 與已知直線(xiàn)關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)，求k， b 的值【變式 3】判斷三點(diǎn)A （ 3， 1）， B

9、（ 0， -2），C（ 4， 2）是否在同一條直線(xiàn)上類(lèi)型三：函數(shù)圖象的應(yīng)用3、圖中的圖象（折線(xiàn)ABCDE ）描述了一汽車(chē)在某一直線(xiàn)上的行駛過(guò)程中，汽車(chē)離出發(fā)地的距離s(km)和行駛時(shí)間 t(h) 之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題：(1) 汽車(chē)共行駛了 _km；(2) 汽車(chē)在行駛途中停留了 _h；(3)汽車(chē)在整個(gè)行駛過(guò)程中的平均速度為_(kāi)km/h ；(4)汽車(chē)自出發(fā)后 3h 至 4.5h 之間行駛的方向是 _.舉一反三：【變式 1】圖中，射線(xiàn) l 甲、l 乙分別表示甲、 乙兩運(yùn)動(dòng)員在自行車(chē)比賽中所走的路程 s 與時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系，求它們行進(jìn)的速度關(guān)系?！咀兪?2】小高從家騎自行

10、車(chē)去學(xué)校上學(xué)，先走上坡路到達(dá)點(diǎn)A ，再走下坡路到達(dá)點(diǎn)B，最后走平路到達(dá)學(xué)校，所用的時(shí)間與路程的關(guān)系如圖所示。放學(xué)后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保持和去上學(xué)時(shí)一致，那么他從學(xué)校到家需要的時(shí)間是（）A.14 分鐘B.17 分鐘C.18 分鐘D.20 分鐘【變式3】某種洗衣機(jī)在洗滌衣服時(shí),經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)的過(guò)程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量y（升）與時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示：根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：（1）洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是多少分鐘？清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量是多少升？學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）已知洗衣機(jī)的排水速度為每分鐘19 升 .求排水時(shí)y 與x

11、之間的關(guān)系式；如果排水時(shí)間為2 分鐘，求排水結(jié)束時(shí)洗衣機(jī)中剩下的水量.類(lèi)型四：一次函數(shù)的性質(zhì)4、己知一次函數(shù)y=kx十 b 的圖象交x 軸于點(diǎn)A（一6， 0），交y 軸于點(diǎn)B，且 AOB的面積為12，y隨x的增大而增大，求舉一反三：k， b 的值【變式1】已知關(guān)于x 的一次函數(shù)y(3m) x2m218 （1） m 為何值時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？（2） m 為何值時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0， 2）？（3） m 為何值時(shí)，函數(shù)的圖象和直線(xiàn)y= x 平行？（4） m 為何值時(shí)， y 隨 x 的增大而減小？【變式 2】函數(shù) ykxk 在直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）類(lèi)型五：一次函數(shù)綜合5、已知：如圖，平面

12、直角坐標(biāo)系中， A （ 1，0），B（ 0， 1）， C（ -1，0），過(guò)點(diǎn) C 的直線(xiàn)繞 C 旋轉(zhuǎn)，交 y 軸于點(diǎn) D ，交線(xiàn)段 AB 于點(diǎn) E。（ 1）求 OAB 的度數(shù)及直線(xiàn) AB 的解析式；（ 2）若 OCD 與 BDE 的面積相等，求直線(xiàn) CE 的解析式；若y 軸上的一點(diǎn)P 滿(mǎn)足 APE=45 °，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P 的坐標(biāo)。學(xué)習(xí)必備歡迎下載舉一反三：【變式 1】在長(zhǎng)方形 ABCD 中， AB=3cm ， BC=4cm ，點(diǎn) P 沿邊按 A B C D 的方向向點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)（但不與 A ，D 兩點(diǎn)重合） 。求 APD 的面積 y（cm2 ）與點(diǎn) P 所行的路程 x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍。【變式2】