踘排列組合知識點

1、 我們打敗了敵人。 我們把敵人打敗了。高考數(shù)學概念方法題型易誤點技巧總結（十）排列、組合和二項式定理1. 排列數(shù) Anm中n m 1,n、m N、組合數(shù) Cnm中n m,n 1,m 0,n、m N . （1） 排列數(shù)公式m n! nAnm n(n 1)(n 2) (n m 1) (m n) ； Ann n! n(n 1)(n 2) 2 1。 如 (n m)!(1)1！+2！+3！+ +n！( n 4,n N )的個位數(shù)字為 的 x (答： 8 )(2) 組合數(shù)公式C m Anm n (n 1) (n m 1)Ammm (m 1) 2 1Cnm Cmn 1 Anm 6，求 n ，(3) 排列數(shù)、

2、組合數(shù)的性質答： 3）；（2）滿足 A8x 6A8x 2n!m! n mm的值(答： m n2)： Cnm Cnn m ； Cnm Cnm1 Cnm11 ；（m n） ；規(guī)定 0！ 1 ，Cn0 1. 如 已知kCnk nCnk 11； Crr Crr 1 Crr 2CnrCnr 11；n n! (n 1)! n!；n1(n 1)! n!1(n 1)!2. 解排列組合問題的依據(jù)是 ：分類相加 （每類方法都能獨立地完成這件事， 它是相互獨 立的，一次的且每次得出的是最后的結果，只需一種方法就能完成這件事）， 分步相乘 （一步得出的結果都不是最后的結果， 任何一步都不能獨立地完成這件事， 只有各個

3、步驟都完成 了，才能完成這件事，各步是關聯(lián)的） ，有序排列，無序組合 如（1）將 5封信投入 3 個郵筒，不同的投法共有種（答： 35 ）；（ 2）從 4臺甲型和 5 臺乙型電視機中任意取出 3臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不同的取法共有 種（答： 70）；（ 3） 從集 合 1,2,3 和 1,4,5,6 中各取一個元素作為點的坐標， 則在直角坐標系中能確定不同點的個數(shù)是_（答： 23）；（4）72的正約數(shù)（包括 1和72）共有個（答： 12）；（ 5） A的一邊 AB 上有 4 個點，另一邊 AC 上有 5 個點，連同 A的頂點共 10 個點，以這些點為頂 點，可以構成 個三角形

4、（答： 90）；（ 6）用六種不同顏色把右圖中 A 、B、C 、D 四塊區(qū)域分開，允許同一顏色涂不同區(qū)域，但相鄰區(qū)A域不能是同一種顏色，則共有 種不同涂法（答： 480）；（ 7）同室 4 人各寫 1 張賀年卡，然后每人從中拿 1 張別人送出的賀年卡，則 C B4 張賀年卡不同的分配方式有種（答： 9）；（ 8） f 是集合M a,b,c 到集合 N 1,0,1 的映射，且 f （a） f（b） Df （c），則不同的映射共有個（答： 7）；（9）滿足 A B C 1,2,3,4 的集合 A、4B、C共有組（答： 74 ）3. 解排列組合問題的方法有 ：（ 1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法 （元素

5、優(yōu)先法 ：先考慮有限制條件的元素的要求，再 考慮其他元素； 位置優(yōu)先法 ：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。 如（ 1）某單位準備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、 大廳的地面及樓的外 墻，現(xiàn)有編號為 1 到 6 的 6 種不同花色的石材可選擇， 其中 1 號石材有微量的放射性， 不可用于辦公室內，則不同的裝飾效果有 種（答： 300）；（2） 某銀行儲蓄卡的密碼是一個4 位數(shù)碼， 某人采用千位、 百位上的數(shù)字之積作為十位個位上的數(shù)字 （如 2816）的方法設計 密碼， 當積為一位數(shù)時， 十位上數(shù)字選 0. 千位、百位上都能取 0. 這樣設計出來的密碼共有 種（

6、答： 100）；（3）用 0，1，2，3，4，5 這六個數(shù)字，可以組成無重復數(shù)字的四位 偶數(shù) 個（答： 156）；（4） 某班上午要上語、數(shù)、外和體育 4 門課，如體育不排在第一、四節(jié)；語文不排在第一、二節(jié)，則不同排課方案種數(shù)為 （答： 6）；（ 5） 四個不同的小球全部放入編號為 1、2、 3、4 的四個盒中。恰有兩個空盒的放法有 種；甲球只能放入第 2 或 3 號盒，而乙球不能放入第 4 號盒的不同放法有 種（答：84；96）；（6）設有編號為 1、2、3、4、5的五個茶杯和編號為 1、2、3、4、5的 5個杯蓋， 將五個杯蓋蓋在五個茶杯上， 至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相同的蓋法有 種（答

7、：31）（ 2）間接法（對有限制條件的問題， 先從總體考慮， 再把不符合條件的所有情況去掉） ）。 如在平面直角坐標系中，由六個點 （0,0），（1,2），（2,4）， （6,3），（1,2）， （2,1）可以確定 三角形的個數(shù)為 （答： 15）。（ 3）相鄰問題捆綁法 （把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其 余“普通元素”全排列，最后再“松綁” ，將特殊元素在這些位置上全排列） 。如（ 1）把 4 名男生和 4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為 （答： 2880）；（2）某人射擊槍， 命中槍， 槍命中中恰好有槍連在一起的情況的不同種數(shù)為 （答：20）；（3）把

8、一同排 6 張座位編號為 1，2，3，4，5，6的電影票全部分給 4 個人，每人至少 分 1 張，至多分 2 張，且這兩張票具有連續(xù)的編號， 那么不同的分法種數(shù)是 （答： 144）（4）不相鄰 （ 相間）問題插空法 （某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采 用插空法， 即先安排好沒有限制元條件的元素， 然后再把有限制條件的元素按要求插入排好 的元素之間） 。如（ 1）3 人坐在一排八個座位上 ,若每人的左右兩邊都有空位 ,則不同的坐法 種數(shù)有 種（答：24）；（2）某班新年聯(lián)歡晚會原定的 5 個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目。 如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中， 那么不同的插

9、法種數(shù)為 （答：42）。（5）多排問題單排法 。如若2n個學生排成一排的排法數(shù)為 x，這 2 n個學生排成前后 兩排，每排各 n個學生的排法數(shù)為 y，則 x,y 的大小關系為 （答：相等） ；（6）多元問題分類法 。如（1）某化工廠實驗生產中需依次投入 2 種化工原料，現(xiàn)有 5 種原料可用，但甲、乙兩種原料不能同時使用，且依次投料時，若使用甲原料，則甲必須先 投放. 那么不同的實驗方案共有 種（答： 15）；（2）某公司新招聘進 8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個部門 .其中兩名英語翻譯人員不能同給一個部門；另三名電腦編程人 員也不能同給一個部門，則不同的分配方案有 種（答： 36）；（3）9

10、名翻譯中， 6個懂英語， 4 個懂日語，從中選撥 5 人參加外事活動，要求其中 3 人擔任英語翻譯，選撥的方法 有 種（答： 90）；（ 7）有序問題組合法 。如（ 1）書架上有 3 本不同的書，如果保持這些書的相對順序不 便，再放上 2 本不同的書，有 種不同的放法（答： 20）；（ 2）百米決賽有 6 名運動 A、 B、C、D、E、F 參賽，每個運動員的速度都不同，則運動員A 比運動員 F 先到終點的比賽結果共有種（答：360）；（3）學號為 1，2，3，4 的四名學生的 考試成績xi 89,90,91,92,93（ i 1,2,3,4） 且滿足 x1 x2 x3 x4，則這四位同學考試成

11、績的所 有可能情況有 種（答： 15）；（4） 設集合 A 1,2,3,4,5,6,7,8 ，對任意 x A，有f（1） f （2） f （3），則映射 f : A A的個數(shù)是 （答： C8385 ）；（5）如果一個三位正整數(shù)形如“ a1 a2a3”滿足 a1 a2且a3 a2 ，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120、 363、374 等），那么所有 凸數(shù)個 數(shù)為（答：240）；（6）離心 率等于 logpq （其中1 p 9,1 q 9且 p,q N* ）的不同形狀的的雙曲線的個數(shù)為 （答： 26）。（8）選取問題先選后排法 。如某種產品有 4 只次品和 6 只正品，每只產品均不相同且 可區(qū)分，

12、 今每次取出一只測試， 直到 4 只次品全測出為止， 則最后一只次品恰好在第五次測 試時，被發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是 （答： 576）。（9）至多至少問題間接法 。如從 7名男同學和 5名女同學中選出 5人，至少有 2 名女 同學當選的選法有 種（答： 596）（10）相同元素分組可采用隔板法 。如（1）10 個相同的球各分給 3個人，每人至少一 個，有多少種分發(fā)？每人至少兩個呢？（答：36；15）；（2）某運輸公司有 7 個車隊，每個車隊的車都多于 4 輛且型號相同，要從這 7 個車隊中抽出 10 輛車組成一運輸車隊，每個車 隊至少抽 1 輛車，則不同的抽法有多少種？（答：84）4、分組問題 ：

13、要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組， 平均分成 n 組問題別忘除以 n！。 如 4 名醫(yī)生和 6 名護士組成一個醫(yī)療小組， 若把他們分配到 4 所學校去為學生體檢， 每所學 校需要一名醫(yī)生和至少一名護士的不同選派方法有 種（答： 37440）；5. 二項式定理 ：（a b）n Cn0an Cn1an 1bCnran rbrCnnbn ，其中組合數(shù) Cnr叫做第 r+1項的二項式系數(shù)；展開式共有 n+1項，其中第 r+l 項Tr 1 Cnran rbr（r 0,1,2, ,n） 稱為二項展開式的通項，二項展開式通項的主要用途是求指定的項. 特別提醒 ：（ 1）項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個概念

14、， 但當二項式的兩個項的系數(shù)都為 1 時，系數(shù)就是 nr二項式系數(shù)。如在 （ax b）n 的展開式中，第項的二項式系數(shù)為Cnr ，第項的系r n r r 1 n數(shù)為 Cnran rbr ；而 （x）n的展開式中的系數(shù)就是二項式系數(shù)； （2）當 n 的數(shù)值不大時往x 往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數(shù)；（ 3）審題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項？求的是系數(shù)還是二項式系數(shù)？ 如（ 1） （2 x3 1 ）7 的展開式中常數(shù)項是 （答：14）；x（2）1（ ）x1（3 ） x 4 1（ ） x 01 的展開式中的 x3的系數(shù)為 （答：330）；（3）數(shù)11100 1的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個數(shù)是 （

15、答： 3）；（4） （ 7x 3 2）40展開后所得的x 的 多 項 式 中 ， 系 數(shù) 為 有 理 數(shù) 的 項 共 有 項 （ 答 ： 7 ）； （5） 若1 6x 15x2 20x3 15x4 6x5 x6（x N且x 21）的值能被 5 整除，則 x 的可取值的 個數(shù)有 個（答： 5）； （6） 若 xy 0,且x y 1, 二項式 （x y）9 按 x 降冪展開后，其第二項不大 于第 三項，則 x 的 取值范 圍是 （答： （1,）； （7） 函 數(shù)f（x） （1 sinx10）（1 sxi1n的0 最）大值是 （答： 1024）.6、二項式系數(shù)的性質 ：（ 1）對稱性 ：與首末兩端“

16、等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即Cnm Cnn m；n 1 r n 1 r （2）增減性與最大值 ：當r時，二項式系數(shù) C rn的值逐漸增大， 當r時,Crn22 的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當 n 為偶數(shù)時，中間一項（第 n 1 項）的二項式系2nn 1 n 1數(shù) Cn2 取得最大值。當 n 為奇數(shù)時，中間兩項（第 和1 項）的二項式系數(shù)n 2 2n 1 n 1Cn2 Cn2 相等并同時取最大值。 如（ 1）在二項式 （x 1）11 的展開式中，系數(shù)最小的項的 系數(shù)為 （答： 426）；（ 2）在 （1 x）n的展開式中，第十項是二項式系數(shù)最大的項，則 n （答： 17,18 或 19

17、）。（3）二項式系數(shù)的和 ：Cn0 Cn1CnrCnn 2n ；Cn0 Cn2Cn1 Cn32n 1。如（1）如果1 2Cn1 22Cn22nCnn 2187，則 Cn0 C1n Cn2Cnn（答： 128）；（2）化簡Cn0 2Cn1 3Cn2（n 1）Cnn （答： （n 2） 2n 1）7、賦值法 ：應用“賦值法”可求得二項展開式中各項系數(shù)和為f （1）、“奇數(shù) （偶次 ）項”11系數(shù)和為 f（1） f（ 1） ，以及“偶數(shù) （奇次）項”系數(shù)和為 f（1） f（ 1） 。如（1）已 22知 （1 3x）9a0a1xa2x2a9x9，則 a0a1a|2|a|9 |等于（答：49 ）；（2）1（ 2）x4002a0ax1ax 22ax4002 402，則 （a0a1）（a0a2）（a0 a2004 ） （答：2004）；（ 3）設 （1 x x2）n a0 a1x a2x2a2nx2n,3n 1則 a0 a2a2n （答： ）。2Ar Ar 18、系數(shù)最大項的求法 ：設第 r項的系數(shù) Ar最大，由不等式組r r 1確定 r 。如求rAr Ar 113（ xx）10 的展開