流體力學講稿第三章201510a參考件1

1、1 例例 水波問題分析水波問題分析第三章第三章 流體運動的基本方程組流體運動的基本方程組2021-11-202 步一：給出水波問題的基本（假定）條件步一：給出水波問題的基本（假定）條件1）水是無粘性）水是無粘性 (不考慮水粘性不考慮水粘性)；2）水是不可壓縮流體；）水是不可壓縮流體；3）水波運動流場是無旋的。）水波運動流場是無旋的。水波問題水波問題是是理想理想不可壓不可壓流體流體的的無旋無旋運動問題運動問題水波問題水波問題必須服從必須服從不可壓不可壓勢流勢流運動的基本控制方程運動的基本控制方程2021-11-203 水的流體質點運動方程水的流體質點運動方程 1 1）拉格朗日形式）拉格朗日形式

2、- 2 2）歐拉形式）歐拉形式 -（利用（利用 ） pFa( . )DxyzvDttxtytztt ( .)pDvvFvvDtt步二：推導出水波問題的基本方程步二：推導出水波問題的基本方程2021-11-204 *拉格朗日流體質點運動方程之推導拉格朗日流體質點運動方程之推導 -方程的一般形式：方程的一般形式： 式中式中, , 為作用于單位質量流體上之體力。為作用于單位質量流體上之體力。 -推導過程：采用微元分析法，如圖示，在推導過程：采用微元分析法，如圖示，在x x軸方軸方向由左右兩面壓強差產生的合力為向由左右兩面壓強差產生的合力為 同理，在同理，在y y和和z z軸方向由壓強差產生的合力應分

3、別為軸方向由壓強差產生的合力應分別為故作用于微元體上對應的總合力為故作用于微元體上對應的總合力為()()22p dxp dxpdydzpdydzxxpdxdydzx pFaF()()22()()22p dyp dyppdxdzpdxdzdxdydzyyyp dzp dzppdxdypdxdydxdydzzzz 2021-11-205設作用于微元體單位質量的體力為設作用于微元體單位質量的體力為 ，則作用于微元體上的總，則作用于微元體上的總體力為體力為 ，另微元體加速度為，另微元體加速度為 ，應用牛頓定律可得：，應用牛頓定律可得：即即- 也可直接由流體的納維也可直接由流體的納維斯托克斯方程斯托克斯

4、方程 (N-S方程方程)對于無粘流體，有對于無粘流體，有 ，故有，故有歐拉方程歐拉方程 ()pppijk dxdydzpdxdydzxyz FbF dxdydzFdxdydzpdxdydza dxdydzapFpaFa 2graddiv(2)grad( div )3DvFpSvDt0,PpI gradDvpFpFaDt ()pDvvFvvDtt 2021-11-206連續(xù)方程連續(xù)方程 - （涉及（涉及質量守恒律質量守恒律:由一個流體系統(tǒng)中的流體質量在運動過程中保由一個流體系統(tǒng)中的流體質量在運動過程中保持不變。按雷諾輸運定理，即在一固定空間中流體質量的減少持不變。按雷諾輸運定理，即在一固定空間中

5、流體質量的減少率等于單位時間內通過控制體表面流出的流體凈質量）率等于單位時間內通過控制體表面流出的流體凈質量） 調和方程調和方程(拉普拉斯方程拉普拉斯方程) - （涉及亥姆霍茲定理：體力有勢的無粘正壓流體（涉及亥姆霍茲定理：體力有勢的無粘正壓流體,沿任一條由相同質沿任一條由相同質點構成的封閉線之環(huán)量不隨時間變化，由此可知，流體若開始點構成的封閉線之環(huán)量不隨時間變化，由此可知，流體若開始流動時處處無旋，則以后時刻保持無旋）流動時處處無旋，則以后時刻保持無旋） 伯努利方程（拉格朗日積分）伯努利方程（拉格朗日積分）- （涉及體力有勢的無粘正壓（涉及體力有勢的無粘正壓流體的流體的歐拉運動方程歐拉運動方

6、程應用）應用）0v20 2()02pgzt7 第三章第三章 流體運動的基本方程組流體運動的基本方程組 1. 系統(tǒng)與控制體系統(tǒng)與控制體 系統(tǒng)系統(tǒng) - 某一確定流體質點集合的總體稱為系統(tǒng)某一確定流體質點集合的總體稱為系統(tǒng),系統(tǒng)以外部分系統(tǒng)以外部分稱為外界稱為外界,其與系統(tǒng)的分界面稱為邊界。其與系統(tǒng)的分界面稱為邊界。 - 系統(tǒng)的特點為：系統(tǒng)的特點為：(i)系統(tǒng)內質點始終包含在系統(tǒng)內，系系統(tǒng)內質點始終包含在系統(tǒng)內，系統(tǒng)邊界的形狀和空間大小一般隨運動而變；統(tǒng)邊界的形狀和空間大小一般隨運動而變；(ii)系統(tǒng)與外界系統(tǒng)與外界無質量交換，可有力的相互作用和能量交換無質量交換，可有力的相互作用和能量交換(類似理

7、論力學類似理論力學質點系特性質點系特性) 。 - 以系統(tǒng)為研究對象的運動描述方法為拉格朗日描述法。以系統(tǒng)為研究對象的運動描述方法為拉格朗日描述法。 控制體控制體 - 流體所在空間以假定或真實流體邊界包圍且一般固定不流體所在空間以假定或真實流體邊界包圍且一般固定不動而形狀任意的空間體積稱為控制體，其表面稱為控制面。動而形狀任意的空間體積稱為控制體，其表面稱為控制面。 -控制體特點為：控制體特點為：(i)控制體形狀和空間大小一般不變，相控制體形狀和空間大小一般不變，相對某一坐標固定不動，而控制體內質點組成可能變化。對某一坐標固定不動，而控制體內質點組成可能變化。 (ii)控制體與外界可能存在質量和

8、能量交換以及力的相互作用?？刂企w與外界可能存在質量和能量交換以及力的相互作用。 -控制體以空間變量描述運動，稱為歐拉描述法。控制體以空間變量描述運動，稱為歐拉描述法。 8 2. 雷諾輸運定理雷諾輸運定理 基本定理基本定理 - 某時刻一可變體積上某時刻一可變體積上系統(tǒng)總物理量的時間變化率系統(tǒng)總物理量的時間變化率,等于該時等于該時刻所處刻所處控制體中物理量的時間變化率控制體中物理量的時間變化率加上加上單位時間通過該控制單位時間通過該控制體邊界凈輸運的流體物理量體邊界凈輸運的流體物理量，其數學表達式為，其數學表達式為 式中，式中， 為為t時刻單位體積流體的某物理量分布函數，而時刻單位體積流體的某物理

9、量分布函數，而 為為t時刻流體域時刻流體域 上的總物理量（例如總流體上的總物理量（例如總流體 質量為質量為 ）。）。 分析：分析：設設 時刻體積在空間位置時刻體積在空間位置 上，上， 時刻體積在空間位置時刻體積在空間位置 上，由：上，由： ( , )f r t( )( )( , )tI tf r t d( )( )( , )tM tr t dt( ) ttt()tt()( )00( ,)( , )( )()( )limlimtttttf r tt df r t dDI tI ttI tDttt 2021-11-209 現將現將 分為分為兩部分兩部分，即與即與 (視為控制體視為控制體)重合部分重

10、合部分 以以及及新占區(qū)域新占區(qū)域 ，而從，而從 空出部分可設為空出部分可設為 (均取均取 時刻時刻)，故有，故有 由此由此 對于第一個極限，有：對于第一個極限，有： 其中其中 為為 邊界底面積面元，邊界底面積面元， 為沿邊界外法向單位矢量為沿邊界外法向單位矢量 方向的邊長方向的邊長,也即也即體元高體元高，相應有，相應有 31000()()()( )limlimlimtttIttIttI ttI tttt 0( )()( )limtDI tI ttI tDtt ()tt213131213()(); ()()ttttttI ttIIII 111000( ,)( ,)()limlimlimStttf

11、 r tt df r tt v ndA tIttttt ()dv n t dA dAv n t tt( )( )( , )tI tf r t d 131213()(); ()()ttttttI ttIIII 12SSS故故式中式中 為為 與與 之界面，極限表示單位時間從之界面，極限表示單位時間從 上移出的物理量。上移出的物理量。對于第二個極限有：對于第二個極限有：對于第三個極限有：對于第三個極限有：式中式中 為為 與與 之界面，極限表示單位時間從之界面，極限表示單位時間從 上移入的物理量。上移入的物理量。 與與 構成構成 的全部邊界的全部邊界 ,則有則有相應相應0()( )lim( , )tI

12、ttItIf r t dttt 320()lim( , )()StIttf r t v ndAdv ndA tt 11100( ,)()limlim( , )SSttf r tt v ndA tIttf r t v ndAtt 1S11S2S32S2S1SS控制體中物理量的時間變化率控制體中物理量的時間變化率單位時間通過控制體邊界凈輸運的流體物理量單位時間通過控制體邊界凈輸運的流體物理量*若控制體固定不變形，則可有若控制體固定不變形，則可有123100()()limlimttIttItttt 單位時間從單位時間從 表面表面S凈向外輸運的物理量凈向外輸運的物理量0( )()( )limtDI t

13、I ttI tDtt 31000()()()( )limlimlimtttIttIttI ttI tttt 13()()(), ( )( )ttttI ttIIIII tI t 也即也即( , )If r t dtt控制體中物理量的時間變化率控制體中物理量的時間變化率( )( )( , )( , )ttf r tf r t ddtt其中其中2021-11-2013 3. 微分連續(xù)性方程微分連續(xù)性方程 流體力學基本方程組的一般概念流體力學基本方程組的一般概念 - 流體運動遵循的基本定律包括：流體運動遵循的基本定律包括：質量守恒律質量守恒律、動量平衡動量平衡律律、動量矩平衡律動量矩平衡律、能量守恒

14、律及熵不等式能量守恒律及熵不等式，其，其補充方程包補充方程包括本構方程和狀態(tài)方程括本構方程和狀態(tài)方程等。定律的數學表達方式包括拉格朗等。定律的數學表達方式包括拉格朗日型和歐拉型，后者常用于對流體物理量分布的計算。另定日型和歐拉型，后者常用于對流體物理量分布的計算。另定律的數學表達形式包括律的數學表達形式包括微分和積分形式微分和積分形式。 質量守恒律的基本含義質量守恒律的基本含義 - 一個流體系統(tǒng)中的流體質量在運動過程中保持不變一個流體系統(tǒng)中的流體質量在運動過程中保持不變。按。按雷諾輸運定理，即在一個固定空間（控制體）中流體質量的雷諾輸運定理，即在一個固定空間（控制體）中流體質量的減少率（單位時

15、間內控制體中流體質量的減少）等于單位時減少率（單位時間內控制體中流體質量的減少）等于單位時間內通過該控制體表面流出的流體凈質量間內通過該控制體表面流出的流體凈質量,也即有也即有 微分形式連續(xù)性方程推導微分形式連續(xù)性方程推導如圖示如圖示 ()()udx udx dydz txx()uuuxxx2021-11-2015 () t dxdydzt16 17()fafaaf 對于均質不可壓流體對于均質不可壓流體均質不可壓流體均質不可壓流體2021-11-2018 *積分法推導積分法推導定常運動或均質定常運動或均質不可壓流中，有不可壓流中，有管道截面上流動均勻的均質不可壓管道截面上流動均勻的均質不可壓流

16、體滿足關系流體滿足關系1 12 2V AV AVAc 對于定常流動，單位對于定常流動，單位時間通過流管各截面的時間通過流管各截面的流體質量守恒流體質量守恒2021-11-2019* 在定常流中，流管形狀不變，像固定的管道在定常流中，流管形狀不變，像固定的管道 2/2例例 在在下圖所示下圖所示的收縮噴管流場中，設的收縮噴管流場中，設 截面附近的截面附近的 點的點的軸向速度為軸向速度為 ，速度梯度為速度梯度為 ， 點在點在 點的上方點的上方 處。處。 求求 點橫向速度分量。點橫向速度分量。分析：分析：由不可壓縮流動連續(xù)性方程由不可壓縮流動連續(xù)性方程可得可得本例說明本例說明 點點 x方向正的速度梯度

17、引起方向正的速度梯度引起y 方向負的速度梯度方向負的速度梯度，兩側質點向軸心流動。，兩側質點向軸心流動。1A1asmu38.101 -s86.24xu1a1a1a0yvxuv24.86 /= 0.0050.124/vusyyxymvvms 而， 故1a5mm2021-11-20定常運動中，有定常運動中，有流動均勻的均質不可壓流體流動均勻的均質不可壓流體2021-11-2022*收縮噴管定常流動：遷移加速度收縮噴管定常流動：遷移加速度 下圖為一圓錐形收縮噴管，長為下圖為一圓錐形收縮噴管，長為36cm，底部，底部A0和和A3的直徑分別的直徑分別為為9cm和和3cm，恒定流量，恒定流量Q=0.02m

18、3/s;試試按一維流動計算四個按一維流動計算四個依序等距依序等距截面截面（如圖示）（如圖示）上的速度和加速度。上的速度和加速度。9/2 3/20.045tan0.0450.0453612xrxx其中其中A的半徑為：的半徑為：2021-11-2023分析：分析：取軸向流動方向為取軸向流動方向為x軸，軸，底部為原點。噴管內為定常流動，底部為原點。噴管內為定常流動，當地加速度當地加速度（速度的局部導數）（速度的局部導數）為零，只有遷移加速度為零，只有遷移加速度（速度的（速度的位變導數）位變導數）。按一維流動計算。按一維流動計算，設，設V為為距底部距離為距底部距離為x的的管截面上管截面上的平均速度的平均速度，則對應的，則對應的面積、速度和加速度面積、速度和加速度算式算式分別為分別為 2230.02350.0436/(/ ),(/)VxVQA m saVQm sxA