教育部2020年中考數(shù)學(xué)必考?jí)狠S題及答案

1、教育部2020年中考數(shù)學(xué)必考?jí)狠S題及答案一、函數(shù)與幾何綜合的壓軸題1. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， AB CD都垂直于x軸， 垂足分別為B、D且AD與B相交于E點(diǎn).已知：A(-2,-6), qi,-3)(1) 求證：E點(diǎn)在y軸上；(2) 如果有一拋物線經(jīng)過 A E, C三點(diǎn)，求此拋物線方程. 如果AB位置不變，再將 DC水平向右移動(dòng)k(k>0)個(gè) 單位，此時(shí)AD與BC相交于E'點(diǎn)，如圖，求 AE C 的面積S關(guān)于k的函數(shù)解析式.圖解(1)（本小題介紹二種方法，供參考）方法一:過E作EO丄x軸，垂足O AB/ EO / DC EODOEO BOABDB,CD DB又:DO +BO

2、二DB EOEO d1ABDCv AB=6, DC=3,.EO =2DO EOEO2又-，DODB 31DB ABAB6 DO二DO即O與O重合，E在y軸上方法二：由 D( 1,0),A(-2 , -6 )，得 DA直 線方程：y=2x-2 再由 B(-2 , 0) , C( 1, -3 )，得 BC直線方程：y=-x-2 聯(lián)立得x 0y 2二E點(diǎn)坐標(biāo)(0, -2 )，即卩E點(diǎn)在y軸上(2)設(shè)拋物線的方程 y=ax2+bx+c( az 0)過 A (-2 , -6 ) , C(1, -3 )4a 2b c 6 E ( 0, -2 )三點(diǎn)，得方程組 a b c 3c 2解得 a=-1, b=0,

3、 c=-2二拋物線方程y=-x2-2(3)(本小題給出三種方法，供參考)由(1 )當(dāng)DC水平向右平移k后，過AD與BC的交點(diǎn)E'作E F丄x軸垂足為Fo同( 1)可得：EBF EC1 得：E F=2方法一：又 E F/ ABEF DF .AB DB ，S ae c= S ADe S e，dcF1 DC ? DB 1 DC ?DF 2 2DF-DB321 -DC ? DB 2第11頁(yè)共49頁(yè)1=丄 dc ?db =DB=3-k3S=3+k為所求函數(shù)解析式方法二BA/ DCSbcfSa BDA二 SAE C= S BDE 1 BD ?E F 1 3 k 232 2 S=3+k為所求函數(shù)解析

4、式.證法三： S DE C : S AE， c=DE : AE 二 DC： AB=1 ：2同理 :S DE C : S DE B=1 : 2, 又 V SDE C : SABE =DC： AB=1 ：4S AEC9 S梯形ABCD2 1 AB CD ?BD 3 k9 2 S=3+k為所求函數(shù)解析式2. 已知：如圖，在直線坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M( 1, 0)為圓心、直徑AC為2、2的圓與y軸交于A D兩點(diǎn).(1) 求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2) 設(shè)過點(diǎn)A的直線y = x + b與x軸交于點(diǎn)B.探究：直線AB是否OM的切線？并對(duì)你的結(jié)論加以證明；(3) 連接BC,記厶ABC的外接圓面積為 S、OM面積為S,若各h

5、，拋物線S24y = ax2+ bx + c經(jīng)過B、M兩點(diǎn)，且它的頂點(diǎn)到x軸的距離為 h.求這條拋物線的解析式.解(1)解：由已知 AM= ,2 , OM= 1,在 Rt AOM中, AO= . am 2 OM 21,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為A (0, 1)(2)證：直線 y = x + b 過點(diǎn) A (0, 1). 1 = 0 + b 即 b=1y = x + 1令 y=0 則 x=- 1.B ( 1, 0),AB=、BO ,(aM 0) 即卩 y = ax a , a=± 5,. a=±5拋物線的解析式為 y = 5x2 5或y =- 5x2 + 5解法二：(接上) 求得二h=

6、5 AO212 122在厶 ABM中，AB= 2 , AM= .2 , BM= 2AB2 AM 2( 2)2(、.2)24 BM 2. ABM是直角三角形，/ BAM= 90°直線AB是OM的切線(3)解法一：由得/ BAG 90°, AB= 2 , AO 2d ,二 BO ；AB2 AC2(2)2(2 2)2 J0vZ BA(= 90°.BC 2S1 (亍)?而 S2 (AC)2?2 ABC的外接圓的直徑為 BC,.10 2(R ?(竽尸？SLh 即S24 ,r ;，的拋物線的解析式為:設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B ( 1, 0)、M (1，0)y= a (+ 1)( x- 1)

7、M( 1、0),則拋物線的對(duì)稱軸是 y軸，由題意得拋物 線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，土 5)二拋物線的解析式為 y= a (x 0) 2±5又B ( 1,0 )、M (1,0 )在拋物線上，二 a± 5= 0, a =±5二拋物線的解析式為 y = 5x2 5或y = 5x2 + 5解法三：(接上)求得二h= 5因?yàn)閽佄锞€的方程為y = ax2 + bx + c (0)a =5a5解得b0或b0c5c5a b c 0由已知得a b c 0 4ac b24a拋物線的解析式為y = 5x2 5 或 y = 5x2 + 5.3. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)P (1, 1)為圓心

8、，2為半 徑作圓，父x軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y ax2 bx c(a 0)過點(diǎn) A B,且頂點(diǎn)C在OP上.(1) 求OP上劣弧AB的長(zhǎng);(2) 求拋物線的解析式；(3) 在拋物線上是否存在一點(diǎn) D,使線段OC與PD互相平分?若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)如圖，連結(jié) PB,過P作PMLx軸，C1) XA 1在 Rt PMB中，PB=2,PM=1,/ MPB= 60°/ APB= 120°C在直線PM上,Cy31) X由拋物線及圓的對(duì)稱性得知點(diǎn)解之得拋物線解析式為2x 2(3)假設(shè)存在點(diǎn)使0C與PD互相平分，貝V四邊形OPCD、120AB的長(zhǎng)二面(2) 在

9、 Rt PMB中, PB=2,PM=1,貝U MB= MA=又 0M=1 A ( 1-J3 , 0) , B (1+V3 , 0)則 C(1, - 3).點(diǎn)A B、C在拋物線上，0a(1.3)2b(10a(13)2b(13ab c為平行四邊形，且 PC/ OD.又 PC/y 軸，.點(diǎn) D在 y 軸上，二 OD= 2,即 D (0, 2).又點(diǎn)D ( 0, 2)在拋物線yx2 2x 2上，故存在點(diǎn)D (0,-2),使線段OC與PD互相平分.4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，運(yùn))在y軸的正半軸上，A B是x軸上是兩點(diǎn)，且 OA： OB =3 : 1,以O(shè)A OB為直徑的圓分別交 AC于點(diǎn)E,交BC于

10、點(diǎn)F.直線EF交OC于點(diǎn)Q(1) 求過A B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；(2) 請(qǐng)猜想：直線 EF與兩圓有怎樣的位置關(guān)系？并證明 你的猜想.(3) 在厶AOC中，設(shè)點(diǎn) M是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過 M作MN/ AB交OC于點(diǎn)N試問：在x軸上是否存在點(diǎn) P,使得 PMN 是一個(gè)以MN為一直角邊的等腰直角三角形？若存在y求出 P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.ERt ABC的直角頂點(diǎn) C (0,C.廣 4AO1O丿Bx解 在 Rt ABC中, OCL AB, AOC COB OC= OA- OBv OA： OB= 3 : 1, qo, 3), ( .3)23OBgOB. OB= 1. OA= 3.二 A

11、(-3,0), B(1,0).設(shè)拋物線的解析式為y ax2 bx c.a9a 3b c 0,則a b c 0,解之，得b c3.cJ3.3. 經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為 y3x2 2込x ,3.33EF與O 0、O Q都相切.證明：連結(jié)OE、OE OFvZ ECF=Z AEO=Z BFO= 90°,四邊形EOF(為矩形.二 QE= QOZ 1 = Z 2. vZ 3=Z 4, Z 2+Z 4= 90° EF與O O相切.同理：EF理O Q相切. 作M巴OA于P,設(shè)MN= a,由題意可得 MF= MN= a.v MIN/ OA CMN CAO.MN CNAO _CO

12、.a . 3 a3二. 解之，得a.2此時(shí)，四邊形OPM是正方形.MN OP 3 3 3.2.3 3 3P(,0).2 .考慮到四邊形PMNO匕時(shí)為正方形，點(diǎn)P在原點(diǎn)時(shí)仍可滿足 PNN是以MN為一直角邊的等腰直角二角形.故x軸上存在點(diǎn)P使得 PMN是一個(gè)以MN為一直角邊的等腰 直角三角形且 p（ 兮Ao）或p（o,o）.5.如圖，已知點(diǎn) A（0，1）、C（4，3）、E（，空），P是以 AC48為對(duì)角線的矩形 ABCD內(nèi)部（不在各邊上）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) D在y軸，拋物線y = ax2+bx+1以P為頂點(diǎn).（1）說明點(diǎn)A C、E在一條條直線上； 能否判斷拋物線y = ax2+bx+1的開口方向？請(qǐng)說

13、明理由；（3）設(shè)拋物線y = ax2+bx+1與x軸有交點(diǎn)F、G（F在G的左側(cè)）,FAO的面積差為3,且這條拋物線與線段 AE有兩個(gè)不同的交點(diǎn).這時(shí)能確定a、b的值嗎？若能，請(qǐng)求出a、b的值；若不能，請(qǐng)確定 a、b的取值范圍.C(4, 3)確（本題圖形僅供分析參考用）解（1）由題意，A（0, 1） 的解析式為：y=x+1.將點(diǎn)E的坐標(biāo)E（¥ , 23）代入y=1x+1中，左邊=23，右邊弓x ,左邊=右邊，.點(diǎn) E在直線y=*x+1上，即點(diǎn) A C、E在一條直線上第14頁(yè)共49頁(yè)(2)解法一：由于動(dòng)點(diǎn) P在矩形ABCD內(nèi)部，.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，而點(diǎn)A與點(diǎn)P都在拋物線上，且

14、P為頂點(diǎn)，二這條拋物線有最高點(diǎn)，拋物線的開口向下解法二：v拋物線 y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4a b24a2 2且P在矩形ABCD內(nèi)部，iv 4a b v 3，由iv i匕得一4a，4a.2->0, av 0,二拋物線的開口向下.4a(3)連接 GA FA, vgao-fa(=3爐心1。=3V OA=1 GO-F0=6.設(shè) F (Xi,0 )、G(X2,0 )，則xi、X2 為方程 ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，且Xi - X2=! v 0,a二 XiV 0V X2,2XiV X2，又v av 0, /I G0= X2, F0= Xi, X2 (Xi)=6,即 X2+Xi=6

15、,v X2+Xi=-=6,a二 b= 6a,拋物線解析式為：y=ax 6ax+i,其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,i 9a) , v頂點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)部,i v i9a v 3, - v a v 0.9-y= ax2 6ax+i由方程組v i得:第xi頁(yè)6共加9頁(yè)0y= X+i221、 6a二 x=0 或 x=2=6+ .a2a當(dāng)x=0時(shí)，即拋物線與線段 AE交于點(diǎn)A,而這條拋物線與線段AE有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則有：0V 6+丄 15，解得：一 aV丄2a 4912綜合得：一-v av 丄 I b= 6a,. - v bV -912236.已知兩點(diǎn) 0(0, 0)、B(0, 2) , OA過點(diǎn)B且與x

16、軸分別相交于點(diǎn) O C,OA被y軸分成段兩圓弧，其弧長(zhǎng)之比為I上運(yùn)3 : 1,直線I與OA切于點(diǎn)0拋物線的頂點(diǎn)在直線(1)求OA的半徑;(2)(3)若拋物線經(jīng)過 O C兩點(diǎn)，求拋物線的解,析式;0交于C、E兩點(diǎn),過l上一點(diǎn)P的直線與OAxPC=第21頁(yè)共49頁(yè)CE求點(diǎn)E的坐標(biāo);(4)若拋物線與x軸分別相交于C F兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為m求厶pec的面積關(guān)于m的函數(shù)解析式.解 由弧長(zhǎng)之比為3 : 1,可得/ BAO= 90o再由 AB= AO r，且 0B= 2，得 r = 2OA的切線I過原點(diǎn)，可設(shè)I為y= kx任取I上一點(diǎn)(b, kb)，由I與y軸夾角為45o可得： b= kb 或 b= kb

17、，得 k= 1 或 k= 1, 二直線I的解析式為y= x或y= x又由 r = .2，易得 C(2, 0)或 C( 2, 0)由此可設(shè)拋物線解析式為y= ax(x 2)或y= ax(x+ 2)再把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入I的解析式中得a= 1二拋物線為y = x2 2x或y = x2 + 2x6分(3)當(dāng)I的解析式為y= x時(shí)，由P在I上，可設(shè)P(m, m)(m> 0)過 P作 PP 丄 x 軸于 P，.OP = |m| ,PP = | m|, /.OP =2m,又由切割線定理可得： oP = PC- PE,且PC= CE得PC= PE =m= PP 7 分C 與 P 為同一點(diǎn)，即 PE! x 軸

18、于m= 2, E( 2,2)8分同理，當(dāng)I的解析式為y = x時(shí)，m- 2, E(-2, 2)若C(2, 0)，此時(shí)I為y= x, vp與點(diǎn)O點(diǎn)C不重 合，一m0 且 2,當(dāng) m< 0 時(shí)，F(xiàn)C= 2(2 - m),高為 |yp| 即為一m,.s= 2(2m)( m) m2 2m2同理當(dāng) Ov m< 2 時(shí)，S= m+ 2m；當(dāng) m> 2 時(shí)，S= m 2m；.S= m2 2m(m 0或rn 2) 又若 c( 2, 0), m2 2m(0 m 2)此時(shí)I為y=x，同理可得；S= m2 2 2m(m2或m 0)m2 2m( 2 m 0)7.如圖，直線y kx 4與函數(shù)y (x

19、0, m 0)的圖像交于 A Bx兩點(diǎn)，且與x、y軸分別交于C D兩點(diǎn).(1 )若COD的面積是 AOB的面積的、2倍，求k與m之間 的函數(shù)關(guān)系式；(2)在(1)的條件下，是否存在k和m，使得以AB為直 徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P(2,0).若存在，求出k和m的值；若不存在， 請(qǐng)說明理由.解(1 )設(shè) A(xi，yj, B(X2,y2)(其中 Xi X2,yi由 S cod- 2S aob ,彳得S COD' 2(S AODS BOD )- OC OD .2(- OD2 2yiy24y-y2二(y1 y2)2 8，即(y1 y?)2Rt MAP s Rt NPB ,. y-2X-mx2 2y2(2

20、)(2)y°20 ,yiy2AM MP PN NB .(x- 2)(X2 2) y°2 0OC 、2(y- y2),又 OC 4 ,則AP BP，過A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為 M、N .MAP 與 BPN 者E與 APM 互余，二 MAP BPN .即 m2 2m(yi 沁 4y°2 (y°2)20 B(X2,0) (XiX2)，與y軸交于點(diǎn)C,且AB=6.由(1 )知 yi y2 4, yi y? 2，代入得 m2 8m 12 0, m2 m 6 m 2或 6，又 k 2，二 2 或 k 1 , m， k 1 k 3二存在k , m，使得以AB

21、為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P(2,0),且m 2或 k 1 m 6 k 1 -3y mx2 (m 5)x 5(m 0)與 X 軸交于兩點(diǎn) A(X1,0)、8.已知拋物線(1) 求拋物線和直線 BC的解析式.(2) 在給定的直角坐標(biāo)系中，畫拋物線和直線BC(3) 若e P過A B、C三點(diǎn)，求eP的半徑.(4) 拋物線上是否存在點(diǎn) M過點(diǎn)M作MN x軸于點(diǎn)N,使MBN被直線BC分成面積比為1 3的兩部分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)由題意得：x1x2,x!x2 ,x2x16.mm24xix2m 5220ccy(X1X2)36,36,mm解得ii,m257.1 1 J 11 11 1

22、1 1 1 卜O11IPX經(jīng)檢驗(yàn)m=1,拋物線的解析式為：y x2 4x 5.或：由2 /mx (m5)x 50得，x 1或X m第16頁(yè)共49頁(yè)一Q m > 0,516, m 1.m拋物線的解析式為y X2 4x 5.由 x2 4x 5 0 得禺5,x2 1.-A (- 5, 0), B (1, 0), C( 0, 5).設(shè)直線BC的解析式為y kx b,則 b 5, b 5,k b 0. k 5.二直線BC的解析式為y 5x 5.圖象略.(3)法一：在 RtDAOC 中，QOA OC 5, OAC 45 .BPC 90 .又 BC . OB2 OC2. 26,二 e P 的半徑 PB

23、 26 .53.2法二：由題意，圓心P在AB的中垂線上，即在拋物線y x2 4x 5的對(duì)稱軸直線x 2上，設(shè)P (- 2,- h)( h>0),連結(jié) PB PC 則 PB2 (1 2)2 h2,PC2 (5 h)2 22 ,由 PB2 PC2，即(1 2)2 h2 (5 h)2 22，解得 h=2.P( 2, 2), e P 的半徑 PB , (1 2)2 22-13.法三：延長(zhǎng)CP交eP于點(diǎn)F.QCF 為 e P 的直徑， CAF COB 90 .又 ABC AFC, DACFDOCB.CF ACAC BC,CF.BC OCOC又 AC 52 52 5 &, CO 5,BC 、

24、52 12 .26,CF遼26 2吊.5e P的半徑為,13.5）,則點(diǎn)(4)設(shè)MN交直線BC于點(diǎn)E,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t,t2 4tE的坐標(biāo)為(t,5t 5).若SdiMEB : Sd ENB1 : 3,則 ME ：EN 1:3.EN:MN 3:4, t2 4t 54(5t35).解得t1 1 （不合題意舍去），5t2, M35 403, 9 .若 SdmEB :Sdenb 3:1,則 ME:EN3:1.EN : MN1:4, t2 4t 54(5t5).解得t31 （不合題意舍去），t415, M 15,280 .存在點(diǎn)M點(diǎn)M的坐標(biāo)為5 403, 9或（15,280).9.如圖，O M與x軸交

25、于A B兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為a(3,o)、b(i,o)，直徑CDL x軸于N,直線CE切OM于點(diǎn)C,直線FG切O M于點(diǎn)F,交CE于G已知點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為3.(1)若拋物線yx2 2x m經(jīng)過A B、D三點(diǎn)，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo).(2) 求直線DF的解析式.(3) 是否存在過點(diǎn) G的直線，使它與(1)中拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于4?若存在，請(qǐng)求出滿足條件的直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由兩點(diǎn)，二(3) 1m1，n=3.二拋物線2y x2x 3.解(1)拋物線過 A又拋物線過點(diǎn)D,由圓的對(duì)稱性知點(diǎn) D為拋物線的頂占 八、二D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4).由題意知：AB=4./ CDLx 軸，二 NA=

26、NE=2.二 ON=1.由相交弦定理得：NANB=ND- NC二 NCX 4=2 X 2.二 NG=1. C點(diǎn)坐標(biāo)為(i, i).設(shè)直線DF交CE于P,連結(jié)CF?則/ CFP=90°/ 2+Z 3二/ 1+Z 4=90 GC GF是切線，二 G(=GF ./ 3=Z 4./ 仁/ 2. GF=GP GC=GP可得CP=8. P點(diǎn)坐標(biāo)為1)k7k解得27設(shè)直線DF的解析式為y kx b二直線DF的解析式為:527x8 8 假設(shè)存在過點(diǎn) G的直線為y kix bi ,貝U 3k1b11，二 b1 3k1 1.由方程組 y klX2 3kl 1 得 x2 (2 ki)x 4 3ki 0 y

27、 x 2x 3由題意得2 k1 4 ,. k16.當(dāng) k16 時(shí)， 40 0,方程無(wú)實(shí)數(shù)根，方程組無(wú)實(shí)數(shù)解滿足條件的直線不存在10.已知二次函數(shù)y *2 bx c的圖象經(jīng)過點(diǎn) A (- 3, 6), 并與x軸交于點(diǎn)B (- 1, 0)和點(diǎn)C,頂點(diǎn)為P.(1) 求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并在下面的坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象;(2)設(shè)D為線段OC上的一點(diǎn)，滿足/ DPC=Z BAC求 點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在x軸上是否存在一點(diǎn) M使以M為圓心的圓與 AC PC所在的直線及y軸都相切？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的 坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)解：T二次函數(shù)y 1x55/. OD 2 * 1 5/. D

28、5,0 bx c的圖象過點(diǎn)A (-3,6), B (- 1, 0)9-3b c 6得2-b c 02二這個(gè)二次函數(shù)的解析式為:b1 y解得3c21 23yx x22二1 1C (3, 0)O由解析式可求P( 1，-2)，畫出二次函數(shù)的圖像又已知:/DPC=Z BACDPCA BAC.DCPC易求 AC 2, PC2、2, BC 4BCAC4小45.5DCOD 3 D _,033 33解法二:過A作AELx軸，垂足為E.(2)解法一：易證：/ACB=Z PCD= 45設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于F.PE EBPF FD易求：AE= 6, EB= 2, PF= 2亦可證 AEBA PFD交y軸于S,

29、CP的延長(zhǎng)線交y軸于T SCT是等腰直角三角形， M是厶SCT的內(nèi)切圓圓心，MG MHk OM又 T MC . 2OM 且 OW MC= OC.、_20M OM 3,得 OM 3、, 2 3二 M 3:2 3,0(2°)在x軸的負(fù)半軸上，存在一點(diǎn)M'同理 OM + OC= M C om oc 2om得 OM 3 2 3. M3 2 3,0即在X軸上存在滿足條件的兩個(gè)點(diǎn).第30頁(yè)共49頁(yè)654S3HEMxGPTF I11 B1 0-3-2D2 ? 311.在平面直角坐標(biāo)系中， A (- 1, 0), B (3, 0)(1) 若拋物線過A, B兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)(0, - 3)

30、,求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);(2) 如圖，小敏發(fā)現(xiàn)所有過A, B兩點(diǎn)的拋物線如果與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn) C, M為拋物線的頂點(diǎn)，那么 ACM與 ACB的面積比不變，請(qǐng)你求出這個(gè)比值;(3) 若對(duì)稱軸是 AB的中垂線I的拋物線y f與x軸交于點(diǎn)E, F,與y軸交于點(diǎn)C,過C作CP/x軸交I于點(diǎn)P,M為此拋物線的頂點(diǎn).若四邊形PEMF 是有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，求次拋物線的解析式.解(D y x2 2x 3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1， 4)(2) 由題意，設(shè) y= a (x+ 1)( x 3),2A ( 1, 0),B (3, 0), C (0, 3a),即 y = ax 2ax 3a,第54頁(yè)共49頁(yè)

31、M( 1, 4a),S ACB=23a = 6 a而 a>0,二 S ACB= 6A、作MDLx軸于D,又 SACM= SaaCO+ Socmd Saamd=1 3a+ (3a+ 4a)2- 2 4a= a,2y = a (x 1) 2+ k，即 I S aacm： Saacb= 1 : 6.(3) 當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，設(shè)y = ax2 2ax + a+ k,有菱形可知 |a k| = |k , a+ k>0, kv 0,y = ax2 2ax+ -,2記I與x軸交點(diǎn)為D,若/ PEM= 60°,則/ FEM 30°MD= DE- tan30 jr、66c.6a

32、 =三，.拋物線的解析式為y 6x23若/ PEM= 120°,則/ FEM= 60、62MD= DE- tan60. k = , a = , 6 ,2.拋物線的解析式為2、6x 蘭2當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，y1®2 -6x 乞,336 '12.已知：在平面直角坐標(biāo)系同理可得26x.2xOy中，一次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A,拋物線經(jīng)過O A兩點(diǎn)。(1)試用含a的代數(shù)式表示b；(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 D,以D為圓心，DA為半徑的圓被 x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分。 若將劣弧沿x軸翻折，翻折后 的劣弧落在OD內(nèi)，它所在的圓恰與 OD相切，求OD半徑 的長(zhǎng)及拋物線的解析式；（3）設(shè)

33、點(diǎn)B是滿足（2）中條件的優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點(diǎn)P,使得?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。解（1）解法一 ：一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4, 0）拋物線經(jīng)過O A兩點(diǎn)解法二：一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4, 0）拋物線經(jīng)過O A兩點(diǎn)拋物線的對(duì)稱軸為直線（2）由拋物線的對(duì)稱性可知，DO= DA點(diǎn) O在OD 上，且/ DOAfZ DAO又由（1）知拋物線的解析式為點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）當(dāng) 時(shí)，如圖1,設(shè)OD被x軸分得的劣弧為0嬴，它沿x軸翻折后所得劣弧為，顯然所在的圓與OD關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)D'與點(diǎn)D也關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)0在O

34、 D'上，且OD圈1設(shè)它的圓心為D'點(diǎn)0為切點(diǎn) D'O 丄 0D / DOAfZ D'OQ 45 ADO為等腰直角三角形點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為拋物線的解析式為當(dāng) 時(shí)，同理可得:拋物線的解析式為綜上，OD半徑的長(zhǎng)為 ，拋物線的解析式為或（3）拋物線在 x軸上方的部分上存在點(diǎn)P,使得設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x, y），且y > 0當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)（如圖2）過點(diǎn)P作PELx軸于點(diǎn)E2點(diǎn)B是OD的優(yōu)弧上的一點(diǎn)17去舍由解得:點(diǎn)P的坐標(biāo)為當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)（如圖3）同理可得，由解得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為綜上，存在滿足條件的點(diǎn)或（舍去）圖313.在直角坐標(biāo)系中，O經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) O分別與x軸

35、正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn) A、B。（1）如圖，過點(diǎn)A作O 的切線與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)0到 直線 AB 的距離為12,sin ABC ,求直線 AC 的55解析式；（2）若O 經(jīng)過點(diǎn)（2,2）,設(shè)的內(nèi)切圓的直徑為d,試判斷d+AB的值是否會(huì)發(fā)生變化，如果不變，求出其值， 如果變化，求其變化的范圍。解(1)如圖1，過0作于G,則設(shè)(3, 0)AB是O 的直徑切O 于A,在中設(shè)直線AC的解析式為，則直線AC的解析式為(2) 結(jié)論：的值不會(huì)發(fā)生變化的內(nèi)切圓分別切 OA OB AB于點(diǎn)P、Q T,如圖2所示則在x軸上取一點(diǎn) N,使AN=OB連接OM BM AM MN平分的值不會(huì)發(fā)生變化，其值為 4k14.

36、已知：O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P( m n) (mo0)是函數(shù)y = - ( kX> 0)上的點(diǎn)，過點(diǎn) P作直線PAOP于P,直線PA與x軸的正半軸交于點(diǎn) A (a，0)(a>m).設(shè)AOPA的面積4 、口n為 S,且 S= 1 + T.4(1) 當(dāng)n= 1時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2) 若OP= AP,求k的值；4(3 )設(shè)n是小于20的整數(shù)，且kz -2，求OP的最小值.解過點(diǎn)P作PQLx軸于Q,貝U PQ= n, OQ= m亠 5(1)當(dāng) n= 1 時(shí)，s= 42s 5a=-n 2(2) 解 1: v OP = AP PAL OP OPA是等腰直角三角形am= n = 2ann411 + =

37、-42即 n2即：n 4n + 4= 0k2 4k + 4= 0k= 2(3) 解 1: v PAL OP PQL OA. OPQAO AP設(shè)： OPQ的面積為si，貝U 4n2 + 4= 02二 k 4k + 4= 0k= 2解 2：v OP= AP PAL OP OPA是等腰直角三角形二 m= n設(shè)厶OPQ的面積為si則：si=211 n46 6p A-S1- s廠尹 + 4)12k即:4 n 1+ 42n + 二n4n )4 (1 + 4)22n化簡(jiǎn)得：2n4+ 2k2 k n 4 4k= 0(k 2)( 2k n4)= 04k= 2 或 k = n2(舍去)當(dāng)n是小于20的整數(shù)時(shí)，k=

38、 2.k22 2 2 2t OP = n + m= n +二n又 no0, k = 2, n是大于0且小于20的整數(shù)當(dāng) n= 1 時(shí)，OP = 5當(dāng) n= 2 時(shí)，OP = 5f,24485當(dāng) n= 3 時(shí)，OP = 3 + 32= 9+ 9 = 6當(dāng)n是大于3且小于20的整數(shù)時(shí)，即當(dāng)n= 4、5、6、19時(shí)，OP得值分別是:24=424244 + 2、5 + 2、6 + 2、19 +245619242424T19 + i?>18 + 荷>> 3 + 3>5 OP2的最小值是5.k2解2:2 2 2 2/ OP2 = n + m= n + 2 n-n2 + 22n=(n

39、芻2 + 4當(dāng)n=時(shí)，即當(dāng)n= 2時(shí)，OP最小;又T n是整數(shù)，而當(dāng) n= 1時(shí)，oP= 5; n= 2時(shí)，OP= 5二OP2的最小值是5.解 3：v PAL OP PQ 丄 OA二 OPQAP AQPQ= OQQA= PQn m a m n化簡(jiǎn)得：4242n + 2k k n 4k = 0(k-2)( 2k n4)= 04二k= 2或k =(舍去)解 4: v PAL OP PQ 丄 OA OPQP AQSi oQ s Si pQ化簡(jiǎn)得：2n4+ 2k2 k n 4 4k= 0(k 2)( 2k n4)= 04 k= 2或k =(舍去)解 5：v PAL OP PQL OA OPQO AP

40、OP=OQOA= OP OP2= OQ- OA化簡(jiǎn)得：2n4+ 2k2 k n 4 4k= 0(k 2)( 2k n4)= 04 k= 2或k =(舍去)15.如圖，在直角坐標(biāo)系中，0是原點(diǎn)，A B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A (18, 0), B (18, 6), C (8, 6),四邊形 OABC是梯形，點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別坐勻速運(yùn)動(dòng)， 其中點(diǎn)P沿0A向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q 沿OG CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)這兩點(diǎn)有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn) 時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)。(1) 求出直線 0C的解析式及經(jīng)過 O A、C三點(diǎn)的拋物線 的解析式。秒。如果點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位，試寫出點(diǎn) Q的

41、坐標(biāo), 并寫出此時(shí)t的取值范圍。(4) 設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了 t秒。當(dāng)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程 之和恰好等于梯形 OABG勺周長(zhǎng)的一半，這時(shí)，直線 PQ能 否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請(qǐng)求出t的值；如不可能，請(qǐng)說明理由。解(1)v O C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 00,0 , C8,6設(shè)OC的解析式為y kx b，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得:3k 4，b 0yI A, O是x軸上兩點(diǎn)，故可設(shè)拋物線的解析式為y ax 0 x 18再將C8,6代入得：a 403227yx x4020(2) D10,6(3) 當(dāng)Q在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可設(shè) Q m,3m，依題意有:2322m m 2t4 m 5tQ|t，ft,

42、01 5當(dāng)Q在CB上時(shí)，Q點(diǎn)所走過的路程為2t,T OC= 10,CQ= 2t 10二 Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2t 10 8 2t 2，二 Q2t 2,6 ,5 t 10(4)v梯形OABC勺周長(zhǎng)為44,當(dāng)Q點(diǎn)OC上時(shí)，P運(yùn)動(dòng)的 路程為t，則Q運(yùn)動(dòng)的路程為22 tv段 OPC中, OP邊上的高為：22 t 3, Sopq $22 t -525梯形OABC的面積二8 1。6 84，依題意有：t 22 t 384 1252整理得：t222t140 0的t不存在/ = 2224 1400，這樣當(dāng)Q在BC上時(shí)，Q走過的路程為22 t，: CQ的長(zhǎng)為：22 t 10 12 t梯形 OCQP勺面積=1 6 22 t 10 t = 36工 84X 12 2這樣的t值不存在綜上所述，不存在這樣的t值，使得P, Q兩點(diǎn)同時(shí)平分 梯形的周長(zhǎng)和面積16.已知：如圖，拋物線yx2 2 3 x m與x軸交于 A、B33兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，/ ACB= 90°(1) 求m的值及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 過A B、C的三點(diǎn)的OM交y軸于另一點(diǎn) D,連結(jié)DM 并延長(zhǎng)交OM于點(diǎn)E，過E點(diǎn)的OM的切線分別交x軸、y 軸于點(diǎn)F、G求直線FG的解析式；(3) 在(2)條件下，設(shè) P為Cbd上的動(dòng)點(diǎn)(P不與C、D 重合)，連結(jié)PA交y軸于點(diǎn)H,問是否存在一個(gè)常數(shù) k，始終滿足A