隨機(jī)過(guò)程 泊松過(guò)程PPT課件

1、第1頁(yè)/共58頁(yè) 定義定義3.13.1(計(jì)數(shù)過(guò)程)隨機(jī)過(guò)程 稱為計(jì)數(shù)過(guò)程,如果0),(ttN)(tN表示t時(shí)刻為止,某一特定事件A發(fā)生的次數(shù). 由定義,計(jì)數(shù)過(guò)程具有以下兩個(gè)特點(diǎn): (1) 取值為非負(fù)的整數(shù);)(tN (2) 時(shí), 且 表示時(shí)段 內(nèi) 事件A發(fā)生的次數(shù).ts )()(tNsN)()(sNtN,( ts 如果在不相交的時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件數(shù)是獨(dú)立的,則該計(jì)數(shù)過(guò)程有獨(dú)立增量.即到時(shí)刻t已發(fā)生的事件個(gè)數(shù)必須獨(dú)立于時(shí)刻t與t+s之間所發(fā)生的事件數(shù).這就意味著, 與)(tN)()(tNstN相互獨(dú)立.第2頁(yè)/共58頁(yè) 定義3.2(泊松過(guò)程泊松過(guò)程)計(jì)數(shù)過(guò)程 稱為參數(shù)為 0),(ttN)0(的

2、泊松過(guò)程過(guò)程,如果: (1); 0)0(N (2) 有獨(dú)立增量;)(tN (3)對(duì)任意的 ,有0, ts,!)()()(tnentnsNstNP,2, 1 ,0n 由條件(3)可知泊松過(guò)程有平穩(wěn)增量并且在任一長(zhǎng)度為t的區(qū)間中事件的個(gè)數(shù)服從參數(shù)(均值)為 的泊松分布.t 在實(shí)際過(guò)程中,條件(3)的驗(yàn)證存在著一定的困難,為此我們給出泊松過(guò)程另一個(gè)等價(jià)定義. 若在任一時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù) 的分布只依賴于時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度,則稱計(jì)數(shù)過(guò)程 有平穩(wěn)增量平穩(wěn)增量.這就意味著此時(shí) 與 有相同的分布.)(tN)()(12stNstN)()(12tNtN)(tN第3頁(yè)/共58頁(yè)第4頁(yè)/共58頁(yè)第5頁(yè)/共58頁(yè)第6

3、頁(yè)/共58頁(yè) 定理3.1 計(jì)數(shù)過(guò)程 稱為泊松過(guò)程泊松過(guò)程 ,參數(shù)為 0),(ttN),0(如果 (1) ; 0)0(N (2) 過(guò)程有平穩(wěn)與獨(dú)立增量; (3);(1)(hohhNP (4).(2)(hohNP 若 是參數(shù)為 的泊松過(guò)程,則有ttNE)(于是可以認(rèn)為 是單位時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù). . 稱 為泊松過(guò)程的強(qiáng)度、風(fēng)險(xiǎn)率強(qiáng)度、風(fēng)險(xiǎn)率或速率速率.0),(ttN第7頁(yè)/共58頁(yè)強(qiáng)度為 的泊松過(guò)程的數(shù)字特征： 0001. ,E N t tE N tN ttt； 00002. ,000 ,NND N t tD N tN ttttNtE N tt DtD N tt，

4、 特別地，由假設(shè)，可得：；3. , ,0NNCs tDmin s tmin s ts t，； 24. , ,0NNNNRs tCs tstmin s tsts t，。第8頁(yè)/共58頁(yè)第9頁(yè)/共58頁(yè)( ),0(5)4;(5)4,(7.5)6,(12)9;(12)9(5)4;(4)(5)4(12)9;(5)(5),(5),(5),(12).N t tP NP NNNP NNP NNE ND NCov NN例12：設(shè)服從參數(shù)為 的泊松過(guò)程，求(1) (2) (3) 45(1) P54(5 )4!Ne解： (2) 54,(7.5)6,(12)954,(7.5)(5)2,(12)(7.5)3P NNN

5、P NNNNN4522.534.5(5 )4!(2.5 )2!(4.5 )3!eee例1第10頁(yè)/共58頁(yè) (5) EN(5)=5 ,55 ,D N(3)(12)9(5)4(12)(5)5(5)4P NNP NNN(4)(5)4(12)9(5)4,(12)9(12)9P NNP NNP N57(12)(5)5(7 )5!P NNe (5)4(12)(5)5(12)9P NP NNP N 455749 449912(5 )4!(7 )5!551.1212(12 )9!eeCe (5),(12)55 .Cov NND N第11頁(yè)/共58頁(yè) 例2 事件A的發(fā)生形成強(qiáng)度為 的泊松過(guò)程 .如果每次事件發(fā)

6、生時(shí)以概率 能夠記錄下來(lái),并以 表示到t時(shí)刻被記錄下來(lái)的事件總數(shù),證明 是一個(gè)強(qiáng)度為p 的泊松過(guò)程.p0),(ttN)(tM0),(ttM證 滿足定義3.2中的前兩個(gè)條件是顯然的,下證它也滿足第三個(gè)條件.)(tM 顯然, 的可能取值為 并且由全概率公式,有, 2 , 1 , 0)(tM0)()(|)()(nntNPntNmtMPmtMP而mn 0)(|)(ntNmtMP若mnmppmnntNmtMP)1 ()(|)(若mn 第12頁(yè)/共58頁(yè)由題意tnntntNPe!)()(于是tnmnmmnntppmnmtMPe!)()1 ()(mnmnmnmmtmntpmtp)!()()1 (!)(e)1

7、(e!)(eptmmtmtptpmmpte!)(所以, 是一個(gè)強(qiáng)度為 的泊松過(guò)程.0),(ttMp第13頁(yè)/共58頁(yè)第二節(jié)第二節(jié) 與泊松過(guò)程相聯(lián)系的若干分布與泊松過(guò)程相聯(lián)系的若干分布預(yù)備知識(shí) (1) 函數(shù)定義為:zxzzzde)(01 (2)有關(guān) 函數(shù)的幾個(gè)重要公式:)() 1(zzz!) 1(nn21第14頁(yè)/共58頁(yè) (3)若隨機(jī)變量 的概率密度為X0, 00,)()(1xxexxfx則稱 服從參數(shù)為 的 分布,記為X,),(X 當(dāng) 時(shí),就是參數(shù)為 的指數(shù)分布.1 (4) 分布關(guān)于參數(shù) 具有可加性.即若),(1X),(2Y且 與 獨(dú)立,則XY),(21YX第15頁(yè)/共58頁(yè) 引理 設(shè) 相互

8、獨(dú)立且均服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,則有nXXX,21),(21nXXXn (5)泊松過(guò)程的樣本軌跡是跳躍度為1的階梯函數(shù).記 為第 次事件發(fā)生的時(shí)刻, 是第 次與第 次事件發(fā)生的時(shí)間間隔.nTnnXn1n一. 和 的分布nXnT 定理定理3.23.2 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,且相互獨(dú)立.nX) 1( n第16頁(yè)/共58頁(yè)證證 當(dāng) 時(shí),有0t0)(11)(111tNPtXPtXPtF所以0, 00e1)(1tttFt又即 相互獨(dú)立且均服從參數(shù)為 的指數(shù)分布.21, XX|0)()(|112sXsNtsNPsXtXP0)(0)()(tNPsNtsNPt e重復(fù)以上的推導(dǎo)可證定理之結(jié)論.第17頁(yè)/共5

9、8頁(yè)第18頁(yè)/共58頁(yè) 定理3.3 ),(nTn 證證 由于niinXT1故由定理3.2以及引理的結(jié)論馬上可得本定理之結(jié)論.注注: :1 1 的概率密度為),(n)!1()()(1ntexfntTn)0( t)(ntNtTn2.第19頁(yè)/共58頁(yè) 由定理3.2,我們給出泊松過(guò)程的另一個(gè)等價(jià)定義. 定義定義3.3 設(shè) 是計(jì)數(shù)過(guò)程,如果它的相繼到達(dá)時(shí)間間隔序列相互獨(dú)立且服從相同的指數(shù)分布,則稱 為泊松過(guò)程泊松過(guò)程.0),(ttN)(tN 定理定理3.23.2的直接推論的直接推論 設(shè)泊松過(guò)程的強(qiáng)度為 ,記 為過(guò)程的到達(dá)間隔,則X1)(XE第20頁(yè)/共58頁(yè) 引理 (無(wú)后效性或無(wú)記憶性)設(shè)隨機(jī)變量 服

10、從參數(shù)為 的指數(shù)分布,則, 0, 0 xt|xXPtXxtXP 證 |xXPtXxtXP,xXPxtXPxXPxXxtXPeee)(xXPxtxtX第21頁(yè)/共58頁(yè)第22頁(yè)/共58頁(yè)第23頁(yè)/共58頁(yè)第24頁(yè)/共58頁(yè)第25頁(yè)/共58頁(yè)第26頁(yè)/共58頁(yè)第27頁(yè)/共58頁(yè)第28頁(yè)/共58頁(yè)第29頁(yè)/共58頁(yè)第30頁(yè)/共58頁(yè)第31頁(yè)/共58頁(yè)第32頁(yè)/共58頁(yè)第33頁(yè)/共58頁(yè)第三節(jié)第三節(jié) 泊松過(guò)程的推廣泊松過(guò)程的推廣一、非齊次泊松過(guò)程一、非齊次泊松過(guò)程 定義3.4 計(jì)數(shù)過(guò)程 稱為強(qiáng)度為 的非齊次泊松過(guò)程,如果0),(ttN0)(t (1) ; 0)0(N (2) 過(guò)程有獨(dú)立增量; (3);

11、()(1)()(hohttNhtNP (4).(2)(hohNP 令 ,則有如下的等價(jià)定義.tsstm0d)()(第34頁(yè)/共58頁(yè) 定義3.5 計(jì)數(shù)過(guò)程 稱為強(qiáng)度為 的非齊次泊松過(guò)程,如果0),(ttN0)(t (1) ; 0)0(N (2) 過(guò)程有獨(dú)立增量; (3)對(duì)于任意的實(shí)數(shù) 服從參數(shù)為)()(, 0, 0tNstNststtduutmstm)()()(的泊松分布. 定理定理 定義3.4與定義3.5是等價(jià)的. 證證 只需證)()(exp!)()()()(tmstmntmstmntNstNPn 證明過(guò)程將要用到母函數(shù)的概念,從略.第35頁(yè)/共58頁(yè)第36頁(yè)/共58頁(yè)第37頁(yè)/共58頁(yè)第3

12、8頁(yè)/共58頁(yè)第39頁(yè)/共58頁(yè) 例3.7 設(shè)某設(shè)備的使用期限是10年,在使用期限內(nèi),如果出現(xiàn)故障則需要維修.設(shè)出現(xiàn)故障的計(jì)數(shù)過(guò)程是一個(gè)非齊次的泊松過(guò)程,并且已知前5年它平均2.5年需要維修一次,后5年平均2年需要維修一次. 求它在使用期內(nèi)只維修過(guò)一次的概率. 解解 由題意,強(qiáng)度函數(shù)為10521505 .21)(ttt則在使用的期限(10年)內(nèi),故障發(fā)生的次數(shù) 服從參數(shù)為5 . 4215 . 21)()10(10550100dtdtdttm) 0()10(NN的泊松分布,故5 . 4)5 . 4(1)0()10(eNNP第40頁(yè)/共58頁(yè)第41頁(yè)/共58頁(yè)第42頁(yè)/共58頁(yè)第43頁(yè)/共58頁(yè)第

13、44頁(yè)/共58頁(yè)二二. .復(fù)合泊松過(guò)程復(fù)合泊松過(guò)程 定義3.6 稱隨機(jī)過(guò)程 為復(fù)合泊松過(guò)程,如果對(duì)于 ,它可以表示為如下形式0),(ttX0t)(1)(tNiiYtX其中 是一個(gè)泊松過(guò)程, 是一族獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,并且與 獨(dú)立.0),(ttN0),(ttNnYY,1第45頁(yè)/共58頁(yè) 例3.3 設(shè)進(jìn)入商店的顧客數(shù)可以用一個(gè)泊松過(guò)程來(lái)近似.第 個(gè)顧客在商店購(gòu)物支付的款數(shù)記作 ,并設(shè) 相互獨(dú)立同分布,則在時(shí)段 中商店的營(yíng)業(yè)額iiY,21YY, 0(t)(1)(tNiiYtX是一個(gè)復(fù)合泊松過(guò)程. 例3.4 設(shè)保險(xiǎn)公司接到的索賠次數(shù)服從一個(gè)泊松過(guò)程,每次要求賠付的金額獨(dú)立同分布,則在任一時(shí)段內(nèi)保險(xiǎn)

14、公司需要賠付的總金額就是一個(gè)復(fù)合泊松過(guò)程.第46頁(yè)/共58頁(yè) 定理3.6 設(shè) 是一復(fù)合泊松過(guò)程,其中泊松過(guò)程 的強(qiáng)度為 ,則)(tN(1) 具有獨(dú)立增量;)(tX)(1)(tNiiYtX(2)若 均存在,則221)(,)(iiYEYE,)(1ttXE2)(ttXD證(1) 令 由于 具有獨(dú)立增量性,故,10nttt)(1)(11)()(kktNtNiikkYtXtXnk, 2 , 1相互獨(dú)立,即 具有獨(dú)立增量性.)(tN)(tX(2) （2）的證明需要用到矩母函數(shù)（略）.第47頁(yè)/共58頁(yè)第48頁(yè)/共58頁(yè)第49頁(yè)/共58頁(yè)第50頁(yè)/共58頁(yè) 例3.10 在保險(xiǎn)中的索賠模型中,設(shè)索賠要求以平均

15、2次/月的速率的泊松過(guò)程到達(dá)保險(xiǎn)公司.每次賠付為均值為10000元的正態(tài)分布,則一年中保險(xiǎn)公司平均賠付額是多少? 解 由題意,有 ,故所求的值為10000,12, 21t240000)10(1tXE(元)第51頁(yè)/共58頁(yè)三三. .條件泊松分布條件泊松分布 在實(shí)際問題中,常常會(huì)出現(xiàn)這樣的情形,此時(shí)某些意外事件出現(xiàn)的頻率是不能預(yù)先確定的,往往是一個(gè)隨機(jī)變量 ,而當(dāng)頻率確定時(shí),意外事件出現(xiàn)的規(guī)律就是一個(gè)泊松過(guò)程.這就是本節(jié)所要研究的條件泊松過(guò)程. 定義定義3.73.7 設(shè) 是具有分布 的正值隨機(jī)變量,如果在給定 的條件下,計(jì)數(shù)過(guò)程 服從參數(shù)為 的泊松過(guò)程,則稱 是條件泊松過(guò)程.)(G0),(ttN

16、0),(ttN 由定義可知,如果 是條件泊松過(guò)程,則有0),(ttN)(d!)()()(0GnetnsNstNPtn第52頁(yè)/共58頁(yè) 定理定理3.73.7 設(shè) 是條件泊松過(guò)程,且 ,則0),(ttN )(2E(1);)( tEtNE(2).()()(2tEDttND證證)()| )()(tEtEtNEEtNE(1)(2)22)()()(tNEtNEtND)()()(| )(2222EtttEtEtNEE)()(2tEDt第53頁(yè)/共58頁(yè) 例3.11 設(shè)意外事故的發(fā)生頻率受某種未知因素影響有兩種可能 ,且21,1pP,12qpP10 p為已知,并且已知到時(shí)刻 已發(fā)生了 次事故.(1)求下次事

17、故在 之前不會(huì)到來(lái)的概率;(2)發(fā)生的頻率是 的概率.tnst 1 解 (1) 所求的概率為)(|0)()(ntNtNstNP)()(, 0)()(ntNPntNtNstNP2121|)(|)(,0)()(iiiiiiPntNPntNtNstNPP第54頁(yè)/共58頁(yè)tntntsntsneptpeteptpet2121)1 ()()()1 ()()(21)(2)(1tntntsntsnepepepep212121)(2)(1)1 ()1 (以及tntntneptpetpetntNP211)1 ()()()()(|2111第55頁(yè)/共58頁(yè)課堂練習(xí) 習(xí)題1. 通過(guò)某十字路口的車流是一泊松過(guò)程，設(shè)每

18、分鐘內(nèi)沒有車輛通過(guò)的概率為0.2，求兩分鐘內(nèi)有多于一輛車通過(guò)的概率。 習(xí)題2. 在時(shí)間t內(nèi)向電話臺(tái)呼叫k次的概率為 如果任意兩相鄰的時(shí)間間隔內(nèi)的呼叫次數(shù)是相互獨(dú)立的，求在時(shí)間2t被呼叫n次的概率。 習(xí)題3. 設(shè)顧客到達(dá)商場(chǎng)的速率為2個(gè)/分鐘，求： （1）5分鐘內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)的平均值； （2）5分鐘內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)的方差； （3）5分鐘內(nèi)至少有一個(gè)顧客到達(dá)的概率。ekkPkt!)(第56頁(yè)/共58頁(yè) 習(xí)題4. 設(shè)顧客到某商場(chǎng)的過(guò)程是泊松過(guò)程，已知平均每小時(shí)有30人到達(dá)，求下列事件的概率：兩個(gè)顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔 （1）超過(guò)2min；（2）少于4min；（3）在13min之間 習(xí)題5. 某商店從上午8時(shí)開始營(yíng)業(yè)下午5時(shí)關(guān)門