高中數(shù)學(xué)搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球(學(xué)生版)

1、八個(gè)有趣模型搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球當(dāng)講到付雨樓老師于2018 年 1 月 14 日 總第 539 期微文章，我如獲至寶. 為有了教學(xué)的實(shí)施，我以付老師的文章主基石、框架，增加了我個(gè)人的理解及例題，形成此文，仍用文原名，與各位同行分享. 不當(dāng)之處，敬請(qǐng)大家批評(píng)指正. 一、有關(guān)定義1球的定義：空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫球面，簡(jiǎn)稱球. 2外接球的定義：若一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球. 3內(nèi)切球的定義： 若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)

2、切球. 二、外接球的有關(guān)知識(shí)與方法1性質(zhì)：性質(zhì) 1：過球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等；性質(zhì) 2：經(jīng)過小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過球心，該平面截球所得圓是大圓；性質(zhì) 3：過球心與小圓圓心的直線垂直于小圓所在的平面（類比：圓的垂徑定理）；性質(zhì) 4：球心在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心；性質(zhì) 5：在同一球中，過兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交，交點(diǎn)是球心（類比：在同圓中，兩相交弦的中垂線交點(diǎn)是圓心）. cab初圖 2初圖 1noo1pefoo1d1c1b1dca1o2abm2結(jié)論：結(jié)論 1：長(zhǎng)方體的外接球的球心在體對(duì)角線的交點(diǎn)處，即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)是球

3、心；結(jié)論 2：若由長(zhǎng)方體切得的多面體的所有頂點(diǎn)是原長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，則所得多面體與原長(zhǎng)方體的外接球相同；結(jié)論 3：長(zhǎng)方體的外接球直徑就是面對(duì)角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形的外接圓圓心，換言之，就是：底面的一條對(duì)角線與一條高（棱）構(gòu)成的直角三角形的外接圓是大圓；結(jié)論 4：圓柱體的外接球球心在上下兩底面圓的圓心連一段中點(diǎn)處；結(jié)論 5：圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓，該矩形的對(duì)角線（外接圓直徑）是球的直徑；結(jié)論 6：直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球；結(jié)論 7：圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在的直線上；結(jié)論 8：圓錐體軸截面等腰三角形的外接圓是大圓，該三角形的外接圓直徑是球的直徑；結(jié)論

4、 9：側(cè)棱相等的棱錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球. 3終極利器 ：勾股定理、正定理及余弦定理 （解三角形求線段長(zhǎng)度） ；三、內(nèi)切球的有關(guān)知識(shí)與方法1若球與平面相切，則切點(diǎn)與球心連線與切面垂直. （與直線切圓的結(jié)論有一致性）. 2內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等.（類比：與多邊形的內(nèi)切圓） . 3正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合. 4正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合. 5基本方法：（1）構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理；（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法（等體積法 ）. 四、與臺(tái)體相關(guān)的，此略. 五、八大模型第一講柱體背景的

5、模型類型一、墻角模型（三條棱兩兩垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）cab圖1-1cpababc圖1-2pcbaabc圖1-3cbpaabc圖1-4pcba方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式2222)2(cbar，即2222cbar，求出r例 1 （1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（）a16 b20 c24 d32（2）若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為3，則其外接球的表面積是（3）在正三棱錐sabc中，mn、分別是棱scbc、的中點(diǎn)，且mnam, 若側(cè)棱2 3sa, 則正三棱錐abcs外接球的表面積是 . 解：引理： 正三棱錐的對(duì)棱互相

6、垂直. 證明如下：如圖（3） -1 ，取bcab,的中點(diǎn)ed,，連接cdae,，cdae,交于h，連接sh，則h是底面正三角形abc的中心，sh平面abc，absh，bcac，bdad，abcd，ab平面scd，scab，同理：sabc，sbac，即正三棱錐的對(duì)棱互垂直，本題圖如圖（3）-2，mnam，mnsb/，sbam，sbac，sb平面sac，sasb，scsb，sasb，sabc，sa平面sbc，scsa，故三棱錐abcs的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，36)32()32()32()2(2222r， 即3642r，正三棱錐abcs外接球的表面積是36. （4）在四面體sabc中，abcsa平

7、面，, 1, 2,120abacsabac則該四面體的外接球的表面積為（）11.a7.b310.c340.d（5）如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3，那么它的外接球的表面積是(3)題-1(引理）hedbacs(3)題-2（解答圖）mnabcs（ 6）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為1的正方形，則該幾何體外接球的體積為類型二、對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體） 中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑 （cdab，bcad，bdac）第一步：畫出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱；第二步：設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為cb

8、a,，xbcad，ycdab，zbdac， 列方程組，(6)題圖yxabczzyx圖2-1dcab222222222zacycbxba2)2(2222222zyxcbar，補(bǔ)充 ：圖 2-1 中，abcabcabcvbcda31461. 第三步：根據(jù)墻角模型，22222222zyxcbar，82222zyxr，8222zyxr，求出r. 例 2（1）如下圖所示三棱錐abcd，其中5,6,7,abcdacbdadbc則該三棱錐外接球的表面積為. (1) 題圖bcda（ 2）在三棱錐bcda中，2cdab，3bcad，4bdac，則三棱錐bcda外接球的表面積為 . （3）正四面體的各條棱長(zhǎng)都為2

9、，則該正面體外接球的體積為（4）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如下圖，則圖中三角形 (正四面體的截面) 的面積是 . (4)題類型三、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）圖3-1c1b1aefa1o1oo2bc圖 3-2c1b1aa1o1oo2bc圖3-3c1b1aefa1o1oo2bc題設(shè)：如圖3-1 ，圖 3-2 ，圖 3-3, 直三 棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：確定球心o的位置，1o是abc的外心，則1oo平面abc；第二步：算出小圓1o的半徑rao1，haaoo212111（haa1也是圓柱的高

10、） ；第三步：勾股定理：21212ooaooa222)2(rhr22)2(hrr，解出r. 例 3（1）一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為89，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為（ 2）直三棱柱111abca b c的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若12abacaa,120bac，則此球的表面積等于 . （3）已知eab所在的平面與矩形abcd所在的平面互相垂直，60,2,3aebadebea，則多面體abcde的外接球的表面積為 .（4）在直三棱柱111cbaabc中，4,3,6,41aaaacab，則直三棱柱111cbaabc的外接球

11、的表面積為 .第二講錐體背景的模型類型四、切瓜模型（兩個(gè)大小圓面互相垂直且交于小圓直徑正弦定理求大圓直徑是通法）圖4-1pao1ocb圖4-2ao1ocbp圖4-3oo1acbp圖4-4acbp1如圖 4-1 ，平面pac平面abc，且bcab（即ac為小圓的直徑） ，且p的射影是abc的外心三棱錐abcp的三條側(cè)棱相等三棱abcp的底面abc在圓錐的底上，頂點(diǎn)p點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn) . 解題步驟：第一步：確定球心o的位置，取abc的外心1o，則1,oop三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓1o的半徑rao1，再算出棱錐的高h(yuǎn)po1（也是圓錐的高） ；第三步：勾股定理：21212ooaooa222)(rr

12、hr，解出r；事實(shí)上，acp的外接圓就是大圓，直接用正弦定理 也可求解出r. 2如圖 4-2 ，平面pac平面abc，且bcab（即ac為小圓的直徑） ，且acpa，則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：222)2()2(rpar22)2(2rpar；2122oorr212oorr3如圖 4-3 ，平面pac平面abc，且bcab（即ac為小圓的直徑）21212oocooc2122oorr2122oorac4題設(shè)：如圖4-4 ，平面pac平面abc，且bcab（即ac為小圓的直徑）第一步：易知球心o必是pac的外心，即pac的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑rac2；第二步：在pac中，可根據(jù)正弦

13、定理rccbbaa2sinsinsin，求出r. 例 4 （1） 正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為1， 底面邊長(zhǎng)為32， 則該球的表面積為 . （2）正四棱錐abcds的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為2，各頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球體積為（3）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（）a433 b33 c43 d123（4）在三棱錐abcp中，3pcpbpa, 側(cè)棱pa與底面abc所成的角為60，則該三棱錐外接球的體積為（）a b.3 c. 4 d.43（5）已知三棱錐sabc的所有頂點(diǎn)都在球o的求面上 ,abc是邊長(zhǎng)為1的正

14、三角形 ,sc為球o的直徑, 且2sc，則此棱錐的體積為（）a26b36 c23d22圖5adpo1ocb類型五、垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）1題設(shè)：如圖5，pa平面abc，求外接球半徑. 解題步驟：第一步：將abc畫在小圓面上，a為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑ad，連接pd，則pd必過球心o；第二步：1o為abc的外心，所以1oo平面abc，算出小圓1o的半徑rdo1（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得rccbbaa2sinsinsin） ，paoo211；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：222)2()2(rpar22)2(2rpar；2122oorr212oorr

15、. 2題設(shè)：如圖5-1 至 5-8 這七個(gè)圖形，p的射影是abc的外心三棱錐abcp的三條側(cè)棱相等三棱錐abcp的底面abc在圓錐的底上，頂點(diǎn)p點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn) . 圖5-1pao1ocb圖5-2pao1ocb圖5-3pao1ocb圖5-4pado1ocb圖5-6dpoo2abc圖5-7poo2abc圖5-8dpoo2ab解題步驟：第一步：確定球心o的位置，取abc的外心1o，則1,oop三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓1o的半徑rao1，再算出棱錐的高h(yuǎn)po1（也是圓錐的高） ；第三步：勾股定理：21212ooaooa222)(rrhr，解出r方法二： 小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用正弦定理 求大圓直

16、徑得球的直徑.例 5 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為( ) a3b2c316d以上都不對(duì)222222俯視圖側(cè)視圖正視圖第三講二面角背景的模型類型六、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊( 如圖 6) 圖6h1eacobdah2第一步：先畫出如圖6 所示的圖形，將bcd畫在小圓上，找出bcd和bda的外心1h和2h；第二步：過1h和2h分別作平面bcd和平面bda的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心o，連接ocoe,；第三步：解1oeh，算出1oh，在1ochrt中，勾股定理：22121occhoh注：易知21,heho四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓，證略. 例 6（

17、1）三棱錐abcp中，平面pac平面abc，pac和abc均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐abcp外接球的半徑為.（2）在直角梯形abcd中，cdab/，90a，45c，1adab，沿對(duì)角線bd折成四面體bcda，使平面bda平面bcd，若四面體bcda的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該項(xiàng)球的表面積為（3）在四面體abcs中，bcab，2bcab，二面角bacs的余弦值為33，則四面體abcs的外接球表面積為（4）在邊長(zhǎng)為32的菱形abcd中，60bad，沿對(duì)角線bd折成二面角cbda為120的四面體abcd，則此四面體的外接球表面積為（5） 在四棱錐abcd中，120bda，150bdc，2bdad

18、，3cd， 二面角cbda的平面角的大小為120，則此四面體的外接球的體積為類型七、兩直角三角形拼接在一起( 斜邊相同 , 也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐) 模型圖7oacbp題設(shè)：如圖7，90acbapb，求三棱錐abcp外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)o，連接ocop,，則abopocoboa21，o為三棱錐abcp外接球球心，然后在ocp中求出半徑），當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值 . 例 7（1）在矩形abcd中，4ab，3bc，沿ac將矩形abcd折成一個(gè)直二面角dacb，則四面體abcd的外接球的體積為（）a12125

19、 b9125 c6125 d3125（2）在矩形abcd中，2ab，3bc，沿bd將矩形abcd折疊， 連接ac，所得三棱錐bcda的外接球的表面積為第四講多面體的內(nèi)切球問題 模型類型八、錐體的內(nèi)切球問題1題設(shè)：如圖8-1 ，三棱錐abcp上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑. 第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，he,分別是兩個(gè)三角形的外心；第二步：求bddh31，rphpo，pd是側(cè)面abp的高；第三步：由poe相似于pdh，建立等式：pdpodhoe，解出r2題設(shè)：如圖8-2 ，四棱錐abcp是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，hop,三點(diǎn)共線；第二步：求bcfh21，rphpo，pf是側(cè)面pcd的高；第三步：由pog相似于pfh，建立等式：pfpohfog，解出圖 8-1hdabcpoe圖8-2fehdbacpog3題設(shè)：三棱錐abcp是任意三棱錐，求其的內(nèi)