2021屆高三新高考八省模擬測試數(shù)學試題

1、“決勝高考” 2021屆高三新高考八省第一次模擬測試數(shù)學試題學校:姓名： 班級： 考號： 一、單選題1 .已知集合A = xeZH2x<3, 3 = 0,3,則4口8=()A. -1,0,1,2,3 B. 0,1,2C. 0,1,3D, 0,1【答案】D【的】【分析】先求出A = 0,1,2,再求出AC18得解.【詳解】由題得 A = xeZM -2%<3 = xwZ|-l V4<3 = 0,1,2,又5 = 0,1,3,所以An6 = 01.故選：D.【點睛】本題主要考查集合的交集運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2 .已知復數(shù) =,貝%一1|=()1

2、 + 1A.巫B.正C. J2D.正2 2N【答案】A【解析】【分析】先利用復數(shù)的運算法則計算Z 1,然后再利用模長公式求模長.【詳解】,1 + 2Z 1 1 + 2/-1-Zi /(1-z)1 + zzi =-1 =1 + il + i1 + i (1 + 0(1-/)2所沖t卜后另T邛 故選：A【點睛】本題主要考查了發(fā)數(shù)的運算，求更數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.3 .網(wǎng)購女鞋時，常常會看到一張女鞋尺碼對照表如下，第一行是我們習慣稱呼的“鞋號” （單位：.號），第二行是腳長（單位：mm）,請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，思考：他們家正好有一款“32號”的女鞋在搞打折，那么適合購買這款鞋的腳長的取值范圍是（）鞋碼353

3、6373839腳長225230235240245A. 201,205 B. 206,210 c. 211,215 D. 216,220【答案】B【解析】【分析】先建立函數(shù)關(guān)系y = 5x+50,再求解即可.【詳解】解：設(shè)“腳長”為）'，“鞋號”為X,根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)X與'滿足y = 5x+50的函數(shù)關(guān)系，當x = 32時， = 5x32 + 50 = 210,故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)關(guān)系的建立，是基礎(chǔ)題.4 .已知圓/+）3+ 2工2）2 = 0上的點到直線.r+y + & = 0的最遠距離為4,則實數(shù)。的值是（）A. 0 或 4B. -2 或 2C. -2D. 2【

4、答案】B【懶】【分析】圓上的點到直線的最遠距離為圓心到直線的距離再加上半徑,即可求出。的值.【詳解】由父 +）尸 + 2文一2一2 = 0得（.丫+1+（-1）： =4,所以圓心為（一口），=2, 圓心到直線x+ y + ® = 0的距離為d=所以同+ 2 = 4,解得 =2或2.故選：B【點睛】本題主要考查了圓上的點到直線的距離，關(guān)健是要找到到直線距離最大的點，屬于中檔 題.試卷第4頁，總23頁【答案】D【分析】由/（0）>0,函數(shù)不具有奇偶性，以及x>0時，函數(shù)值大于0,結(jié)合選項即可得解.【詳解】,、e° + sm0 解：0) = 丁 一十o- 2=2>

5、;0，則可排除A；ev + sin x又函數(shù)/W二 不具有奇偶性'則可排除C； 當x>0時，+ sinx>0，- + x2 >0,則可排除 B.乙故選：D.【點睛】本題考查已知函數(shù)解析式，利用函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)圖象，常用排除法進行解題，屬于中 檔題.6.已知向量。二 (1,1), 3 = (/兒2).若(加6)_1。，則向量垢+B與£+3的夾角的余 弦值為()在10【答案】A【而】【分析】首先根據(jù)向量垂直，得到(。一4。=0,即可求出參數(shù)7的值，從而取出 + 5與£ + (2a + b4a + b的坐標，最后根據(jù)cose='|TY .，計算可

6、得;27+ /?« + /?【詳解】解：因為 4 = (-1,1), 3 =。幾2),所以 -3 二 (-1 - 7,-1),因為(4-6)_Lo,所以(«- = (-l)x(-l-7w) + (-l)xl = 0,解得m=0,所以B = (O,2),所以2a +b = (-2,4), + B = (1,3),所以12a + B = "(-2+ 4? = 2 下，a+ b = (I)2 + 32 = 5yi",(2a+ b(a + b) = (2)x(1) +4x3 = 14 ,所以 ”(2"叩("14_7 小囚+肝+q -26、亞一

7、丁故選：A【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標運算以及平面向量的夾角的計算，屬于中檔題.7.六個人排隊，甲乙不能排一起，丙必須排在前兩位的概率為()作出函數(shù)/(X)的圖象如下圖所示，作直線y = cx,如圖，%>0時，y = ex與函數(shù)f(x)的圖象有兩個交點，即/'(%)- ex = 0有兩個解且0 < tl V 1 ,上1，x < 0時，/(x) = ex,則f(x) = ex,由r(%) = ex = e,解得x = 1,而x = 1時， y = e x (1) = e,/(1) = e,所以直線y = ex與/(%) =在(-1, e)處相切，即xvO時，方

8、程/(X)-。X = 0有 一個解一1,令F(x) = /(/(x) - ef(x) = 0,令亡=/(x),則F(x) = /(t) - et = 0,由上面的討論知方程fQ) e£ = O有三個解：一1,3t2(0<t! <1, t2>l),而/(%) = 一 1有一個解，/(x) = ti(O < tj < 1)有兩個解，f(x)=12(2>1)有一個解， 所以F(X)= /(/(%) - e/(x) = 0有 4 個解，所以函數(shù)F(x) = /(/(%) - e/(x)有 4 個零 點，本題考查函數(shù)的零點個數(shù)問題，關(guān)鍵在于得出函數(shù)的圖象，運

9、用數(shù)形結(jié)合的思想判斷出 兩函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，屬于較難題.二、多選題9.從一批零件中抽取80個，測量其直徑(單位：mm),將所得數(shù)據(jù)分為9組：5.31,5.33),5.33,5.35),5.45,5.47),5.47,5.49,并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中()試卷第6頁，總23頁10 .下列關(guān)于點、線、面位置關(guān)系的命題中正確的是（）A.若兩個平面有三個公共點，則它們一定重合B.空間中，相交于同一點的三直線在同一平面內(nèi)C.兩條直線。，分別和異面直線。，“都相交，則直線。，可能是異面直線，也 可能是相交直線D.正方體ABCD - AdCR中，點。是4R的中點，直線AC交平面A

10、B1于點M ,則A, M ,。三點共線，且A, O, C,"四點共面【答案】CD【解析】【分析】在正方體A6CQ-A與GA中，分析每個選項是否正確即可.【詳解】A對于選項A：如圖A、D、石三個公共點在一條直線上，平面A6C0與平面AOAA相 交不重合，故選項A不正確;對于選項B：正方體中從點人出發(fā)的三條棱AA、45、4。不在同一個平面內(nèi)，故選項B不正確：對于選項C若力則。，確定一個平面，且。，b與直線c, d的交點都在此平面內(nèi)， 則c, d共面，與。，d是異面直線矛盾，故直線。，人可能是異面直線，也可能是相 交直線.故選項C正確：平面ACPI平面A4R=ao,因為直線Ac交平面于點m

11、 ,所以MeAO,即a, ",。三點共線，因為A,。三點共線，直線和直線外一點可以確定一個平面，所以人，。，C, 四點共面，故選項D正確.故選：CD【點睛】本題主要考查了空間中點、線、面的位置關(guān)系，以及確定平面的公理，屬于基礎(chǔ)題.11 .設(shè)函數(shù)/(x), g(x)在R上存在導函數(shù)/'(X), g'(x),且g'(x) = r(x)_4x, g(x)不含常數(shù)項，對于任意的實數(shù)不都有/(t) = 4/一/(x),當xe(一吟0時， r(x)-4x+l<0,貝U ()A. g(x)是偶函數(shù)B.在區(qū)間(-8,0)上是減函數(shù)c. g(x)在區(qū)間(0.+8)上是減函

12、數(shù)D.若/(帆+1)</(一帆)+ 47 + 2,則/?>- 2【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)條件依次判斷每個選項的正誤.【詳解】對于 A,由 g<x) = r(x)-4x, g(x)不含常數(shù)項可知 g(x) = /(x)- 2丁 ,因為對于任意的實數(shù)X都有/(T)= 4/ 一 /(X), g(-x) = f(-x)- 2M = 4x2 - /(.¥)- 2x2 = 2x2 - /(%) = -g(x), g(x)是奇函數(shù),故A錯誤;對于B, .當X£(8,O時，r(x)-4x+l<0,即f'(x)v4x-lv0,故/(九)在 區(qū)間(一吟

13、。)上是減函數(shù)，故B正確：對于 C,當工£(一8,0時，r(x)-4x+l<0, g'(x) = r(x)-4x<-l,則 g(x)在(-oo,0)上是減函數(shù)， g(X)是奇函數(shù)，g(x)在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)，故C正確；對于 D,若一7)+4m+2 ,則 f(m4-1)-+1)2 < f(-m)-2m2, 即且（7 + 1）g（一7）,.遭（不）是減函數(shù)，.“+1之一7,解得7之一,故D正確. 故選：BCD.【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.12.已知。為坐標原點，M（L2）, P是拋物線C： V = 2p工上的一點，尸為其焦點,若尸

14、與雙曲線下-V = l的右焦點重合，則下列說法正確的有（）A.若歸/1 = 6,則點P的橫坐標為4B.該拋物線的準線被雙曲線所截得的線段長度為C.若尸。F外接圓與拋物線C的準線相切，則該圓面積為9幾D. PM廠周長的最小值為3 +6【答案】 ACD【分析】 先求出p = 4,選項A求出點夕的橫坐標為4 =忙曰一§ = 4,判斷選項A正確；選0 /判斷選項B項B求出拋物線的準線被雙曲線所截得的線段長度為42 錯誤；選項C先判斷尸外接圓的圓心的橫坐標為1,再判斷外接圓與拋物 線C的準線相切，所以圓心到準線的距離等于圓心到焦點廠的距離等于半徑，最后求 出半徑和外接圓面積，判斷選項C正確;選

15、項D直接求出APA始的周長為。之3 +6， 判斷選項D正確.【詳解】 解：因為雙曲線的方程為三一V=l,所以"=3,從=1,則0 = 而萬=2,因為拋物線。的焦點尸與雙曲線二-儼=1的右焦點重合，所以2=2,即 =4, 3 '2選項A：若|尸產(chǎn)| = 6,則點夕的橫坐標為&=|尸尸|一" = 4,所以選項A正確; 選項B：因為拋物線C的焦點尸與雙曲線二的右焦點重合，所以拋物線的準3線被雙曲線所截得的線段長度為生=義=",所以選項B錯誤：a 幣 3選項C：因為。(0,0)、尸(2,0),所以尸外接圓的圓心的橫坐標為1,又因為。尸外接圓與拋物線C的準線

16、相切，所以圓心到準線的距離等于圓心到焦點尸的距離等于半徑，所以圓心在拋物線上且到準線的距離為3,所以 =3,所以該外接圓面枳為S =不產(chǎn)=9五,所以選項C正確：選項D：因為PM尸的周長為C = PF + PM + MF = xp + -+PM + y/5 = (<xp + PM) + 2 + y/5>xM+2 + y/5=3 + yf5,所以選項D正確.故選：ACD【點睛】本題考查拋物線的定義的幾何意義，雙曲線的通徑長， 三、填空題13.二項式展開式中常數(shù)項為.【答案】10【的】【分析】寫出二項式(«+馬展開式，利用X的次累為0,即可得常數(shù)項. k X-)【詳解】，八51

17、5-5AV7+4 展開式通項為：%"爐x2kxx-2k=C2kxV XJI )令二 = 0 ，得k = l,2所以常數(shù)項為C；2Z°=10, 故答案為：10【點睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項，求展開式中某一項的系數(shù), 屬于基礎(chǔ)題.14 .曲線 = 2x(lnx+l)在x = l處的切線方程為.【答案】4x-y-2 = 0【解析】【分析】首先求出切點坐標，再利用導數(shù)求出切線的斜率，最后利用點斜式求出切線方程：【詳解】解：因為y = 2x(lnx+l),當x = l時，y = 2,所以切點坐標為(1,2),=(2x) (liix4-l) +(2x)(ln

18、x+l) = 2(lnx+l) + 2所以)，1日=2(1+1)+2 = 4所以切線方程為y2 = 4(x1),整理得4x- y - 2 = 0故答案為：4x y 2 = 0【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.15 .已知在棱長為1的正方體A8CO A4GR中，E為2AA。的中心，F(xiàn)為CE的中點，過F作FM工CE交DC于點M ,則三棱錐M 。斯體積為【答案】148Wr【分析】作出圖示，由已知條件可得出M為。2的中點，再運用等體枳法/= V = c V = VV M-DEF - 2 M-DEC 2 DrDEC -4 C-DED1，可求得答案.【詳解】作出圖示如下圖所示，由已知得2e=巫，

19、2。= J7, 12EC =試卷第22頁，總23頁所以滿足。2 =2爐十七。2,所以又FM LCE,所以FM/QE ,又尸為CE的中點，所以M為的中點,-V =LxLy =Ly2 M-DEC 22 DDEC 4 V C-DED= lxlxixlxi 4 3 22xl_ 148所以匕，“口【點睛】本題考查運用等體積法求三楂錐的體枳，屬于中檔題.四、雙空題16 .過拋物線V = 41的焦點F的直線交拋物線于A , 8兩點，點。是原點,若|人尸卜3 , 則怛片=,“。臺的面積為.335/2【答案】-22Wrl【分析】先根據(jù)拋物線定義求出點A坐標，求出直線AB方程，代入拋物線方程可求出點從即 可求出忸

20、日和,。臺面積.【詳解】由題可知P = 2,尸（1,0）,設(shè)人（.%乂）,6（毛,%）,如圖，由拋物線的定義可知|A/= &+§ = 3,則網(wǎng)=2,則弘=2應(yīng)，./ 二 士更=2&，,直線A6的方程為：y = 2jlx 2近， 2 1代入拋物線得2/一5工+2 = 0,解得x = 2,± = g,則乃二JL,| = +y = y + 1 = p Sa=|x|OF|x |?|+|)| =|xlx3>/2=.故答案為：巫. 22【點睛】本題考查直線與拋物線關(guān)系，考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.五、解答題17.數(shù)列%的前項和為S“，且2S” = 37 + .(

21、1)求。1 和。2020 ；(2)求數(shù)列一、的前項和.Ia+WnJ【答案】(1)可=2 ,=6059 ； (2) T“ = 5(3 + 5y【解析】【分析】(1)在等式2s“ = 3？ + 中，令 =1可求得為的值，由«2020 = 52020 - 5刈9可求得a”的值;(2)由可求得數(shù)列。的通項公式，可求得的表達式,然后利用裂項相消法可求得，.【詳解】,3 、 1(1) *. 2Sf/ = 3n2 + n , /. S =n2 + n. 223i當 =1 時，4 = 5 = Xhx 1 = 2 ：11 223131。=S 5,019 =-x 20202 +-x 2020 x2019

22、2 x 2019 = 6059；313i(2)當“22 時，an = Sn - Sn = -n2 + -n- (/? -1)2 - - (/? -1) = 3n -1, q = 2滿足% =3-1,所以，對任意的 eN*，。=3-1._ (3 + 2)(3 + 5)313 + 2 3/7 + 5 ；因此,lp_lA 315rIfl 1 A 3(8 11J1( 1H3U11 ) 1 1 1 ” 1 1 114 J3(3 + 2 3/7 + 5 J 315 3h + 5 Jn5(377 + 5)【點睛】本題考查利用S“求/，同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于中等題.18.在A6C中，它的內(nèi)

23、角A, B, C的對邊分別為。，b, J且/ + /=/ +訛，求：(1)角 5=?(2)在若5科比.二百，且邊c = l,若cosA = g,且邊c = ¥這兩個條件中任選一個，求邊的值？【答案】(1);(2)/? = JTJ ；b = JJ.【的】【分析】（1）用余弦定理直接代入即可求解；（2）用三角形面積公式和余弦定理可解；用兩次余弦定理解方程組即可求解.【詳解】 解：(1) cr +c2 -b2 =ac t仁 a2 + c2-b2 ac 1匚、| 九cos5 =一，加以8 = 一 ,2ac 2ac 23(2)若5癡.=6，且邊c = l.則 S八= -acsmB = xf/x

24、lxsm =ABC 223所以a = 4,b2 =a2 +c2-2accosB，所以獷=42+12-2x4xlxcos, 3若cosA = 2,且邊c =77a2 =b2 +c2 - 2bc cos A = b2 +c2 be a2 +c2 =b2 +ac7得。=2c代入到 a2 +/=？+ 中，所以b = JT -【點睛】考查應(yīng)用余弦定理和三角形面積公式求三角形中的邊和角，中檔題.19.自然資源部門對某市飲用水廠中的地下水質(zhì)量進行監(jiān)測，隨機抽查了 100眼水井進 行監(jiān)測，得到溶解性總固體濃度（單位：mg/L）和硫酸鹽濃度（單位：mg/L）的 分布如下表：溶解性總固體濃度硫酸鹽濃度0,300(

25、300,500(500,10000,5033154(50,1507813(150,2503710（1）估計事件“該市某一水井中溶解性總固體濃度不超過500,且硫酸鹽濃度不超過150”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表:溶解性總固體濃度硫酸鹽濃度0,500(500,1000合計0,150(150,250合計（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該市水井中溶解性總固體濃2n(ad -be)- K (a + b)(c + d)(a + c)(b + d)度與硫酸鹽濃度有關(guān)?P(K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828n = a

26、+ b+c + d.【答案】（1）0.63；（2）見解析；（3）有99%的把握認為該市水井中溶解性總固體濃度與硫酸鹽濃度有關(guān).（WfJ【分析】（1）根據(jù)表格可知滿足條件的有63個，再計算概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，直接計算填表；（3）根據(jù)數(shù)據(jù)計算再和臨界值表的數(shù)據(jù)比較.【詳解】（1）由表格可知，該市100眼水井中“溶解性總固體濃度不超過500,且硫酸鹽濃度不超過150”的水井有33+7+15+8=63 （眼）.所以“該市某一水井中溶解總固體濃度不超過500,且硫酸鹽濃度不超過150”的概率為包=0.63.100（2）由所給數(shù)據(jù)，可得2x2列聯(lián)表:溶解性總固體濃度硫酸鹽濃度0,500(500,10

27、00合計0,150631780(150,250101020合計7327100（3）根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得nad -be)2(a + b)(c + d )(a + c)(b + d)100x(63xl0-17xl0)2 80x20x73x2713225右 6.7098 >6.6351971根據(jù)臨界值表可知，有99%的把握認為該市水井中溶解性總固體濃度與硫酸鹽濃度有 關(guān).【點睛】本題考查獨立性檢驗，重點考查數(shù)據(jù)分析，計算能力，屬于基礎(chǔ)題型，讀懂題意是本題 的關(guān)鍵.20.如圖，在三棱錐PABC中，D, E,尸分別為棱AC, PC, A5的中點.已知PA = 2B BC = 2, EF =

28、 2.(1)證明：平面尸43_L平面45C；(2)若AC = 2, AC±BC9 M為BC中點,求PM與平面A5C所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)漢亙.13【解析】【分析】(1)利用勾股定理證明出0E1DF，結(jié)合已知條件由線面垂直的判定定理可證明平面45C，進而可得命題成立；(2)建立空間直角坐標系C-冷2，如圖所示，寫出兩的坐標，求出平面A5C的法向量，利用線面角的正弦公式求解即可.【詳解】(1);£>, E分別為棱AC, PC的中點，RPA = 25 :.DE = J:D,產(chǎn)分別為棱AC, A5的中點，且8c = 2,二。尸=1,又 EF = 2，

29、：.DE、DF? = EF2,即 DE10F-PA/DE,:.PA±DF 9 又PA_LAC，ACcO尸=。，.弘，平面A5C, 又PAu平面巳"，.平面PA5_L平面A5C(2)建立空間直角坐標系。-今z,如圖所示P(0,0,2的)1(0,0,0),8(0,2,0),M (0,1,0),兩=(0,1,2&)設(shè)平面ABC的法向量為n =(0,0,1)則PM與平面ABC所成角的正弦值為 卜M = 2屈lxVl + 12 V1313【點睛】 本題考查空間角的求法，考查空間點線面的位置關(guān)系，考查空間向量的應(yīng)用，屬于中檔 題.21.已知橢圓c： 1+21 = 1(«

30、;>/?>0)的右焦點為F,下頂點為4,上頂點為層, 1 離心率為不，且尸q.尸生=-2.(1)求橢圓c的標準方程；(2)設(shè)橢圓C的右頂點為A ,橢圓C上有一點P (不與A重合),直線PF與直線X = 2 相交于M.若14Ml =石，求點夕的橫坐標.v- y-8【答案】(1) +2_ = 1； (2) 0或一4 35【解析】【分析】c |(1)由所以尸4 尸民=c? ？ =2 ,又e =,得。=2c,又/-Z/= c?聯(lián)立 1a 2即可求解；(2)可求出M坐標，可知直線尸產(chǎn)斜率存在且不為0,求出斜率，即可得出直線方程, 聯(lián)立直線與橢圓就能求得P的橫坐標.【詳解】(1)由題意：尸(c

31、,0),用=(0,-份,4=(0,6),所以麗麗=。2-1=一2,clc又 e = = ，.a = 2c, a 2又標一=/，聯(lián)立以上三式得：/ = 4,尸=3,22所以橢圓的標椎方程=1:43(2)可知M 2,±5/3 , F(l,0),則直線斜率k = ±f J = 土 JT,所以直線PF方程為y = ±(x-l),Q代入橢圓可得5/一81=0,解得工=0或1=，5Q所以點尸的橫坐標為0或；.【點睛】本題考查了橢圓的標椎方程的求法和直線相交的求解，屬于基礎(chǔ)題.22.已知函數(shù) f(x) = lnx+o¥(4 £尺).(1)當2時，求函數(shù)的極值；(2)若g(x) = /(x)+0,討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性. X【答案】(1)-1112-1：(2)見詳解.【解析】【分析】(1)因為4 = 2,代入直接求導，即可得解;(2)進行求導，根據(jù)