八年級數(shù)學-一元二次方程知識點總結及典型習題2

1、金老師復習（ 2） 一元二次方程（一）、一元二次方程的概念1懂得并把握一元二次方程的意義未知數(shù)個數(shù)為1，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，整式方程，可化為一般形式ax 2bxc0 （ a>0）；2正確識別一元二次方程中的各項及各項的系數(shù)（ 1）明確只有當二次項系數(shù)a0 時，整式方程ax2bxc0 才是一元二次方程；（ 2）各項的確定包括各項的系數(shù)及各項的未知數(shù).3一元二次方程的解的定義與檢驗一元二次方程的解（二）、一元二次方程的解法1明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉化為一元一次方程求解；2依據(jù)方程系數(shù)的特點，嫻熟地選用配方法、開

2、平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3值得留意的幾個問題：1 開平方法：對于形如x2n 或 axb 2na0 的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負數(shù)，可用開平方法求解.形如 x2n 的方程的解法：當n0 時， xn ;當 n0 時， x1x20 ;當 n0 時，方程無實數(shù)根；（ 2）配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉化為 xm2n 的方程，再運用開平方法求解；配方法的一般步驟：移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊；“系數(shù)化1”：依據(jù)等式的性質把二次項的系數(shù)化為1；配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)

3、一半的平方，把方程變形為 xm2n 的形式；求解：如n0 時，方程的解為xmn ，如 n0 時，方程無實數(shù)解；（ 3）公式法：一元二次方程ax 2bxc0 a0 的根 xbb 22a4ac當 b2當 b22當 b4ac 4ac4ac0 時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根不相等；0 時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根相等，寫為0 時，方程無實數(shù)根.bx1x2；2a公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定a, b, c 的值；代入b 24 ac 中運算其值，判定方程是否有實數(shù)根；如b24ac0 代入求根公式求值，否就，原方程無實數(shù)根；（ 4）因式分解法：因式分解法的一般步驟：如方程的右

4、邊不是零，就先移項，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個因式都為零，得到兩個一元一次方程；解出這兩個一元一次方程的解可得到原方程的兩個解；第 1 頁 共 4 頁（三）、根的判別式1明白一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情形，并會用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范疇； （ 1）= b24 ac（ 2）根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程ax2bxc0 （ a0）a0a0當方程有實數(shù)根；當0時0時方程無實數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理；例：求證：方程a 21) x22axa240 無實數(shù)根；（ 4）分類爭論思想的應用：假如方程給出

5、的時未指明是二次方程，后面也未指明兩個根，那肯定要對方程進行分類爭論，假如二次系數(shù)為0，方程有可能是一元一次方程；假如二次項系數(shù)不為0，一元二次方程可能會有兩個實數(shù)根或無實數(shù)根；（四）、一元二次方程的應用1.數(shù)字問題：解答這類問題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式；2.幾何問題：這類問題要結合幾何圖形的性質、特點、定理或法就來查找等量關系，構建方程，對結果要結合幾何學問檢驗；3.增長率問題（下降率）：在此類問題中，一般有變化前的基數(shù)（a ），增長率（x ），變化的次數(shù)（n ），變化后的基數(shù)（ b ） ,這四者之間的關系可以用公式a1xnb 表示；4.其它實際問題（都要留意檢

6、驗解的實際意義，如不符合實際意義，就舍去）；（五）新題型與代幾綜合題（ 1）有 100 米長的籬笆材料，想圍成一矩形倉庫，要求面積不小于600 平方米， 在場地的北面有一堵50 米的舊墻，有人用這個籬笆圍成一個長40 米、寬 10 米的倉庫，但面積只有400 平方米，不合要求，問應如何設計矩形的長與寬才能符合要求呢？（ 2）讀詩詞解題（列出方程，并估算出周瑜去世時的年齡）：大江東去浪淘盡，千古風流數(shù)人物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽符，哪位學子算得準，多少年華屬周瑜？3 已知： a,b, c 分別是abc 的三邊長， 當 m0 時，關于 x 的一元二次方程c x

7、 2mbx 2m2max0有兩個相等的實數(shù)根，求證：abc 是直角三角形；（ 4）已知：a, b,c 分別是abc 的三邊長，求證：方程b 2 x 2b 2c2a 2 xc 20 沒有實數(shù)根；（ 5）當 m 是什么整數(shù)時，關于x 的一元二次方程mx 24 x40 與 x 24mx4 m24m50 的根都是整數(shù)？（ 6）已知關于x 的方程 x22 xm21x 22 x2 m0 ，其中 m 為實數(shù)，（ 1）當 m 為何值時， 方程沒有實數(shù)根？（ 2）當 m 為何值時，方程恰有三個互不相等的實數(shù)根？求出這三個實數(shù)根；答案：（ 1） m2 （ 2） x1,12 .（六）相關練習（一）一元二次方程的概念

8、1一元二次方程的項與各項系數(shù)第 2 頁 共 4 頁把以下方程化為一元二次方程的一般形式，再寫出二次項，一次項，常數(shù)項：（ 1）5 x223x2（ 2） 5a124a322應用一元二次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的值(1) m 為何值時，關于x 的方程 m2) x mm3 x4m 是一元二次方程；x 27x8（ 2）如分式0 ，就 xx13由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值1 關于 x 的一元二次方程 a1) x2xa 210 有一個根為0，就 a2 已知關于 x 的一元二次方程ax 2bx（二）一元二次方程的解法1開平方法解以下方程：c0a0 有一個根為1，一個根為1，就abc，abc（ 1）

9、 169 x3 2289213 m202配方法解方程：（ 1） x22 x502 2 y 24 y33公式法解以下方程：（ 1） 3 x26x2（ 2） p 2323 p4因式分解法解以下方程：（ 1） y24 y450(2) x522 x51（3）7 x 221x05解法的敏捷運用（用適當方法解以下方程）：1 6 x x2 x2 x32812 x5 2144x3 2（三）一元二次方程的根的判別式1不解方程判別方程根的情形：（ 1） 4 x 2x37 x（ 2） 3x 22) 4x3 4x2545 x2 k 為何值時，關于x 的二次方程kx 26 x90第 3 頁 共 4 頁（ 1）有兩個不等的實數(shù)根（ 2）有兩個相等的實數(shù)根（ 3）無實數(shù)根3. k 為何值時，方程k21 x2 k3 xk30 有實數(shù)根 .（四）一元二次方程的應用1已知直角三角形三邊長為三個連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長和面積.2.某印刷廠在四年中共印刷1997 萬冊書， 已知第一年印刷了342 萬冊， 其次年印刷了500 萬冊， 假如以后兩年的增長率相同，那么這