“數(shù)學(xué)分析”(下)學(xué)習(xí)引導(dǎo)

1、“數(shù)學(xué)分析”(下)學(xué)習(xí)引導(dǎo)第九章.級數(shù)一重點：幕級數(shù)收斂區(qū)間的確定，以及求其和函數(shù).二例題.例1.求幕級數(shù)1 2x + 2 3兀 + + n(n + i)x + 收斂區(qū)間與和函數(shù).解.設(shè)an = n(n + 1),于是lim 也= lim = l"t8 cln從而收斂半徑為r = l.但是；t = ±l時，幕級數(shù)發(fā)散故其收斂區(qū)間為(-u).設(shè)f(x) = 1 2兀 + 2 3兀 + + n(n + l)x + ，(ix < 1).逐項積分，得mz+3 宀+”+)=口于是，有fm =x2、(1一兀)2丿2x(1 一兀尸例2.試用幕級數(shù)求數(shù)項級數(shù)若(七尙的和.解.考察幕級

2、數(shù)84n +1z(-ir?j=1易求此幕級數(shù)收斂區(qū)間為-1,1.設(shè)其和函數(shù)為丄jy4n+】4/2 + 18廣=工(-1)十n=l于是ft dtcx dt)1 + /j) 1 + r由于在閉區(qū)間-1，1上連續(xù)，從而j) 1 +1 fm=lxtf， mil.因此/專"止金+步唄+") 第十章.多元函數(shù)微分學(xué)重點：復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計算.二.例題.例 1設(shè) z = ln(w2 + v),而 u = ex+y', v = x2 + >?.求旦仝. dx dy解.由于各= 20譽=2. ? = 1,于是 oxdydxdydz dz du dz dv 2 t_ = 7_7

3、_ + 7_7_ = (必+ %)，ox ou ox dv dx u + v& dz du dz 8v 1x+>,2=+= (4uye +1).dy du dy dv dy u2 +*例2設(shè)z = /(x,-)求弩，啓.ydx一 dxdy解.這里z是以兀和y為自變量的復(fù)合函數(shù)，它可寫成如下形式z = /("*)，u = x, v = . y由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知dz _df du df 5v _df 1 df ox du dx cv dx du y du于是化一 6 ©. 1 dfxd2fdut a2/ av. ira2/ du ,夕/州=i1 ) =11 l1

4、；jdx2 dx du y dv du dx dudv dx y dvdu dx dv dx _df_2 d2f1dfdu2y dudvy2dv2，色=(堂+丄笑)dxdy dy du y dv= d2f cu d2f dv _| 1 a2/ ou | a2/ dvdu2 dy dudv dy y2 dv y dvdu dy dv2 dyx d2fx d2f1 dfy2 dudv y3 dv2y2 dv第十一章.多元函數(shù)微分學(xué)一.重點：隱函數(shù)的求導(dǎo)，條件極值的計算，以及偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的 應(yīng)用.二.例題.例1設(shè)方程)x-siny = 0 確定 y = y(兀)，求2dx解設(shè)f(x,y) = y-

5、x-|siny .由于f,及其偏導(dǎo)數(shù)耳,化在平面上任一2點都連續(xù)，且f(0,0) = 0, fv(xo9 = l-|cos>0.厶于是由方程f(x,y) = 0確定字=f(x)存在,且dxdx fy 1 -ycosy 2 - cos y例2討論方程f(x,y,z) = xyz3+x2 + y3-z = 0在原點0(0,0,0)附近所確定 的二元隱函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù).解.由于f(0,0,0) = 0,巴(0,0,0) = -1工0,處處連續(xù)，由隱函 數(shù)存在定理，知f(x,y,z) = 0在原點附近能唯一確定連續(xù)的隱函數(shù) "/("),且可求得它的偏導(dǎo)數(shù)如下& _ 化_

6、平3 +2兀 比_ 代汐+彳)"dxfy 1 - 3xyz2， dyfy 1 - 3xyz2例3求函數(shù)f(x,y,z) = xyz在條件丄+丄+ - = (x > 0, > 0, z > 0)下的極 x y z r值，并證明不等式(111y' ,r3 <abc ,a b c 丿其中d,/?,c為任意止實數(shù).解.設(shè)拉格朗13函數(shù)為z/x, y, z, 2) xyz + 2(i1).x y z r對厶求偏導(dǎo)數(shù)，并令它們都等于零，則有2 2 2匕=2 _ = °， l、= yx=0, l, =- = 0,x y z r由此解得厶的穩(wěn)定點為x = y

7、 = z = 3r9 2 = (3r)4.為判定/(3r,3r,3r) = (3r)3是否為所求條件極(小)值，可把條件丄+丄+丄=丄看作隱函數(shù)"訟,刃(滿足隱函數(shù)定理條件)，并把目標函x y z rf(x,y,z) = xyz看作/與z = z(x,y)的復(fù)合函數(shù)，再應(yīng)用極值充分條件來作出判斷，為此計算如下:j =z2x22 2fx = yz + v = >7, f =xz-xz22yz32 c 3 z . 2z +x xy當 x = y = z = 3r 時，fxx = 6r = fyy, fxy = 3r ,or yyf.“ f = 36r2 9r2 = 27r2 >

8、;0.由此可見，所求得的穩(wěn)定點為極小值點，且是最小點.于是，就有不等式xyz (3r)3, (兀>0,y >0,z >0,且+ + = ).x y z r令兀= o,y = b,z = c,貝lj有r = (+ -j- + -)-1,代入上面不等式，有a b cabc > 3(丄+ g +丄)-丫，a b c或3(- + - + -)_1 <l/abc , (d>(),b0,c>0). abc例3求橢圓而戲+2戸+3/ =6在(1,1,1)處的切平面方程與法線方程.解.設(shè) f(x,y,) = x2+2y2+3z2-6.由于 fx =2x9fy =2y,

9、fz =6z 在全空間上處處連續(xù)，在(1,1,1)處f、=2,fy=4, f： =6,于是，得切平面方程為2(x-l) + 4(y l) + 6(z 1) = 0,即 x + 2y + 3z = 6.法線方程為x - 1 y - 1 z 1 r 2第十二章反常積分與含參變量的積分%1. 重點：含參變量的無窮積分收斂的判定.%1. 例題.例1證明含參變量的無窮積分竺耳dx在(-00,+00)上一致收斂.1 x證.由于對zr,有|罟*古，及反常積分占必收斂，由m判別法知，所判含參變量的無窮積分在(-8,+8)上一致收 斂.例2證明含參變量的無窮積分 pexy sinxjx在(0,+oo)上非一致收

10、 斂.證.玉0=丄 >0， va>0,衛(wèi)熾，(2k + l)”a，(r 充分大)，3y0 =1e(2k + 1)tte (0,+oo),有 e sinxdx > e拓smxdx =>| ilkrjlkre u由柯西一致收斂準則知無窮積分嚴'sin皿在(0,+oo)上非一致收斂 第十三章.重積分一.重點：二，三重積分的計算 二例題.例1設(shè)d是由直線x = 0, y = 1,和y = x圍成，試求i = x2ey dxdy 的值.d解.先對兀積分后對y積分.i = fdy f x2ey dx = y3ey dy . 由分部積分法，知/ =7-丄.6 3e例2計算，其

11、中u為由平面x = l, x = 2, z=0, y = x,與 v兀+ y解.v在平面上的投影區(qū)域為d = (x, y) :0<y<x,l<x< 2,于是prr dxdydz+y2clz2 2x + y= 1 f2ln(x2+y2)|xjx= ljn2x + y 22第十四章.曲線與曲面積分一.重點：利用格林公式和高斯公式計算曲線與曲面積分.二例題.例 1 求/ =j " siny -刃dx + ex cos - cly ,其中 c 是點 a(2,0)到點0(0,0)的上半圓周.解.用處軸上直線段必，使上半圓周和直線段朋構(gòu)成封閉曲線.設(shè)p(x, y) = ex sin y 一 y , q(x, y) = ex cos y -i.有8qdxdp¥cos y - (ex cos y 1) = 1 于是=i ex sin y -jihoaydx + ex cos y-dy=dxdy712其中在直線段必上，有尸o, (0<x<2),則ex sin y - ydx + 0 cos y - ldy = 0. )a因此ex sin y -刃dx + e x cos y - dy =. m2例 2