“函數(shù)的應(yīng)用”教學(xué)案例(石小康已改）

1、“函數(shù)的應(yīng)用”教學(xué)案例一、教學(xué)設(shè)計(jì)1、背景情況2000年湖北省黃岡市的一道中考題：“國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，當(dāng)前正在全國各地農(nóng)村實(shí)行電網(wǎng)改造。蓮花村六組有4個(gè)村莊A、B、C、D正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在4個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了4種架設(shè)方案（圖中實(shí)線部分）。請(qǐng)你協(xié)助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線。受本題的啟發(fā)，又了解到貴陽市金陽新區(qū)要修建部分休閑廣場(chǎng)以及廣場(chǎng)周邊要建若干生活小區(qū)。而生活小區(qū)之間必然要涉及到安裝煤氣、架設(shè)電線、污水排放等諸多問題，再結(jié)合本人所教班級(jí)（高一理科實(shí)驗(yàn)班）學(xué)生實(shí)際，于是便盟生了上一堂“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的教改實(shí)驗(yàn)課。2、課前

2、準(zhǔn)備教師設(shè)計(jì)制作多媒體課件,其中文字及靜態(tài)圖形用“PowerPoint”制作，動(dòng)態(tài)圖形用幾何畫板制作。學(xué)生準(zhǔn)備文具：計(jì)算器、三角板、圓規(guī)、水彩筆等。3、設(shè)計(jì)思路根據(jù)“數(shù)學(xué)情境與提出問題”教學(xué)模式，即構(gòu)建一個(gè)以情境為基礎(chǔ)，提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境問題”學(xué)習(xí)鏈，使學(xué)生真正成為課堂的主人，成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)、啟迪智慧、發(fā)展水平、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程?；谏鲜鼍?，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)對(duì)象的特點(diǎn)，我作了如下教學(xué)設(shè)計(jì)：3.1 創(chuàng)設(shè)一個(gè)學(xué)生熟悉而又感興趣的數(shù)學(xué)情境：生活小區(qū)間煤氣管道如何鋪設(shè)最節(jié)省資金。3.2 啟導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問題：如何使正

3、方形廣場(chǎng)四個(gè)角上的生活小區(qū)間鋪設(shè)的煤氣管道總長最短。3.3 逐步將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化，抽象概括成數(shù)學(xué)問題：正方形內(nèi)到各頂點(diǎn)的線段長度之和何時(shí)最小。3.4 為了解決其數(shù)學(xué)問題，要求學(xué)生自主探索、交流合作、估算猜測(cè)；教師實(shí)行啟發(fā)誘導(dǎo)、展示動(dòng)態(tài)圖形；師生共同歸納，直至優(yōu)選出最佳方案，即后面方案6所示的對(duì)稱圖形。3.5 對(duì)方案6所反映的數(shù)學(xué)問題實(shí)行邏輯證明，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)證明的作用，從中獲取相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，并培養(yǎng)邏輯推理、演繹證明的水平。3.6 根據(jù)相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，啟導(dǎo)學(xué)生，建立相對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型“y=2x+4”，求出函數(shù)的最小值，最終解決管道鋪設(shè)的實(shí)際問題。二、教學(xué)過程投影展示：“金陽廣場(chǎng)”是一個(gè)邊長為

4、四百米的正方形休閑廣場(chǎng)，在此廣場(chǎng)的四個(gè)角上建有A、B、C、D四個(gè)生活小區(qū)。小區(qū)欲安裝煤氣管道，但煤氣公司只答應(yīng)將煤氣主管道安裝到A小區(qū)，而其余三小區(qū)的煤氣管道將由他們自籌資金鋪設(shè)與A小區(qū)聯(lián)通。生活小區(qū)負(fù)責(zé)人李主任知道住在C小區(qū)的小紅是一所重點(diǎn)中學(xué)的高中生，于是就請(qǐng)小紅協(xié)助設(shè)計(jì)一下鋪設(shè)煤氣管道的方案，小紅欣然接受，并于第二天就將設(shè)計(jì)好的方案交給了李主任，李主任看了設(shè)計(jì)方案后非常滿意，并決定馬上請(qǐng)煤氣公司安裝。請(qǐng)問，你知道小紅是怎樣設(shè)計(jì)的嗎？師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀所展示的內(nèi)容，仔細(xì)分析其中的涵義，然后分組（六人一組，共8個(gè)組）討論，注意揣摩小紅的設(shè)計(jì)思想。討論之后每組派一代表將討論的結(jié)果口頭表述出來

5、。生1：小紅設(shè)計(jì)時(shí)考慮了如何節(jié)省煤氣管道的總長度；還考慮了煤氣管道能否從廣場(chǎng)草坪下面通過。生2：小紅設(shè)計(jì)時(shí)考慮了安全因素，需要安裝多少個(gè)閘閥；還考慮了如何使煤氣管用得最少。生3：小紅設(shè)計(jì)時(shí)考慮了怎樣能使煤氣管用得最少；還考慮了怎樣能方便煤氣管道的維修、保養(yǎng)。生4、生5：師：同學(xué)們的討論很熱烈，考慮的問題全面周到，提出的設(shè)想也比較符合實(shí)際，尤其是都考慮到鋪設(shè)的煤氣管道總長要最短。事實(shí)上，從李主任的角度，主要考慮的是如何節(jié)省資金，而節(jié)省資金的關(guān)鍵又取決于煤氣管道總長的多少。至于別的諸多因素，據(jù)調(diào)查了解，都不會(huì)對(duì)管道鋪設(shè)產(chǎn)生太大的影響。所以，小紅的設(shè)計(jì)能使李主任非常滿意，其原因應(yīng)該是使鋪設(shè)的煤氣管道

6、總長最短，從而花錢最少。問題1：最佳設(shè)計(jì)方案一般應(yīng)考慮哪些因素？眾生：省時(shí)、省力、省錢、美觀、適用、安全問題2：如果讓你來設(shè)計(jì)，其方案如何？師：請(qǐng)各小組討論，并把你們的設(shè)計(jì)方案用水彩筆在學(xué)案上畫出示意圖。各小組共提出了以下六種方案（圖中實(shí)線部分為管道路線）師：要使鋪設(shè)的煤氣管道總長最短，顯然煤氣管道不能走廣場(chǎng)外面從同學(xué)們的設(shè)計(jì)方案中，不難算出，方案1、2的管道長度要大于方案2、3的管道長度，方案5的管道長度又要比方案3、4的管道長度小，但方案5與方案6的情況又是怎樣的呢？（在此，我特別請(qǐng)了方案6的設(shè)計(jì)者孫喆同學(xué)談?wù)勊膭?chuàng)意）。孫喆：首先，我想到的是連結(jié)對(duì)角線，此時(shí)管道總長為2×4=8

7、（百米）。接著，我又冒出一個(gè)想法：將對(duì)角線的交點(diǎn)0“拉長”，使之成一條線段，注意調(diào)整這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的位置，應(yīng)該會(huì)找到一個(gè)合理的方案。比如，作如下估算：取EAD= FBC=30°(如圖1)，則此時(shí)管道總長為4×(2÷)+42×(2×)=4+4（百米）8（百米），即說明猜想是可取的。 師：剛才大家聽了孫喆同學(xué)的敘述，請(qǐng)你們結(jié)合自己的設(shè)計(jì)體會(huì)，歸納出最佳設(shè)計(jì)方案，即鋪設(shè)的煤氣管道總長最短的設(shè)計(jì)方案應(yīng)該是哪一個(gè)？眾生：應(yīng)該是方案6。問題3：正方形內(nèi)到各頂點(diǎn)的線段長度之和何時(shí)最小？教師展示多媒體課件（如圖2），通過幾何畫板演示，同學(xué)們觀察設(shè)計(jì)方案中有

8、關(guān)線段長度之和的數(shù)據(jù)變化情況，其結(jié)果確實(shí)是方案6所設(shè)計(jì)的情形最好。師：通過估算及幾何畫板的演示，方案6所示的設(shè)計(jì)方案最佳。請(qǐng)同學(xué)們想一想，其理由是什么？經(jīng)過各小組的討論，得出如下結(jié)論：結(jié)論1：方案6中，如果EF左右平行移動(dòng)，則有關(guān)線段長度之和增大。如圖3所示，將EF向右平行移至MN位置。要比較AE+ED+EF+FB+FC與 AM+MD+MN+NB+NC的大小，因?yàn)锳E=ED=FB=FC，AM=BN，MD=NC，EF=MN，所以只需比較FB+FC與NB+NC的大小，在FBC與NBC中，它們同底等高，故又只需比較等底等高的三角形中，等腰三角形和非等腰三角形的周長誰大誰小。定理：等底等高的三角形中，

9、等腰三角形的周長最小。證明：延長BF到P，使BF=FP，連結(jié)PN（如圖4）FNBC，F(xiàn)B=FC PFNCFN PN=NCNB+NC=NB+NPPB=FB+FP=FB+FC因此，等底等高的三角形中，等腰三角形的周長最小。由定理知，當(dāng)EF左右平行移動(dòng)時(shí)，則有關(guān)線段長度之和增大。結(jié)論2：方案6中，如果EF上下移動(dòng)，則有關(guān)線段長度之和也增大。如圖5所示，將EF向上移至MN位置，延長BF交CD于P，連結(jié)NP，則NP=MD，F(xiàn)P=ED。要比較AE+ED+EF+FB+FC與AM+MD+MN+NB+NC的大小，因?yàn)锳E=ED=FB=FC，AM=MD，NB=NC，EF=MN，所以只需比較NP+NC與FP+FC的

10、大小，而FCP與NCP是等底等高的兩個(gè)三角形，由定理知，NP+NCFP+FC。因此，當(dāng)EF上下移動(dòng)時(shí)，則有關(guān)線段長度之和增大。結(jié)論3：方案6中，如果EF不規(guī)則移動(dòng)時(shí)，則有關(guān)線段長度之和仍然增大。如圖6所示，將E、F任意移動(dòng)至M、N位置（在正方形ABCD內(nèi)部），分別過M、N 作AD、BC 的平行線交EF于 G、H，則 AGD和BHC為等腰三角形，且分別與AMD和BNC等底等高，又MNGH，由定理知，AM+MD+MN+NB+NCAG+GD+GH+HB+HC，又由結(jié)論2知，AG+GD+GH+HB+HCAE+ED+EF+FB+FC。因此，當(dāng)EF不規(guī)移動(dòng)時(shí)，則有關(guān)線段長度之和仍然增大。綜合結(jié)論1、2、3

11、得，方案6（對(duì)稱圖形）鋪設(shè)的煤氣管道總長度，比其它方案鋪設(shè)的煤氣管道總長度都要小，因而為最佳方案。然而，在方案6中，線段EF的長度在變化，又使得相應(yīng)的線段長度之和發(fā)生變化，那么，E、F究竟在何處時(shí)，才使相關(guān)線段長度之和最小呢？問題4：正方形ABCD內(nèi)，當(dāng)E、F在何處時(shí)，AE+ED+EF+FB+FC有最小值？再讓各小組討論，試著建立函數(shù)模型，研究函數(shù)最值。教師進(jìn)行巡視，了解學(xué)生建模情況，最后統(tǒng)一歸納出一般性的解答：在方案6中，設(shè)EF=2x（0x2），y=AE+ED+EF+FB+FC（單位：百米），延長FE交AD于G（如圖7），則EGAD。由AE= =得 y=4AE+EF=4+2x即y-2x=4，

12、兩邊平方并整理，得 12x2+4(y16)x+128y2=0 x為正實(shí)數(shù) =16（y16）24×12×（128y2）0即 y28y320 y44 或y4+4又 y0 y4+4當(dāng) y=4+4時(shí)，x=20，2故 x =2（百米）時(shí)，y有最小值4+4（百米）。因此，當(dāng)點(diǎn)E、F在AB與CD（或AB與CD）的對(duì)稱軸上（正方形ABCD內(nèi)部）且分別離AD與BC（或AB與CD）的距離為 (百米)時(shí)，(此時(shí)ADE=DAE=CBF=BCF=30°)，其管道總長最小。師：同學(xué)們，本問題的解決對(duì)你們的啟發(fā)一定不小，看得出不少同學(xué)興趣很濃，意猶未盡，那么請(qǐng)各小組課后繼續(xù)討論，并提出你們感興

13、趣的數(shù)學(xué)問題（如正方形廣場(chǎng)為其它幾何圖形時(shí)情況又怎樣？），然后形成數(shù)學(xué)作文。三、教學(xué)反思1、本堂課，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，從解決問題的需要出發(fā)，靈活有序地組織啟導(dǎo)學(xué)生，通過動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等學(xué)習(xí)方式從事一系列具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題的全過程，使學(xué)生真正成為最佳方案的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，親身感受到發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的苦和樂，也體會(huì)到數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛和奇妙，教學(xué)的知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí)。從課后各小組完成的數(shù)學(xué)作文也中充分反映了本堂課所達(dá)到的教學(xué)效果，其中孫喆、嚴(yán)嬌、蔣國軍三位同學(xué)的數(shù)學(xué)作文具有較高水平，不僅語言流暢，思路自然，圖形精美，分析全面透

14、徹，推證嚴(yán)謹(jǐn)，還對(duì)教學(xué)中的部分疏漏問題作了適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充和完善。2、創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是“情境問題”教學(xué)的基礎(chǔ)，教師在創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境時(shí)，必須對(duì)學(xué)生的身心特點(diǎn)、知識(shí)水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)需要等因素進(jìn)行綜合考慮，對(duì)可用的情境進(jìn)行比較分析，選擇具有較好教育和教學(xué)功能的情境。鑒此，本課所設(shè)置的數(shù)學(xué)情境：“生活小區(qū)負(fù)責(zé)人李主任”有必要改為“請(qǐng)我們?yōu)樯钚^(qū)設(shè)計(jì)鋪設(shè)煤氣管道的方案，使得管道總長最短，應(yīng)如何設(shè)計(jì)？”這樣就能使學(xué)生盡快進(jìn)入設(shè)計(jì)狀態(tài)，直接進(jìn)行實(shí)質(zhì)性問題的探索研究，以減少不必要的猜測(cè)時(shí)間，提高課堂教學(xué)效益；又如對(duì)數(shù)學(xué)情境進(jìn)行這樣修改，也是很有意義的，即“若鋪設(shè)煤氣管道每米1百元，而三小區(qū)已自籌資金10

15、萬元，試問這筆資金能否鋪設(shè)好煤氣管道？”3、在結(jié)論1的研究過程中，將FB+FC與NB+NC的大小比較，轉(zhuǎn)化為同底等高的兩個(gè)三角形其余兩邊和的大小比較，再轉(zhuǎn)化為“定理”的證明。此處的教學(xué)應(yīng)流暢自然，應(yīng)避免粗糙和突然。4、方案6是介于方案4和方案5之間的一種情形，當(dāng)EF=4(百米)時(shí)，即為方案4；當(dāng)EF=0（E、F縮為一點(diǎn)）時(shí)，即為方案5。這種變化過程在幾何畫板中很容易體現(xiàn)出來，因此，教師在多媒體演示上還應(yīng)該更充分一些，多給點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生觀察和感受，以便進(jìn)行直覺猜想、歸納抽象。5、在建立函數(shù)模型時(shí)，各小組的建模思路不太一致，教師應(yīng)全面的搜集各組的建模方式，充分肯定每位同學(xué)的建模思想，認(rèn)真比較各種函數(shù)

16、模型，共同選定目標(biāo)函數(shù)。6、在求函數(shù)最小值時(shí)，也應(yīng)該讓學(xué)生有更多的實(shí)際體驗(yàn)機(jī)會(huì)，特別是無理函數(shù)向二次方程的轉(zhuǎn)化，判別式的應(yīng)用，變量的取舍等內(nèi)容是學(xué)生比較模糊且容易出錯(cuò)的地方。在教學(xué)中，不要怕學(xué)生遇到麻煩或出現(xiàn)錯(cuò)誤，實(shí)際上，出現(xiàn)有價(jià)值的錯(cuò)誤有時(shí)比不出現(xiàn)錯(cuò)誤顯得更有意義。7、鑒于本堂課所涉及的問題對(duì)高一年級(jí)學(xué)生來說難度比較大，牽涉到的知識(shí)也比較多，需要引伸的內(nèi)容又不少，因此，有必要增加一個(gè)課時(shí)，就有關(guān)問題進(jìn)行更徹底、更深層的探討。比如，對(duì)函數(shù)y=2x+4的圖象與性質(zhì)以及與本實(shí)際問題的關(guān)系還可作深入研究；又如，在建立函數(shù)模型時(shí)，將自變量設(shè)為角度，嘗試用三角函數(shù)知識(shí)求解問題也是一條途徑。參考文獻(xiàn)呂傳漢，汪秉彝中小學(xué)數(shù)學(xué)情境與提出問題教學(xué)探究貴州人民出版,2002年（貴州師范大學(xué)附屬中學(xué) 550001）點(diǎn) 評(píng)：本課以數(shù)學(xué)“情境問題”教學(xué)模式為指導(dǎo)，在靈活應(yīng)用函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)和能力。1模擬性的情境，將學(xué)生帶入到生活之中，讓學(xué)生以“建筑設(shè)計(jì)師”的身份投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，領(lǐng)