二項式定理.版塊四.二項式定理的應(yīng)用1證明整除或求余數(shù).學(xué)生版

1、智康高中數(shù)學(xué) .板塊四 .二項式定理的應(yīng)用1 證明整除或求余數(shù).題庫1 1二項式定理二項式定理011222.nnnnnnnnnnabcac abcabc bnn這個公式表示的定理叫做二項式定理二項式系數(shù)、二項式的通項011222.nnnnnnnnncac abcabc b叫做nab的二項展開式，其中的系數(shù)0 , 1, 2, .,rncrn叫做二項式系數(shù)，式中的rnrrnc ab叫做二項展開式的通項，用1rt表示，即通項為展開式的第1r項：1rnrrrntc ab二項式展開式的各項冪指數(shù)二項式nab的展開式項數(shù)為1n項，各項的冪指數(shù)狀況是各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n字母a的按降冪排列，從第一

2、項開始，次數(shù)由n逐項減 1 直到零，字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1 直到n幾點注意通項1rnrrrntc ab是nab的展開式的第1r項，這里0, 1, 2 , .,rn二項式nab的1r項和nba的展開式的第1r項rnrrnc ba是有區(qū)別的， 應(yīng)用二項式定理時，其中的a和b是不能隨便交換的注意二項式系數(shù)（rnc）與展開式中對應(yīng)項的系數(shù)不一定相等，二項式系數(shù)一定為正，而項的系數(shù)有時可為負知識內(nèi)容證明整除或求余數(shù)智康高中數(shù)學(xué) .板塊四 .二項式定理的應(yīng)用1 證明整除或求余數(shù).題庫2 通項公式是nab這個標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如nab的二項展開式的通項公式是11rrnrrrntc a

3、b（只須把b看成b代入二項式定理）這與1rnrrrntc ab是不同的， 在這里對應(yīng)項的二項式系數(shù)是相等的都是rnc，但項的系數(shù)一個是1rrnc，一個是rnc，可看出，二項式系數(shù)與項的系數(shù)是不同的概念設(shè)1,abx，則得公式：12211.nrrnnnnxcxcxcxx通項是1rtrnrrnc ab0, 1, 2 , .,rn中含有1,rtabnr五個元素，只要知道其中四個即可求第五個元素當(dāng)n不是很大，x比較小時可以用展開式的前幾項求(1)nx的近似值2二項式系數(shù)的性質(zhì)楊輝三角形：對于n是較小的正整數(shù)時，可以直接寫出各項系數(shù)而不去套用二項式定理，二項式系數(shù)也可以直接用楊輝三角計算楊輝三角有如下規(guī)律

4、： “左、右兩邊斜行各數(shù)都是1 其余各數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)字的和”二項式系數(shù)的性質(zhì)：nab展開式的二項式系數(shù)是：012, .,nnnnncccc，從函數(shù)的角度看rnc可以看成是r為自變量的函數(shù)fr，其定義域是：0 , 1, 2 , 3 , ., n當(dāng)6n時，fr的圖象為下圖：這樣我們利用 “楊輝三角” 和6n時fr的圖象的直觀來幫助我們研究二項式系數(shù)的性質(zhì)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等智康高中數(shù)學(xué) .板塊四 .二項式定理的應(yīng)用1 證明整除或求余數(shù).題庫3 事實上，這一性質(zhì)可直接由公式mnmnncc得到增減性與最大值如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式

5、的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等并且最大由于展開式各項的二項式系數(shù)順次是01211,11 2nnnn nnccc，3121 2 3nn nnc，112 .21 2 3 .1knn nnnkck，12 .211 23.1knn nnnknkckk，1nnc其中，后一個二項式系數(shù)的分子是前一個二項式系數(shù)的分子乘以逐次減小1 的數(shù)（如,1,2 , .nnn），分母是乘以逐次增大的數(shù)（如1，2，3，, ）因為，一個自然數(shù)乘以一個大于1 的數(shù)則變大，而乘以一個小于1 的數(shù)則變小，從而當(dāng)k依次取 1，2， 3，, 等值時，rnc的值轉(zhuǎn)化為不遞增而遞減了又因為與首末兩端“等距離”的兩項的式系數(shù)相等，

6、所以二項式系數(shù)增大到某一項時就逐漸減小，且二項式系數(shù)最大的項必在中間當(dāng)n是偶數(shù)時，1n是奇數(shù)，展開式共有1n項，所以展開式有中間一項，并且這一項的二項式系數(shù)最大，最大為2nnc當(dāng)n是奇數(shù)時，1n是偶數(shù)，展開式共有1n項，所以有中間兩項這兩項的二項式系數(shù)相等并且最大，最大為1122nnnncc二項式系數(shù)的和為2n，即012.2rnnnnnnnccccc奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即0241351.2nnnnnnncccccc常見題型有：求展開式的某些特定項、項數(shù)、系數(shù)，二項式定理的逆用，賦值用，簡單的組合數(shù)式問題二項式定理的應(yīng)用1證明整除或者求余數(shù)【例 1】利用二項式定理證明：22389nn是 64 的倍數(shù)典例分析智康高中數(shù)學(xué) .板塊四 .二項式定理的應(yīng)用1 證明整除或求余數(shù).題庫4 【例 2】若*nn，證明：2332437nn能被64整除【例 3】證明：22(13)(13)(*)nnnn能被12n整除【例 4】證明：2121(13)(13 )(*)nnnn能被12n整除【例 5】3023除以7的余數(shù) _；5