華南理工大學(xué)高數(shù)課件

1、華南理工大學(xué)高數(shù)PPT課件第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則與重要極限極限存在準(zhǔn)則與重要極限華南理工大學(xué)高數(shù)PPT課件一一.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 華南理工大學(xué)高數(shù)PPT課件,1 ayNnn時時恒恒有有當(dāng)當(dāng)時，當(dāng)取Nn,max210NNNN恒恒有有時時當(dāng)當(dāng),Nn nnnnzxyaya,即,2 azNnn時時恒恒有有當(dāng)當(dāng), azan上兩式以及條件（上兩式以及條件（1）中的不等式同時成立）中的不等式同時成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限華南理工大

2、學(xué)高數(shù)PPT課件注意注意: :.,的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與與鍵是構(gòu)造出鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)nnnnzyzy準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I稱為稱為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.華南理工大學(xué)高數(shù)PPT課件例例).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn華南理工大學(xué)高數(shù)PPT課件證明證明. 0lim1nnana，證明設(shè)例，由二項式定理知，則令01hha22! 2) 1

3、(! 2) 1(1)1 (hnnhhnnnhhannn,) 1(22) 1(022hnhnnnann所以, 0) 1(2lim00lim2hnnn，而. 0limnnan由夾逼準(zhǔn)則可得華南理工大學(xué)高數(shù)PPT課件AC二、重要極限二、重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設(shè)設(shè)單單位位圓圓的面積，的面積扇形的面積則有AOCAOBAOBxoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 華南理工大學(xué)高數(shù)PPT課件，的面積而xxOBOAAOBsin21sin21，的面積扇形xxOAAOB21212，的

4、面積xxOAOCOAAOCtan21tan21212,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式對對于于 x11lim1coslim00 xxx，又由夾逼準(zhǔn)則可得. 1sinlim0 xxx華南理工大學(xué)高數(shù)PPT課件注注1)()(sinlim0)(xxx華南理工大學(xué)高數(shù)PPT課件例例.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 華南理工大學(xué)高數(shù)PPT課件x1x2x3x1 nxnx三三. 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列

5、列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.幾何解釋幾何解釋:AM華南理工大學(xué)高數(shù)PPT課件例例.)(333的的極極限限存存在在式式重重根根證證明明數(shù)數(shù)列列nxn 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是是有有界界的的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx華南理工

6、大學(xué)高數(shù)PPT課件exxx)11 (lim. 重要極限四ennn )11(limnnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 先證：先證：華南理工大學(xué)高數(shù)PPT課件).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71

7、828. 2( e類似地類似地,華南理工大學(xué)高數(shù)PPT課件,1時時當(dāng)當(dāng) x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx exxx)11 (lim再證：再證：華南理工大學(xué)高數(shù)PPT課件,1xtx時，令當(dāng)ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim華南理工大學(xué)高數(shù)PPT課件注exxx)()()(11 (limexxx)(10)()(1 (lim或華南理工大學(xué)高數(shù)PPT課件例例.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 華南理工大學(xué)高數(shù)PPT課件例例 求極限求極限 xxxx193lim 解解 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e華南理