淺談高中開放性問題與理念

1、淺談高中開放性問題與理念武小鵬i摘要】隨著新課程改革的推行，素質(zhì)教育進一步完善，數(shù)學教學也由注重知識逐漸向能力轉(zhuǎn)變。 問題的開放性研究成為轉(zhuǎn)變這種理念有力的“指揮棒”。開放性問題是開放性思維發(fā)展的基礎，也 是開放性教學的有機組成部分。從開放性問題出發(fā)，開發(fā)學生思維，提高學生利用數(shù)學知識解決實 際問題的能力，改善課堂教學的有效性，成為開放性問題的直接目的。開放性思維是創(chuàng)新思維形成 的基礎，更進一步說，它是創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)的源頭。開放性教學是以開放性問題的研究為基礎，讓學生的 思維開放，讓課堂開放，讓教學開放的一種綜合性理念。本文將開放性問題從能力考查的角度分為 五大類型：原材料開放型，解題思路開放型，結(jié)

2、論開放型，存在開放型和綜合開放型。對每類問題 的開放性理念和能力考查做了深層次的剖析，將問題的開放性從本質(zhì)上升華為思維的開放性，形成 一個開放性體系，打破了原有的“教師講什么學生學什么的”模式。這樣不僅在細節(jié)上注重了開放 性思維的培養(yǎng)，而且在教學理念上構(gòu)成了開放性教學的主體。i關(guān)鍵字】 開放性問題 開放性理念數(shù)學命題根據(jù)思維過程分為：“假設推理判斷”三個過程，一個開放性問題, 若其未知的要素是假設部分，則為原材料開放問題；若未知的要素是推理，則為解題策略開放問題; 若未知的要素是判斷，則為結(jié)論開放問題；有的問題只給出一定的情景，其條件，解題策略結(jié)論有 要求學生在情景中自行設定與探索，這類問題稱

3、為綜合性開放問題；另外還有一類探索“對象”是 否存在的問題，即存在性開放問題，所以開放性問題可分為下列五種形式：數(shù)學開放題就有如下特點：不完備性不確定性發(fā)散性探究性創(chuàng)新性與封閉性問題相比，開放性問題由于自由度大，難度大，能力要求高，所以更能訓練和考察學 生的創(chuàng)新能力、探究能力和自主能力，更能全面深層次地考察學生的思維能力、分析問題和解決問 題的能力.類型一：原材料開放性問題2 2已知f|,f2是橢圓亠+耳=1 （原材料開放題的特點是只給出結(jié)論，不給出條件或給出條件殘缺不足，解題任務是探索結(jié)論成 立的完整性條件。問題的答案往往不唯一，只要充分、相容、獨立，即視為正確的解題思路是： 采用分析法抵果

4、索因、逆向追溯、探索和彌補條件。）的兩個焦點，p是橢圓上一點，slzf,pf2=90這f/厲的面積是方s 請將題目中空缺的一個條件填入（）里.分析：此題所空缺的條件是應滿足的某一關(guān)系，在確定焦點所在坐標時，對各種情況都要 討論.pfx + pf2 1=2 i pf i2 +1 pf, l2=4c2解析：由方程可知，橢圓焦點在坐標軸上，中心在原點，假設焦,6、在y軸上，由題意有則pfipf2=2b(-c2),從而 saf =h2-c2 <b2 這與題設矛盾，故橢圓的焦點應在兀軸上,于是1。1>"1>0,從而pfx + pf2=2a.另一方面，我們由i尸耳f +1 pp

5、2 £(|尸斤i +1 pf2 i)2有心>-(2a i)2,即a2 < c2,2 2亦即 a2 > 2b2, a>2b,綜上有a>y/2b>0(1)因此，此題所空缺條件可以是滿足（1）的任一開放條件，如a=y/2b>0 , a>y/2b>0 , a=y/3b>0, a = 2z?>0 等等.原材料開放問題的構(gòu)題理念是從知識考察者的角度出發(fā)，探究怎樣的題設條件能得出怎樣的結(jié) 論。在思維上打破了以往被動解決問題的理念，對問題進行了更深層次的考察，讓學生的思維不只 拘泥于問題的解決上。這種理念應對了只會解“類型題”的弱點，

6、使學生的知識面、思維空間得到 有效的拓展。從教學理念上，由“教師考察，學生解決”的形式轉(zhuǎn)變?yōu)閹熒餐芯刻剿鞯幕有?學習共同體，是一種全新有效的教學理念。類型二：解題策略開放性問題有些問題的解題策略除用常規(guī)法外，還可以用多種方法，多種渠道解決，有些甚至無常規(guī)方法 可循，解題方案完全靠自己設計，巧思謀解，這些均屬解題策略開放性問題。此時，在探索方法上 常需研究保持本質(zhì)特性的情形，運用類比、猜測聯(lián)想的方法探索，解題過程創(chuàng)新成分較高。例2某自來水場要制作容積為500 cm'的無蓋長方體水桶， 現(xiàn)有三種不同規(guī)格的長方形金屬 制箱材料（單位：m）:19x19,30x10,25x12,請你選這其

7、中的一種規(guī)格材料，并設計 出相應的制作方案.（要求：用料最少簡便易行）分析：首先要理解“用料最省”等價于“無蓋長方體表面積最少”選擇材料并設計方案時，可逆向 思維，借助無蓋長方體的平面展開圖思考.解析：設無蓋水箱的長，寬，搞分別為a,b,c,則其體積為v=abc=500 （ m表面積為：s=2ab+2ac+ab > 3a/2bcx2acxab = 34 x 5002 = 3000 ,當且僅當 2ab=2ac=ab 即 a=b=10, c=5 時，s鈿=3000,這表明將無蓋長方體的尺寸設計為10x10x5（即2： 2： 1）時，用料最省將理想中的 長方體展成平面圖；圖（1）,進一步剪拼成

8、圖（2）的長30m,寬10m （長：寬=3: 1）的長方形，因 此應選擇使用規(guī)格30x 10的制作材料.制圖方案如（3 ）,1 11 11 11 155105仃）510一rii:10:5 nrs 3 5（2）可以看出，這樣“先補后割”的方案不但可使用料最省，而且簡便易行。解決策略開放性與以往的“一題多解”的提法在表面上有相似之處，但從本質(zhì)上有明顯的區(qū)別?！耙活}多解”講求方法的多樣性，而解題策略開放性問題的提法則從“最優(yōu)化”理論出發(fā)，在多樣 性的基礎上尋求最優(yōu)化解題方案解題策略開放性理念講求解題策略的靈活性，是創(chuàng)新思維的有效“訓練場”，從而讓思維得到有效的發(fā)展，解題策略開放性是開發(fā)思維的有效理念

9、，也是為以后能 夠建立更大的、更復雜的“數(shù)學模型”，為解決實際問題打好堅實的基礎。類型三：結(jié)論開放問題結(jié)論開放題的特點是給出一定的條件而未給出一定的結(jié)論，要求在給定的前提下，探索結(jié)論, 然后通過推理證明確定結(jié)論。結(jié)論有時多樣，探索方法因題而異，如直接推理，類比聯(lián)想，轉(zhuǎn)化探 索等等。例2 老師給出一個函數(shù)y=f （x）不是常量函數(shù)，四個學生甲、乙、丙、丁各指出這個函數(shù)的一個 性質(zhì)：甲：對于 xwr,都有 /（! + %） =/（1-x）,乙：函數(shù)/（兀）的圖象關(guān)于原點中心對稱,丙：/（兀+刃+ /（兀一刃=2/（兀）/（y）上1/（0工）0,t: /(兀)的最大值與最小值不等，如果其中恰有三人說

10、得對，請寫出一個這樣的函數(shù)為 (2)對于函數(shù)y=/(x) (x d),若同時滿足下列條件：® /(x)在d上為單調(diào)函數(shù)；存在區(qū)間a,b匸d,使/(兀)在° , b上的值域也是a,b,則稱/(兀)上的閉函數(shù).(i) 試舉出.門切是閉函數(shù)的例子；(ii)求閉函數(shù)y = -x3符合條件的區(qū)間a.b.分析：此題是以函數(shù)為背景的開放題，(1)題要弄清四人說法的本質(zhì)，甲說是函數(shù)/(兀)以兀=1 為對稱軸，乙說的是函數(shù)為奇函數(shù)，丙說的是函數(shù)為偶函數(shù)，其中乙、丙的說法互為矛盾，所以恰 有三個人說對時應考慮甲、乙、丁對及甲、丙、丁對兩種情況.(2 )題要弄清新定義本質(zhì).解析(1)滿足甲、乙、

11、丁說法的函數(shù)有/(x) = sin , /(x) = sin包蘭等等.滿足甲、丙、丁2 2說法的函數(shù)有/(x)=cos 71x等等.(2) (i)例如y =xer在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)，在區(qū)間-1, 1上的值域也是-1,1,這樣的區(qū)間還有-1, 0、0, 1等等，函數(shù)也可以是f(x) = y/x, f (兀)=兀，/(x)= x1等等.仃i) y =是閉函數(shù)，存在閉區(qū)間°, b, y = -x3為減函數(shù)，-1 a & 二 一(一/)'= q, / = a,° = 0或° = ±1,同理/? = 0或/? = ±1,-b3 =

12、amb,區(qū)間為一 1,0、0, 1、-1, 1均可以.結(jié)論開放性是指不同的學生對問題的想法不同時得出不同的結(jié)論,在對問題的研究過程中只講 求思路的有效性和合理性。這種問題的設計以“多元化”思想為基礎，吻合了多元化的教學理念， 讓學生的思維有了更廣闊的開發(fā)空間。結(jié)論開放性理念的提出也打破了傳統(tǒng)“定式”思維的束縛, 從而對問題的認識更加清楚完善。類型四：存在性開放問題在開放性問題中，有一類探索“對象”是否存在的問題，由于特征明顯，題型典型，我們可賦 名為存在性問題，此類問題的結(jié)果只有“存在”與“不存在”兩種所以開發(fā)程度較小，解題模式較 為固定，其思路是：先假設符合條件的“對象”存在，然后據(jù)此探求符

13、合條件的可能的“對象”， 若經(jīng)驗證所求“對象”符合題設的所有條件，則可肯定“對象”存在：若導出矛盾，則說明“對象” 不存在。例4直線l： k x - y - 1 = 0與曲線c: x2- 2 y = 1相交于p,q兩,&、(1) 當 實數(shù)r為何值時，|pqi = 2 yjl + k2(2) 是否存在r的值，使得以pq為直徑的圓過原點？若存在，求出r的值；若不存在，說明理由.分析：由韋達定理和弦長公式，可列出關(guān)于£的方程；假設存在，探求£的值.( y = 0解析：由,消去八得(1-2/c2) x24kx-3=0x2-2y2=l&若1一2宀 0,則k =

14、77;,這時直線l與曲線c的漸進線平行，l與c只有一個交點，故1-2f 2h 0.設 p ( xi, yi ), q ( x2, y2),貝u x x2 = - , x】x2 =；2疋一12k2 4(/=( + /)(州兀2)2 ,二(西 +%2)-4xtx2 =4 ,將代入得 =4,解得宀1,(2l - i)22l-1即£ = ±1 .將k = ± 1彳弋入得a0,故存在實數(shù)« = ±1 假設存在實數(shù)k,使得以pq為直徑的圓過原點，則由op丄oq,得西兀2 +必)2 =0xxx2 4-(fctj -l)(fct2 -1) = 0,即(1 +

15、k 2)西兀2+ x2) + l = 0將代入，得k2=-2,這與k為實數(shù)矛盾.故不存在實數(shù)k,使得以pq為直徑的圓過原點.存在性開放問題是針對要求的結(jié)果是否存在這一思路而提出的，“存在”要有結(jié)論存在的合理 性，“不存在”要有充分的理由證明或說明為什么不存在，如存在與何種定理或公理發(fā)生沖突，探 索問題的存在性在現(xiàn)實生活中是一種很有實際價值的問題，是我們能否利用某種方法解決問題的有 效預見，這種開放性理念的提出可使學生在解決問題時從理論上把握問題是否能夠解決，從而排除 了研究過程中的無效過程，培養(yǎng)學生用理性的思維考察問題的意識。類型五：綜合性開放問題綜合開放性問題是指題設、結(jié)論連同解題策略都不確

16、定或不太明確的開放性題目。解決此類問 題，需要綜合利用題目的信息，廣泛聯(lián)系已有知識，進行聚合思維，做出新的判斷和推理.其中， 命題組合性問題是較典型的代表。例5 ( 1 )已知三個不等式：ab >o,bc-ad > 0則>0;(其中a,b,c,d均為實數(shù))，用其中兩 a b個不等式作為條件，余下的一個作為結(jié)論組成一個命題，試寫出一個正確的命題一(2 ) a.b是兩個不同的平面，加是平面及平面b之外的兩條不同的直線，給出四個論斷：m丄n a丄bn丄bm丄a,以其中三個論斷作為條件，余下的一個作為結(jié)論，寫出一個你認為正確的命 題分析(1)題可直接推理判斷、題入口較寬，可用模型法簡

17、化思維程序.解析：(1)易證若ab >o,bc-od >0則>0;若db0, >0;a ba b貝 be-ad > 0 ；be - ad > 0 , > 0;則 db>0,a b(2)可用模型法解模型一：以正方體和長方體為基本模型，將部分條件在空間平行移動，觀察線面垂直關(guān)系是否 變化；模型二：制造直二面角模型，再分別向兩個面插入面的垂線，觀察兩線關(guān)系.模型三：制作兩個線面垂直的模型，將面面擺放垂直時觀察線線是否垂直，再將線線擺放垂直 時觀察面面是否垂直.結(jié)論：-或-綜合性開放性問題是綜合了各種思想的一種綜合性思維方法。綜合性開放思維的理念對學生的 各種能力提出了全面的挑戰(zhàn)。這也是一種較難研究的問題，對研究的各個方面也不易把握，我們只 有將這種問題進行有效的支解，殺寸每個分支進行有效的研究，再從這些分支中尋求出一種有效的 解決方法。這種問題給學生提供了最大的優(yōu)越性，使問題更加貼近于實際生活，這種開放性理念是 “數(shù)學建?！钡幕A，是利用數(shù)學知識，通過抽象、簡化，解決實際問題的開端是創(chuàng)新思維和創(chuàng)造 性思維發(fā)展的基礎，也是將知識型人才向能力型人才轉(zhuǎn)化的有效步