數(shù)學(xué)物理方法知識(shí)點(diǎn)歸納

1、實(shí)用文檔 文案大全 第一章 復(fù)述和復(fù)變函數(shù) 1.5連續(xù) 若函數(shù))(xf在0z的領(lǐng)域內(nèi)（包括0z本身）已經(jīng)單值確定，并且)()(0lim0zfzfzz?，則稱(chēng)f(z)在0z點(diǎn)連續(xù)。 1.6導(dǎo)數(shù) 若函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在，則稱(chēng)函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)。 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的導(dǎo)數(shù)存在的條件 (i) xu? 、yu? 、xv? 、yv?在點(diǎn)不僅存在而且連續(xù)。 (ii)C-R條件在該點(diǎn)成立。C-R條件 為?yyxuxyxvyyxvxyxu),(),(),(),( 1.7解析 若函數(shù)不僅在一點(diǎn)是可導(dǎo)的，而且在該點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)是可導(dǎo)的，則稱(chēng)該點(diǎn)是解析的。 解析的必要條件：函數(shù)f(z)=u+iv在點(diǎn)z

2、的領(lǐng)域內(nèi) (i) xu? 、yu? 、xv? 、yv?存在。 (ii)C-R條件在該點(diǎn)成立。 解析的充分條件：函數(shù)f(z)=u+iv在領(lǐng)域內(nèi) (i) xu? 、yu? 、xv? 、yv?不僅存在而且連續(xù)。 (ii)C-R條件在該點(diǎn)成立。 1.8解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 拉普拉斯方程的解都是調(diào)和函數(shù)： 22xu? +22yu?=0 由此可見(jiàn)解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù)。但是任意的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)作為虛實(shí)兩部形成的函數(shù)不一定是解析函數(shù)，因?yàn)樗鼈儾灰欢M足CR條件。 當(dāng)知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)時(shí)，如何求v(x,y)? 通過(guò)CR條件列微分方程 第二章 復(fù)變函數(shù)的積分

3、2.2解析函數(shù)的積分 柯西定理：若函數(shù)f(z)在單連區(qū)域D內(nèi)是解析的，則對(duì)于所有在這個(gè)區(qū)域內(nèi)而且在兩個(gè)公共端點(diǎn)A與B的那些曲線來(lái)講，積分?BAdzzf)(的值均相等。 柯西定理推論：若函數(shù)f(z)在單連區(qū)域D內(nèi)解析，則它沿D內(nèi)任一圍線的積分都等于零。?Cdzzf0)( 二連區(qū)域的柯西定理：若f(z)在二連區(qū)域D解析，邊界連續(xù)，則f(z)沿外境界線(逆時(shí)針?lè)较?的積分等于f(z)沿內(nèi)境界線(逆時(shí)針?lè)较?的積分。 n+1連區(qū)域柯西定理：?niiiedzzfdzzfdzzfdzzf)(.)()()(21推論：在f(z)的解析區(qū)域中，圍線連續(xù)變形時(shí)，積分值不變。 2.3柯西公式 若f(z)在單連有界區(qū)

4、域D內(nèi)解析，在閉區(qū)域D的邊界連續(xù)，則對(duì)于區(qū)域D的任何一個(gè)內(nèi)點(diǎn)a ，有?dzazzfiaf)(21)(?其中?是境界線。 2.5柯西導(dǎo)數(shù)公式 ?dzfinzfCnn?1)()()(2!)( 第三章 級(jí)數(shù) 3.2復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 外爾斯特拉斯定理：如果級(jí)數(shù)?0)(kkzu在境界?上一致收斂，那么 (i)這個(gè)級(jí)數(shù)在區(qū)域內(nèi)部也收斂，其值為F(z) (ii)由它們的m階導(dǎo)數(shù)組成的級(jí)數(shù)實(shí)用文檔 文案大全 ?0)()(kmkzu在區(qū)域內(nèi)也收斂，而且它們的和等于F(m)(z)。 3.3冪級(jí)數(shù) 阿貝爾(Abel)定理：如果冪級(jí)數(shù)?0)(kkkazc在點(diǎn)z0處收斂，則在任一圓|z-a|<=p|z0-a|，0&

5、lt;p<1內(nèi)，冪級(jí)數(shù)一致收斂，并且絕對(duì)收斂。 達(dá)朗貝爾(D'Alembert)判別法:對(duì)于冪級(jí)數(shù)， 計(jì)算下列極限|)(|)(|lim11kkkkkazcazc? (i)當(dāng)極限值小于1時(shí)，冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)z處絕對(duì)收斂(ii)當(dāng)極限值大于1時(shí)，冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)z處發(fā)散(iii)當(dāng)極限值等于1時(shí)，斂散性不能判斷。 柯西判別法： 計(jì)算極限kkkkazc|)(|lim? 當(dāng)極限值小于1時(shí)，冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)z處絕對(duì)收斂;而當(dāng)極限值大于1時(shí)，冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)z處發(fā)散；極限值等于1時(shí)，不能判斷 3.4解析函數(shù)與冪級(jí)數(shù) 定理：冪級(jí)數(shù)的和是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)。 Taylor級(jí)數(shù) ：?0)()(!)()(nnnaznafz

6、f .!.!212?nzzzenz .)!12(-1).!5!3sin12n53?nzzzzz n.)!2(.!4!21cos242?nzzzzn .1(-1).32)1ln(1n32?nzzzzzn 3.5解析函數(shù)與雙邊冪級(jí)數(shù) 定理：雙邊冪級(jí)數(shù)的和是環(huán)形區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)。 環(huán)形區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)可展成雙邊冪級(jí)數(shù) ?kkkazczf)()( ?dafick?)()(21 稱(chēng)為L(zhǎng)aurant系數(shù) 3.8孤立奇點(diǎn) 非孤立奇點(diǎn)：若函數(shù)f(z)在z=a點(diǎn)的無(wú)論多么小的領(lǐng)域內(nèi)，總有除z=a以外的奇點(diǎn)，則z=a是f(z)的非孤立奇點(diǎn)。 孤立奇點(diǎn)：若函數(shù)在z=a不可導(dǎo)(或無(wú)定義)，而在去心領(lǐng)域0<|z-

7、a|<解析，則z=a是f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)。 3.9奇點(diǎn)分類(lèi) 有限遠(yuǎn)奇點(diǎn) 極限性質(zhì) 洛朗級(jí)數(shù) 可去奇點(diǎn) limf(z)=有限值 不含負(fù)冪項(xiàng) 極點(diǎn) limf(z)= 含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng) 本性奇點(diǎn) limf(z)=無(wú)定值 含無(wú)限個(gè)負(fù)冪項(xiàng) 無(wú)窮遠(yuǎn)極限性洛朗級(jí)可去奇limf(z)有限 不含正冪項(xiàng) 極點(diǎn) limf(z)= 含有限個(gè)正冪項(xiàng) 本性奇點(diǎn) limf(z)=無(wú)定值 含無(wú)限個(gè)正冪項(xiàng) 第四章 留數(shù) 4.1柯西公式的另一種形式 一階極點(diǎn)留數(shù)：若g(z)在單連區(qū)域D內(nèi)解析，a在D內(nèi)，在D內(nèi)作一環(huán)繞點(diǎn)a的圍線C。 令f(z)=g(z)/(z-a)則有： ?Casfidzzf)(Re2)(? )()(li

8、m)(Rezfazasfaz? 一階極點(diǎn)留數(shù)的一種算法: 如果)()()(zzzf?那么)()()(Resaaaf? 實(shí)用文檔 文案大全 m階極點(diǎn)的留數(shù)公式 |)()()!1(1)(Re11azmmmzfazdzdmasf?4.2用級(jí)數(shù)分析來(lái)分析留數(shù)定理 ?kkkazczf)()( 則有Res1)(?caf 多連區(qū)域的柯西定理:如果在圍線C的內(nèi)部包含n個(gè)孤立奇點(diǎn)，利用多連區(qū)域的柯西定理就有?nkkCasfidzzf1)(Re2)(? 4.3無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) ?1)(21)(Recdzzfisf? 定理1：如果當(dāng)z時(shí)，若zf(z)0,則Resf()=0 定理2：0)(Re)Resf(a1k?sfn

9、k 4.4留數(shù)定理計(jì)算型積分 第一種類(lèi)型：?20)sin,(cosdR型積分 令?iez? izdzd/? )(21cos1?zz?)(21sin1?zz?1|20)()sin,(coszdzzfdR? 在單位圓內(nèi)各個(gè)奇點(diǎn)的留數(shù)之和 第二種類(lèi)型：?dxxf)(型積分 注意，需要滿足條件0)(limz?zzf idxxf?2)(?在上半平面的奇點(diǎn)留數(shù)之和 （界限上的乘以0.5） 第三種類(lèi)型：?dxexfimx)(型積分 注意需要符合條件0)(limz?zf i2)(?dxexfimxf(z)eimz在上半平面的奇點(diǎn)留數(shù)之和 4.7圍線積分方法 泊松積分：abaxeabxdxe4/02221cos

10、? 菲涅爾積分：221sincos0202?dxxdxx 第六章 積分變換 6.1傅里葉級(jí)數(shù) 三角函數(shù)系的正交性 2周期-展開(kāi)定理： ?10)sincos()(mmmmxDmxCCxf ?dfC)(210 ?dmfCmcos)(1 ?dmfDmsin)(1 任意周期2l-展開(kāi)定理： ?10)sincos()(mmmxlmDxlmCCxf? ?lldflC?)(210 ?llmdlmflC?cos)(1 ?llmdlmflD?sin)(1 6.2傅立葉積分 ?0sin)(cos)()(dkkxkDkxkCxf ?dkfkDdkfkCsin)(1)(cos)(1)( 實(shí)用文檔 文案大全 C(k)是

11、偶函數(shù)，D(k)是奇函數(shù) 傅里葉公式 令)()(21)(kiDkCkf? 則dkekfxfikx?)()( ?defkfik)(21)()()()(1kfFxfxfFkf? 6.3傅立葉變換 線性定理 22112211fFCfFCfCfCF? 導(dǎo)數(shù)定理 )()(xfikFxfF?)()()(xfFikdxxfdFnnn? 積分定理 )(1)(0xfFikdfFxx? 延遲定理 )()(00xfFexxfFikx? 相似定理 )(1)(akfaaxfF? 卷積定理 )()(2)()(2121kfkfdxffF? 6.4拉普拉斯變幻 dtetppt?0)()(? 注意當(dāng)t<0時(shí)，)(t?=0

12、 )(p?=L)(t? )(t?=L-1)(p? )(t?)(p? 線性性質(zhì)： )()()()(2121pbpatbta? 導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)： )0()()(?ppdttd )0(.)0()0()()(1-n21?nnnnnppppdttd積分的象函數(shù) ppdttt)()(0? 1!?nnpnt 象函數(shù)的位移定理： )()(apteat? 由此可得 22)(cos?apapteat 22)(sin?apteat 22)(?apaptcheat 22)(?aptsheat（用來(lái)求逆變換） 延遲函數(shù)的象函數(shù) )()()(ptHt? )()()(petHtp? 卷積定理 )()()()(21021tLt

13、LdtLt? 象函數(shù)的導(dǎo)數(shù) nnndppdtt)()()(? 積分公式： ?00)()(dtttdpp? 實(shí)用文檔 文案大全 第八章 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出 22222),(),(xtxuattxu? 弦的橫振動(dòng)方程 u=弦的橫向位移 a2=FTFT=張力 =單位長(zhǎng)度弦的質(zhì)量 弦的縱振動(dòng)方程 u=弦的縱向a2=EE=楊氏模量 =單位長(zhǎng)度弦的質(zhì)量 ),(),(22truattru? 擴(kuò)散方程 u=離子濃度，a2=D D=擴(kuò)散系數(shù) 熱傳導(dǎo)方程 u=溫度，a2=k/c k=導(dǎo)熱系數(shù)，=質(zhì)量c=比熱容 ),(),(2222truattru?波動(dòng)方u的任一分真空電?真空導(dǎo)E電場(chǎng)強(qiáng)度 B磁場(chǎng)強(qiáng)度 拉普拉斯方程

14、 0),(2?tru? 穩(wěn)恒狀態(tài)擴(kuò)散方程 u=粒子濃度 穩(wěn)恒狀態(tài)傳導(dǎo)方程 u=溫度 靜電場(chǎng)方程 u=靜電勢(shì) 線性算符與解的疊加 初始條件 擴(kuò)散方程 熱傳導(dǎo)方程 （已知函數(shù)）?0|),(ttru? 波動(dòng)方程 )(|),(0已知函數(shù)?ttru? （已知函數(shù)）?0|tt),ru(t? 邊界條件 已知函數(shù)?unu? 第九章 本征函數(shù)法 弦振動(dòng)方程的第一類(lèi)邊值問(wèn)題 定解問(wèn)題 22222),(),(xtxuattxu? 0),(),0()(|),(|00?tlutuxuxuttt? 分離變量 )()(),(tTxXtxu? 解本證方程 ?0)()0(0)()(lXXxXxX? 本征值 2)(lnn? 本征

15、函數(shù)xlnxXxXn?sin)()(? 解非本方 0)()(2?tTatTn? 的通解為sico定問(wèn)的sisico由始件傅葉數(shù)定sisisisi 實(shí)用文檔 文案大全 熱傳導(dǎo)方程第二類(lèi)邊值問(wèn)題 定解問(wèn)題 222),(),(xtxuattxu?)()0,(0|,0|0xxuuulxxxx? 分離變量 )()(),(tTxXtxu? 解本證方程 ?0)()0(0)()(lXXxXxX? 本征值 2)(lnn? 本征函數(shù)xlnxXxXn?cos)()(? 解非本征方程 0)()(2 ?tTatTn? 的通解為 )(2)()(tlannneCtTtT? 定解問(wèn)題的解 ?1)(0cos),(ntlanln

16、eCCtxu? 由始件傅葉數(shù)定系數(shù)coco 0)()(?xXxX?本征值和本征函數(shù)系 齊次邊界條件 本征值 本征函數(shù)系 0)()0(?lXX 2)(lnn? xln?s0)()0(?lXX 2)(lnn? xln?cos 0)()0(?lXX 2)21(lnn? xln?)21(sin? 第一類(lèi)邊界條件齊次化的一般方法 非齊次邊界條件 )(),()(),0(21ttluttu? 齊次化方法 )()()() , (),(121ttlxttxvtxu? 非齊次方程按本征函數(shù)系展開(kāi)的解法 定解問(wèn)題 ),(),(),(22222txfxtxvattxv? 0|,0|0|,0|000?tttlxxvvv

17、v 本征函數(shù) xlnxXxXn?sin)()(? 非齊次項(xiàng)按本征函數(shù)展開(kāi) ?1sin)(),(nnlxntftxf? ?lndlntfltf0sin),(2)(? 定解問(wèn)題試解 ?1)(),(nnxlnxintTtxv? Tn(t)的確定 0|,0|0)()()()(002?tntnnnnTTtftTlantT? ?tnndltanfanltT0)(sin)()(? 第十章 勒讓德多項(xiàng)式 微分方程的冪級(jí)數(shù)解法 二階齊次線性常微分方程 0)()()()()(22?zyzqdzzdyzpdzzyd 將試解?00)()(kkkzzCzy代入方程，求系數(shù)的遞推公式，從而求出方程的解 實(shí)用文檔 文案大全

18、 連帶勒讓德方程 01 )1(2)1(22222?y xmlldxdyxdxydx 勒讓德方程 0)1(2)1(222?ylldxdyxdxydx 勒讓德方程的通解 )()()(1100xyCxyCxy? .)!2/()12).(3)(1().42)(22()1(.! 4)3)(1()2(!2)1(1)(2420?kxkllllklklxllllxllxykk.)!12/()2).(4)(2().32)(12()1(.!5)4)(2)(1)(3(!3)2)(1()(12521?kxklllklklxllllxllxxykk 系數(shù)遞推關(guān)系) 勒讓德多項(xiàng)式 對(duì)y0(x)或y1(x)乘以適當(dāng)常數(shù)，使

19、得xl的最高項(xiàng)系數(shù)為 2)!(2)!2(llCll?時(shí)的多項(xiàng)式稱(chēng)為勒讓德多項(xiàng)式，此時(shí)相應(yīng)的Cl-2n為 )!2()!(2!)!22()1(2nlnlnnlClnnl?勒讓德級(jí)數(shù)表達(dá)高斯函導(dǎo)數(shù)表達(dá) lllllxdxdlxP)1(!21)(2? 圍線積分表達(dá)式 ?ClllldzizP?12)()1(2121)( 定積分表達(dá)式 ?0cossincos1)(cosdiPll 性質(zhì) ? ?!2)!2()1()0(0)0()()1()(2212nnnPPxPxPnnnnlll 1|)(cos|)1()1(1)1(?llllPPP 勒讓德方程的本征方程 劉維爾方程 0)()()(?yxwyxqdxdyxkdxd?勒讓德方ddd權(quán)函數(shù)w(x)=1本征函數(shù)(x)正交性d模)d廣義傅立葉級(jí)數(shù)展si(co)(co(cod母函 實(shí)用文檔 文案大全 ?01021),(cos11),(coscos211llllllrPrrPrrr?01021),(11),(211llllllrxPrrxPrrrx 遞推公式 (n+1)(1xPn?-(2n+1)x)(xPn+n)(1xPn?=0 )(xPn=)(1xPn?-2x)(xPn?+)(1xPn? ) (1xPn?=x)(xPn?+(n+1) )(xPn x)(xPn