胡壽松 自控原理第七章 線性離散控制系統(tǒng)

1、自動(dòng)控制理論自動(dòng)控制理論_第八章第八章第八章第八章 線性離散控制系統(tǒng)線性離散控制系統(tǒng)下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課返回首頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)第第01 頁(yè)頁(yè)第八章第八章 線性離散控制系統(tǒng)線性離散控制系統(tǒng)第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 前述各章討論了前述各章討論了連續(xù)控制系統(tǒng)連續(xù)控制系統(tǒng)的若干問(wèn)題。的若干問(wèn)題。 隨著脈沖技術(shù)、數(shù)字元件隨著脈沖技術(shù)、數(shù)字元件, ,特別是數(shù)字計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展特別是數(shù)字計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展, ,離散控離散控制系統(tǒng)得到了廣泛的應(yīng)用。在制系統(tǒng)得到了廣泛的應(yīng)用。在離散

2、控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng)中中, ,有一處或多處的信號(hào)不是連有一處或多處的信號(hào)不是連續(xù)信號(hào)續(xù)信號(hào), ,而在時(shí)間上是離散的而在時(shí)間上是離散的脈沖序列或數(shù)碼脈沖序列或數(shù)碼, ,這種信號(hào)稱為這種信號(hào)稱為離散信號(hào)離散信號(hào)。 本章將分析離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)本章將分析離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn), ,討論討論采樣過(guò)程采樣過(guò)程及及采樣定理采樣定理、保持器保持器、z z變換變換、差分方程差分方程、脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)、離散控制系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)離散控制系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)和和頻域指標(biāo)頻域指標(biāo)、離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)校正校正等內(nèi)容。等內(nèi)容。 第一節(jié)第一節(jié) 采樣采樣離散控制系統(tǒng)概述離散控制系統(tǒng)概述 離散控制是一種斷續(xù)控制方式離散控制是一種斷續(xù)

3、控制方式, ,最早出現(xiàn)在具有較大延遲特性的控制最早出現(xiàn)在具有較大延遲特性的控制系統(tǒng)中。圖系統(tǒng)中。圖8-1是一個(gè)工業(yè)爐溫度自動(dòng)控制系統(tǒng)方框圖。由于工業(yè)爐是一是一個(gè)工業(yè)爐溫度自動(dòng)控制系統(tǒng)方框圖。由于工業(yè)爐是一個(gè)時(shí)間常數(shù)大、個(gè)時(shí)間常數(shù)大、含有純延遲特性的慣性環(huán)節(jié)。采用連續(xù)控制方法時(shí)由于控制作含有純延遲特性的慣性環(huán)節(jié)。采用連續(xù)控制方法時(shí)由于控制作用用不能及時(shí)體現(xiàn)不能及時(shí)體現(xiàn), ,容易引容易引起爐溫振蕩起爐溫振蕩, ,無(wú)法達(dá)到控?zé)o法達(dá)到控制系統(tǒng)的要求。制系統(tǒng)的要求。第第02頁(yè)頁(yè) 如采用離散控制，如圖如采用離散控制，如圖8-2所示。在誤差信號(hào)與電動(dòng)機(jī)之間加一個(gè)所示。在誤差信號(hào)與電動(dòng)機(jī)之間加一個(gè)采樣開關(guān)采樣

4、開關(guān)，第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課它周期性地閉合和斷開。它周期性地閉合和斷開。當(dāng)爐溫誤差當(dāng)爐溫誤差e(t)e(t)出現(xiàn)時(shí)出現(xiàn)時(shí), , e(t)e(t)只有在開關(guān)只有在開關(guān)閉合閉合時(shí)才時(shí)才能使執(zhí)行電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)能使執(zhí)行電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn), ,進(jìn)進(jìn)行爐溫調(diào)節(jié)。當(dāng)采樣開關(guān)行爐溫調(diào)節(jié)。當(dāng)采樣開關(guān)斷開斷開, ,執(zhí)行電動(dòng)機(jī)立即執(zhí)行電動(dòng)機(jī)立即 可見(jiàn)可見(jiàn), ,在具有大延遲特性的系統(tǒng)中在具有大延遲特性的系統(tǒng)中, ,連續(xù)控制方式的效果不理想連續(xù)控制方式的效果不理想, ,而間斷地進(jìn)行而間斷地進(jìn)行控制反而得到好的控制效果。稱這種間斷控制系統(tǒng)為控制反而得到好

5、的控制效果。稱這種間斷控制系統(tǒng)為采樣采樣-離散控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng)。通。通?？煞譃槌？煞譃椴蓸涌刂葡到y(tǒng)采樣控制系統(tǒng)和和數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)兩大類。兩大類。數(shù)字控制系統(tǒng)框圖數(shù)字控制系統(tǒng)框圖如圖如圖8-38-3所示。所示。 停下來(lái)停下來(lái), ,閥門位置被保持不變閥門位置被保持不變, ,爐溫隨之變化爐溫隨之變化, ,直到下次采樣開關(guān)閉合，根據(jù)直到下次采樣開關(guān)閉合，根據(jù)e(t)e(t)大小再進(jìn)行調(diào)節(jié)。由于電動(dòng)機(jī)時(shí)轉(zhuǎn)時(shí)停大小再進(jìn)行調(diào)節(jié)。由于電動(dòng)機(jī)時(shí)轉(zhuǎn)時(shí)停, ,超調(diào)現(xiàn)象受到抑制超調(diào)現(xiàn)象受到抑制, ,即使開環(huán)放大系數(shù)較即使開環(huán)放大系數(shù)較大的仍能保持系統(tǒng)穩(wěn)定。大的仍能保持系統(tǒng)穩(wěn)定。第第03頁(yè)頁(yè)采樣及采樣方式

6、采樣及采樣方式第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 誤差采樣信號(hào)是通過(guò)誤差采樣信號(hào)是通過(guò)采樣開關(guān)采樣開關(guān)對(duì)對(duì)連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)采樣后得到的采樣后得到的, ,如圖如圖8-48-4所所示。示。 采樣就是在采樣開關(guān)作用下將連續(xù)信號(hào)變成脈沖序列采樣就是在采樣開關(guān)作用下將連續(xù)信號(hào)變成脈沖序列, ,在每個(gè)脈沖后是一段在每個(gè)脈沖后是一段無(wú)信號(hào)的時(shí)間間隔。因此無(wú)信號(hào)的時(shí)間間隔。因此, ,控制系統(tǒng)在無(wú)信號(hào)的時(shí)間間隔內(nèi)實(shí)質(zhì)上是工作于開環(huán)控制系統(tǒng)在無(wú)信號(hào)的時(shí)間間隔內(nèi)實(shí)質(zhì)上是工作于開環(huán)狀態(tài)狀態(tài), ,易于保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。如果采樣頻率太低易于保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。

7、如果采樣頻率太低, ,即采樣周期過(guò)大即采樣周期過(guò)大, ,則包含在輸入則包含在輸入信號(hào)中的大量信息通過(guò)采樣就會(huì)丟失信號(hào)中的大量信息通過(guò)采樣就會(huì)丟失, ,產(chǎn)生采樣失真。產(chǎn)生采樣失真。 除周期采樣外除周期采樣外, ,還有其它采樣方式：還有其它采樣方式： （1 1）多階采樣：采樣是周期性重復(fù)的）多階采樣：采樣是周期性重復(fù)的 （2 2）多速采樣：有兩個(gè)以上不同采樣周期的采樣開關(guān)對(duì)信號(hào)同時(shí)進(jìn)行采樣）多速采樣：有兩個(gè)以上不同采樣周期的采樣開關(guān)對(duì)信號(hào)同時(shí)進(jìn)行采樣 （3 3）隨機(jī)采樣：采樣是隨機(jī)進(jìn)行的）隨機(jī)采樣：采樣是隨機(jī)進(jìn)行的, ,沒(méi)有固定的規(guī)律沒(méi)有固定的規(guī)律第第04頁(yè)頁(yè)第二節(jié)第二節(jié) 采樣過(guò)程及采樣定理采樣過(guò)

8、程及采樣定理 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課一、采樣過(guò)程一、采樣過(guò)程 采樣過(guò)程：采樣過(guò)程：對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣得到一個(gè)脈沖序列的過(guò)程對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣得到一個(gè)脈沖序列的過(guò)程。采樣開關(guān)或采樣。采樣開關(guān)或采樣器可看作器可看作產(chǎn)生脈沖序列產(chǎn)生脈沖序列的元件的元件, ,采樣過(guò)程可理解為針對(duì)連續(xù)信號(hào)的采樣過(guò)程可理解為針對(duì)連續(xù)信號(hào)的脈沖調(diào)制過(guò)程脈沖調(diào)制過(guò)程。 采樣開關(guān)每隔周期采樣開關(guān)每隔周期T T閉合一次閉合一次, ,每次閉合時(shí)間為每次閉合時(shí)間為 , ,且且 T T（ 也遠(yuǎn)小于連續(xù)部也遠(yuǎn)小于連續(xù)部分的時(shí)間常數(shù)）分的時(shí)間常數(shù)）, ,因此將

9、采樣開關(guān)的輸出認(rèn)為是理想脈沖序列因此將采樣開關(guān)的輸出認(rèn)為是理想脈沖序列, ,即近似認(rèn)為即近似認(rèn)為 =0=0。 理想的采樣開關(guān)等效于一個(gè)理想的單位脈沖序列發(fā)生器理想的采樣開關(guān)等效于一個(gè)理想的單位脈沖序列發(fā)生器, ,它能夠產(chǎn)生理想單位它能夠產(chǎn)生理想單位脈沖序列脈沖序列 T(t), ,如圖如圖8-5所示。理想單位脈沖序列的數(shù)學(xué)表達(dá)式為所示。理想單位脈沖序列的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 式中式中 T T采樣周期；采樣周期； n n表示脈沖產(chǎn)生時(shí)刻的整數(shù)；表示脈沖產(chǎn)生時(shí)刻的整數(shù)； (t-nT)(t-nT)發(fā)生在發(fā)生在t tnTnT時(shí)刻的理想單位脈沖；時(shí)刻的理想單位脈沖； T(t)以以T為周期的理想單位脈沖序列。為周期

10、的理想單位脈沖序列。 第第05 頁(yè)頁(yè)第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課連續(xù)信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣開關(guān)采樣連續(xù)信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣開關(guān)采樣( (調(diào)制）后變?yōu)檎{(diào)制）后變?yōu)閑*（t） 上式不表示信號(hào)的迭加上式不表示信號(hào)的迭加,而是一個(gè)沖量為而是一個(gè)沖量為e(nT),發(fā)生時(shí)刻為發(fā)生時(shí)刻為nT的理想脈沖序列。的理想脈沖序列。在實(shí)際控制系統(tǒng)中在實(shí)際控制系統(tǒng)中, ,t0時(shí)時(shí), ,e（t）=0，上式可寫為，上式可寫為 可見(jiàn)可見(jiàn), ,采樣過(guò)程相當(dāng)于一個(gè)脈沖調(diào)制采樣過(guò)程相當(dāng)于一個(gè)脈沖調(diào)制過(guò)程過(guò)程, ,其中連續(xù)信號(hào)其中連續(xù)信號(hào)e(t)為被調(diào)制信號(hào)為被調(diào)制信號(hào), ,調(diào)

11、調(diào)制信號(hào)制信號(hào) T (t)決定采樣時(shí)刻決定采樣時(shí)刻, ,即采樣開關(guān)輸即采樣開關(guān)輸出信號(hào)出信號(hào)e* (t)的幅值由的幅值由e(t)決定決定, ,存在的時(shí)存在的時(shí)刻由刻由 T (t)決定決定, ,如圖如圖8-6所示。所示。 第第06 頁(yè)頁(yè)二、采樣定理二、采樣定理第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 理想單位脈沖序列理想單位脈沖序列 T(t)是一個(gè)以是一個(gè)以T為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù), ,可展成傅里葉級(jí)可展成傅里葉級(jí)數(shù)。其復(fù)數(shù)形式為數(shù)。其復(fù)數(shù)形式為式中式中 s=2 T采樣頻率采樣頻率 傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) 對(duì)于對(duì)于 T (t)

12、,Cn=1/T，將，將 Cn代入代入 T (t)的表達(dá)的表達(dá)式，得式，得 將上式代入采樣信號(hào)的脈沖序列表達(dá)式，得將上式代入采樣信號(hào)的脈沖序列表達(dá)式，得 對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換，并根據(jù)拉普拉斯變換的復(fù)位移定理，得對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換，并根據(jù)拉普拉斯變換的復(fù)位移定理，得 上式表明了上式表明了采樣信號(hào)采樣信號(hào)e*(t)的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換E*(s)與與連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)e(t)的拉普拉斯變換式的拉普拉斯變換式E(s)之間的關(guān)系。同時(shí)可發(fā)現(xiàn)之間的關(guān)系。同時(shí)可發(fā)現(xiàn)E*(s)是是s的周期函數(shù)的周期函數(shù)。 第第07 頁(yè)頁(yè)通常通常E E* *(s)(s)的全部極點(diǎn)均位于的全部極點(diǎn)均位于s s平面的左半

13、平面平面的左半平面, ,因此可以用因此可以用j j 替換替換式中的復(fù)變量式中的復(fù)變量s,s,第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課求得采樣信號(hào)求得采樣信號(hào)e e* *(t)(t)的傅里葉變換，即的傅里葉變換，即式中式中 E* *(j(j ) )采樣信號(hào)采樣信號(hào)e e* *(t)(t)的頻譜的頻譜 E( (j ) 連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)e e( (t) )的頻譜的頻譜 上式反映了上式反映了采樣信號(hào)采樣信號(hào)e e* *(t)(t)的的頻譜頻譜E* *(j(j ) )與與連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)e e( (t) )的頻譜的頻譜E( (j )間的關(guān)系。

14、間的關(guān)系。 第第08頁(yè)頁(yè) 從圖從圖8-78-7中可知，連續(xù)信號(hào)中可知，連續(xù)信號(hào)e e( (t) )的頻譜的頻譜E(jE(j ) )的最大頻率為的最大頻率為 maxmax第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 可見(jiàn)，可見(jiàn)， E E* *(j(j ) )的的相鄰兩部分頻譜彼此不重疊的條件是：相鄰兩部分頻譜彼此不重疊的條件是：采樣頻率采樣頻率 s必須大于必須大于或等于輸入連續(xù)信號(hào)或等于輸入連續(xù)信號(hào)e(e(t) )頻譜中最高頻率頻譜中最高頻率 maxmax的的2 2倍倍。即。即 從圖從圖8-88-8中可知，采樣信號(hào)中可知，采樣信號(hào)e e*

15、 *( (t) )的頻譜的頻譜E E* *(j(j ) )是以采樣頻率是以采樣頻率 S S為周期的無(wú)窮為周期的無(wú)窮多個(gè)離散頻譜多個(gè)離散頻譜, ,其中圖其中圖( (a) )對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 s s2 2 maxmax的情況的情況; ;圖圖( (b) )對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) s s22 maxmax的情況。其的情況。其中中n=0n=0的頻譜分量的頻譜分量1/T|E(j1/T|E(j )|)|稱為主頻譜稱為主頻譜, ,它與連續(xù)信號(hào)它與連續(xù)信號(hào)e e( (t) )的頻譜的頻譜E(jE(j ) )相比相比, ,幅幅值為原來(lái)的值為原來(lái)的1 1T T。 為了從采樣信號(hào)為了從采樣信號(hào)e e* *( (t) )中不失真地復(fù)現(xiàn)連

16、續(xù)信號(hào)中不失真地復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)e e( (t) ), ,必須使采樣信號(hào)頻譜必須使采樣信號(hào)頻譜E E* *(j(j ) )的各部分不重疊。當(dāng)把采樣信號(hào)的各部分不重疊。當(dāng)把采樣信號(hào)e e* *( (t) )加到圖加到圖8-8(a)8-8(a)虛線所示的理想低通濾虛線所示的理想低通濾波器時(shí)波器時(shí), ,濾掉全部高頻頻譜分量濾掉全部高頻頻譜分量, ,就得到與原連續(xù)信號(hào)頻譜相似的頻譜信號(hào)就得到與原連續(xù)信號(hào)頻譜相似的頻譜信號(hào), ,再放大再放大T T倍倍, ,即可完全準(zhǔn)確地復(fù)現(xiàn)原來(lái)的連續(xù)信號(hào)。即可完全準(zhǔn)確地復(fù)現(xiàn)原來(lái)的連續(xù)信號(hào)。這就是香農(nóng)這就是香農(nóng)(Shannon)(Shannon)采樣定理，簡(jiǎn)稱采樣定理，簡(jiǎn)稱采

17、樣定理采樣定理。 如果如果 s s2 2 maxmax不滿足采樣定理，將發(fā)生不滿足采樣定理，將發(fā)生E E* *(j(j ) )相鄰部分頻譜的重疊，相鄰部分頻譜的重疊，通過(guò)圖通過(guò)圖8-8 (a)虛線所示的理想濾波器，無(wú)法不失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。虛線所示的理想濾波器，無(wú)法不失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。 第第09頁(yè)頁(yè)第三節(jié)第三節(jié) 保持器保持器 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 保持器是離散系統(tǒng)的一個(gè)基本單元，保持器是離散系統(tǒng)的一個(gè)基本單元，功能是將離散信號(hào)恢復(fù)成連續(xù)信號(hào)功能是將離散信號(hào)恢復(fù)成連續(xù)信號(hào)。 一、零除保持器一、零除保持器 零階

18、保持器零階保持器: :把前一個(gè)采樣時(shí)刻把前一個(gè)采樣時(shí)刻nTnT的采樣值不增不減地保持到下一個(gè)采樣時(shí)的采樣值不增不減地保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻（刻（n n1 1）T T的保持器。其輸入信號(hào)與輸出信號(hào)之間的關(guān)系如圖的保持器。其輸入信號(hào)與輸出信號(hào)之間的關(guān)系如圖8-98-9所示。它的單所示。它的單位脈沖響應(yīng)如圖位脈沖響應(yīng)如圖8-108-10所示。所示。 由此得其傳遞函數(shù)為由此得其傳遞函數(shù)為 頻率特性為頻率特性為 寫為幅頻特性和相頻特性分別為寫為幅頻特性和相頻特性分別為 零階保持器的脈沖響應(yīng)可表示為零階保持器的脈沖響應(yīng)可表示為第第10頁(yè)頁(yè)零階保持器的輸入輸出關(guān)系及單位脈沖響應(yīng)零階保持器的輸入輸出關(guān)系及單位脈

19、沖響應(yīng)第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課第第11 頁(yè)頁(yè)零階保持器的頻率特性特點(diǎn)零階保持器的頻率特性特點(diǎn)第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 幅值隨頻率幅值隨頻率 的的增大而衰減增大而衰減, ,具有明具有明顯低通濾波特性。顯低通濾波特性。但不是一個(gè)理想的但不是一個(gè)理想的低通濾波器低通濾波器, ,它除了它除了允許主頻譜通過(guò)外允許主頻譜通過(guò)外, ,還允許部分高頻頻還允許部分高頻頻譜通過(guò)。其恢復(fù)的譜通過(guò)。其恢復(fù)的連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)e en n（t t）與）與原連續(xù)信號(hào)原連

20、續(xù)信號(hào)e e（t t）有差別。當(dāng)采樣周有差別。當(dāng)采樣周期期T T取得越小取得越小, ,兩者兩者差別就越小。差別就越小。 從相頻特性上可知從相頻特性上可知, ,采用零階保持器將產(chǎn)生滯后相移采用零階保持器將產(chǎn)生滯后相移, ,將使系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性降將使系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性降低。將圖低。將圖8-98-9（c c）中各階梯信號(hào)的中點(diǎn)連接起來(lái)）中各階梯信號(hào)的中點(diǎn)連接起來(lái), ,得到曲線與原信號(hào)得到曲線與原信號(hào)e e（t t）相同）相同, ,相位滯后相位滯后T T2 2。 產(chǎn)生相位滯后是保持器所具有的共性產(chǎn)生相位滯后是保持器所具有的共性, ,與其他高階保持器相比與其他高階保持器相比, ,零階保持器產(chǎn)零階保持器產(chǎn)生的相

21、位滯后最小生的相位滯后最小, ,因此相對(duì)穩(wěn)定性最好。因此相對(duì)穩(wěn)定性最好。第第12頁(yè)頁(yè)零階保持器的實(shí)現(xiàn)零階保持器的實(shí)現(xiàn)第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 將零階保持器的傳遞函數(shù)按冪級(jí)數(shù)展開將零階保持器的傳遞函數(shù)按冪級(jí)數(shù)展開 取級(jí)數(shù)的前二項(xiàng)，得取級(jí)數(shù)的前二項(xiàng)，得 可用圖可用圖8-12的電路實(shí)現(xiàn)的電路實(shí)現(xiàn) 若取級(jí)數(shù)的前三項(xiàng)，得若取級(jí)數(shù)的前三項(xiàng)，得 若取級(jí)數(shù)的項(xiàng)過(guò)多若取級(jí)數(shù)的項(xiàng)過(guò)多, ,會(huì)使會(huì)使無(wú)源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜無(wú)源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜, ,實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)困難。困難。 可用圖可用圖8-13的電路實(shí)現(xiàn)的電路實(shí)現(xiàn) 第第13 頁(yè)頁(yè)二、一階保持器二、

22、一階保持器 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 根據(jù)兩個(gè)采樣值根據(jù)兩個(gè)采樣值y(nT)與與y(n-1)T 之間之間, ,按照線性規(guī)律外推保持器稱為一階保按照線性規(guī)律外推保持器稱為一階保持器持器, ,其表達(dá)式為其表達(dá)式為 一階保持器輸出信號(hào)如圖一階保持器輸出信號(hào)如圖8-148-14所示。所示。 一階保持器單位脈沖響應(yīng)圖一階保持器單位脈沖響應(yīng)圖8-15(a)8-15(a)所示所示, ,其拉普拉斯變換其拉普拉斯變換G Gh h(S)(S)可表示為可表示為第第14 頁(yè)頁(yè) 一階保持器的頻率特性為一階保持器的頻率特性為 第一張第一張第一張

23、上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 一階保持器的幅頻特性如圖一階保持器的幅頻特性如圖8-16所示，圖中虛線為零階保持器的幅頻所示，圖中虛線為零階保持器的幅頻特性。特性。 第第15 頁(yè)頁(yè)第四節(jié)第四節(jié) z z變換變換 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 線性連續(xù)控制系統(tǒng)線性連續(xù)控制系統(tǒng)可用可用線性微分方程線性微分方程來(lái)描述，用來(lái)描述，用拉普拉斯變換拉普拉斯變換分析它的暫態(tài)分析它的暫態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。性能及穩(wěn)態(tài)性能。 對(duì)于對(duì)于線性離散控制系統(tǒng)線性離散控制系統(tǒng)則可用則可用線性差分方程線

24、性差分方程來(lái)描述，用來(lái)描述，用Z變換變換來(lái)分析它的暫來(lái)分析它的暫 態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。 Z變換是研究離散系統(tǒng)主要的數(shù)學(xué)工具，由拉普拉斯變換引導(dǎo)出來(lái)，是離散變換是研究離散系統(tǒng)主要的數(shù)學(xué)工具，由拉普拉斯變換引導(dǎo)出來(lái)，是離散信號(hào)的拉普拉斯變換。信號(hào)的拉普拉斯變換。一、一、z z變換的定義變換的定義 連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)f（t）的拉普拉斯變換為）的拉普拉斯變換為 連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)f（t）經(jīng)過(guò)采樣得到離散信號(hào)）經(jīng)過(guò)采樣得到離散信號(hào)f*（t）為）為 其拉普拉斯變換為其拉普拉斯變換為 第第16頁(yè)頁(yè) 引入一個(gè)新的復(fù)變量引入一個(gè)新的復(fù)變量z，令，令 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下

25、一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 離散信號(hào)離散信號(hào)f*（t） 的拉普拉斯變換式變?yōu)榈睦绽棺儞Q式變?yōu)?如上列級(jí)數(shù)收斂，則定義如上列級(jí)數(shù)收斂，則定義F F（z z）為）為f f* *（t t）的）的z z變換，記為變換，記為 從從z z變換的定義上看，它只適用于離散信號(hào)，或者說(shuō)變換的定義上看，它只適用于離散信號(hào)，或者說(shuō)z z變換所表示的是變換所表示的是連續(xù)信號(hào)在采樣時(shí)刻的特性，它連續(xù)信號(hào)在采樣時(shí)刻的特性，它并不反映并不反映各各采樣時(shí)刻之間采樣時(shí)刻之間的關(guān)系。從這個(gè)的關(guān)系。從這個(gè)意義上說(shuō)，連續(xù)信號(hào)意義上說(shuō)，連續(xù)信號(hào)f f（t t）與離散信號(hào)）與離散信號(hào)f f* *(t(t）具

26、有相同的）具有相同的z z變換，即變換，即 第第17頁(yè)頁(yè)二、求二、求z z變換的方法變換的方法 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課1. 1. 級(jí)數(shù)求和法級(jí)數(shù)求和法 將離散信號(hào)將離散信號(hào)f *（t）展開如下）展開如下 對(duì)上式逐項(xiàng)進(jìn)行拉普拉斯變換，得對(duì)上式逐項(xiàng)進(jìn)行拉普拉斯變換，得 或或 這是離散信號(hào)這是離散信號(hào)f*（t）的）的z變換變換F(z)F(z)的級(jí)數(shù)表達(dá)式，是共有無(wú)窮多項(xiàng)的開放式的級(jí)數(shù)表達(dá)式，是共有無(wú)窮多項(xiàng)的開放式表達(dá)式。級(jí)數(shù)數(shù)求和后，可得表達(dá)式。級(jí)數(shù)數(shù)求和后，可得Z變換的閉合形式。變換的閉合形式。 【例例8-1】求單位階

27、躍函數(shù)求單位階躍函數(shù)1（t）的）的Z變換。變換。 解解 單位階躍函數(shù)的采樣脈沖序列為單位階躍函數(shù)的采樣脈沖序列為 第第18頁(yè)頁(yè) 代入代入F(z)F(z)的級(jí)數(shù)表達(dá)式，得的級(jí)數(shù)表達(dá)式，得第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課對(duì)上列級(jí)數(shù)求和，寫成閉合形式，得對(duì)上列級(jí)數(shù)求和，寫成閉合形式，得 【例例8-2】求求f(t)=e- t的的Z變換。變換。 解解 將將代入代入F(z)的級(jí)數(shù)表達(dá)式，得的級(jí)數(shù)表達(dá)式，得利用級(jí)數(shù)求和公式寫成閉合形式，得利用級(jí)數(shù)求和公式寫成閉合形式，得 第第19 頁(yè)頁(yè)2. 2. 部分分式法部分分式法 第一張第一張第一張上

28、一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 當(dāng)連續(xù)信號(hào)是以拉普拉斯變換式當(dāng)連續(xù)信號(hào)是以拉普拉斯變換式F F（S S）的形式給出）的形式給出, ,且且F F（S S）為有理函數(shù)時(shí)）為有理函數(shù)時(shí), ,可以展可以展開成部分分式的形式，即開成部分分式的形式，即 對(duì)應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式為對(duì)應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式為,由例由例8- -2可得與其對(duì)應(yīng)的可得與其對(duì)應(yīng)的z變換為變換為 由此可得由此可得F（S）的）的z變換為變換為 【例例8-4】已知已知，試求其變換，試求其變換 解解 將將F F（S）展開成部分分式）展開成部分分式 其對(duì)應(yīng)的時(shí)域表示式為其對(duì)應(yīng)的時(shí)域表示式為 第第20 頁(yè)頁(yè)是

29、兩個(gè)時(shí)域信號(hào)的疊加，由例是兩個(gè)時(shí)域信號(hào)的疊加，由例8- -1和例和例8- -2可得可得 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課3. 3. 留數(shù)法留數(shù)法 設(shè)連續(xù)信號(hào)設(shè)連續(xù)信號(hào)f(t)f(t)的拉普拉斯變換式的拉普拉斯變換式F F（S S）及其全部極點(diǎn)）及其全部極點(diǎn)p pi i為已知，可利用留為已知，可利用留數(shù)法求其數(shù)法求其Z變換變換F(z)F(z)，即，即 式中式中為為在在 s= =p pi i處的留數(shù)處的留數(shù) 當(dāng)當(dāng)s= =p pi i為一階極點(diǎn)時(shí)，其留數(shù)為為一階極點(diǎn)時(shí)，其留數(shù)為 當(dāng)當(dāng)s= =p pj j為為q q階極點(diǎn)時(shí)，其留數(shù)為

30、階極點(diǎn)時(shí)，其留數(shù)為 第第21 頁(yè)頁(yè)【例例8-4】求求f（t）=t的的z變換變換 t 0 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 解解 由于由于 在在s= =0處有二階極點(diǎn)，處有二階極點(diǎn)，f(t)f(t)的的z z變換變換F(z)F(z)為為 附錄附錄A A、附錄、附錄B B列出了常用函數(shù)及其拉普拉斯變換和列出了常用函數(shù)及其拉普拉斯變換和z z變換變換, ,便于使用時(shí)便于使用時(shí)查閱。查閱。 三、三、z z變換的基本定理變換的基本定理1. 1. 線性定理線性定理 設(shè)有連續(xù)時(shí)間函數(shù)設(shè)有連續(xù)時(shí)間函數(shù) 若若 i為常數(shù)，則為常數(shù)，則 線性定理

31、表明線性定理表明, ,時(shí)域函數(shù)線性組合的時(shí)域函數(shù)線性組合的z變換等于各時(shí)域函數(shù)變換等于各時(shí)域函數(shù)z變換的線性組合。變換的線性組合。 第第22頁(yè)頁(yè)2. 2. 延遲定理延遲定理 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課設(shè)設(shè)f(t)f(t)的的z z變換為變換為F F（z z），且），且t t0 0時(shí)，時(shí)，f(t)=0,f(t)=0,則則證明從略。證明從略。 延遲定理說(shuō)明，原函數(shù)在時(shí)域中延遲延遲定理說(shuō)明，原函數(shù)在時(shí)域中延遲k k個(gè)采樣周期求個(gè)采樣周期求z z變換變換, ,相當(dāng)于它的相當(dāng)于它的z變換變換乘以乘以z-k-k。因此。因此 z-k

32、-k可以表示時(shí)域中的滯后環(huán)節(jié)可以表示時(shí)域中的滯后環(huán)節(jié), ,它把采樣信號(hào)延遲它把采樣信號(hào)延遲k k個(gè)采樣周期個(gè)采樣周期, ,如如囹囹8- -17所示。所示。 第第23頁(yè)頁(yè)3. 3. 超前定理超前定理第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)的的z變換為變換為F(z)，則，則 證明從略證明從略 采樣信號(hào)在時(shí)間軸上移動(dòng)的定理有延遲定理和超前定理采樣信號(hào)在時(shí)間軸上移動(dòng)的定理有延遲定理和超前定理,總稱為位移定理?？偡Q為位移定理。 延遲定理表示將采樣信號(hào)在時(shí)間軸上整體右移后的延遲定理表示將采樣信號(hào)在時(shí)間軸上整體右移后的z變換

33、變換,表現(xiàn)為時(shí)間上延遲。表現(xiàn)為時(shí)間上延遲。 超前定理表示將采樣信號(hào)在時(shí)間軸上整體左移后的超前定理表示將采樣信號(hào)在時(shí)間軸上整體左移后的z變換變換,表現(xiàn)為時(shí)間上超前。表現(xiàn)為時(shí)間上超前。 4. 4. 初值定理初值定理 設(shè)設(shè)f(t)(t)的的z變換為變換為 F(z)，而且，而且存在，則存在，則 初值定理表明采樣信號(hào)的初值與該信號(hào)的初值定理表明采樣信號(hào)的初值與該信號(hào)的z變換的終值相等。用于已知其中之變換的終值相等。用于已知其中之一求另一個(gè)時(shí)的情況。一求另一個(gè)時(shí)的情況。證明從略證明從略 第第24頁(yè)頁(yè)第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 設(shè)函

34、數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)f(t)的的z z變換為變換為F F(z)，且，且5. 5. 終值定理終值定理 圓上和圓外均沒(méi)有極點(diǎn)，則圓上和圓外均沒(méi)有極點(diǎn)，則在在z z平面上的以原點(diǎn)為圓心的單位平面上的以原點(diǎn)為圓心的單位證明從略證明從略 終值定理表明采樣信號(hào)在時(shí)間上的終值與該信號(hào)的終值定理表明采樣信號(hào)在時(shí)間上的終值與該信號(hào)的z z變換變換F F(z)在在z=1時(shí)的取值的時(shí)的取值的關(guān)系。常關(guān)系。常用于計(jì)算離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。用于計(jì)算離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 6 .6 .復(fù)數(shù)偏移定理復(fù)數(shù)偏移定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)f(t)的的z z變換為變換為F(z)F(z)，則，則 證明從略證明從略 7. 7. 卷積定理卷積定

35、理 設(shè)設(shè) 第第25 頁(yè)頁(yè)式中，式中，n= =0，1 1，2，正整數(shù)。則正整數(shù)。則第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課證明從略證明從略 四、四、z z反變換反變換 由由F(z z)求求f f* *(t)(t)過(guò)程稱為過(guò)程稱為z反變換，表示為反變換，表示為 由于由于z z變換只表征連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻的變換只表征連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻的特性特性, ,并不反映采樣時(shí)刻之間的特性并不反映采樣時(shí)刻之間的特性, ,因此因此z z反反變換只能求出采樣函數(shù)變換只能求出采樣函數(shù)f f* *(t),(t),不能求出其連續(xù)不能求出其連續(xù)函數(shù)函數(shù)f(t)(t

36、)。即有。即有 表明表明F(z)對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的f*(t)是唯一的，但與是唯一的，但與F(z)對(duì)對(duì)應(yīng)的應(yīng)的f(t)不是唯一的，可有無(wú)窮多個(gè)。不是唯一的，可有無(wú)窮多個(gè)。 第第26 頁(yè)頁(yè)1. 1. 長(zhǎng)除法長(zhǎng)除法 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 設(shè)設(shè)F( (z) )的一般表達(dá)式為的一般表達(dá)式為 將將F( (z) )的分子、分母多項(xiàng)式按的分子、分母多項(xiàng)式按z z的的降冪形式排列降冪形式排列, ,用分子多項(xiàng)式除以分母多用分子多項(xiàng)式除以分母多項(xiàng)項(xiàng)式式, ,可得到可得到F( (z) )關(guān)于關(guān)于z z-1-1的無(wú)窮級(jí)數(shù)形式的無(wú)窮級(jí)數(shù)形式, ,

37、在根據(jù)延遲定理得到在根據(jù)延遲定理得到f f* *(t)(t)。對(duì)上式求對(duì)上式求z z反變換反變換, ,得得 【例例8-8 】求求的的z反變換反變換 解解 用長(zhǎng)除法可以求得用長(zhǎng)除法可以求得 所以所以 第第27 頁(yè)頁(yè)2. 2. 部分分式法部分分式法 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 將將F(z)/z/z展開成部分分式。展開成部分分式。由于在由于在F(z)F(z)式中式中, ,分子表達(dá)式中通常含有分子表達(dá)式中通常含有z z。 得到部分分式后得到部分分式后, ,再將再將z z乘到各部分分式的分子部分乘到各部分分式的分子部分, ,再查

38、表進(jìn)行反變換即可。再查表進(jìn)行反變換即可。【例例8-9】求求z的反變換。的反變換。 解解 將將F (z)/ /z展開成部分分式為展開成部分分式為 所以所以 則對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)則對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)f f* *(t)(t)為為 第第28頁(yè)頁(yè)3. 3. 留數(shù)法留數(shù)法第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 由由z變換的定義有變換的定義有 用用zn-1n-1乘上式兩端乘上式兩端, ,得得 根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論, ,知知 式中，式中， 包圍包圍F(z)zn-1在在c中的所有極點(diǎn)。中的所有極點(diǎn)。 為為在在z=p=pi i處的留數(shù)；積分路徑處

39、的留數(shù)；積分路徑c當(dāng)當(dāng)z=p=pi i為一階極點(diǎn)時(shí)，其留數(shù)為為一階極點(diǎn)時(shí)，其留數(shù)為 當(dāng)當(dāng)z=p=pj j為為q重極點(diǎn)時(shí)，其留數(shù)為重極點(diǎn)時(shí)，其留數(shù)為 第第29頁(yè)頁(yè)【例例8-10】求求 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課的的z反變換。反變換。 解解 F(z)zn-1在在z=1處有二重極點(diǎn)，其留數(shù)為處有二重極點(diǎn)，其留數(shù)為 所以所以 或?qū)懗苫驅(qū)懗?【例例8-11】求求的的Z反變換。反變換。 解解 由留數(shù)法公式，得由留數(shù)法公式，得 在在z= =1處有單極點(diǎn)，在處有單極點(diǎn)，在z=0.5=0.5處有二重極點(diǎn)，有處有二重極點(diǎn)，有 第第30頁(yè)頁(yè)

40、第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課由此可得由此可得 五、廣義五、廣義z z變換變換 以上討論的以上討論的z z變換法，可得到各采樣時(shí)刻的信息。但實(shí)際離散系統(tǒng)的輸出信變換法，可得到各采樣時(shí)刻的信息。但實(shí)際離散系統(tǒng)的輸出信號(hào)通常是連續(xù)信號(hào)，因此也需要獲得采樣時(shí)刻之間的信息。此外，當(dāng)離散系統(tǒng)中號(hào)通常是連續(xù)信號(hào)，因此也需要獲得采樣時(shí)刻之間的信息。此外，當(dāng)離散系統(tǒng)中含有滯后環(huán)節(jié)含有滯后環(huán)節(jié)e e- - Ts，且，且 不是采樣周期的整倍數(shù)時(shí)，需要研究采樣時(shí)刻之間的特不是采樣周期的整倍數(shù)時(shí)，需要研究采樣時(shí)刻之間的特性。性。這種研究采樣時(shí)刻之

41、這種研究采樣時(shí)刻之間特性的間特性的z變換稱為廣義變換稱為廣義z變換。變換。 假設(shè)在原系統(tǒng)中加入一個(gè)滯后環(huán)節(jié)假設(shè)在原系統(tǒng)中加入一個(gè)滯后環(huán)節(jié)e e- - Ts（0 0 1 1），原系統(tǒng)的采樣信號(hào)為，原系統(tǒng)的采樣信號(hào)為 f f* *(t) (t) 經(jīng)延遲后變?yōu)榻?jīng)延遲后變?yōu)榈诘?1 頁(yè)頁(yè) 采樣信號(hào)采樣信號(hào)f f* *(t)(t)和和f f* *(t-(t- T) )在采樣時(shí)刻在采樣時(shí)刻nTnT時(shí)的采樣值分別為時(shí)的采樣值分別為f f* *(NT)(NT)和和第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課f f* *(NT-(NT- T)T)如圖如圖

42、8- -19所示。所示。 采樣信號(hào)采樣信號(hào)f f* *(t- (t- T) )在在采樣時(shí)刻采樣時(shí)刻nTnT的采樣值的采樣值f f * *(nT-(nT- T) ), ,相當(dāng)于采樣信號(hào)相當(dāng)于采樣信號(hào)f f* *(t)(t)在采樣時(shí)刻在采樣時(shí)刻(n-1)T(n-1)T和和nTnT之間的某個(gè)插值。之間的某個(gè)插值。 當(dāng)當(dāng) 是正整數(shù)時(shí)，根據(jù)是正整數(shù)時(shí)，根據(jù)z z變換的延遲變換的延遲定理，有定理，有 當(dāng)延遲時(shí)間不是采樣周期的整數(shù)倍時(shí)當(dāng)延遲時(shí)間不是采樣周期的整數(shù)倍時(shí), ,可將延遲時(shí)間表示為可將延遲時(shí)間表示為( ( )T,T,其中其中 為為正整正整數(shù)數(shù), , 為正小數(shù)為正小數(shù), ,延遲后的采樣信號(hào)為延遲后的采

43、樣信號(hào)為 為正整數(shù)為正整數(shù), ,利用延遲定理利用延遲定理, ,其其z變換為變換為 若若 = =0，則上式化為，則上式化為 記為記為第第32頁(yè)頁(yè)廣義廣義z變換的另外一種表示法變換的另外一種表示法。設(shè)設(shè) 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課則有則有由此可見(jiàn)由此可見(jiàn), ,函數(shù)函數(shù)f(t)延遲延遲 T后的后的z變換等于變換等于z-1-1乘以乘以f(t)超前超前mT時(shí)的時(shí)的z變換變換, ,記為記為 【例例8-12】設(shè)設(shè)f(t)=1-e-at求求f(t)延遲延遲 T后的后的z變換變換 解解 令令 =1-m=1-m則則第第33 頁(yè)頁(yè)【例例8-

44、13】離散控制系統(tǒng)如圖離散控制系統(tǒng)如圖8-20所示，系統(tǒng)含有延遲環(huán)節(jié)所示，系統(tǒng)含有延遲環(huán)節(jié)e-( + )Ts，試求閉環(huán)系統(tǒng)，試求閉環(huán)系統(tǒng)第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課的輸出信號(hào)和輸入信號(hào)的的輸出信號(hào)和輸入信號(hào)的z變換之比。變換之比。解解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 令令 =1-m,=1-m,則則所以所以進(jìn)行廣義進(jìn)行廣義z變換，得變換，得閉環(huán)系統(tǒng)輸出信號(hào)和輸入信號(hào)的閉環(huán)系統(tǒng)輸出信號(hào)和輸入信號(hào)的z變換之比為變換之比為 第第34頁(yè)頁(yè)常用的廣義常用的廣義z變換表變換表第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下

45、一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課第第35頁(yè)頁(yè)第五節(jié)第五節(jié) 線性差分方程線性差分方程 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 描述描述n n階階線性連續(xù)系統(tǒng)線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為的數(shù)學(xué)模型為n n階微分方程階微分方程，而描述，而描述n n階階線性離散系線性離散系統(tǒng)統(tǒng)的教學(xué)的教學(xué)模型為模型為n n階階線性差分方程線性差分方程。n階線性差分方程的一般形式為階線性差分方程的一般形式為式中式中r( (nT) )輸入量，輸入量，c(c(nT) )輸出量輸出量 前向差分和后向差分是差分的兩種基本類型。前向差分和后向差分是差

46、分的兩種基本類型。 設(shè)連續(xù)函數(shù)設(shè)連續(xù)函數(shù)y y( (t) )的的采樣序列為采樣序列為y y( (nT) )，則，則一階前向差分一階前向差分定義為定義為 二階前向差分二階前向差分定義為定義為 一階后向差分定義為一階后向差分定義為 二階后向差分定義為二階后向差分定義為 第第36頁(yè)頁(yè)【例例8-14】控制系統(tǒng)如圖控制系統(tǒng)如圖 8-21所示，試求其差分方程所示，試求其差分方程第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 解解 由由即即 得系統(tǒng)的微分方程為得系統(tǒng)的微分方程為因因在在t= =nT( (n= =0,1,1,2, ,) )時(shí)的值可用一階前

47、向差分來(lái)近似時(shí)的值可用一階前向差分來(lái)近似將上式代入系統(tǒng)微分方程，整理后得前向差分方程將上式代入系統(tǒng)微分方程，整理后得前向差分方程在圖在圖8-21中引入采樣開關(guān)和零階保持器，得到一個(gè)離散控制系統(tǒng)，其差分方程為中引入采樣開關(guān)和零階保持器，得到一個(gè)離散控制系統(tǒng)，其差分方程為結(jié)果同前結(jié)果同前,表明了采樣開關(guān)和保持器的作用。表明了采樣開關(guān)和保持器的作用。第第37 頁(yè)頁(yè)【例例8-16】用用z變換法求解二階差分方程變換法求解二階差分方程 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 初始條件初始條件y(0)=0，y(T)=1，輸入為單位階躍函數(shù)，輸入

48、為單位階躍函數(shù) 解解 利用利用z z變換的位移定理變換的位移定理, ,對(duì)差分方程進(jìn)行對(duì)差分方程進(jìn)行z變換變換, ,得得 將已知條件代入上式，整理得將已知條件代入上式，整理得 利用部分分式法求利用部分分式法求Y( (z) )的的z反變換反變換, ,即即 兩邊同乘以兩邊同乘以z , ,得得或?qū)憺榛驅(qū)憺榍笄髗反變換，得反變換，得差分方程還可用迭代法等求解差分方程還可用迭代法等求解第第38頁(yè)頁(yè)第六節(jié)第六節(jié) 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課一、脈沖傳遞函數(shù)的基本概念一、脈沖傳遞函數(shù)的基本概念 線性離散系統(tǒng)線性

49、離散系統(tǒng)初始條件為零初始條件為零時(shí)時(shí), ,系統(tǒng)系統(tǒng)輸出信號(hào)的輸出信號(hào)的z z變換變換與與輸入信號(hào)的輸入信號(hào)的z z變換之變換之比比, ,稱為線性離散系統(tǒng)的稱為線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù), ,或簡(jiǎn)稱為或簡(jiǎn)稱為z z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)。 設(shè)線性定常離散系統(tǒng)如設(shè)線性定常離散系統(tǒng)如圖圖8-238-23所示。圖所示。圖(a)(a)所示系所示系統(tǒng)的其脈沖傳遞函數(shù)統(tǒng)的其脈沖傳遞函數(shù)為為 實(shí)際采樣系統(tǒng)的輸出信實(shí)際采樣系統(tǒng)的輸出信號(hào)通常是連續(xù)信號(hào)號(hào)通常是連續(xù)信號(hào), ,為了應(yīng)為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)用脈沖傳遞函數(shù)概念概念, ,可在可在系統(tǒng)的輸出端虛設(shè)一個(gè)同步系統(tǒng)的輸出端虛設(shè)一個(gè)同步采樣開關(guān)采樣開關(guān), ,使輸

50、出成為離散使輸出成為離散信號(hào)信號(hào), ,如圖如圖(b)(b)所示。所示。 第第39 頁(yè)頁(yè) 脈沖傳遞函數(shù)的物理含義脈沖傳遞函數(shù)的物理含義 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 設(shè)輸入脈沖序列為設(shè)輸入脈沖序列為在在0 0 t T T時(shí)間段，起作用的只有時(shí)間段，起作用的只有t=0t=0時(shí)刻時(shí)刻加入的脈沖加入的脈沖r(0)r(0) (t)(t)，系統(tǒng)的輸出為，系統(tǒng)的輸出為 在在T T t 2T時(shí)間段，起作用的只有時(shí)間段，起作用的只有t=0t=0和和t= =T時(shí)刻加入的兩個(gè)脈沖時(shí)刻加入的兩個(gè)脈沖r(0)r(0) (t)(t)和和r(T)r(

51、T) (t-T)(t-T)，系統(tǒng)的輸出為，系統(tǒng)的輸出為 同理，在同理，在kT t (k+ +1)T時(shí)間段，系統(tǒng)輸出為時(shí)間段，系統(tǒng)輸出為 將將t= =kT代入上式，得代入上式，得 第第40頁(yè)頁(yè)因因t 0時(shí)時(shí), ,g( (t)=)=0,上式可寫成上式可寫成 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課根據(jù)根據(jù)z z變換的卷積定理，上式的變換的卷積定理，上式的z z變換為變換為 式中：式中：G( (z) )、R( (z) )、C( (z) )分別為分別為g( (t) )、r( (t) )、c( (t) )的的z變換。變換。 即離散系統(tǒng)脈沖傳遞

52、函數(shù)即離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為為必須注意兩點(diǎn)：必須注意兩點(diǎn)：（1 1）G(S)G(S)表示線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而表示線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而G(z)G(z)表示線性系統(tǒng)與采樣開關(guān)結(jié)合后表示線性系統(tǒng)與采樣開關(guān)結(jié)合后的的脈沖傳遞函數(shù)，即描述了兩者結(jié)合后構(gòu)成的離散系統(tǒng)特性。脈沖傳遞函數(shù)，即描述了兩者結(jié)合后構(gòu)成的離散系統(tǒng)特性。 （2 2）G(z)G(z)與與G(S)G(S)之間的關(guān)系可表示為之間的關(guān)系可表示為 但但 第第41頁(yè)頁(yè)二、開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)二、開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 離散系統(tǒng)中兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)

53、之間有無(wú)采樣開關(guān)，等效脈沖傳遞函數(shù)不同。離散系統(tǒng)中兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有無(wú)采樣開關(guān)，等效脈沖傳遞函數(shù)不同。1 1、串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開關(guān)、串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開關(guān) 系統(tǒng)如圖系統(tǒng)如圖8-24(a)8-24(a)所示所示, ,輸出離散信號(hào)與輸入離散信號(hào)之輸出離散信號(hào)與輸入離散信號(hào)之間脈沖傳遞函數(shù)為間脈沖傳遞函數(shù)為 上式表明上式表明, ,當(dāng)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開關(guān)時(shí)當(dāng)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開關(guān)時(shí), ,系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為各為各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的遞函數(shù)乘積的z z變換變換。該結(jié)論可推廣到相互間無(wú)采樣開關(guān)的。該結(jié)論可推廣到相互間無(wú)采樣開關(guān)的n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。 2 2、

54、串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)、串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān) 圖圖8-24(b)8-24(b)所示系統(tǒng)所示系統(tǒng), ,兩個(gè)環(huán)節(jié)之兩個(gè)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)。因間有采樣開關(guān)。因 有有即即等效脈沖傳遞函數(shù)等效脈沖傳遞函數(shù)為各為各串聯(lián)環(huán)節(jié)脈串聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積沖傳遞函數(shù)之積。該結(jié)論也可推廣到。該結(jié)論也可推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。 第第42頁(yè)頁(yè)【例例8-17】 設(shè)圖設(shè)圖8-24中中第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課,求系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。求系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。解解 無(wú)采樣開關(guān)時(shí)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為無(wú)采樣開關(guān)時(shí)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為 有采樣開關(guān)

55、時(shí)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為有采樣開關(guān)時(shí)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為 可見(jiàn)可見(jiàn), ,兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有無(wú)采樣開關(guān)兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有無(wú)采樣開關(guān), ,等效脈沖傳遞函數(shù)確實(shí)不相等。等效脈沖傳遞函數(shù)確實(shí)不相等。 三、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)三、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 由于閉環(huán)離散系統(tǒng)中采樣開關(guān)的位由于閉環(huán)離散系統(tǒng)中采樣開關(guān)的位置和個(gè)數(shù)不唯一置和個(gè)數(shù)不唯一, ,導(dǎo)致導(dǎo)致系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式多系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式多樣化。對(duì)圖樣化。對(duì)圖8-258-25所示結(jié)構(gòu)所示結(jié)構(gòu), ,有有1. 1. 參考輸入作用時(shí)參考輸入作用時(shí)第第43 頁(yè)頁(yè)兩式合并兩式合并, ,得得第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)

56、束授課結(jié)束授課對(duì)對(duì)E(s)E(s)進(jìn)行采樣，得進(jìn)行采樣，得E E* *(s)(s)的表達(dá)式為的表達(dá)式為 得得而而寫為寫為z z變換形式，得變換形式，得給定輸入時(shí)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為給定輸入時(shí)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 同理可得，同理可得，誤差的脈沖傳遞函數(shù)為誤差的脈沖傳遞函數(shù)為如為如為單位反饋系統(tǒng)單位反饋系統(tǒng)，則有，則有1+GH(z)1+GH(z)稱為離散系統(tǒng)的稱為離散系統(tǒng)的特征式特征式。1+GH(z)=01+GH(z)=0稱為稱為離散系統(tǒng)的離散系統(tǒng)的特征方程特征方程。z z平面上平面上滿滿 足特征方程的點(diǎn)足特征方程的點(diǎn)稱為離散系統(tǒng)的稱為離散系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)。第第44 頁(yè)頁(yè)2. 2. 當(dāng)離散系統(tǒng)中

57、含有數(shù)字控制器當(dāng)離散系統(tǒng)中含有數(shù)字控制器D(S)D(S)時(shí)時(shí) 第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 系統(tǒng)方框圖如圖系統(tǒng)方框圖如圖8- -26所示所示, ,有有 離散化后得離散化后得E E* *(s)(s)表達(dá)式為表達(dá)式為又由又由得得將上式代入將上式代入E E* *(s)(s)表達(dá)式表達(dá)式, ,并整理得并整理得 同理，由同理，由離散化得離散化得變換為變換為寫為寫為z變換形式變換形式, ,即為即為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)第第45 頁(yè)頁(yè)3. 3. 擾動(dòng)信號(hào)作用時(shí)擾動(dòng)信號(hào)作用時(shí)第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一

58、張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 離散系統(tǒng)通常有參考輸入信號(hào)離散系統(tǒng)通常有參考輸入信號(hào)R(s)R(s)，還有干擾信號(hào)，還有干擾信號(hào)N(s)N(s)共同作用。共同作用。 設(shè)系統(tǒng)方框圖如圖設(shè)系統(tǒng)方框圖如圖8-278-27所示所示, ,根據(jù)線性系統(tǒng)疊加原理，設(shè)根據(jù)線性系統(tǒng)疊加原理，設(shè)R(s)=0,N(s)R(s)=0,N(s)單獨(dú)作單獨(dú)作用，可求出干擾作用時(shí)的響應(yīng)。用，可求出干擾作用時(shí)的響應(yīng)。可得可得由由寫成寫成z變換形式變換形式 第第46頁(yè)頁(yè)常見(jiàn)采樣系統(tǒng)的方框圖及其輸出離散信號(hào)的常見(jiàn)采樣系統(tǒng)的方框圖及其輸出離散信號(hào)的Z變換變換第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張

59、下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課第第47頁(yè)頁(yè)第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課第第48頁(yè)頁(yè)第七節(jié)第七節(jié) 離散系統(tǒng)時(shí)域分析法離散系統(tǒng)時(shí)域分析法第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 用用拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法可分析可分析連續(xù)系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)，同樣，用，同樣，用z變換法變換法也可分析也可分析離離散系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)散系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)。根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和輸入信號(hào)。根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和輸入信號(hào)c(t)，求出離散系統(tǒng)

60、輸，求出離散系統(tǒng)輸出信號(hào)出信號(hào)c*(t)。根據(jù)。根據(jù)c*(t)，可求出超調(diào)量可求出超調(diào)量Mp，調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間ts等性能指標(biāo)。等性能指標(biāo)。一、一、離散系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析離散系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析 對(duì)圖對(duì)圖8-28所示所示二階離散系統(tǒng)，二階離散系統(tǒng)，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 式中式中 由此可得由此可得 當(dāng)輸入為單位階躍時(shí)，即當(dāng)輸入為單位階躍時(shí)，即 ，使用長(zhǎng)除法可得，使用長(zhǎng)除法可得輸出信號(hào)的輸出信號(hào)的z變換為變換為第第49 頁(yè)頁(yè)求求C(z)的的z反變換反變換, ,得得第一張第一張第一張上一張上一張上一張下一張下一張下一張最后一張最后一張最后一張結(jié)束授課結(jié)束授課結(jié)束授課 將輸出采樣信號(hào)將輸出