廣義積分反常積分課件

1、返回廣義積分反常積分PPT課件第四節(jié)第四節(jié) 廣義積分（反常積分）廣義積分（反常積分）一、無窮限的廣義積分一、無窮限的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分三、小結(jié)三、小結(jié)定理定理 （微積分基本公式）（微積分基本公式）?1112 dxx?102 xdx返回廣義積分反常積分PPT課件 adxxf)( babdxxf)(lim一、無窮限的廣義積分一、無窮限的廣義積分)(xfy b問問: f(x)在在 (- b上的反常上的反常積分如何計(jì)算？積分如何計(jì)算？返回廣義積分反常積分PPT課件類類似似地地，設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,(b 上上連連續(xù)續(xù)，取取ba ，如如果果極極限限 baad

2、xxf)(lim存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間,(b 上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .返回廣義積分反常積分PPT課件 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),( 上連續(xù)上連續(xù), ,如果如果廣義積分廣義積分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收斂，則都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)稱上述兩廣義積分之和為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間),( 上的廣義積分，記作上的廣義積分

3、，記作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim極極限限存存在在稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；否否則則稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .?)( dxxf返回廣義積分反常積分PPT課件例例1 1 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 返回廣義積分反常積分PPT課件例例2 2 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解.1sin1

4、22 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 返回廣義積分反常積分PPT課件證證 apxdxe bapxbdxelimbapxbpe lim pepepbpablim 0, ppeap即即當(dāng)當(dāng)0 p時時收收斂斂，當(dāng)當(dāng)0 p時時發(fā)發(fā)散散.p0時時,是是 指數(shù)衰減函數(shù)指數(shù)衰減函數(shù)pxey 0, p返回廣義積分反常積分PPT課件證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1, p因此當(dāng)因此當(dāng)1 p時廣義積分收斂，其值為時廣義積分收斂，

5、其值為11 p；當(dāng)當(dāng)1 p時廣義積分發(fā)散時廣義積分發(fā)散.1,11 pp返回廣義積分反常積分PPT課件 badxxf)( badxxf )(lim0二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分)(xfy a瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)問問: f(x)在在a b)上的反常上的反常積分如何計(jì)算？積分如何計(jì)算？ badxxf)(lim0 b返回廣義積分反常積分PPT課件當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .)(xfy b返回廣義積分反常積分PPT課件設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上除除點(diǎn)點(diǎn))(bcac 外外連連續(xù)續(xù)，而而在在點(diǎn)點(diǎn)c

6、的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)無無界界. .如如果果兩兩個個廣廣義義積積分分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都都收收斂斂，則則定定義義 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(否否則則，就就稱稱廣廣義義積積分分 badxxf)(發(fā)發(fā)散散. .定義中定義中c為為瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)，以上積分稱為，以上積分稱為瑕積分瑕積分.返回廣義積分反常積分PPT課件例例5 5 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 為為被被積積函函數(shù)數(shù)的的無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2

7、 a返回廣義積分反常積分PPT課件例例 6 6 證證明明廣廣義義積積分分 101dxxq當(dāng)當(dāng)1 q時時收收斂斂，當(dāng)當(dāng)1 q時時發(fā)發(fā)散散.證證, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因因此此當(dāng)當(dāng)1 q時時廣廣義義積積分分收收斂斂，其其值值為為q 11；當(dāng)當(dāng)1 q時時廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. 101dxxq返回廣義積分反常積分PPT課件問：問： 1121dxx111 x211 是否正確？是否正確？ 由于1)1(lim1100 1012xxdxxx 解解 解 在區(qū)間1 1上 x0 為函數(shù)21x的瑕點(diǎn) 即反常積分0121d

8、xx發(fā)散 所以反常積分發(fā)散 所以反常積分1121dxx發(fā)散 01201limdxx 101limx ) 11(lim0 返回廣義積分反常積分PPT課件例例7 7 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原廣義積分發(fā)散故原廣義積分發(fā)散.返回廣義積分反常積分PPT課件例例8 8 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解.)1(3032 xdx1 x瑕點(diǎn)瑕點(diǎn) 3032)1(xdx 10313232)1()1(xdxxdx 1032)1(xdx 1

9、0032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 返回廣義積分反常積分PPT課件思考題解答思考題解答積分積分 可能的瑕點(diǎn)是可能的瑕點(diǎn)是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是瑕點(diǎn)不是瑕點(diǎn), 101lndxxx的瑕點(diǎn)是的瑕點(diǎn)是. 0 x00思考題思考題積分積分 的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？ 101lndxxx返回廣義積分反常積分PPT課件例例9 9.123)2(;94)1(:2122 xxxdxxxdx求下列廣義積分求下列廣義積分解解 (1) 02029494xxd

10、xxxdx原原式式 bbaaxdxxdx02025)2(lim5)2(limbbaaxx0052arctan51lim52arctan51lim .5 返回廣義積分反常積分PPT課件(2),1231lim)(lim211 xxxxfxx.)(1的瑕點(diǎn)的瑕點(diǎn)為為xfx 2120123lim xxxdx原式原式)11(2)11(lim21220 xxd210211arcsinlim x.43arcsin2 .123)2( :212 xxxdx求求廣廣義義積積分分返回廣義積分反常積分PPT課件無界函數(shù)的廣義積分（無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分瑕積分）無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分 dxxf)( bdx

11、xf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意注意：不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn)）：不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn)） badxxf)(三、小結(jié)三、小結(jié)返回廣義積分反常積分PPT課件一、一、 填空題：填空題：1 1、 廣義積分廣義積分 1pxdx當(dāng)當(dāng)_時收斂；當(dāng)時收斂；當(dāng)_時時發(fā)散；發(fā)散；2 2、 廣義積分廣義積分 10qxdx當(dāng)當(dāng)_時收斂；當(dāng)時收斂；當(dāng)_時發(fā)時發(fā)散；散；3 3、 廣義積分廣義積分 2)(lnkxxdx在在_時收斂； 在時收斂； 在_ 時發(fā)散；時發(fā)散； 4 4、廣義積分、廣義積分 dxxx21=_=_；練練 習(xí)習(xí) 題題1 q1 p1 p1 q返回廣義積分反常積分PPT

12、課件5 5、 廣義積分廣義積分 1021xxdx_；6 6、 廣義積分廣義積分 xdttf)(的幾何意義是的幾何意義是_ _. .二二、 判判別別下下列列各各廣廣義義積積分分的的收收斂斂性性，如如果果收收斂斂，則則計(jì)計(jì)算算廣廣義義積積分分的的值值：1 1、 0coshtdtept )1( p； 2 2、 222xxdx ；3 3、 0dxexxn（為自然數(shù)為自然數(shù)n） ；4 4、 202)1(xdx；返回廣義積分反常積分PPT課件5 5、 211xxdx； 6 6、 022)1(lndxxxx；7 7、 10ln xdxn. .三、三、 求當(dāng)求當(dāng)為為何何值值時時k，廣義積分，廣義積分)()(abaxdxbak 收斂？又收斂？又為為何何值值時時k，這廣義積分發(fā)散？，這廣義積分發(fā)散？四、四、 已知已知 xxxxxf2,120,210,0)(，試用分段函數(shù)表示，試用分段函數(shù)表示 xdttf)(. . 返回廣義積分反常積分PPT課件一、一、1 1、1, 1 pp；2 2、1,1 qq； 3 3、1,1 kk；4 4、發(fā)散；、發(fā)散； 5 5、1 1； 6 6、過點(diǎn)、過點(diǎn)軸軸平平行行于于 yx的直的直線左