極限四則運(yùn)算法則課件

1、 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則第六節(jié)第六節(jié) 極限的運(yùn)算法則極限的運(yùn)算法則 由于根據(jù)極限的定義由于根據(jù)極限的定義, 只能驗(yàn)證某個(gè)常數(shù)只能驗(yàn)證某個(gè)常數(shù) A 是否為某個(gè)函是否為某個(gè)函數(shù)數(shù)(x)的極限的極限, 而不能求出函數(shù)而不能求出函數(shù)(x)的極限的極限. 為了解決極限的為了解決極限的計(jì)算問(wèn)題計(jì)算問(wèn)題, 下面介紹極限的運(yùn)算法則下面介紹極限的運(yùn)算法則. 一、一、 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則定理定理lim( ),lim ( ),(1)lim ( )( );(2)lim ( )( );( )(3)lim,0.( )f xAg xBf xg x

2、ABf xg xA Bf xABg xB設(shè)設(shè)則則其其中中注注: 沒(méi)寫極限的過(guò)程指同一極限過(guò)程沒(méi)寫極限的過(guò)程指同一極限過(guò)程. 證明可用定義證明可用定義. 以極限過(guò)程為以極限過(guò)程為 xx0 的證明的證明(1)為例為例. ( )( )f xg x 證證因?yàn)橐驗(yàn)閘im( ), f xA lim ( )g xB , , 則則有有( )( ),( )( )f xAxg xBx ( )( )xx 其其中中及及為為無(wú)無(wú)窮窮小小, ,于于是是( )( )AxBx ( )( )ABxx 即即 可以表示為常數(shù)與無(wú)窮小之和可以表示為常數(shù)與無(wú)窮小之和, 即得證即得證.( )( )f xg x 推論推論1常數(shù)因子可以提到

3、極限記號(hào)外面常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論推論2 2lim( ),lim( )lim( ).f xccf xcf x 如如果果存存在在 而而 為為常常數(shù)數(shù) 則則lim( ),lim ( )lim( ) .nnf xnf xf x 如如果果存存在在 而而 是是正正整整數(shù)數(shù) 則則若若(2)中中 g(x) = c 時(shí)得到時(shí)得到,若若(2)中中(x) = g(x) 時(shí)得到時(shí)得到(1)、(2)的推廣的推廣:11lim( )lim( )nniiiifxfx 11lim( )lim( )nniiiifxfx 00011 limsinlimlimsinxxxxxxx注意：注意：01 limsin?xxx

4、例例例例 設(shè)設(shè) n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式,)(10nnnxaxaaxP試證試證).()(lim00 xPxPnnxx證證)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPn求函數(shù)極限的方法求函數(shù)極限的方法I. 求初等函數(shù)在定義域內(nèi)某點(diǎn)的極限求初等函數(shù)在定義域內(nèi)某點(diǎn)的極限, 就是函數(shù)在該點(diǎn)的函就是函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值數(shù)值. 即即000lim( )(), xxf xf xxD例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232

5、xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小結(jié)小結(jié): :則則有有設(shè)設(shè),)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0則商的法則不能應(yīng)用則商的法則不能應(yīng)用若若 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 14

6、32lim21 xxxx. 030 由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系, 得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxxII. 求初等函數(shù)在定義域外某點(diǎn)的極限求初等函數(shù)在定義域外某點(diǎn)的極限, 函數(shù)在形式上呈函數(shù)在形式上呈現(xiàn)不定式現(xiàn)不定式, 求其極限須利用其它方法消除不定式求其極限須利用其它方法消除不定式, 把它轉(zhuǎn)把它轉(zhuǎn)化為另一個(gè)在該點(diǎn)有定義的函數(shù)的極限化為另一個(gè)在該點(diǎn)有定義的函數(shù)的極限.解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時(shí)時(shí)x.1后后再再求求極極限限因因子子先先約約去去不不為為零零的的無(wú)無(wú)窮窮

7、小小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 0()0型型1. 因式分解因式分解211lim1xxx 解解因?yàn)橐驗(yàn)? lim(1)0 xx 則極限則極限 不能直接應(yīng)用商的極限運(yùn)算性質(zhì)不能直接應(yīng)用商的極限運(yùn)算性質(zhì), 211 lim1xxx 1,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 分子和分母都含有因式分子和分母都含有因式 x -1, 約去這個(gè)因式得約去這個(gè)因式得211 lim1xxx 1(1)( +1)=lim1xxxx 1 =lim(1)2xx 22lim52xxaxbx 若若 , , a, b 均為常數(shù)均為常數(shù), 則則( )(1) 9,14; (2) 9,

8、14;abab (3) 2,0; (4) 2,5.abab (1)3113lim()11xxx 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?1 lim,1xx 極限和的運(yùn)算法則不能直接應(yīng)用極限和的運(yùn)算法則不能直接應(yīng)用, 將將31311xx 2312= lim1xxxx 21(1)(2)= lim(1)(1)xxxxxx 通分得通分得311lim1xx 1 原式原式2. 分子分母有理化分子分母有理化131lim1xxxx 解解將分子有理化將分子有理化, 得得131 lim1xxxx 1(3)(1)lim(1)(31)xxxxxx 12lim31xxx 12 例例4 40011. limlim()2xxxxxxxxxxxx

9、2232. lim0, ,4xxaba bx 已已知知求求的的值值解解22239limlim74(2)(2)(3)xxxaxaaxxxxa 21lim(2)(37)xbxx 于是于是 124b 例例4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無(wú)窮大分母的極限都是無(wú)窮大分子分子時(shí)時(shí) x() 型型.,3再再求求極極限限分分出出無(wú)無(wú)窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 3. 分子分母同乘以或除以一個(gè)函數(shù)分子分母同乘以或除以一個(gè)函數(shù)221 lim23xxxx 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?2 lim(1), l

10、im(22)xxxxx 極限極限 不能直接使用商的極限運(yùn)算法則不能直接使用商的極限運(yùn)算法則, 從分子從分子和分母約去和分母約去 x的最高次冪的最高次冪 有有221 lim23xxxx 2x221 lim23xxxx 2111= lim32xxxx 12 一般地一般地, 對(duì)有理分式函數(shù)對(duì)有理分式函數(shù)F(x), 在在x 時(shí)極限有如下討論時(shí)極限有如下討論:101101limnnnmmxma xa xab xb xb 00,0, amnbmnmn 000,0,.abm n 其其中中且且為為正正整整數(shù)數(shù)分子分子, 分母同時(shí)除以自變量的最高次冪分母同時(shí)除以自變量的最高次冪, 然后再求極限然后再求極限.19

11、97 lim, ,.(1)xxxx 已已知知求求常常數(shù)數(shù)解解1997199712limlim(1)(1).12!xxxxxxxx 例例51 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 11997 199811998 0 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 11997 19980 53211. lim02nnnn 2121( )( )2144442. limlimlim0141411( )444nnnnnnnnnnnnnn 30203020205050(21)(32)2333. lim( )2(21)2xxxx 214. lim()3, , .1xxaxba bx 已已知知求求常常數(shù)數(shù)解解2211)()1lim()lim311xxxa xba x

12、baxbxx （于是于是10134aabab23215. lim2, ;8xaxbxa bx = = ，求求3222 lim(8)0,lim(1)421xxxaxbxab 解解4210,21/2;abba 所所以以, ,原原式式成成立立必必有有2(2)limxax x 原原式式1(2)2x (2)x 21222,12(24)axx 112,24.4ab 解得：解得：2233121(2)(8)824210axbxaxbxxxxab 由由26. lim?xxxxx 222 limlim1()xxxxxxxxxxx 11lim( 1)xxx 也也可可解解4. 利用數(shù)列求和公式求極限利用數(shù)列求和公式求

13、極限22212 33 4(1)nxn n 1 1 1 11121 2() 22 3 3 411n nn lim2nnx 故故 11111 21 2 31 2nxn lim.nnx求求例例6解解).21(lim222nnnnn 求求解解是無(wú)限多個(gè)無(wú)窮小之和是無(wú)限多個(gè)無(wú)窮小之和時(shí)時(shí), n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.2221( )lim,( );1nnnxf xf xxxx 求求+ +2211 ( )=lim1 1nnnxf xxx 解解2211(1)lim,11nnnxxxx 21(1)

14、lim0;21nxfn 時(shí)，=時(shí)，=22111( )(1)lim11nnnxxf xxxx 時(shí)時(shí), ,21( 1)1( 1) lim2.1(11)(11)nnxf 時(shí)時(shí), ,= =221111( )(1)lim1nnnxxxf xxxxx 時(shí),時(shí),11 ,10 , 1 ( )2 , 1 ,1xxxxxf xxx 所以所以5. 利用極限性質(zhì)利用極限性質(zhì), 無(wú)窮小量性質(zhì)無(wú)窮小量性質(zhì)例例7.sinlimxxx 求求解解,1,為無(wú)窮小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx .sin 是有界函數(shù)是有界函數(shù)而而x. 0sinlim xxxxxysin 2111. lim(1)cos01xxx 其中其中 是無(wú)窮小量是無(wú)窮小量

15、, 是有界函數(shù)是有界函數(shù).21x 1cos1x 5sin2. lim01xxxx 51xx 其中其中 是無(wú)窮小量是無(wú)窮小量, 是有界函數(shù)是有界函數(shù).sin x6. 解方程法解方程法1limlimnnnnxx 利用利用 , 對(duì)上述的遞推式兩邊求極限得到對(duì)上述的遞推式兩邊求極限得到1,nnnxxx 用用表表示示 即即表表示為遞推式示為遞推式:1()nnxf x 11limlim()(lim)nnnnnnxf xfx 若若 存在存在, 則令則令 , 于是于是limnnxlimnnxl ( )lf l 解此方程解此方程, 其解即為數(shù)列其解即為數(shù)列xn的極限的極限.解解例例8.,limnnnxaaaax

16、求求由于由于1nnxax 于是于是1limlimnnnnxax 即即211402alalllal若若a =2, 則則 , 于是于是22.2nx lim2nnx 解法一解法一.,limnnnxa a aax 已已知知 求求由于由于1nnxa x 于是于是1limlimnnnnxax 即即2la llalla解法二解法二11118242.nnxa a aaaaaa 1111.2482na 11(1)22112na 11(1)22112limlimnnnnxaa 于是于是 二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則00000( )lim( )( )lim2( ) ( )lim ( )lim

17、( ).xxuaxxuauxxxaxaxxaf uAfxxxfxf uA 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的極極限限存存在在且且等等于于 ，即即，但但在在點(diǎn)點(diǎn)的的某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，又又，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的極極限限也也定定理理（復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)的的極極限限運(yùn)運(yùn)算算存存在在，法法且且則則）)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意義：意義： (1)也可將此定理中的極限過(guò)程改為也可將此定理中的極限過(guò)程改為 x, 或者將或者將 的的極限極限 a 改為改為 (即只須外函數(shù)極限存在即只須外函數(shù)極限存在), 結(jié)論同樣成立結(jié)論同樣成立.( )x (2) 此定

18、理表明了滿足定理?xiàng)l件的復(fù)合函數(shù)的極限存在的同此定理表明了滿足定理?xiàng)l件的復(fù)合函數(shù)的極限存在的同時(shí)也說(shuō)明用變量替換的方法去計(jì)算復(fù)合函數(shù)的極限是可行的時(shí)也說(shuō)明用變量替換的方法去計(jì)算復(fù)合函數(shù)的極限是可行的,即即 與與 滿足定理?xiàng)l件滿足定理?xiàng)l件, 則通過(guò)變則通過(guò)變 換換 , 即可把即可把 ( )ux ( )f u( )ux 其理論證明其理論證明(略略). 但須指出以下兩點(diǎn)：但須指出以下兩點(diǎn)：0lim ( )xxfx 求求 的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求 或或lim( ) uaf u lim( )uf u例例9 求極限求極限01 limarctan.xx解解1 ,ux 令令故應(yīng)當(dāng)考慮左、右極限故應(yīng)當(dāng)考慮左、右極限. .01lim arctanlim arctanuxux 01lim arctanxx故故不不存存在在. .01lim arctanlim arctanxuux 2 2 0, 0 lim, 0 xxux 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)倒代換的應(yīng)用倒代換的應(yīng)用例例10 試確定常數(shù)試確定常數(shù) a 使使.0)1(lim33xaxx解解 令令,1xt 則則tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故故1a因此因此.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)()(