極限運(yùn)算法則

1、1極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則求極限方法舉例求極限方法舉例2.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)無(wú)窮小運(yùn)算法則無(wú)窮小運(yùn)算法則2.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則2在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中, 有限有限個(gè)無(wú)窮小的個(gè)無(wú)窮小的證證時(shí)時(shí)是當(dāng)是當(dāng)及及設(shè)設(shè) x , 0 定理定理2.142.14代數(shù)和仍是無(wú)窮小代數(shù)和仍是無(wú)窮小. .,|1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nx ,|2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nx ,max21nnn ,|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nx | , 0 , 01 n;2| .2| | 取取恒有恒有恒有恒有恒有恒有的兩個(gè)無(wú)窮小的兩個(gè)無(wú)窮小,所以所以 22 , 02 n,|, 0, 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx .)( xf恒有恒有0)

2、(lim xfx一、無(wú)窮小運(yùn)算法則一、無(wú)窮小運(yùn)算法則).( x3,時(shí)時(shí)如如 n11之和為之和為個(gè)個(gè)但但nn注注,1是無(wú)窮小是無(wú)窮小n不是無(wú)窮小不是無(wú)窮小.無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小. .2.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則4證證,),(10內(nèi)有界內(nèi)有界在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) xuu, 0, 01 m則則,0時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)又設(shè)又設(shè)xx , 0 定理定理2.152.15 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. .,|010時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng) xx.|mu 恒有恒有, 02 ,|020時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng) xx.|m 恒有恒有,min2

3、1 取取 | uumm 則當(dāng)則當(dāng),|00時(shí)時(shí) xx恒有恒有所以所以所以所以, .,0為無(wú)窮小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) uxx2.3 無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大5,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)如如x都是無(wú)窮小都是無(wú)窮小.推論推論2.32.3的乘積是無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小;推論推論2.42.4推論推論2.52.5,1sinxxxx1arctan2在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中, 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小;有限個(gè)有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.有極限的變量與無(wú)窮小有極限的變量與無(wú)窮小2.3 無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大定理定理2.162.16 若若f (u)是極限過(guò)程是極限過(guò)程1中

4、的無(wú)窮小中的無(wú)窮小,),(xgu 當(dāng)當(dāng) x滿(mǎn)足極限過(guò)程滿(mǎn)足極限過(guò)程2時(shí)時(shí), 相應(yīng)的相應(yīng)的)(xgu 滿(mǎn)足極限過(guò)程滿(mǎn)足極限過(guò)程1, 則則f (g(x)是極限過(guò)程是極限過(guò)程2中的無(wú)窮小中的無(wú)窮小.6定理定理2.17則則設(shè)設(shè),)(lim,)(limbxgaxf 證證,)(limaxf ,)( axf(1);)()(lim)1(baxgxf ;)()(lim)2(baxgxf .0,)()(lim)3( bbaxgxf其中其中泛指任一種極限泛指任一種極限)(limxf.)( bxg. 0, 0 其中其中無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系.)(limbxg 二、極限運(yùn)算法則二、極限運(yùn)算法則因?yàn)?/p>

5、因?yàn)樗运?.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則7即常數(shù)因子即常數(shù)因子c可以提到極限符號(hào)外面可以提到極限符號(hào)外面. nxf)(lim 0由無(wú)窮小運(yùn)算法則由無(wú)窮小運(yùn)算法則, 得得 )()(xgxf)(lim)(limxfcxcf nxf)(limba )(lim)(limxgxf ;)()(lim)2(baxgxf (2)的特例是的特例是:所以所以 ba ba )()(limxgxf2.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則推論推論2.72.7推論推論2.82.8(c是常數(shù)是常數(shù))(n是正整數(shù)是正整數(shù))8注注,limaxnn 那末那末 )(lim)1(nnnyx,limbynn 如果如果 nnnyxlim)2

6、( ,0, 2 , 10)3(時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng) bnyn nnnyxlim;ba ;ba .ba設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列xn和和yn,2.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則對(duì)數(shù)列也有如對(duì)數(shù)列也有如定理定理2.17的極限運(yùn)算法則的極限運(yùn)算法則:9 注意注意應(yīng)用四則運(yùn)算法則時(shí)應(yīng)用四則運(yùn)算法則時(shí), 參加運(yùn)算的是參加運(yùn)算的是有限有限個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù), 商的極限要求分母的極限不為商的極限要求分母的極限不為0. 不要隨便參加運(yùn)算不要隨便參加運(yùn)算, 因?yàn)橐驗(yàn)?不是數(shù)不是數(shù),它是它是表示函數(shù)的一種性態(tài)表示函數(shù)的一種性態(tài).要注意條件要注意條件:它們的極限都存在它們的極限都存在,2.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則10解解)35(lim2

7、2 xxx3lim5limlim2222 xxxxx3limlim5)lim(2222 xxxxx32522 3 . 4 34223 例例3542lim232 xxxx求求4limlim2232 xxx)35(lim22 xxx 3542lim232xxxx三、求極限方法舉例三、求極限方法舉例因?yàn)橐驗(yàn)? 0 2.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則11 小小 結(jié)結(jié),)()1(110nnnaxaxaxf 設(shè)設(shè)nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf ,0)(,)()()()2(0 xqxqxpxf且且設(shè)設(shè))(lim)(lim)

8、(lim000 xqxpxfxxxxxx )()(00 xqxp ).(0 xf 則有則有則有則有2.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則12解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用!)14(lim1 xx, 03 1432lim21 xxxx. 030 由由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,例例3214lim21 xxxx求求3214lim21 xxxx. 得得因?yàn)橐驗(yàn)橛忠驗(yàn)橛忠驗(yàn)樗运?.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則13解解例例332lim23 xxxx求求,3時(shí)時(shí)x)3()1)(3(lim3 xxxx)1(lim3 xx)00(型型 消去零因子法消去零因子法再

9、求極限再求極限.332lim23 xxxx 方方 法法, 3 x. 4 分子分子, 分母的極限都是零分母的極限都是零. 先約去不為零的無(wú)窮小因子先約去不為零的無(wú)窮小因子2.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則14例例53123lim32 xxxxx求求解解,時(shí)時(shí) x)(型型 3x. 010 無(wú)窮小因子分出法無(wú)窮小因子分出法分子分子, 分母的極限均為無(wú)窮大分母的極限均為無(wú)窮大. 方方 法法先用先用去除分子分母去除分子分母,分出無(wú)窮小分出無(wú)窮小,再求極限再求極限.3232531123limxxxxxx 53123lim32 xxxxx先將分子、分母同除以先將分子、分母同除以x 的最高次冪的最高次冪,無(wú)窮小

10、分出法無(wú)窮小分出法以分出無(wú)窮小以分出無(wú)窮小,再求極限再求極限. x求有理函數(shù)當(dāng)求有理函數(shù)當(dāng)?shù)臉O限時(shí)的極限時(shí),2.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則15), 0, 0(00為非負(fù)整數(shù)為非負(fù)整數(shù)nmba nnnmmmxbxbxbaxaxa 110110lim 小小 結(jié)結(jié) mn 00bamn 0mn )sin3cos2(32352lim53xxxxxxx 求求解解32352lim53 xxxxx|sin3cos2|xx )sin3cos2(32352lim53xxxxxxx. 06 , 0 所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則16例例 )12)(12(1531311limnnn求求解解.21

11、先作恒等變形先作恒等變形,和式的項(xiàng)數(shù)隨著和式的項(xiàng)數(shù)隨著n在變化在變化,再求極限再求極限.使和式的項(xiàng)數(shù)固定使和式的項(xiàng)數(shù)固定,原式原式 = 121121513131121limnnn 121121limnn不能用運(yùn)算法則不能用運(yùn)算法則. 方方 法法2.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則17例例)13(lim22 xxxx求求解解)(型型 原式原式.23 “根式轉(zhuǎn)移根式轉(zhuǎn)移”法法化為化為 型型 不滿(mǎn)足每一項(xiàng)極限都存在的條件不滿(mǎn)足每一項(xiàng)極限都存在的條件, 不能直接不能直接應(yīng)用四則運(yùn)算法則應(yīng)用四則運(yùn)算法則. 分子有理化分子有理化)(型型 1313lim22 xxxxx2.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則18 12

12、11lim)1(21xxx求求解解 原式原式 =121lim21 xxx)1)(1(1lim1 xxxx.21 503020)12()23()32(lim)2( xxxx求求解解 原式原式 =.2330 )(lim)3(xxxxx 求求)(型型 )(型型 )(型型 解解 原式原式 = xxxxxxxlim.212.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則19設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f g(x)是由函數(shù)是由函數(shù)y = f (u)與函數(shù)與函數(shù) u = g(x)復(fù)合而成復(fù)合而成,)()(0 xuxgfy在在 ,),(00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xux 有定義有定義,)(lim00uxgxx 若若,)(lim0aufuu 且存在且

13、存在, 00 有有則則)(lim0ufuu )(lim0 xgfxx.a 定理定理2.18 (復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)證證 aufuu )(lim0,0 ,0 ,00 uu當(dāng)當(dāng) 有有.)( auf0)(lim0uxgxx ,0 ,01 .)(0 uxg對(duì)上述對(duì)上述,010 xx當(dāng)當(dāng) 有有 ,min10 取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx, 故故 ,min10 取取 axgf)(證證及及同時(shí)成立同時(shí)成立, 即即auf )(. ,)(0uxg 0)(uxg0)(0 uxg0)(uxg 02.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則20注注定理中定理中, )(lim0 xgxx0u把把 或或 )(l

14、imxg 而把而把.)(limauf 0uu 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f g(x)是由函數(shù)是由函數(shù)y = f (u)與函數(shù)與函數(shù) u = g(x)復(fù)合而成復(fù)合而成,)()(0 xuxgfy在在 ,),(00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xux 有定義有定義,)(lim00uxgxx 若若,)(lim0aufuu 且存在且存在, 00 則則)(lim0ufuu )(lim0 xgfxx.a 定理定理2.18 (復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則),)(0uxg 有有 x u2.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則2.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則21)(xgu )(lim0 xgfxx)(lim00 xguxx 化為化

15、為).(lim0ufuu求求如果函數(shù)如果函數(shù)f (u) 和和g(x)滿(mǎn)足滿(mǎn)足該定理的條件該定理的條件,那么作代換那么作代換可把求可把求)(lim0ufuu )(lim0 xgfxx.a 例例, 0 a設(shè)設(shè)求極限求極限: :axax lim3解解ax 3可看作可看作與與axu 復(fù)合而成復(fù)合而成. .,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ax , 0uuuf )(3并且并且 uu0lim3, 0因而因而 axaxlim3 uu0lim3. 0u22例例解解,)1(61xu 令令, 1u11lim231 uuu原式原式 =11lim21 uuuu.23 這種用變量代換方法求極限這種用變量代換方法求極限,實(shí)質(zhì)就是復(fù)合函數(shù)求極限法

16、實(shí)質(zhì)就是復(fù)合函數(shù)求極限法., 0 x則則故故1111lim0 xxx求求32.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則232. 極限求法極限求法: 對(duì)某些不能直接利用四則運(yùn)算法則的極限對(duì)某些不能直接利用四則運(yùn)算法則的極限,有時(shí)可采用下述方法有時(shí)可采用下述方法:(1) 利用利用無(wú)窮小與無(wú)窮大互為倒數(shù)的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大互為倒數(shù)的關(guān)系;(2) 利用利用無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積仍為無(wú)窮小的無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積仍為無(wú)窮小的(4) 無(wú)窮小因子分出法無(wú)窮小因子分出法;(3) 消去零因子法消去零因子法;四、小結(jié)四、小結(jié)1. 極限的四則運(yùn)算法則及其推論極限的四則運(yùn)算法則及其推論;小的性質(zhì)小的性質(zhì);2.4 極限運(yùn)算法則極限

17、運(yùn)算法則24(6) 直接利用無(wú)窮大的概念判斷直接利用無(wú)窮大的概念判斷;(5) 根式轉(zhuǎn)移法根式轉(zhuǎn)移法;(7) 利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.為了對(duì)求極限的方法有全面的了解為了對(duì)求極限的方法有全面的了解, 指出還指出還(8) 利用夾逼定理利用夾逼定理;(11) 利用等價(jià)無(wú)窮小代換利用等價(jià)無(wú)窮小代換;有下述方法有下述方法:(10) 利用兩個(gè)重要極限公式利用兩個(gè)重要極限公式;(9) 對(duì)遞歸數(shù)列先證明極限存在對(duì)遞歸數(shù)列先證明極限存在(常用到常用到“單調(diào)有單調(diào)有界數(shù)列有極限界數(shù)列有極限”的準(zhǔn)則的準(zhǔn)則), 再利用遞歸關(guān)系求出極限再利用遞歸關(guān)系求出極限;2.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則

18、25(12) 數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限;(14) 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限;(13) 利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì);(15) 利用洛比達(dá)法則利用洛比達(dá)法則;(16) 利用泰勒公式利用泰勒公式;(17) 化為定積分化為定積分.2.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則26思考題思考題 在某個(gè)過(guò)程中在某個(gè)過(guò)程中, )()(xgxf 解答解答沒(méi)有極限沒(méi)有極限.假設(shè)假設(shè))()(xgxf 由極限運(yùn)算法則可知：由極限運(yùn)算法則可知： )(xg必有極限必有極限,與已知矛盾與已知矛盾, 故假設(shè)錯(cuò)誤故假設(shè)錯(cuò)誤.)()(xgxf )(xf 有極限有極限, 為什么？為什么？(1)若若f (x)有極限有極限, g (x)無(wú)極限