電子科技大學(xué),微積分,數(shù)學(xué),定積分

1、2021-11-22定積分的概念定積分的概念 規(guī)則圖形的面積，如圓面、三角形、梯形、長(zhǎng)方形等的面積大家規(guī)則圖形的面積，如圓面、三角形、梯形、長(zhǎng)方形等的面積大家非常熟悉如何計(jì)算，但對(duì)于下面圖形的面積如何利用我們已知的知識(shí)非常熟悉如何計(jì)算，但對(duì)于下面圖形的面積如何利用我們已知的知識(shí)計(jì)算呢？計(jì)算呢？2021-11-22曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線 引例引例1 1 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.y=f(x)oab(如右圖所示如右圖所示)一、引例一、引例2021-11-22xy=f(x)oab1 2 i yx2x1x

2、i-1xi0121111: , , , ,;nniiiiia bnaxxxxxba bnxxxxx 在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)插插入入 -1-1個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)，把把分分成成個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，意意為為任任長(zhǎng)長(zhǎng)度度任任意意 112:,;iiiiiiiixxxxxffx 任任取取得得以以為為底底, ,以以為為高高的的小小矩矩形形的的面面積積: :i分分割割近近似似2021-11-22xy=f(x)oab1 2 i yx2x1xi-1xi13:()nniiisfx 將將作作為為曲曲邊邊梯梯形形面面積積的的近近似似值值; ;01lim()niiisfx 12,max,(0)nxxx 4:4:當(dāng)當(dāng)分分割割無(wú)無(wú)限限加加

3、細(xì)細(xì) 即即小小區(qū)區(qū)間間的的: :趨趨近近于于零零最最大大長(zhǎng)長(zhǎng)度度時(shí)時(shí)，曲邊梯形面積的準(zhǔn)確值為：曲邊梯形面積的準(zhǔn)確值為：求求和和取取極極限限2021-11-22引例引例2 2 （求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）由引例由引例1 1的思想方法和步驟有的思想方法和步驟有：tn=t2tot1=t0t1tn-1titi-1t21 i 1 iiittt求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程. . vv t 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度是設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度是 12,0,t ttv t 時(shí)間間隔上 的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且時(shí)間間隔上 的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且2021-11-22（1

4、）分割）分割212101tttttttnn 1 iiittt（3）求和）求和iinitvs )(1 （4）取極限）取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值路程的精確值（2）近似近似()iiisvt 2021-11-22 012111112,1,2,1,2,max,nniiiiiiiiiniiinfxa ba baxxxxxba bnxxxixxfxisfxxxxa b 定義 設(shè)函數(shù)在上有界，在中任意插定義 設(shè)函數(shù)在上有界，在中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)入若干個(gè)分點(diǎn)把區(qū)間分成 個(gè)小區(qū)間，各小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為把區(qū)間分成 個(gè)小區(qū)間，各小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為在各小區(qū)間上任取在各小區(qū)

5、間上任取一點(diǎn)，作乘積一點(diǎn)，作乘積并作和，并作和，記，如果不論對(duì)記，如果不論對(duì)二、定積分的定義二、定積分的定義2021-11-22 , a b 稱為稱為積分區(qū)間;積分區(qū)間; 01lim()nbiiaifx dxfx ;fx 稱為稱為被積函數(shù)被積函數(shù)x 稱為稱為積分變量;積分變量; fx dx 稱為稱為被積表達(dá)式;被積表達(dá)式;ab 稱為稱為和積分下限和積分上限;和積分下限和積分上限; . 稱為稱為積分符號(hào) 表示和的意思積分符號(hào) 表示和的意思 10,iiisifxxaxb 怎樣的分法，也不論在小區(qū)間上點(diǎn) 怎怎樣的分法，也不論在小區(qū)間上點(diǎn) 怎樣的取法，只要當(dāng)時(shí)，和 總趨于確定的樣的取法，只要當(dāng)時(shí)，和

6、總趨于確定的極限 ，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上極限 ，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記為的定積分，記為2021-11-22注意：注意： badxxf)( badttf)( baduuf)(而與積分變量用什么符號(hào)的字母表示無(wú)關(guān)而與積分變量用什么符號(hào)的字母表示無(wú)關(guān). .(4) 積分值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)積分值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)， (2).i 定義中區(qū)間的分法和 的取法是任意的定義中區(qū)間的分法和 的取法是任意的 (3),fxa b當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上的定積分存在時(shí)，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上的定積分存在時(shí)， ,fxa b稱在區(qū)間上可積.稱在區(qū)間上可積.(1) 定積分中的被積函數(shù)一定是閉區(qū)間上的有界函數(shù)

7、。定積分中的被積函數(shù)一定是閉區(qū)間上的有界函數(shù)。2021-11-22 5 用用語(yǔ)語(yǔ)言言定定積積分分可可定定義義為為: : 60n, 不不成成立立0n 只只有有()(7)定積分和不定積分的區(qū)別 1,iiifxa ba bxx 若若在在上上有有界界, ,如如果果存存在在常常數(shù)數(shù)i,i,0,0,0,0,如如果果不不論論對(duì)對(duì)的的任任意意分分法法及及在在上上的的任任意意取取法法, ,只只要要就就有有1(),niiifxi ,( ).baifxa bf x dxi 則則稱稱 為為在在上上的的定定積積分分, ,記記為為 0;.abaaabf x dxf x dxf x dx (8)(8)規(guī)規(guī)定定：2021-1

8、1-22定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理（可積的充分條件）三、存在定理（可積的充分條件） ,.fxa bfxa b若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上可積則在區(qū)間上可積 ,.fxa bfxa b若函數(shù)在區(qū)間上有界，若函數(shù)在區(qū)間上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在區(qū)間上可積在區(qū)間上可積2021-11-221.1. 利用定義計(jì)算定積分利用定義計(jì)算定積分.102dxx 解解iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx 0,11,2,iinxinn 將將等等分分，分分點(diǎn)點(diǎn)為為， 11,1,2,iiixxxinn 小區(qū)間的長(zhǎng)度小區(qū)間的長(zhǎng)度 ,1,2,iixin 取取四、應(yīng)用四、應(yīng)用2021-11-22nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nnn0dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 2021-11-22222222.lim12nnnnnnnn利用定積分的定義表示極限利用定積分的定義表示極限2111lim1nninin12011dxx2021-11-222sinsinsin3.lim1112